2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 1
第8章 二次型
8.1 二次型与二次型的矩阵
n个变量的二次齐次多项式
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiijn
xxaxxxf
11
21
),,,( "
称为 n元二次型,
二次型有３种表达形式,
（１） 完全展开式
),,,(
21 n
xxxf "
=
nn
xxaxxaxa
112112
2
111
+++ "
nn
xxaxaxxa
22
2
2221221
++++ "
, " "+
2
2211 nnnnnnn
xaxxaxxa "+++
（２） 和式
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiijn
xxaxxxf
11
21
),,,( ",,
jiij
aa =
（３） 矩阵表达式
令,
T
n
xxxx ),,,(
21
"= ( )
ij
aA =,
jiij
aa =
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 2
),,,(
21 n
xxxf "
＝ ),,,(
21 n
xxx "
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
"
" " " "
"
"
21
22221
11211
n
x
x
x
#
2
1
＝ AXX
T
,
二次型的矩阵表达式 ＝),,,(
21 n
xxxf " AXX
T
中的矩阵 叫二次型的矩阵,A
它是一个对称矩阵．其中
jiij
aa =,即满足,AA
T
=
二次型矩阵 的秩称为二次型的秩,A
例 1 二次型
2
13
2
32
2
21321
)()()(),,( xxxxxxxxxf ++?++=
的秩为,
8.2 矩阵的合同
设 BA,是两个 n阶矩阵，若存在可逆方阵,使得,则称 与 合同,
P
BAPP
T
= B A
合同有以下三个性质,
（１） 自反性：任意方阵 和自身合同； A
（２） 对称性,若方阵 和 合同,则 和 也合同； B A A B
（３） 传递性,若方阵 和 合同,方阵B A C和 合同，
则
B
C和 合同,A
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 3
矩阵的等价是对于两个同型的矩阵 和 来说，
如果存在可逆矩阵 和可逆矩阵 Q，使 得
A B
P PAQB =,
则 和 等价．而矩阵的相似是对方阵说的，两个同阶的矩阵 和,如果存在可逆矩阵,使得
，则 和 相似．矩阵的合同也是对方阵说的，两个同阶的矩阵 和,如果存在可逆矩阵
，使 得
A B
A B P
APPB
1?
= A B
A B
P APPB
T
=,则 和 合同,由此可见,相似的矩阵一定等价,合同的矩阵也一定等价,等 价 的矩阵的一个主要特征是有相同的秩,因此,相 似 的 矩阵及合同的矩阵也有相同的秩,显然,等 价的矩阵不一定相似，等价的矩阵也不一定合同,
A B
矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类似．一个是可逆矩阵的逆，另一个是可逆矩阵的转置,这是两个不同的概念，千万不要混淆,相似的矩阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似,只有 当存在可逆矩阵是正交矩阵时，则有
APPB
1?
= APP
T
=,
这时,和 既相似又合同．实对称矩阵就有这个性质,对任意实对称矩阵,都存在正交矩阵和对角矩阵既相似又合同,
A B
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 4
例2 已知
=
400
040
004
A,
=
000
140
014
B,
=
200
022
022
C,
试判断 CBA,,中哪些矩阵相似,哪些矩阵合同?
8.3 二次型的标准形
形如
22
22
2
11 nn
ydydyd +++ "
的二次型称为二次型的标准形,
二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项，
没有变量的交叉乘积项,
通常用两种方法化二次型为标准形,分别是正交变换法，和配方法,
正交变换法只能用于实二次型,不能用于复二次型,由于常见的题目都是实二次型,所以它是一种主要的方法,配方法可以用在实二次型,也可以用在复二次型,配方法实际上就是初等代数里的配平方,有时候用起来很方便，对于简单的题不失为一种好方法,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 5
用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤,
（１） 写出二次型的矩阵 ； A
（２） 求矩阵 的特征值，得A
n
λλλ,,,
21
" ；
（３） 求相应的特征向量；
（４） 将特征向量作施密特正交化，得到正交的 特征向量；
（５） 将正交的特征向量单位化；
（６） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵 Q，
这时有 DAQQAQQ
T
==
1
，其 中 D是对角矩
阵，它由 的特征值构成,A
),,,(
21 n
diagD λλλ "=,写的时候要注意与特
征向量写的顺序一致；
（７） 写出可逆线性替换 QYX =,则有
=f
22
22
2
11 nn
yyy λλλ +++ ",
例3 已知实二次型
323121
2
3
2
2
2
1
321
444)(
),,(
xxxxxxxxxa
xxxf
+++++=
经正交变换 Pyx = 化成标准型,
2
1
6yf =
则 =a,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 6
例4 已知二次型
32
2
3
2
2
2
1321
2332),,( xaxxxxxxxf +++=,
其中,通过正交变换化作,试 0>a
2
3
2
2
2
1
52 yyy ++
确定参数 a及所作的正交变换,
例 5 已知二次型
21
2
3
2
2
2
1
321
)1(22)1()1(
),,(
xxaxxaxa
xxxf
+++?+?=
的秩为 2,
(I) 求 a的值；
(II) 求正交变换 Qyx =,把 化成标准形；
),,(
321
xxxf
(III) 求方程 =0的解,),,(
321
xxxf
解(I) 由于二次型 的秩为 2，对应的矩阵 f
+
+?
=
200
011
011
aa
aa
A 的秩为 2，所以有
04
11
11
=?=
+
+?
a
aa
aa
，得 0=a,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 7
(II) 当 时，0=a
=
200
011
011
A,
λλ
λ
λ
λ
2
)2(
200
011
011
=
=? AλE
可知 特征值为A 2
21
==λλ,0
3
=λ,
的属于A 2
1
=λ 的线性无关的特征向量为
,；
T
η )0,1,1(
1
=
T
η )1,0,0(
2
=
的属于A 0
3
=λ 的线性无关的特征向量为
,
T
η )0,1,1(
3
=
易 见 两两正交,
321
η,η,η
将 单位化得
321
η,η,η
T
e )0,1,1(
2
1
1
=,,
T
e )1,0,0(
2
=
,)0,1,1(
2
1
3
T
e?=
取,则 为正交矩阵,令)(
321
e,e,eQ = Q Qyx =,得
2
2
2
1
2
33
2
22
2
11321
22),,( yyyyyxxxf +=++= λλλ
(III) 解法 1 在正交变换 Qyx = 下,
0),,(
321
=xxxf 化成,解之得
，从而
022
2
2
2
1
=+ yy
0
21
== yy
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 8
T
key
y
eee
y
Qx )0,1,1(0
0
),,(0
0
33
3
321
3
==
=
=
其中 k为任意常数,
解法 2 由于
02)(
22),,(
2
3
2
21
21
2
3
2
2
2
1321
=++=
+++=
xxx
xxxxxxxxf
所以
=
=+
,0
.0
3
21
x
xx
其通解为,其中
T
kx )0,1,1(?= k为任意常数。
8.4 实二次型的惯性定理
形如
22
1
22
2
2
1 rpp
zzzzz+++
+
" "
的二次型叫实二次型的规范形,
惯性定理,任意一个实系数二次型总可经过一个适当的可逆线性替换，化成规范形，规范型是惟一的,其中 是二次型的秩，r p是二次型的正惯性指数，
pr? 是负惯性指数,rp?2 是符号差,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 9
例6 设 A为 阶实对称矩阵，n nAr =)(,
∑∑
==
=
n
i
n
j
ji
ij
n
xx
A
A
xxxf
11
21
),,,( "
（１） 记,把
T
n
xxxX ),,,(
21
"=
),,,(
21 n
xxxf " 写成矩阵形式，并证明二次型
)(Xf 的矩阵为 ；
1?
A
（２） 二次型 与AXXXg
T
=)( )(Xf 的规范形
是否相同？说明理由,
8.5 实二次型的正定性
设 )(αQ 是实二次型,若对任意非零向量 α,恒有
0)( >αQ,则称实二次型正定,正定二次型的矩阵称为正定矩阵,
这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵,因此必定是实对称矩阵,在解有关正定矩阵的题目时,首 先 要检验矩阵是否是实对称的,
一 个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次型,它的正定性是不会改变的,因此可以通过二次型的标准形以及规范形来讨论正定性,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 10
从实二次型的规范形
22
1
22
2
2
1 rpp
zzzzzf+++=
+
" "
容易看出，只有当 nrp == 的时候，才会对任意非零的向量,保证函数值是正的,只要 nr <,或 rp <,
都能取到非零的向量,使函数值为０或为负值．因此有
（１） n元实二次型正定?正惯性指数 np =,
这就是说,元正定二次型的规范形一定是 n
22
2
2
1 n
zzzf +++= ",
（２）实对称阵 正定A? A和单位阵合同,
即存在可逆矩阵 C，使得
ECCA
T
= ＝ CC
T
,
（ ３）实对称阵 正定A?存在可逆矩阵 C,使得
CCA
T
=,
（４） 实对称阵 正定A? A的所有特征值全是正数,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 11
设
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
"
" " " "
"
"
21
22221
11211
则称 i阶行列式
i
P ＝
iiii
i
i
aaa
aaa
aaa
"
" " " "
"
"
21
22221
11211
为矩阵 的 i阶顺序主子式,A
（５） 实对称阵 正定A? A的各级顺序主子式全大于零,
例 7 设
3121
2
3
2
2
2
1
321
22)1(2
),,(
xxxkxxkxx
xxxf
++?++=
若二次型 正定，求f k的取值范围,
例8 设 A是 的矩阵，nm× AAIB
T
+= λ,求证
0>λ 时,正定,B
例 9 设 是 阶正定矩阵，证明A n 1>+ EA,
例 10 设 是 实 对 称 正 定 矩 阵,B是A nm× 的实矩阵，
证明,正定的充分必要条件是ABB
T
nBr =)(,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 12
例 11 设?
=
BC
CA
D
T
为正定矩阵，其中,分别为 m阶,阶对称矩阵，
A B
n C为 nm× 矩阵,
（I）计算 DPP
T
，其中
=
n
m
EO
CAE
P
1
（ II）利用（I）的结果判断矩阵 CACB
T 1?
是否为正定矩阵，并证明你的结论,
解,（I）因,
=
n
T
m
T
EAC
OE
P
1
有
=
n
m
T
m
T
m
T
EO
CAE
BC
CA
EAC
OE
DPP
1
1
=
n
m
T
EO
CAE
CACBO
CA
1
1
=
CACBO
OA
T 1
,
（II）矩阵 CACB
T 1?
是正定矩阵,
由（I）的结果可知，矩阵 D合同于矩阵
=
CACBO
OA
M
T 1
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 13
又 D为正定矩阵，可知矩阵 M为正定矩阵,
因矩阵 M为对称矩阵，故 CACB
T 1?
为对称矩阵，对 及任意的
T
X )0,,0,0( "=
()0,,,
21
≠=
T
n
yyyY ",有
() 0,
1
>?
Y
X
CACBO
OA
YX
T
TT
,
即 ( ) 0
1
>?
YCACBY
TT
，故 CACB
T 1?
为正定矩阵,
8.6 二次型的应用
例 12 已知二次曲面方程
4222
222
=+++++ yzxzbxyzayx
可以经过正交变换
=
η
ξ
P
z
y
x
化为椭圆柱面方程,44
22
=+?η,求 的值和正交矩阵,
ba,
P
第8章 二次型
8.1 二次型与二次型的矩阵
n个变量的二次齐次多项式
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiijn
xxaxxxf
11
21
),,,( "
称为 n元二次型,
二次型有３种表达形式,
（１） 完全展开式
),,,(
21 n
xxxf "
=
nn
xxaxxaxa
112112
2
111
+++ "
nn
xxaxaxxa
22
2
2221221
++++ "
, " "+
2
2211 nnnnnnn
xaxxaxxa "+++
（２） 和式
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiijn
xxaxxxf
11
21
),,,( ",,
jiij
aa =
（３） 矩阵表达式
令,
T
n
xxxx ),,,(
21
"= ( )
ij
aA =,
jiij
aa =
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 2
),,,(
21 n
xxxf "
＝ ),,,(
21 n
xxx "
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
"
" " " "
"
"
21
22221
11211
n
x
x
x
#
2
1
＝ AXX
T
,
二次型的矩阵表达式 ＝),,,(
21 n
xxxf " AXX
T
中的矩阵 叫二次型的矩阵,A
它是一个对称矩阵．其中
jiij
aa =,即满足,AA
T
=
二次型矩阵 的秩称为二次型的秩,A
例 1 二次型
2
13
2
32
2
21321
)()()(),,( xxxxxxxxxf ++?++=
的秩为,
8.2 矩阵的合同
设 BA,是两个 n阶矩阵，若存在可逆方阵,使得,则称 与 合同,
P
BAPP
T
= B A
合同有以下三个性质,
（１） 自反性：任意方阵 和自身合同； A
（２） 对称性,若方阵 和 合同,则 和 也合同； B A A B
（３） 传递性,若方阵 和 合同,方阵B A C和 合同，
则
B
C和 合同,A
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 3
矩阵的等价是对于两个同型的矩阵 和 来说，
如果存在可逆矩阵 和可逆矩阵 Q，使 得
A B
P PAQB =,
则 和 等价．而矩阵的相似是对方阵说的，两个同阶的矩阵 和,如果存在可逆矩阵,使得
，则 和 相似．矩阵的合同也是对方阵说的，两个同阶的矩阵 和,如果存在可逆矩阵
，使 得
A B
A B P
APPB
1?
= A B
A B
P APPB
T
=,则 和 合同,由此可见,相似的矩阵一定等价,合同的矩阵也一定等价,等 价 的矩阵的一个主要特征是有相同的秩,因此,相 似 的 矩阵及合同的矩阵也有相同的秩,显然,等 价的矩阵不一定相似，等价的矩阵也不一定合同,
A B
矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类似．一个是可逆矩阵的逆，另一个是可逆矩阵的转置,这是两个不同的概念，千万不要混淆,相似的矩阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似,只有 当存在可逆矩阵是正交矩阵时，则有
APPB
1?
= APP
T
=,
这时,和 既相似又合同．实对称矩阵就有这个性质,对任意实对称矩阵,都存在正交矩阵和对角矩阵既相似又合同,
A B
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 4
例2 已知
=
400
040
004
A,
=
000
140
014
B,
=
200
022
022
C,
试判断 CBA,,中哪些矩阵相似,哪些矩阵合同?
8.3 二次型的标准形
形如
22
22
2
11 nn
ydydyd +++ "
的二次型称为二次型的标准形,
二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项，
没有变量的交叉乘积项,
通常用两种方法化二次型为标准形,分别是正交变换法，和配方法,
正交变换法只能用于实二次型,不能用于复二次型,由于常见的题目都是实二次型,所以它是一种主要的方法,配方法可以用在实二次型,也可以用在复二次型,配方法实际上就是初等代数里的配平方,有时候用起来很方便，对于简单的题不失为一种好方法,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 5
用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤,
（１） 写出二次型的矩阵 ； A
（２） 求矩阵 的特征值，得A
n
λλλ,,,
21
" ；
（３） 求相应的特征向量；
（４） 将特征向量作施密特正交化，得到正交的 特征向量；
（５） 将正交的特征向量单位化；
（６） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵 Q，
这时有 DAQQAQQ
T
==
1
，其 中 D是对角矩
阵，它由 的特征值构成,A
),,,(
21 n
diagD λλλ "=,写的时候要注意与特
征向量写的顺序一致；
（７） 写出可逆线性替换 QYX =,则有
=f
22
22
2
11 nn
yyy λλλ +++ ",
例3 已知实二次型
323121
2
3
2
2
2
1
321
444)(
),,(
xxxxxxxxxa
xxxf
+++++=
经正交变换 Pyx = 化成标准型,
2
1
6yf =
则 =a,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 6
例4 已知二次型
32
2
3
2
2
2
1321
2332),,( xaxxxxxxxf +++=,
其中,通过正交变换化作,试 0>a
2
3
2
2
2
1
52 yyy ++
确定参数 a及所作的正交变换,
例 5 已知二次型
21
2
3
2
2
2
1
321
)1(22)1()1(
),,(
xxaxxaxa
xxxf
+++?+?=
的秩为 2,
(I) 求 a的值；
(II) 求正交变换 Qyx =,把 化成标准形；
),,(
321
xxxf
(III) 求方程 =0的解,),,(
321
xxxf
解(I) 由于二次型 的秩为 2，对应的矩阵 f
+
+?
=
200
011
011
aa
aa
A 的秩为 2，所以有
04
11
11
=?=
+
+?
a
aa
aa
，得 0=a,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 7
(II) 当 时，0=a
=
200
011
011
A,
λλ
λ
λ
λ
2
)2(
200
011
011
=
=? AλE
可知 特征值为A 2
21
==λλ,0
3
=λ,
的属于A 2
1
=λ 的线性无关的特征向量为
,；
T
η )0,1,1(
1
=
T
η )1,0,0(
2
=
的属于A 0
3
=λ 的线性无关的特征向量为
,
T
η )0,1,1(
3
=
易 见 两两正交,
321
η,η,η
将 单位化得
321
η,η,η
T
e )0,1,1(
2
1
1
=,,
T
e )1,0,0(
2
=
,)0,1,1(
2
1
3
T
e?=
取,则 为正交矩阵,令)(
321
e,e,eQ = Q Qyx =,得
2
2
2
1
2
33
2
22
2
11321
22),,( yyyyyxxxf +=++= λλλ
(III) 解法 1 在正交变换 Qyx = 下,
0),,(
321
=xxxf 化成,解之得
，从而
022
2
2
2
1
=+ yy
0
21
== yy
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 8
T
key
y
eee
y
Qx )0,1,1(0
0
),,(0
0
33
3
321
3
==
=
=
其中 k为任意常数,
解法 2 由于
02)(
22),,(
2
3
2
21
21
2
3
2
2
2
1321
=++=
+++=
xxx
xxxxxxxxf
所以
=
=+
,0
.0
3
21
x
xx
其通解为,其中
T
kx )0,1,1(?= k为任意常数。
8.4 实二次型的惯性定理
形如
22
1
22
2
2
1 rpp
zzzzz+++
+
" "
的二次型叫实二次型的规范形,
惯性定理,任意一个实系数二次型总可经过一个适当的可逆线性替换，化成规范形，规范型是惟一的,其中 是二次型的秩，r p是二次型的正惯性指数，
pr? 是负惯性指数,rp?2 是符号差,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 9
例6 设 A为 阶实对称矩阵，n nAr =)(,
∑∑
==
=
n
i
n
j
ji
ij
n
xx
A
A
xxxf
11
21
),,,( "
（１） 记,把
T
n
xxxX ),,,(
21
"=
),,,(
21 n
xxxf " 写成矩阵形式，并证明二次型
)(Xf 的矩阵为 ；
1?
A
（２） 二次型 与AXXXg
T
=)( )(Xf 的规范形
是否相同？说明理由,
8.5 实二次型的正定性
设 )(αQ 是实二次型,若对任意非零向量 α,恒有
0)( >αQ,则称实二次型正定,正定二次型的矩阵称为正定矩阵,
这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵,因此必定是实对称矩阵,在解有关正定矩阵的题目时,首 先 要检验矩阵是否是实对称的,
一 个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次型,它的正定性是不会改变的,因此可以通过二次型的标准形以及规范形来讨论正定性,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 10
从实二次型的规范形
22
1
22
2
2
1 rpp
zzzzzf+++=
+
" "
容易看出，只有当 nrp == 的时候，才会对任意非零的向量,保证函数值是正的,只要 nr <,或 rp <,
都能取到非零的向量,使函数值为０或为负值．因此有
（１） n元实二次型正定?正惯性指数 np =,
这就是说,元正定二次型的规范形一定是 n
22
2
2
1 n
zzzf +++= ",
（２）实对称阵 正定A? A和单位阵合同,
即存在可逆矩阵 C，使得
ECCA
T
= ＝ CC
T
,
（ ３）实对称阵 正定A?存在可逆矩阵 C,使得
CCA
T
=,
（４） 实对称阵 正定A? A的所有特征值全是正数,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 11
设
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
"
" " " "
"
"
21
22221
11211
则称 i阶行列式
i
P ＝
iiii
i
i
aaa
aaa
aaa
"
" " " "
"
"
21
22221
11211
为矩阵 的 i阶顺序主子式,A
（５） 实对称阵 正定A? A的各级顺序主子式全大于零,
例 7 设
3121
2
3
2
2
2
1
321
22)1(2
),,(
xxxkxxkxx
xxxf
++?++=
若二次型 正定，求f k的取值范围,
例8 设 A是 的矩阵，nm× AAIB
T
+= λ,求证
0>λ 时,正定,B
例 9 设 是 阶正定矩阵，证明A n 1>+ EA,
例 10 设 是 实 对 称 正 定 矩 阵,B是A nm× 的实矩阵，
证明,正定的充分必要条件是ABB
T
nBr =)(,
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 12
例 11 设?
=
BC
CA
D
T
为正定矩阵，其中,分别为 m阶,阶对称矩阵，
A B
n C为 nm× 矩阵,
（I）计算 DPP
T
，其中
=
n
m
EO
CAE
P
1
（ II）利用（I）的结果判断矩阵 CACB
T 1?
是否为正定矩阵，并证明你的结论,
解,（I）因,
=
n
T
m
T
EAC
OE
P
1
有
=
n
m
T
m
T
m
T
EO
CAE
BC
CA
EAC
OE
DPP
1
1
=
n
m
T
EO
CAE
CACBO
CA
1
1
=
CACBO
OA
T 1
,
（II）矩阵 CACB
T 1?
是正定矩阵,
由（I）的结果可知，矩阵 D合同于矩阵
=
CACBO
OA
M
T 1
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次 型 8— 13
又 D为正定矩阵，可知矩阵 M为正定矩阵,
因矩阵 M为对称矩阵，故 CACB
T 1?
为对称矩阵，对 及任意的
T
X )0,,0,0( "=
()0,,,
21
≠=
T
n
yyyY ",有
() 0,
1
>?
Y
X
CACBO
OA
YX
T
TT
,
即 ( ) 0
1
>?
YCACBY
TT
，故 CACB
T 1?
为正定矩阵,
8.6 二次型的应用
例 12 已知二次曲面方程
4222
222
=+++++ yzxzbxyzayx
可以经过正交变换
=
η
ξ
P
z
y
x
化为椭圆柱面方程,44
22
=+?η,求 的值和正交矩阵,
ba,
P
