2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 1
第 4 章 向量组的线性相关性
4．1 向量的线性组合与线性表示
由 n个实数 组成的有序数组称
n
aaa,,,
21
"
为 n维向量，记作
=
n
a
a
a
#
2
1
α,
其中
i
a 称为向量 α的第 个分量．这个向量是一 i
个列向量．行向量记作
( )
n
T
aaa,,,
21
"=α,
分量全为０的向量称为零向量,
记作,()
T
0000，，，"=
两 个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
"=α,
(
T
n
bbb,,,
21
"=β )，若它们的对应分量全相等,
即
ii
ba =,则称向量ni,,2,1 "= α和 β 相等,
记作 βα =,
设两个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
"=α,
()
T
n
bbb,,,
21
"=β,定义
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 2
()
T
nn
bababa +++=+,,,
2211
"βα,
称为向量 α与 β 的和,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
"=α,
称 为向量
T
n
aaa=?,,,
21
"α α的负向量,
于是定义向量的减法,
）（βαβα?+=?,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
"=α,k是实数，定义
()
T
n
kakakak,,,
21
"=α,
称为数 k与向量 α的数量乘法，简称数乘,
对任意 n维向量 γβα，，及任意实数 lk,,
向量的加法及数量乘法满足以下８个性质,
（１） αββα +=+ ；
（２） () ( )γβαγβα ++=++ ；
（３） αα =+0 ；
（４） 0=?+）（αα ；
（５） αα =?1 ；
（６） αα )()( kllk = ；
（７） βαβα kkk +=+ )( ；
（８） ααα lklk +=+ )(,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 3
设
s
ααα,,,
21
" 是 维向量,n
s
kkk,,,
21
" 是数，则
ss
kkk ααα +++ "
2211
称为向量
s
ααα,,,
21
" 的一个线性组合,
若
ss
kkk αααβ +++= "
2211
，称 β
可由
s
ααα,,,
21
" 线性表示或线性表出,
例1 设,()
T
3,2,1
1
=α ( )
T
4,1,0
2
=α,
()
T
6,3,2
3
=α,( )
T
5,1,1?=β,试用
321
,,ααα 线性表示 β,
例２ 设,()
T
2,0,4,1
1
=α
()
T
3,1,7,2
2
=α,
()
T
2,1,1,0
3
=α,
(
T
a 4,,10,3=β ),a取何值时,β 可由
321
,,ααα 线性表示？写出表示式,
４,2 向量组的线性相关与线性无关
设
s
ααα,,,
21
" 是 维向量，若存在不全为 n
零的数,使得
s
kkk,,,
21
"
0
2211
=+++
ss
kkk ααα "
成立，则称向量组
s
ααα,,,
21
" 线性相关．否则
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 4
称为线性无关,
只有一个向量的向量组 { }α,如果 0=α,则
向量组是线性相关的；如果 0≠α,则向量组是
线性无关的,
一个不少于２个向量的向量组若线性相关,
则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余
向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个
向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组
是线性相关的,
这个命题的等价命题就是：向量组线性无关
的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由
其余向量线性表示,
按定义，向量组
s
ααα,,,
21
" 线性无关当且
仅当向量方程
0
2211
=+++
ss
kkk ααα "
只有零解,
将向量
s
ααα,,,
21
" 按列排成一个矩阵,
记作,即 ＝（A A
s
ααα,,,
21
" ）,则向量组
s
ααα,,,
21
" 线性相关的充分必要条件是齐次
线性方程组
0=Ax
有非零解,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 5
向量个数大于向量维数时向量组线性相关,
任何 1+n 个 维向量线性相关,n
n个 n维向量
n
ααα,,,
21
" 线性相关的充分
必要条件是由向量排成的行列式等于０．即
n
ααα,,,
21
" ＝０,
向量组的线性相关性的定理很多，其中最重
要的是这几个,
（１）若
s
ααα,,,
21
" 线性无关，而
βααα,,,,
21 s
" 线性相关,则 β 可由
s
ααα,,,
21
" 线性表出，且表示法惟一,
（２）若
s
ααα,,,
21
" 可由
t
βββ,,,
21
" 线性
表出，且 ts >,则
s
ααα,,,
21
" 线性相关,
（３）若
s
ααα,,,
21
" 线性无关且可由
t
βββ,,,
21
" 线性表出，则 ts ≤,
以下这些性质也是很有用的,
（１） 包含零向量的向量组必线性相关,
（２） 一个向量组中如果有部分向量线性相关,
则整个向量组线性相关,
（３） 一个线性无关的向量组其中任何部分向
量组都线性无关,
（４） 一个线性相关的向量组，如果每一个向
量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 6
向量组，则新的向量组也线性相关,
（５） 一个线性无关的向量组，如果每一个向
量在同一位置增加分量，得到维数更高的向量组,
则新向量组也线性无关,
例３向量组
s
ααα,,,
21
" 线性无关的充分条件是
)(A
s
ααα,,,
21
" 都不是零向量；
)(B
s
ααα,,,
21
" 除去向量组本身的任意部分
向量组都线性无关；
)(C 向量组
s
ααα,,,
21
" 的秩等于 ； s
)(D
s
ααα,,,
21
" 中任意两个向量都线性无关,
例４ 设 (),11
1
T
t=α
(),11
2
T
t=α ( )
T
t11
3
=α,
问 t为何值时
321
,,ααα 线性相关,
例5 设
21
,αα 是 维向量，令n
211
2ααβ +=,
212
ααβ +?=,
213
25 ααβ +=,则
321
,,)( βββA 必线性无关；
321
,,)( βββB 必线性相关；
)(C 仅当
21
,αα 线性无关时，
321
,,βββ 线性
无关；
)(D 仅当
21
,αα 线性相关时，
321
,,βββ 线性
相关,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 7
例６ 已知
321
,,ααα 线性无关，试判断
133221
54,,23 αααααα+ 是否线性无关,
例７ 已知向量组
321
,,ααα 线性相关,
432
,,ααα 线性无关，问
（１）
1
α 能否由
32
,αα 线性表示？证明你的结论；
（２）
4
α 能否由
321
,,ααα 线性表示？证明你的
结论,
例８ 设线 γβα,,性无关，又设 0≠δ,δγα,,
线性相关,δγβ,,也线性相关，证明 γδ k=,
其中 常数,0≠k
例９ 已知
4
R 中，
321
,,ααα 线性无关,
321
,,βββ 线性无关,
（１） 若 不能由
4
R∈γ
321
,,ααα 线性表出，则
γααα,,,
321
线性无关；
（２） 证明
4
R∈?δ 使得 δααα,,,
321
与
δβββ,,,
321
均线性无关,
例１０ 设 是 矩阵,是A mn× B nm× 矩阵,
满足 EAB =,试证明 的列向量线性无关,B
例１１ 设 BA,为满足 0=AB 的任意两个非零
矩阵，则必有
(A) 的列向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 8
(B) 的列向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
(C) 的行向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
(D) 的行向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
例１２ 设 是 n阶方阵，A α是 维列向量,n
若 0
1
≠
α
n
A,而 0=α
n
A,试证明
ααα
1
,,,
n
AA " 线性无关,
4．3 极大线性无关组
设有两个向量组（１）
s
ααα,,,
21
",
（２）
t
βββ,,,
21
",如果向量组（１）中每个
向量都能由向量组（２）线性表出，则称向量组
（１）能由向量组（２）线性表出,
如果向量组（１）能由向量组（２）线性表
出，且向量组（２）也能由向量组（１）线性表
出，则称这两个向量组等价，记作（１）?（２）,
向量组的等价是向量组之间的一种等价关系,
具有以下性质,
１） 反身性,（１）?（１） ；
２） 对称性：若（１）?（２）,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 9
则（２） （１） ；?
３） 传递性：若（１）?（２）,（２）?（３）,
则（１） （３）,?
设向量组
r
iii
ααα,,,
21
" 是向量组
s
ααα,,,
21
" 的一个部分组．满足
１）
r
iii
ααα,,,
21
" 线性无关；
２）向量组
s
ααα,,,
21
" 的每一个向量都可以
由向量组
r
iii
ααα,,,
21
" 线性表出，则称部分组
r
iii
ααα,,,
21
" 是向量组
s
ααα,,,
21
" 的一个
极大线性无关组,
显然，向量组的一个极大线性无关组与向量
组本身是等价的,
一般地，向量组的极大线性无关组不是惟一
的．按照定义，一个向量组的任意两个极大线性
无关组可以互相线性表出，因此，它们是等价的,
根据定理，两个等价的线性无关的向量组各
自所含的向量的个数必定相等．这就是说一个向
量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不
变量，它由向量组本身所确定,
满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形
Reduced Row Echelon Form (RREF),
（１） 所有零行都在矩阵的底部；
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 10
（２） 非零行的主元在前一行主元的右方；
（３） 主元为 1；
（４） 主元所在列除主元外的其它元素全为零,
例如,
00000
00000
22100
11021
任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化
作简化的行阶梯形,
利用简化行阶梯形可以解决的问题有,
（１）求极大线性无关组
（２）求向量间的线性关系
（３）求齐次线性方程组基础解系
（４）求非齐次线性方程组特解
求极大线性无关组的步骤,
（１） 将向量依次按列写成矩阵；
（２） 对矩阵施行行初等变换，化作简化行阶
梯形；
（３） 主元所在列向量构成一个极大线性无关
组；
（４） 非主元所在列向量和主元所在列向量的
关系由非主元列各分量表示,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 11
例如简化行阶梯形为
00000
21000
10210
20101
其中主元所在列是第１列，第２列，第４列，因
此一个极大线性无关组是
421
,,ααα,第３列无
主 元,
3
α ＝
0
0
2
1
＝
×+
×?
0
0
1
0
2
0
0
0
1
1 ＝
21
2αα +?,
同理,
5
α ＝
0
2
1
2
＝
×?
+
×
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
2
＝
321
22 ααα?+,
例 1３ 求向量组 ( )
T
0,0,1,1
1
=α,
()
T
1,1,1,0
2
=α,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 12
()
T
1,1,2,1
3
=α,
()
T
1,2,3,1
4
=α,
(1,4,6,2
5
= )α 的一个极大线性无关组,
并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出,
例1 ４
s
ααα,,,
21
可被
t
βββ,,,
21
线性
表出，且秩相等，证明
t
βββ,,,
21
也可被
s
ααα,,,
21
线性表出,
4．4 向量组的秩
向量组的极大线性无关组中所含向量的个
数称为这个向量组的秩,
只含零向量的向量组的秩规定为０,
向量组的秩有两个重要性质,
（１） 设向量组（I）的秩为,向量组（II）
1
r
的秩为,若向量组（I）可以由向量组（II）
2
r
线性表示，则,
21
rr ≤
（２） 等价的向量组有相同的秩,
设 A是 矩阵，将矩阵的每个行（列）看作行（ 列 ） 向 量,矩 阵 的 个行 （列） 向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行（列）秩,
nm×
m
矩阵的行秩＝矩阵的列秩＝矩阵的秩,
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 13
求向量组的秩的一般步骤是,
（１） 将向量按列（或按行）写成矩阵；
（２） 对矩阵作初等变换，化成阶梯形；
（３） 非零行的个数就是向量组的秩,
例 1５ 已知向量组 ( )
T
3,2,1
1
=α,
()
T
1,0,3
2
=α,( )
T
5,4,1
3
=α 与向
量组,()
T
a 0,2,
1
=β ( )
T
b 1,,1
2
=β,
(
T
2,3,2
3
=β )具有相同的秩，且
1
β 可
以由
321
,,ααα 线性表出，求 的值,ba,
例 1６ 已知向量组（I）
321
,,ααα,
（II）
321
,,ααα,
4
α,
和（III）
321
,,ααα,
5
α,
它们的秩为 r（I）＝ r（II）＝３,
r（III）＝４,
证明
45
αα? 和
321
,,ααα 线性无关,
例 1７ 设 维向量组n
s
ααα,,,
21
)( ns <
线性无关,则
s
βββ,,,
21
线性无关的充分
必要条件是
)(A
s
ααα,,,
21
可由
s
βββ,,,
21
线性表出；
)(B
s
βββ,,,
21
可由
s
ααα,,,
21
线性表出；
2008 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 14
)(C
s
ααα,,,
21
与
s
βββ,,,
21
等价；
)(D 矩阵 ( )
s
A ααα,,,
21
= 与矩阵
( )
s
B βββ,,,
21
= 等价,