2008 基 础 班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 1
第 3 章 矩阵的初等变换与矩阵的秩
３．１ 矩阵的初等变换
矩阵的初等行（列）变换,
（１） 交换第 i行（列）和第 j行（列） ；
（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每 个元素；
（３） 把矩阵某一行 （列） 的元素的 k倍加到另一行
（列）,
对矩阵施行初等变换时,由于矩阵中的元素已经改变,变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等,所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂ →＂,
例1 求矩 阵
=
042
111
210
A 的逆矩阵,
３．２ 初等矩阵
单 位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是
（１）交换第 行和第i j行（交换第 列和第i j列）
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=
1
1
01
1
1
10
1
1
).(
%
"""
##
#%#
##
"""
%
jiE
（２）用常数 λ乘第 行（i λ乘第 i列）
=
1
1
1
1
))((
%
%
λλiE
（３）第 i行的 k倍加到第 j行
（第 j列的 k倍加到第 列） i
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=
1
1
1
1
))((
%
"
%#
%
k
kijE
显然,初等矩阵都可逆,其逆矩阵仍是初等矩阵，
且有
),(),(
1
jiEjiE =；
=
λ
λ
1
))((
1
iEiE ；
))(())((
1
kijEkijE?=
,
初等矩阵与初等变换有着密切的关系,
左 乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换,
例如要将矩阵 的第１行和第３行交换,则左乘一个初等矩阵
A
)3,1(E,
001
010
100
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
＝
131211
232221
333231
aaa
aaa
aaa
,
右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩
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阵相应类型一样的初等列变换,
例2 设
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A,

=
231322122111
333231
232221
aaaaaa
aaa
aaa
B,
=
100
010
011
1
E,
=
001
010
100
2
E,
=
100
001
010
3
E,
则以下选项中正确的是
BAEEEA =
321
)( ；
BEEAEB =
321
)( ；
BAEEEC =
123
)( ；
BEEAED =
123
)(,
例３ 设 是３阶可逆矩阵,将 的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作,
A A
B
（１） 证明 可逆； B
（２） 求,
1?
AB
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例4 设
=
011
431
321
A,
=
000
110
101
B,是否存在可逆矩阵 P，使得 BPA =？若存在，求 P；
若不存在，说明理由,
例 5 设 是 3 阶方阵，将 的第 1 列与第 2 列交换得,再把 的 第 2列 加 到 第3列 得 C,
A A
B B
则 满 足 CAQ = 的可逆矩阵 Q为
(A)
101
001
010
(B)
100
101
010
(C)
110
001
010
(D)
100
001
110
３．３ 矩阵的等价与等价标准形
若 矩 阵 B可以由矩阵 经过一系列初等变换得到，则称矩阵 和 等价,
A
A B
矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系,它具有如下性质,
（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；
（２） 对称性,若矩阵 和矩阵 等价,则矩阵 和A B B
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矩阵 也等价； A
（３） 传递性：若矩阵 和矩阵 等价，矩阵 和矩阵 C等价，则矩阵 和矩阵 C等价,
A B B
A
形 如?
00
0
r
E
的矩阵称为矩阵的等价标准形,
任 意 矩 阵 A都与一个等价标准形?
00
0
r
E
等价．其中
r
E 是 r阶单位矩阵．这个 r是一个不变量，
它就是矩阵的秩,
任何矩阵总存在一系列的初等矩阵
s
PPP,,,
21
",和初等矩阵
t
QQQ,,,
21
" 使得
11
PPP
ss
"
A
t
QQQ "
21
＝?
00
0
r
E
,
令 P＝,Q＝
11
PPP
ss
"
t
QQQ "
21
，于是
对任意 的矩阵,总存在 m阶可逆矩阵nm× A P和 n
阶可逆矩阵 Q，使得
PAQ＝?
00
0
r
E
,
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例 6 设 阶矩阵 与 等价，则必有 n A B
(A) 当 )0( ≠= aaA 时,aB =,
(B) 当 )0( ≠= aaA 时,aB?=,
(C) 当 0≠A 时,0=B,
(D) 当 0=A 时,0=B,
３．4 矩阵的秩
在 矩阵 中,任取nm× A k行 k列,位于这 k行 k
列交叉处的
2
k 个元素按其原来的次序组成一个 k阶行列式，称为矩阵 的一个A k阶子式,
若矩阵 中有一个A r阶子式不为零,而所 有 1+r
阶子式全为零，则称矩阵 的秩为A r．矩阵 的秩记作,
A
)(Ar
零矩阵的秩规定为零,
显然有
≥ rAr )( A中有一个 r阶子式不为零；
中所有ArAr?≤)( 1+r 阶子式全为零,
若 n阶方阵,有A nAr =)(,则称 是满秩方阵,A
对于 n阶方阵,A
0)( ≠?= AnAr,
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,
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例 7 求矩阵
=
45532
51101
41322
32211
A 的秩,
例 8 求 阶矩阵n
=
abb
bab
bba
A
"
""""
"
"
的秩,
2≥n,
例9 设
=
7153
432
110
1111
a
b
A,已知 3)( =Ar,
求,ba,
常用的矩阵的秩的性质,
（１） ； )()(
T
ArAr =
（２） )()()( BrArBAr +≤+ ；
（３） ))(),(min()( BrArABr ≤,
（４） )()(
0
0
BrAr
B
A
r +=?
；
（５） )()(
0
BrAr
BC
A
r +≥?
；
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（６）若 0=AB,则 nBrAr ≤+ )()(,
其 中 n为矩阵 的列数,A
（７）若 可逆，则A )()( BrABr =
（８）若 列满秩，则A )()( BrABr =
（９）若 行满秩，则B )()( ArABr =
例 10 设 BA,都是 阶方阵，满足 n
EABA =?2
2
，求 =+? )( ABAABr？
例１1 设 是 矩阵,A 34×
,
301
020
201
,2)(
== BAr 求,)(ABr
例１2 已知
=
62
321
321
t
A,是３阶非零 B
矩阵，且满足 0=AB,则
4)( =tA 时,的秩必为１； B
4)( =tB 时,的秩必为２； B
4)( ≠tC 时,的秩必为１； B
4)( ≠tD 时,的秩必为２,B
例13 设 BA,都是 阶非零矩阵，且满足n 0=AB,
则 A和 的秩 B
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)(A 必有一个等于零；
)(B 都小于 n；
)(C 一个小于 n，一个等于 ； n
)(D 都等于 n,
例14 设 是 矩 阵,B是A nm× mn× 矩阵,若 mn <
证明,0=AB,
例 15 设 是２阶方阵,已知A 0
5
=A,证明,0
2
=A
３,5 伴随矩阵
设
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
"
""""
"
"
21
22221
11211
,
记 的代数余子式为,令
ij
a
ij
A
=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
"
""""
"
"
21
22212
12111
*
为矩阵 的伴随矩阵．因此，若A ( )
ij
aA=,则
( )
T
ij
AA =
*
,
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伴随矩阵的基本关系式,
EAAAAA ==
**
,
*1
1
A
A
A =
，或
1*?
= AAA,
1
*
=
n
AA,
<
=
=
=
.1)(,0
,1)(,1
,)(,
)(
*
nAr
nAr
nArn
Ar
例 16 设
=
122
212
221
A,求 的伴随矩阵,A
*
A
例 17 设?
=?
=
11
11
,
23
21
2
1
21
AA,
=
1
2
1
0
0
A
A
B
则
*
B =？
例 18 设 是 ３ 阶 矩 阵,A
2
1
=A,求
*1
2)3( AA?
,
例19 设
=
8030
0101
0010
0001
*
A,
2008 基 础 班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 12
且 EXAAXA 3
11
+=

，求 X,