2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 1
2008 年全国硕士研究生入学统一考试试题
（I）选择题,
数学一（5）,数学二( 7)，数学三（5）,数学四（5）
设 为 n阶 非 零 矩 阵,A E为 n阶单位矩阵,若
3
0A =,则（ ）
(A) E A? 不可逆,E A+ 不可逆,
(B) E A? 不可逆,E A+ 可逆,
(C) E A? 可逆,E A+ 可逆,
(D) E A? 可逆,E A+ 不可逆,
答,（C）
解法一,
33
22
33
22
()( )
()( )
EAE
E AE A A E
EAE
E AE A A E
=
++=
+=
+?+=
所以 E A? 可逆,E A+ 可逆,
解法二,
由于 是幂零矩阵，只有０是 的特征值，A A
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 2
1和 都不是 的特征值，于是?1 A
,00EA EA?≠ +≠，所以 E A? 可逆，
E A+ 可逆,
数学一（6）
设 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则 的正特征值个数为 （ ）
A
(,,) 1
x
xyzA y
z
=
A
(A) 0,(B) 1,
(C) 2,(D) 3,
答,（B）
解：这是双叶双曲面，其标准方程是
222
222
1
zxy
cab
=,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 3
数学二（8）,数学三（6）,数学四（6）
设
12
21
A
=
,则在实数域上与 合同矩阵为（ ）
A
(A) (B)
21
12
21
12
(C) (D)
21
12
12
21
答,（D）
解法 1,A的第 2 行 乘?1，第 2 列 乘,即?1
令,则P
=
10
01
T
P
=
10
01
，且
．其中 是可逆矩阵,
T
PAP
=
12
21
P
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 4
解法 2,的特征值为A,13?,选项(A) 的特征值为 ；选项(B)的特征值为 ；,13,13
选项( C)的特征值为 ；选项( D)的特征值为,
,13
,13?
解法 3,
A是不定的矩阵，选项中( A)的矩阵是负定的,(B)和(C)是正定的,只有(D)是不定的．
（II）填空题
数学一（13）,数学二（14）
设 为 2 阶矩阵，A,
12
α α 为线性无关的 2 维列向量，
1
0Aα =,
21
2
2
Aα αα= +,则 的非零特征值为
A
1,
解：由题设，,(,)(,)
12 12
02
01
A αα αα
=
A与矩阵 相似,的特征值是
,
02
01
02
01
,01
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 5
数学二（13）矩阵 的特征值是A λ，2,3,其中 λ未知，且 A 24=,则 λ＝ 4,
解,23 24λ××=,
数学三 ( 13) 设 3 阶矩阵 的特征值为
，
A
,,122
1
4AE
= 3,
解,的特征值为,A,,122
1
A
的特征值为
,,
11
1
22
,的特征值为,
1
4A
E,,311
所以
1
431AE
=××=3,
数学四 （13） 设 3 阶矩阵 的特征值互不相同，若行列式
A
0A =,则 的秩为A 2,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 6
解：由 0A =,有特征值为 0，又 的特征值互不相同,另外两个特征值都非零,且和对角矩阵相似,对角矩阵的元素为 的特征值,的秩等于对角矩阵的秩,故 的秩为 2,
A A
A A
A A
（III）解答题
数学一（20） （本题满分 11 分）
设
T
A
T
α β=+，其中
T
α 为 α的转置，
T
β 为 β 的转置,
I．证 ； () 2rA≤
II．若,α β 线性相关，则 () 2rA<,
证法１,I,()()1
T
rrα α≤ ≤,
同理,()1
T
r ββ ≤,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 7
() ( )
()(
112
TT
TT
rA r
rr)
ααββ
α β
=+
≤+
≤+=
,
II．若,α β 线性相关，不妨设 kβ α=,
()
()
2T
T
() ( )
((
(1 k )
12
TT
TT
rA r
rkk
r
r
αα ββ
αα α α
αα
αα
=+
=+
=+
=≤<
)
,
,
证法２,
I,
()
T
TT T
(),0
0
A
α
αα ββ α β β
=+=
令
()
,,0B α β=,则
T
ABB=,
2
0.
T
ABB B===
.所以,() 2rA≤
证法 3,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 8
I,
()
T
TT
T
(),A
α
αα ββ α β
β
=+=
,
()
(),2rA rα β≤≤,
II．若,α β 线性相关，不妨设 kβ α=,
()
T
TT
T
(),Ak
k
α
αα ββ α α
α
=+=
,
( )
(),1rA r k 2α α≤≤<
,
,
证法 4,
I,
()
T
TT
T
(),A
α
αα ββ α β
β
=+=
由于线性方程组
T
T
0x
α
β
=
的方程个数 2
小于未知数的个数 3,
所以方程组
T
T
0x
α
β
=
有非零解,
从而线性方程组
()
T
T
,0Ax x
α
αβ
β
= =
有非零解,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 9
因此，系数矩阵 不满秩,A
即,() 2rA≤
证法 5,I．设
(,,),(,,)
123 123
TT
aaa bbbα β==,
则
TT
()
(,,)
22
1 1 12 12 13 13
22
21 21 2 2 23 23
22
31 31 32 32 3 3
112233
A
a b aa bb aa bb
aa bb a b aa bb
aa bb aa bb a b
ababab
ααββ
αβαβαβ
=+
+++
=+ + +
++
=+ + +
||,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
.
123 123
12 3 123
123 123
123 123
0
Aaaa aab
aba abb
baa bab
bba bbb
α αα ααβ
α βα αββ
β αα βαβ
β βα βββ
=+
++
++
=
所以,,() 2rA≤
证法 6,I．若,α β 中有一个为 0，不妨设
0β =,则
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 10
() ( ) () 1
T
rA r r 2ααα=≤≤<
0
,
设,0α β≠≠，必存在 0γ ≠,使得
,00
TT
α γβγ==,
于 是,
()0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
即齐次线性方程组 0Ax = 有非零解，所以
,() 2rA≤
II．若,α β 线性相关，不妨设 kβ α=,
显然存在线性无关的两个向量,
12
γ γ,有
,
12
00
TT
α γαγ==,
也有,
12
00
TT
β γβγ==,
于是 ()
11
0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
()
22
0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
即 0Ax = 有两个线性无关的解，所以
,() 2rA<
证法 7,I．若,α β 中有一个为 0，不妨设
0β =,则
() ( ) () 1
T
rA r r 2ααα=≤≤<,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 11
设,00α β≠≠,
设齐次线性方程组 0
T
xα = 的基础解系为
,
12
ξ ξ,
齐次线性方程组 0
T
xβ = 的基础解系为
,
12
η η,
由于４个３维向量线性相关,存在不全为零的常数 使得,,,
121
kkll
2
11 22 11 22
0kkllξ ξηη+++=,
令
11 22 11 22
kk llγ ξξ η=+=η，显然
0γ ≠,且
()0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
即齐次线性方程组 0Ax = 有非零解，所以
,() 2rA≤
证法 8,令
2
11213
2
121 2
2
31 32 3
aaaaa
3
A aa a aa
aa aa a
=
,
若,则
1
0a =
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 12
2
1223 2
2
32 3
00 0 000
00
Aaa a
aa a
3
0
a
→→
，
若,则
1
0a ≠
123 12
2
121 23
2
31 32 3
000
000
aaa aaa
Aaaaa
aa aa a
→→
3
.
，
总之,,()
1
1rA ≤
同理，,()
2
1rA ≤
于是
() ( )
() ()
12
12
112
rA rA A
rA rA
=+
≤+≤+=
证法 9,由于 ()()
TT
rAA rAA=,
所以 ()()1
TT
rrαααα=≤,
于是
() ( )
()()112
TT
TT
rA r
rr
ααββ
αα ββ
=+
≤+≤+=
)
,
证法 10,令
(,,),(,,
123 123
TT
aaa bbbα β==,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 13
(,,)(,,)
(,,
(,,)
123 123
112233
123
TT
A
aaa bbb
ababab
αα ββ
)
α αα βββ
α βα βα β
γγγ
=+
=+ + +
=
,,
123
γ γγ可以由,α β 线性表示，所以
,,
123
γ γγ线性相关,
即,() 2rA≤
证法 11：,为实对称矩阵,
T
AA= A
由,α β 是两个 3 维向量，若,00α β≠ ≠,
则存在 0γ ≠,使得,.00
TT
α γβγ= =,于是有
()0
TTTT
A,γ γγαα ββγ=+=
即矩阵 不正定，所以A () 2rA≤,
若,α β 中有一个为 0，不妨设 0β =,则
() ( ) () 1
T
rA r rα α=≤≤,
点评,本题主要考查矩阵的秩的概念和性质，矩阵和的秩以及矩阵乘积的秩的不等式．就是证法 1．本题矩阵不满秩，要证明
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 14
秩小于等于 2,只要证明行列式等于零即可，
或者证明以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解,这就产生证法 2,3,4 等,
典型错误,
１,()1
T
r αα =,
（1）自以为 0α ≠ ；
（2）没有证明,
2．设 (,,),(,,)
123 123
TT
aaa bbbα β==,
则
22
1 1 12 12 13 13
22
21 21 2 2 23 23
22
31 31 32 32 3 3
0
a b aa bb aa bb
A aa bb a b aa bb
aa bb aa bb a b
+++
=+ + +
++
=
未加证明,
3．令 (,,),(,,
123 123
TT
aaa bbb)α β= =,
(,,
123
T
xxxx= ),
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 15
()
()(
.
22
11 22 33 11 22 33
22
12
TTTT
xAx x x
ax ax ax bx bx bx
yy
)
ααββ=+
=++ +++
=+
不能说明这是可逆线性替换,
数学一 （21）,数学二 （22）,数学三 （20）,
数学四（20） （本题满分 11 分）
设矩阵
%
% %
2
2
21
2
1
2
nn
a
aa
A
aa
×
=
,现矩阵满足方程A Ax= b，其中
(,,,) "
12
T
n
xxx x=,(1,0,,0)
T
b= ",
（1） 求证 (1)
n
A na=+ ；
（2） a为何值时,方程组有唯一解,求 ；
1
x
（3） a为何值时，方程组有无穷多解，求通解,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 16
（1） 证法 1：用数学归纳法证明
设
% % %
2
2
2
2
21
21
21
21
2
n
a
aa
aa
D
aa
aa
=,
则,
1
2Da=
2
2
2
21
3
2
a
aa
==,
假设小于 时，命题成立，则 n
()
()
2
12
12
2
21
1
nn n
nn
n
DaDaD
ana a n a
na
2
=?
=
=+
根据数学归纳法原理，对任意自然数,n
(1)
n
A na=+,
证法 2：用消元法证明
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 17
% % %
% % %
2
2
2
2
2
2
2
21
21
21
21
2
21
3
01
2
21
21
2
a
aa
aa
A
aa
aa
a
a
aa
aa
aa
=
=
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 18
()
% % %
"
% % %
2
2
21
3
01
2
4
01
3
21
2
21
3
01
2
4
01
3
01
1
1
0
1
n
a
a
a
aa
aa
a
a
a
n
a
n
n
a
n
na
=
==
+
=+
证法 3：用消元法证明
若,则0a = 0A = ；
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 19
设,0a ≠
% % %
% % %
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
242
21
1
2
21
2
2
32
21
1
2
21
2
aa
aa
aa
A
a
aa
aa
aa
a
aa
a
aa
aa
=
=
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 20
% % %
% % %
"
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
363
1
23
21
2
2
32
43
1
23
21
2
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
a
aa
aa
aa
=
=
=
()
()
()
()
"
% % %
"
"
2
2
2
1
2
21
1
2
32
431
23
1
1
23 1
1
23
n
n
n
n
aa
aa
aa
na
na n a
na
nn a
na
na
=
+
+
==+
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 21
证法 4：用递推法证明
设
% % %
2
2
2
2
2
12
21
21
21
21
2
2
n
nn
a
aa
aa
D
aa
aa
aD a D
=
=?
"
11
2
23
2
21
()
()
()
nn n n
nn
n
DaD aD aD
aD aD
aDaD
2
=?
=?
==?
,
又,
1
2Da=
2
2
2
21
3
2
a
aa
==,
有 () " "
1
1
n
nn
DaD a
=,
递推,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 22
,( " "
"
1
12
2
n
nn
DaDa )
=
,
,() " "
2
21
2DaDa n?=?
（1） 式 加 a乘 （ 2） 式再加 "加
2n
a
乘 ()
式，得
2n?
()
1
1
1
nn
n
D aD n a
=?,
所以,()1
n
n
A Dn==+a,
证法 5：用递推法证明
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 23
=
=?
=?
=?
=
=
=
=+
% % %
"
2
2
2
2
2
12
22
23
23
23
34
34
21
22 1
21
21
21
21
2
2
2(2 )
32
43
(1) (2)
(1) 3 (2) 2
(1)
n
nn
nn
nn
nn
nn
n
a
aa
aa
D
aa
aa
aD a D
aaD aD aD
aD aD
aD aD
naDnaD
naana
na
2n
a
证法 6：用拆分法证明
% % %
2
2
2
2
10
010
010
01
0
aa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
++
+++
+++
=
0+ ++
+ +
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 24
一旦取了第 2 列就不能再取第 1 列，因此，
不为 0 的行列式只有 1n+ 个,他们是全取第
1 列；最后 1 列取第 2 列；最后 2 列取第 2
列； "；全取第 2 列,
%
%
% %
%
% % %
2
2
2
2
1
1
1
1
n
a
a
a
a
aa
aa
aa
aaa
a
aaa
==
,
其中每一个都是,所以
n
a
()1
n
A na=+,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 25
（2） 由（ 1）,当 0a ≠ 时,0A ≠,该方程组有唯一解．由克拉默法则,
() ()
n
n
n
n
D na n
x
Dnana
== =
++
1
1
1
11
,
（3） 由（ 2）,当 0a = 时,该方程组有无穷多解．方程组的增广矩阵为
"
"
"
" " " " " "
"
"
010 01
001 00
000 00
000 10
000 00
特解为,(,,,,) "010 0
T
η =,
导出组的基础解系为,(,,,,) "100 0
T
ξ =
该方程组的通解为,xkη ξ= +,其中 k为任意常数,
点评,这是三对角行列式,典型的计算方法
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 26
是用递推法即方法 3，由于这是证明题，结论已经给出,就可以用数学归纳法证明,又由于本题的特殊性,用一般的消元法就可以计算和证明,
典型错误,
数学二(23),数学三（21）,数学四（21）
(本题满分 11 分)
设 为 3 阶矩阵，A,
12
α α 为 的分别属于特征值－1,1 特征向量，向量
A
3
α 满足
323
Aα αα=+,
证明（1）,,
123
α αα线性无关；
（2）令 (,,
123
P )α αα=,求
1
PAP
,
证法 1,（1）设
11 22 33
0kkkα αα++= (1.1)
由题设,
1122
A Aα ααα=? =,
等式（1.1）两端左乘矩阵,A
11 22 33
0kA kA kAα αα++=,
()
11 22 3 2 3
0kkkα ααα?++ +=,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 27
即
()
11 23233
0kkkkα αα?++ + = (1.2)
（1.1）式 （1.2）式,?
11 32
20kkα α?=,
由于,
12
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
于是,从而有
13
0kk==
2
0k =,
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 2,用 乘,AE?
设
11 22 33
0kkkα αα++= (1.3)
由题设,
1122
A Aα ααα=? =,
323
Aα αα=+,
()
11
2A E α α?=?,()
2
0A E α? =,
()
32
A E α α?=,
用 左乘（1.3）式 AE?
11 32
20kkα α?+=
2
,
由于,
1
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
于是,从而有
13
0kk==
2
0k =,
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 3,用 乘,
2
A
设
11 22 33
0kkkα αα++= (1.4)
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 28
由题设,
1122
A Aα ααα=? =,
323
Aα αα=+,
2
11
A α α=,
2
22
A α α=,
2
32
2A
3
α αα= +,
用 左乘（1.4）式，得
2
A
()
11 2 3 2 33
20kkkkα αα++ + = (1.5)
（1.4）式-（1.5）式，得
32
20k α?=,
2
α 是特征向量，
2
0α ≠,于是
3
0k =,
代入（1.4）式，得
11 22
0kkα α+=,
由于,
12
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
于是,
12
0kk==
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 4,反证法,
（1） 由 于,
12
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
假设,,
123
α αα线性相关，则
3
α 可由,
12
α α 线性表示，设
3112
kk
2
α αα=+,
则
31122 1122
A kA kA k kα ααα=+=?+α
3
,
由题设
32
Aα αα=+，有
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 29
11 22 2 3 2 11 22
kk kkα αααα α α?+ =+=++，
于是
11 2
20kα α+=,
与,
12
α α 线性无关矛盾,
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 5,反证法,
假设,,
123
α αα线性相关,存在不全为 0 的 常数,使得,,
12
kkk
3
11 22 33
0kkkα αα+ +=,(1.6)
由于,
12
α α 是不同特征值的特征向量，所以
,
12
α α 线性无关，于是
3
0k ≠,
用 左乘等式两端，得 A
()
11 22 3 2 3
0kkkα ααα?++ += (1.7)
（1.6）式—（1.7）式，得
11 32
20kkα α? =
由,得到
3
0k ≠,
12
α α 线性相关，矛盾,
（２）由题设,
(,,)(,,)
123 123
100
011
001
A ααα ααα
=
,
由（１）,,
123
α αα线性无关，矩阵 可逆，P
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 30
因此，有
1
100
011
001
PAP
=
,
点评,这是特征值和特征向量以及线性相关的综合题,主要考查点是线性相关的概念及性质以及有关线性相关命题的证明,也可以用反证法,证明过程要用到不同特征值的特征向量线性无关这个性质,
本题的矩阵是不可对角化的,千万不要朝这上想,
典型错误,
1,证法 1 中，比较等式（1）和（2）,
,
1122
kkkk=? = +
3
k,
只有在向量组线性无关的前提下可以比较，
这恰恰是要证明的,
2．第 1 问中,
(,,)(,,)
123 123
100
011
001
A ααα ααα
=
,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 31
由于
1
11 10
1
=?≠
所以，
12
,,
3
α αα线性无关,这是没有根据的．
3．第 2 问中，以为矩阵可对角化,
1
100
010
001
PAP
=
4．第 2 问中，没有说明矩阵 可逆,P
2008 年全国硕士研究生入学统一考试试题
（I）选择题,
数学一（5）,数学二( 7)，数学三（5）,数学四（5）
设 为 n阶 非 零 矩 阵,A E为 n阶单位矩阵,若
3
0A =,则（ ）
(A) E A? 不可逆,E A+ 不可逆,
(B) E A? 不可逆,E A+ 可逆,
(C) E A? 可逆,E A+ 可逆,
(D) E A? 可逆,E A+ 不可逆,
答,（C）
解法一,
33
22
33
22
()( )
()( )
EAE
E AE A A E
EAE
E AE A A E
=
++=
+=
+?+=
所以 E A? 可逆,E A+ 可逆,
解法二,
由于 是幂零矩阵，只有０是 的特征值，A A
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 2
1和 都不是 的特征值，于是?1 A
,00EA EA?≠ +≠，所以 E A? 可逆，
E A+ 可逆,
数学一（6）
设 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则 的正特征值个数为 （ ）
A
(,,) 1
x
xyzA y
z
=
A
(A) 0,(B) 1,
(C) 2,(D) 3,
答,（B）
解：这是双叶双曲面，其标准方程是
222
222
1
zxy
cab
=,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 3
数学二（8）,数学三（6）,数学四（6）
设
12
21
A
=
,则在实数域上与 合同矩阵为（ ）
A
(A) (B)
21
12
21
12
(C) (D)
21
12
12
21
答,（D）
解法 1,A的第 2 行 乘?1，第 2 列 乘,即?1
令,则P
=
10
01
T
P
=
10
01
，且
．其中 是可逆矩阵,
T
PAP
=
12
21
P
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 4
解法 2,的特征值为A,13?,选项(A) 的特征值为 ；选项(B)的特征值为 ；,13,13
选项( C)的特征值为 ；选项( D)的特征值为,
,13
,13?
解法 3,
A是不定的矩阵，选项中( A)的矩阵是负定的,(B)和(C)是正定的,只有(D)是不定的．
（II）填空题
数学一（13）,数学二（14）
设 为 2 阶矩阵，A,
12
α α 为线性无关的 2 维列向量，
1
0Aα =,
21
2
2
Aα αα= +,则 的非零特征值为
A
1,
解：由题设，,(,)(,)
12 12
02
01
A αα αα
=
A与矩阵 相似,的特征值是
,
02
01
02
01
,01
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 5
数学二（13）矩阵 的特征值是A λ，2,3,其中 λ未知，且 A 24=,则 λ＝ 4,
解,23 24λ××=,
数学三 ( 13) 设 3 阶矩阵 的特征值为
，
A
,,122
1
4AE
= 3,
解,的特征值为,A,,122
1
A
的特征值为
,,
11
1
22
,的特征值为,
1
4A
E,,311
所以
1
431AE
=××=3,
数学四 （13） 设 3 阶矩阵 的特征值互不相同，若行列式
A
0A =,则 的秩为A 2,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 6
解：由 0A =,有特征值为 0，又 的特征值互不相同,另外两个特征值都非零,且和对角矩阵相似,对角矩阵的元素为 的特征值,的秩等于对角矩阵的秩,故 的秩为 2,
A A
A A
A A
（III）解答题
数学一（20） （本题满分 11 分）
设
T
A
T
α β=+，其中
T
α 为 α的转置，
T
β 为 β 的转置,
I．证 ； () 2rA≤
II．若,α β 线性相关，则 () 2rA<,
证法１,I,()()1
T
rrα α≤ ≤,
同理,()1
T
r ββ ≤,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 7
() ( )
()(
112
TT
TT
rA r
rr)
ααββ
α β
=+
≤+
≤+=
,
II．若,α β 线性相关，不妨设 kβ α=,
()
()
2T
T
() ( )
((
(1 k )
12
TT
TT
rA r
rkk
r
r
αα ββ
αα α α
αα
αα
=+
=+
=+
=≤<
)
,
,
证法２,
I,
()
T
TT T
(),0
0
A
α
αα ββ α β β
=+=
令
()
,,0B α β=,则
T
ABB=,
2
0.
T
ABB B===
.所以,() 2rA≤
证法 3,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 8
I,
()
T
TT
T
(),A
α
αα ββ α β
β
=+=
,
()
(),2rA rα β≤≤,
II．若,α β 线性相关，不妨设 kβ α=,
()
T
TT
T
(),Ak
k
α
αα ββ α α
α
=+=
,
( )
(),1rA r k 2α α≤≤<
,
,
证法 4,
I,
()
T
TT
T
(),A
α
αα ββ α β
β
=+=
由于线性方程组
T
T
0x
α
β
=
的方程个数 2
小于未知数的个数 3,
所以方程组
T
T
0x
α
β
=
有非零解,
从而线性方程组
()
T
T
,0Ax x
α
αβ
β
= =
有非零解,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 9
因此，系数矩阵 不满秩,A
即,() 2rA≤
证法 5,I．设
(,,),(,,)
123 123
TT
aaa bbbα β==,
则
TT
()
(,,)
22
1 1 12 12 13 13
22
21 21 2 2 23 23
22
31 31 32 32 3 3
112233
A
a b aa bb aa bb
aa bb a b aa bb
aa bb aa bb a b
ababab
ααββ
αβαβαβ
=+
+++
=+ + +
++
=+ + +
||,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
.
123 123
12 3 123
123 123
123 123
0
Aaaa aab
aba abb
baa bab
bba bbb
α αα ααβ
α βα αββ
β αα βαβ
β βα βββ
=+
++
++
=
所以,,() 2rA≤
证法 6,I．若,α β 中有一个为 0，不妨设
0β =,则
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 10
() ( ) () 1
T
rA r r 2ααα=≤≤<
0
,
设,0α β≠≠，必存在 0γ ≠,使得
,00
TT
α γβγ==,
于 是,
()0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
即齐次线性方程组 0Ax = 有非零解，所以
,() 2rA≤
II．若,α β 线性相关，不妨设 kβ α=,
显然存在线性无关的两个向量,
12
γ γ,有
,
12
00
TT
α γαγ==,
也有,
12
00
TT
β γβγ==,
于是 ()
11
0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
()
22
0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
即 0Ax = 有两个线性无关的解，所以
,() 2rA<
证法 7,I．若,α β 中有一个为 0，不妨设
0β =,则
() ( ) () 1
T
rA r r 2ααα=≤≤<,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 11
设,00α β≠≠,
设齐次线性方程组 0
T
xα = 的基础解系为
,
12
ξ ξ,
齐次线性方程组 0
T
xβ = 的基础解系为
,
12
η η,
由于４个３维向量线性相关,存在不全为零的常数 使得,,,
121
kkll
2
11 22 11 22
0kkllξ ξηη+++=,
令
11 22 11 22
kk llγ ξξ η=+=η，显然
0γ ≠,且
()0
TT
Aγ αα ββ γ=+ =,
即齐次线性方程组 0Ax = 有非零解，所以
,() 2rA≤
证法 8,令
2
11213
2
121 2
2
31 32 3
aaaaa
3
A aa a aa
aa aa a
=
,
若,则
1
0a =
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 12
2
1223 2
2
32 3
00 0 000
00
Aaa a
aa a
3
0
a
→→
，
若,则
1
0a ≠
123 12
2
121 23
2
31 32 3
000
000
aaa aaa
Aaaaa
aa aa a
→→
3
.
，
总之,,()
1
1rA ≤
同理，,()
2
1rA ≤
于是
() ( )
() ()
12
12
112
rA rA A
rA rA
=+
≤+≤+=
证法 9,由于 ()()
TT
rAA rAA=,
所以 ()()1
TT
rrαααα=≤,
于是
() ( )
()()112
TT
TT
rA r
rr
ααββ
αα ββ
=+
≤+≤+=
)
,
证法 10,令
(,,),(,,
123 123
TT
aaa bbbα β==,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 13
(,,)(,,)
(,,
(,,)
123 123
112233
123
TT
A
aaa bbb
ababab
αα ββ
)
α αα βββ
α βα βα β
γγγ
=+
=+ + +
=
,,
123
γ γγ可以由,α β 线性表示，所以
,,
123
γ γγ线性相关,
即,() 2rA≤
证法 11：,为实对称矩阵,
T
AA= A
由,α β 是两个 3 维向量，若,00α β≠ ≠,
则存在 0γ ≠,使得,.00
TT
α γβγ= =,于是有
()0
TTTT
A,γ γγαα ββγ=+=
即矩阵 不正定，所以A () 2rA≤,
若,α β 中有一个为 0，不妨设 0β =,则
() ( ) () 1
T
rA r rα α=≤≤,
点评,本题主要考查矩阵的秩的概念和性质，矩阵和的秩以及矩阵乘积的秩的不等式．就是证法 1．本题矩阵不满秩，要证明
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 14
秩小于等于 2,只要证明行列式等于零即可，
或者证明以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解,这就产生证法 2,3,4 等,
典型错误,
１,()1
T
r αα =,
（1）自以为 0α ≠ ；
（2）没有证明,
2．设 (,,),(,,)
123 123
TT
aaa bbbα β==,
则
22
1 1 12 12 13 13
22
21 21 2 2 23 23
22
31 31 32 32 3 3
0
a b aa bb aa bb
A aa bb a b aa bb
aa bb aa bb a b
+++
=+ + +
++
=
未加证明,
3．令 (,,),(,,
123 123
TT
aaa bbb)α β= =,
(,,
123
T
xxxx= ),
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 15
()
()(
.
22
11 22 33 11 22 33
22
12
TTTT
xAx x x
ax ax ax bx bx bx
yy
)
ααββ=+
=++ +++
=+
不能说明这是可逆线性替换,
数学一 （21）,数学二 （22）,数学三 （20）,
数学四（20） （本题满分 11 分）
设矩阵
%
% %
2
2
21
2
1
2
nn
a
aa
A
aa
×
=
,现矩阵满足方程A Ax= b，其中
(,,,) "
12
T
n
xxx x=,(1,0,,0)
T
b= ",
（1） 求证 (1)
n
A na=+ ；
（2） a为何值时,方程组有唯一解,求 ；
1
x
（3） a为何值时，方程组有无穷多解，求通解,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 16
（1） 证法 1：用数学归纳法证明
设
% % %
2
2
2
2
21
21
21
21
2
n
a
aa
aa
D
aa
aa
=,
则,
1
2Da=
2
2
2
21
3
2
a
aa
==,
假设小于 时，命题成立，则 n
()
()
2
12
12
2
21
1
nn n
nn
n
DaDaD
ana a n a
na
2
=?
=
=+
根据数学归纳法原理，对任意自然数,n
(1)
n
A na=+,
证法 2：用消元法证明
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 17
% % %
% % %
2
2
2
2
2
2
2
21
21
21
21
2
21
3
01
2
21
21
2
a
aa
aa
A
aa
aa
a
a
aa
aa
aa
=
=
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 18
()
% % %
"
% % %
2
2
21
3
01
2
4
01
3
21
2
21
3
01
2
4
01
3
01
1
1
0
1
n
a
a
a
aa
aa
a
a
a
n
a
n
n
a
n
na
=
==
+
=+
证法 3：用消元法证明
若,则0a = 0A = ；
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 19
设,0a ≠
% % %
% % %
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
242
21
1
2
21
2
2
32
21
1
2
21
2
aa
aa
aa
A
a
aa
aa
aa
a
aa
a
aa
aa
=
=
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 20
% % %
% % %
"
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
363
1
23
21
2
2
32
43
1
23
21
2
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
a
aa
aa
aa
=
=
=
()
()
()
()
"
% % %
"
"
2
2
2
1
2
21
1
2
32
431
23
1
1
23 1
1
23
n
n
n
n
aa
aa
aa
na
na n a
na
nn a
na
na
=
+
+
==+
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 21
证法 4：用递推法证明
设
% % %
2
2
2
2
2
12
21
21
21
21
2
2
n
nn
a
aa
aa
D
aa
aa
aD a D
=
=?
"
11
2
23
2
21
()
()
()
nn n n
nn
n
DaD aD aD
aD aD
aDaD
2
=?
=?
==?
,
又,
1
2Da=
2
2
2
21
3
2
a
aa
==,
有 () " "
1
1
n
nn
DaD a
=,
递推,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 22
,( " "
"
1
12
2
n
nn
DaDa )
=
,
,() " "
2
21
2DaDa n?=?
（1） 式 加 a乘 （ 2） 式再加 "加
2n
a
乘 ()
式，得
2n?
()
1
1
1
nn
n
D aD n a
=?,
所以,()1
n
n
A Dn==+a,
证法 5：用递推法证明
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 23
=
=?
=?
=?
=
=
=
=+
% % %
"
2
2
2
2
2
12
22
23
23
23
34
34
21
22 1
21
21
21
21
2
2
2(2 )
32
43
(1) (2)
(1) 3 (2) 2
(1)
n
nn
nn
nn
nn
nn
n
a
aa
aa
D
aa
aa
aD a D
aaD aD aD
aD aD
aD aD
naDnaD
naana
na
2n
a
证法 6：用拆分法证明
% % %
2
2
2
2
10
010
010
01
0
aa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
++
+++
+++
=
0+ ++
+ +
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 24
一旦取了第 2 列就不能再取第 1 列，因此，
不为 0 的行列式只有 1n+ 个,他们是全取第
1 列；最后 1 列取第 2 列；最后 2 列取第 2
列； "；全取第 2 列,
%
%
% %
%
% % %
2
2
2
2
1
1
1
1
n
a
a
a
a
aa
aa
aa
aaa
a
aaa
==
,
其中每一个都是,所以
n
a
()1
n
A na=+,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 25
（2） 由（ 1）,当 0a ≠ 时,0A ≠,该方程组有唯一解．由克拉默法则,
() ()
n
n
n
n
D na n
x
Dnana
== =
++
1
1
1
11
,
（3） 由（ 2）,当 0a = 时,该方程组有无穷多解．方程组的增广矩阵为
"
"
"
" " " " " "
"
"
010 01
001 00
000 00
000 10
000 00
特解为,(,,,,) "010 0
T
η =,
导出组的基础解系为,(,,,,) "100 0
T
ξ =
该方程组的通解为,xkη ξ= +,其中 k为任意常数,
点评,这是三对角行列式,典型的计算方法
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 26
是用递推法即方法 3，由于这是证明题，结论已经给出,就可以用数学归纳法证明,又由于本题的特殊性,用一般的消元法就可以计算和证明,
典型错误,
数学二(23),数学三（21）,数学四（21）
(本题满分 11 分)
设 为 3 阶矩阵，A,
12
α α 为 的分别属于特征值－1,1 特征向量，向量
A
3
α 满足
323
Aα αα=+,
证明（1）,,
123
α αα线性无关；
（2）令 (,,
123
P )α αα=,求
1
PAP
,
证法 1,（1）设
11 22 33
0kkkα αα++= (1.1)
由题设,
1122
A Aα ααα=? =,
等式（1.1）两端左乘矩阵,A
11 22 33
0kA kA kAα αα++=,
()
11 22 3 2 3
0kkkα ααα?++ +=,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 27
即
()
11 23233
0kkkkα αα?++ + = (1.2)
（1.1）式 （1.2）式,?
11 32
20kkα α?=,
由于,
12
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
于是,从而有
13
0kk==
2
0k =,
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 2,用 乘,AE?
设
11 22 33
0kkkα αα++= (1.3)
由题设,
1122
A Aα ααα=? =,
323
Aα αα=+,
()
11
2A E α α?=?,()
2
0A E α? =,
()
32
A E α α?=,
用 左乘（1.3）式 AE?
11 32
20kkα α?+=
2
,
由于,
1
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
于是,从而有
13
0kk==
2
0k =,
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 3,用 乘,
2
A
设
11 22 33
0kkkα αα++= (1.4)
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 28
由题设,
1122
A Aα ααα=? =,
323
Aα αα=+,
2
11
A α α=,
2
22
A α α=,
2
32
2A
3
α αα= +,
用 左乘（1.4）式，得
2
A
()
11 2 3 2 33
20kkkkα αα++ + = (1.5)
（1.4）式-（1.5）式，得
32
20k α?=,
2
α 是特征向量，
2
0α ≠,于是
3
0k =,
代入（1.4）式，得
11 22
0kkα α+=,
由于,
12
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
于是,
12
0kk==
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 4,反证法,
（1） 由 于,
12
α α 是 的属于不同特征值的特征向量，
A
,
12
α α 线性无关,
假设,,
123
α αα线性相关，则
3
α 可由,
12
α α 线性表示，设
3112
kk
2
α αα=+,
则
31122 1122
A kA kA k kα ααα=+=?+α
3
,
由题设
32
Aα αα=+，有
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 29
11 22 2 3 2 11 22
kk kkα αααα α α?+ =+=++，
于是
11 2
20kα α+=,
与,
12
α α 线性无关矛盾,
所以，,,
123
α αα线性无关,
证法 5,反证法,
假设,,
123
α αα线性相关,存在不全为 0 的 常数,使得,,
12
kkk
3
11 22 33
0kkkα αα+ +=,(1.6)
由于,
12
α α 是不同特征值的特征向量，所以
,
12
α α 线性无关，于是
3
0k ≠,
用 左乘等式两端，得 A
()
11 22 3 2 3
0kkkα ααα?++ += (1.7)
（1.6）式—（1.7）式，得
11 32
20kkα α? =
由,得到
3
0k ≠,
12
α α 线性相关，矛盾,
（２）由题设,
(,,)(,,)
123 123
100
011
001
A ααα ααα
=
,
由（１）,,
123
α αα线性无关，矩阵 可逆，P
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 30
因此，有
1
100
011
001
PAP
=
,
点评,这是特征值和特征向量以及线性相关的综合题,主要考查点是线性相关的概念及性质以及有关线性相关命题的证明,也可以用反证法,证明过程要用到不同特征值的特征向量线性无关这个性质,
本题的矩阵是不可对角化的,千万不要朝这上想,
典型错误,
1,证法 1 中，比较等式（1）和（2）,
,
1122
kkkk=? = +
3
k,
只有在向量组线性无关的前提下可以比较，
这恰恰是要证明的,
2．第 1 问中,
(,,)(,,)
123 123
100
011
001
A ααα ααα
=
,
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 31
由于
1
11 10
1
=?≠
所以，
12
,,
3
α αα线性无关,这是没有根据的．
3．第 2 问中，以为矩阵可对角化,
1
100
010
001
PAP
=
4．第 2 问中，没有说明矩阵 可逆,P
