第 2章 基本测量理论与测量数据处理第 2章
2.1 测量标准
2.2 测量方法
2.3 测量误差
2.4 测量误差的合成与分配
2.5 测量数据处理思考题 2
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.1 测量标准
2.1.1 标准的定义和分类测量标准包括以下几种：
(1) 参考标准 。
(2) 传递标准或工作标准 。
(3) 人为标准 。
(4) 内部标准 。
(5) 工业标准 。
(6) 标准参考部件 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.1.2
国际单位制的 SI基本单位如下：
（ 1） 米 （ m,长度 ） 。
（ 2） 千克 （ kg,质量 ） 。
（ 3） 秒 （ s,时间 ） 。
（ 4） 安培 （ A,电流 ） 。
（ 5） 开尔文 （ K,温度 ） 。
（ 6） 摩尔 （ mol,物质的量 ） 。
（ 7） 坎德拉（ cd，光强度）。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理以下是最常用的国际单位制的导出量：
频率,基本单位为赫兹 （ Hz） ;
功率,基本单位为瓦特 （ W） ;
电荷量,基本单位为库仑 （ C） ;
电位,基本单位为伏特 （ V） ;
电容,基本单位为法拉 （ F） ;
电阻,基本单位为欧姆 （ Ω） ;
电导,基本单位为西门子 （ S） ;
磁通量,基本单位为韦伯 （ Wb） ;
磁通量密度,基本单位为特斯拉 （ T） ;
电感,基本单位为亨利 （ H） 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.2 测量方法
2.2.1 直接测量直接测量是一个直接的比较过程,所测到的量值就是它最终所需要得到的被测量的值 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.2.2 间接测量当测量对象不便于测量,而与它有着确定的函数
,我们可对后者进行直接测量,并进行数学推演,得到原始测量对象的相应量值,这样的测量方法即为间接测量 。 例如要在不断开电路的情况下,测定图 2.1中流过负载的电流,负载电阻 RL已知,我们只要用电压表 V测得 RL
U,即可由公式 I=U/ RL算出负载中的电流 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.1 间接测量法测电路
＋
－
U
R
V R
L
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.2.3 调零测量调零测量法的原理是,将一个校对好的基准源与未知的被测量进行比较,并调节其中之一,使二量值的差为零,这样,从基准源的读数即可推算出被测量的值 。 以图 2.2为例,U为标准电压源,R1和 R2是标准分压电阻,A为电流表 。 测量时,通过调节 R1和 R2的比例,使电流表指示为零,这时
21
2
RR
RUU
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.2 调零测量法测电压
＋
－
U
待测电压源
＋
－
R
1
R
2
A
U
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理如图 2.3所示采用间接测量法,流过电流表的电流为
IA,则被测电压为 Ux=IAR,测量结果的好坏和电流表的技术等级有着直接的联系 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.3 间接测量法测电压
A
待测电压源
＋
－
I
A
R
U
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3
2.3.1 测量误差的概念与常用测量术语经常要用到以下术语：
（ 1） 真值与示值 。
（ 2） 测量误差 。
（ 3） 等精度测量和非等精度测量 。
（ 4） 测量准确度 。
（ 5） 测量精密度 。
（ 6） 测量不确定度 。
（ 7） 测量正确度 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理测量的准确度、精密度、正确度的含义可由图 2.4
(a),(b),(c) 来表示。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.4
(a) 正确度高、精密度低； (b) 正确度低、精密度高；
(c)
( a ) ( b ) ( c )
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3.2 误差的定义与表示方法
1,绝对误差设测量值为 X,被测量真值为 A0,则绝对误差 ΔX可
ΔX=X-A0 （ 2-1）
A通常为高一等级标准器具的示值,也可以是多次测量的最佳估值 。
ΔX=X-A （ 2-2）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理如果测量误差是统计独立且不随时间变化的,则可以用高一等级标准检定出来,在实际测量时对测量结果加以修正 。
修正值一般用 C表示：
C=-ΔX=A-X （ 2-3）
因而有
A=C+X （ 2-4)
2.
相对误差有以下几种：
（ 1） 实际相对误差 。 它是用绝对误差 ΔX与被测量的实际值 A的百分比值来表示的,
（ 2-5）
%100 AXA
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
（ 2） 标称相对误差 。 它是用绝对误差 ΔX与仪器的测量值 X的百分比值表示的,
（ 2-6）
（ 3） 满度相对误差,也即引用误差 。 定义为绝对误差与测量仪器满度值的百分比：
（ 2-7）
式中 γm为满度相对误差,ΔX为绝对误差,Xm为仪器的满度值 。
如果已知仪器的满度相对误差 γm,则可以方便地推算出该仪器最大的绝对误差,
ΔXm ≤γm× Xm
%100 AXx
%100 AXm
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3.3 测量误差的来源一般的测量过程都是条件受限的测量,必然存在不同程度的误差 。 测量误差的主要来源有以下几个方面：
（ 1） 仪器误差 。
（ 2） 使用误差 。
（ 3） 人身误差 。
（ 4） 方法误差 。
（ 5） 环境误差。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3.4 测量误差的分类和处理虽然多种测量误差产生的原因不尽相同,但按误差的性质和特点,
1.
图 2.5描述了几种不同系统误差的变化规律：直线 a
属于恒定系差；直线 b属于变值系差中的累进性系差,
而且是误差递增的； 直线 c表示周期性系差,在整个测量过程中,系差值成周期性变化； 曲线 d属于按复杂规律变化的系差 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.5 系统误差特征
O
a
b
c
d
i
第 2章 基本测量理论与测量数据处理产生系统误差的原因主要有以下几种：
(1) 测量仪器的局限性 。
(2) 测量时环境条件 (如温度,湿度及电源电压 )与仪器使用要求不一致 。
(3) 采用近似的测量方法或近似的计算公式 。
(4) 测量人员读取仪器示值的偏差。
2.
产生随机误差的主要原因有：
(1) 测量仪器产生噪声,零部件配合不良等 。
(2) 温度及电源电压的无规则运动,电磁干扰等 。
(3) 测量人员感觉器官的无规律变化产生的读数偏差。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理随机误差的这些特性表明其服从统计规律,用数理统计的方法来表征,其服从正态分布,如图 2.6和图
2.7所示 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.6 测量值 xi的正态分布曲线
( x )
O E
x
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.7 误差 δi的正态分布曲线
O
( )
第 2章 基本测量理论与测量数据处理式中 Ex称为数学期望，其定义为
σ
2
2
2
)(
2
1)(?
xEx
ex
2
2
2
2
1)(
e
n
i
i
n
i n
xin nExn
1
2
1
22 1lim)(1lim
（ 2-8）
（ 2-10）
)1(lim
1
n
i
in xnEx
（ 2-9）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理在工程中实际上当 n足够大时，定义：
n
i
i
n
i
i
Xx
n
x
n
X
1
2
1
)(
1
1
1
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
3.
粗大误差是指明显超出规定条件下能预期的误差 。
产生粗大误差的原因主要有：
(1) 测量方法不当或错误 。
(2) 测量操作疏忽和失误 。
(3) 测量条件的变更 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.4
2.4.1 测量误差的合成设最终测量结果为 y,各分项测量值为 x1,x2,…,xn,
且满足函数关系
y=f(x1,x2,…,xn)
并设各 xi间彼此独立,xi的绝对误差为 Δxi,y的绝对误差为 Δy,则 y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δ xn ）
y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δxn） (2-12)
第 2章 基本测量理论与测量数据处理用高等数学的级数展开方法展开上式，并舍去高次项，
以保守的办法计算,则为式中,Δy为系统总的合成误差,
n
n
xxfxxfxxfy,..2
1
1
1
n
i
i
i
xxfy
1
)(
n
i
i
i
y y
x
x
y
y
y
1
（ 2-13）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理以保守的办法计算,
例 2.1 电阻 R1=1 kΩ,R2=5 kΩ,相对误差均为 5%，
求串联后总的相对误差 。
解 串联后,R= R1 + R2。 由式 （ 2-13） 得串联后
n
i
i
i
y y
x
x
y
1
)(
（ 2-14）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
%5
%5
%)5%5(
1
)(
1
)(
21
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
21
3
21
1
RR
RR
RR
RR
R
R
R
R
R
R
RR
RR
R
RR
R
R
第 2章 基本测量理论与测量数据处理例 2.2已知电阻上电压及电流的测量相对误差分别为 γV=± 3%,γi=± 2%,求功率 P=UI的相对误差 。
解 由式（ 2-14
%5
%)2%3()(
)(
uI
I
uI
u
uI
Iu
uI
uI
P
P
p
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.4.2 测量误差的分配
1,等准确度分配当总误差中各分项所起作用相近时,则给它们分配以相同的误差 。 若总误差为 Δy,分项误差为 Δxi,
n
i i
i
x
f
y
x
1
(i=1,2,…,m)
第 2章 基本测量理论与测量数据处理例 2.3 有一工作在 220 V交流电压下的变压器,其工作电路如图 2.8所示,已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比为
W12∶ W34∶ W45=1∶ 2∶ 2,用最大量程为 500 V的交流电压表测量变压器总输出电压 U,要求相对误差小于 ± 2%,问应该用哪个级别的交流电压表？
解 由于变压器次级线圈的两组电压 U1,U2为 440 V，
总电压 U为 880 V,故应分别测量 U1,U2,再用求和的方法求得总电压 U= U1 + U2。 已知总的相对误差为 ΔU=U×
（ ± 2%） =± 17.6 V,由于 U1,U2性质完全等同,根据等准确度分配原则分配误差,
VUUUU 8.8221
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
1
2
3
5
4
U
1
U
2
图 2.8 例 2.3图第 2章 基本测量理论与测量数据处理由此推得
2.
等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上尽管有一定差异,但它们对误差总和的作用和影响是相同的,
%66.1
5 0 0
8.8
m
m U
U
m
m
xxfxxfxxf,..2
1
1
1
第 2章 基本测量理论与测量数据处理此时，分配公式为例 2.4 用电压表与电流表测量电阻上消耗的功率,
已测出电流为 100 mA,电压为 3 V,算出功率为 300
mW,若要求功率测量的系统误差小于 5%,则电压和电流的测量误差应在多大范围?
解 按题意,功率测量允许的系统误差为
ΔP= 300 mW× 5%=15 mW
j
j xf
myx
/
/
第 2章 基本测量理论与测量数据处理又 ΔP=ΔIu+IΔu=ΔP1+ΔP2
根据等作用分配,有则
3.
mA
u
P
I
P
PP
5.2
32
152/
2
21
mVmAIPu 750 75.01 002 152/
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.4.3 最佳测量方案选择例 2.5 用电阻表,电压表,电流表的组合来测量电阻消耗的功率,已知电阻的阻值 R,电阻上的电压 V，
流过电阻的电流 I,其相对误差分别为 γR=± 2%，
γV=± 2%,γI =± 3%,试确定最佳测量方案 。
解 有三种测量方法,即 P=UI,P=U2/R,P=I2R，
现分别计算每种方案的最大测量误差 。
(1) P=UI
%5%)3%2()(
)(
I
I
U
U
P
I
I
P
P
U
U
P
P
P
P
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
（ 2） P=U2/R：
（ 3） P=I2R
%6%)2%22(
)2(2
R
R
U
U
R
R
U
U
P
P
P
%8%)2%32(
)2()
2
(
2
2
2
R
R
I
I
RI
RI
RI
IIR
P
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.5 测量数据处理
2.5.1 有效数字及数字的舍入规则
1,有效数字
2,数字的舍入规则第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.5.2 等精度测量结果的处理对等精度测量得到的测试数据,通常按下述步骤进行处理：
（ 1） 利用修正值等方法对测得值进行修正,将已减弱恒值系统误差影响的各数据 Xi依次列成表格 。
（ 2） 。
（ 3） 列出残差 。
（ 4） 列出 U2i,。
n
i
iXnX
1
1
XXU ii
n
i
iUn
1
2
1
1?
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
（ 5） 按 |Ui|>3σ的原则,检查并剔除粗大误差 。
（ 6） 判断有无系统误差,如有,可进行修正或重新测量 。
（ 7） 。
（ 8） 写出测量结果的表达式，即 。
2.5.3 实验曲线的绘制
1,直线拟合假定实验数据的最佳拟合直线方程为,Y=AX+B，
A,B为常数,分别表示直线的斜率与截距 。
nx /
nXX?3
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i BAXyYyUBA
1
2
1
2
1
2 )()(),(?
第 2章 基本测量理论与测量数据处理根据最小二乘原理,满足最佳拟合,也即 Ψ(A,B) 为最小的条件为：
最终有
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xBxAyx
nBxAy
11
2
1
11
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
xxn
yxyxn
A
1
2
1
2
1 1 1
)(
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2,曲线拟合根据最小二乘原理,可得
m
i
n
j
kj
ij
n
i
k
ii xaxy
1 01
)(
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
i
n
i
iiii
xxn
xyxxy
B
1
2
1
2
1 1 11
2
)(
第 2章 基本测量理论与测量数据处理思考题 2
1,测量误差的来源有哪些？
2,某数字电压表显示最大数值为 19 999,最小一挡量程为 20 mV,问该电压表的最高分辨率是多少？
3,被测电压为 50 V,用 0.5级量程为 0~300 V和 1.0
级量程为 0~100 V的两只电压表去测量,哪一个测量结果更准确？
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
4,测量上限为 500 V的电压表,当实际值为 445 V
时示值为 450 V,求该示值的绝对误差,相对误差,引用误差和修正值 。
5,伏安法测电阻的两种电路如图 2.9所示,图中 A
为电流表,内阻为 RA,V为电压表,内阻为 RV,求：
(1) 两种电路中,由于 RA与 RV的影响,Rx的绝对误差和相对误差各为多少？
(2) 比较两种测量结果,指出两种电路各自的适用范围 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.9 题 5图
A
VR
x
( a )
A
V R
x
( b )
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
6,按照舍入法则,对下列数据进行处理,使其各保留三位有效数字：
6.3724,7.9245,5.2850,0.104 125,8935
7,按照有效数字的运算法则,计算下列结果：
(1) 1.1723× 3.2
(2) 1.1723× 3.20
(3) 50.313× 4.52
(4) 55.4× 3.7
(5) 66.09+4.853
(6) 90.4-1.353
2.1 测量标准
2.2 测量方法
2.3 测量误差
2.4 测量误差的合成与分配
2.5 测量数据处理思考题 2
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.1 测量标准
2.1.1 标准的定义和分类测量标准包括以下几种：
(1) 参考标准 。
(2) 传递标准或工作标准 。
(3) 人为标准 。
(4) 内部标准 。
(5) 工业标准 。
(6) 标准参考部件 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.1.2
国际单位制的 SI基本单位如下：
（ 1） 米 （ m,长度 ） 。
（ 2） 千克 （ kg,质量 ） 。
（ 3） 秒 （ s,时间 ） 。
（ 4） 安培 （ A,电流 ） 。
（ 5） 开尔文 （ K,温度 ） 。
（ 6） 摩尔 （ mol,物质的量 ） 。
（ 7） 坎德拉（ cd，光强度）。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理以下是最常用的国际单位制的导出量：
频率,基本单位为赫兹 （ Hz） ;
功率,基本单位为瓦特 （ W） ;
电荷量,基本单位为库仑 （ C） ;
电位,基本单位为伏特 （ V） ;
电容,基本单位为法拉 （ F） ;
电阻,基本单位为欧姆 （ Ω） ;
电导,基本单位为西门子 （ S） ;
磁通量,基本单位为韦伯 （ Wb） ;
磁通量密度,基本单位为特斯拉 （ T） ;
电感,基本单位为亨利 （ H） 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.2 测量方法
2.2.1 直接测量直接测量是一个直接的比较过程,所测到的量值就是它最终所需要得到的被测量的值 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.2.2 间接测量当测量对象不便于测量,而与它有着确定的函数
,我们可对后者进行直接测量,并进行数学推演,得到原始测量对象的相应量值,这样的测量方法即为间接测量 。 例如要在不断开电路的情况下,测定图 2.1中流过负载的电流,负载电阻 RL已知,我们只要用电压表 V测得 RL
U,即可由公式 I=U/ RL算出负载中的电流 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.1 间接测量法测电路
＋
－
U
R
V R
L
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.2.3 调零测量调零测量法的原理是,将一个校对好的基准源与未知的被测量进行比较,并调节其中之一,使二量值的差为零,这样,从基准源的读数即可推算出被测量的值 。 以图 2.2为例,U为标准电压源,R1和 R2是标准分压电阻,A为电流表 。 测量时,通过调节 R1和 R2的比例,使电流表指示为零,这时
21
2
RR
RUU
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.2 调零测量法测电压
＋
－
U
待测电压源
＋
－
R
1
R
2
A
U
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理如图 2.3所示采用间接测量法,流过电流表的电流为
IA,则被测电压为 Ux=IAR,测量结果的好坏和电流表的技术等级有着直接的联系 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.3 间接测量法测电压
A
待测电压源
＋
－
I
A
R
U
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3
2.3.1 测量误差的概念与常用测量术语经常要用到以下术语：
（ 1） 真值与示值 。
（ 2） 测量误差 。
（ 3） 等精度测量和非等精度测量 。
（ 4） 测量准确度 。
（ 5） 测量精密度 。
（ 6） 测量不确定度 。
（ 7） 测量正确度 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理测量的准确度、精密度、正确度的含义可由图 2.4
(a),(b),(c) 来表示。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.4
(a) 正确度高、精密度低； (b) 正确度低、精密度高；
(c)
( a ) ( b ) ( c )
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3.2 误差的定义与表示方法
1,绝对误差设测量值为 X,被测量真值为 A0,则绝对误差 ΔX可
ΔX=X-A0 （ 2-1）
A通常为高一等级标准器具的示值,也可以是多次测量的最佳估值 。
ΔX=X-A （ 2-2）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理如果测量误差是统计独立且不随时间变化的,则可以用高一等级标准检定出来,在实际测量时对测量结果加以修正 。
修正值一般用 C表示：
C=-ΔX=A-X （ 2-3）
因而有
A=C+X （ 2-4)
2.
相对误差有以下几种：
（ 1） 实际相对误差 。 它是用绝对误差 ΔX与被测量的实际值 A的百分比值来表示的,
（ 2-5）
%100 AXA
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
（ 2） 标称相对误差 。 它是用绝对误差 ΔX与仪器的测量值 X的百分比值表示的,
（ 2-6）
（ 3） 满度相对误差,也即引用误差 。 定义为绝对误差与测量仪器满度值的百分比：
（ 2-7）
式中 γm为满度相对误差,ΔX为绝对误差,Xm为仪器的满度值 。
如果已知仪器的满度相对误差 γm,则可以方便地推算出该仪器最大的绝对误差,
ΔXm ≤γm× Xm
%100 AXx
%100 AXm
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3.3 测量误差的来源一般的测量过程都是条件受限的测量,必然存在不同程度的误差 。 测量误差的主要来源有以下几个方面：
（ 1） 仪器误差 。
（ 2） 使用误差 。
（ 3） 人身误差 。
（ 4） 方法误差 。
（ 5） 环境误差。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.3.4 测量误差的分类和处理虽然多种测量误差产生的原因不尽相同,但按误差的性质和特点,
1.
图 2.5描述了几种不同系统误差的变化规律：直线 a
属于恒定系差；直线 b属于变值系差中的累进性系差,
而且是误差递增的； 直线 c表示周期性系差,在整个测量过程中,系差值成周期性变化； 曲线 d属于按复杂规律变化的系差 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.5 系统误差特征
O
a
b
c
d
i
第 2章 基本测量理论与测量数据处理产生系统误差的原因主要有以下几种：
(1) 测量仪器的局限性 。
(2) 测量时环境条件 (如温度,湿度及电源电压 )与仪器使用要求不一致 。
(3) 采用近似的测量方法或近似的计算公式 。
(4) 测量人员读取仪器示值的偏差。
2.
产生随机误差的主要原因有：
(1) 测量仪器产生噪声,零部件配合不良等 。
(2) 温度及电源电压的无规则运动,电磁干扰等 。
(3) 测量人员感觉器官的无规律变化产生的读数偏差。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理随机误差的这些特性表明其服从统计规律,用数理统计的方法来表征,其服从正态分布,如图 2.6和图
2.7所示 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.6 测量值 xi的正态分布曲线
( x )
O E
x
x
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.7 误差 δi的正态分布曲线
O
( )
第 2章 基本测量理论与测量数据处理式中 Ex称为数学期望，其定义为
σ
2
2
2
)(
2
1)(?
xEx
ex
2
2
2
2
1)(
e
n
i
i
n
i n
xin nExn
1
2
1
22 1lim)(1lim
（ 2-8）
（ 2-10）
)1(lim
1
n
i
in xnEx
（ 2-9）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理在工程中实际上当 n足够大时，定义：
n
i
i
n
i
i
Xx
n
x
n
X
1
2
1
)(
1
1
1
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
3.
粗大误差是指明显超出规定条件下能预期的误差 。
产生粗大误差的原因主要有：
(1) 测量方法不当或错误 。
(2) 测量操作疏忽和失误 。
(3) 测量条件的变更 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.4
2.4.1 测量误差的合成设最终测量结果为 y,各分项测量值为 x1,x2,…,xn,
且满足函数关系
y=f(x1,x2,…,xn)
并设各 xi间彼此独立,xi的绝对误差为 Δxi,y的绝对误差为 Δy,则 y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δ xn ）
y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δxn） (2-12)
第 2章 基本测量理论与测量数据处理用高等数学的级数展开方法展开上式，并舍去高次项，
以保守的办法计算,则为式中,Δy为系统总的合成误差,
n
n
xxfxxfxxfy,..2
1
1
1
n
i
i
i
xxfy
1
)(
n
i
i
i
y y
x
x
y
y
y
1
（ 2-13）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理以保守的办法计算,
例 2.1 电阻 R1=1 kΩ,R2=5 kΩ,相对误差均为 5%，
求串联后总的相对误差 。
解 串联后,R= R1 + R2。 由式 （ 2-13） 得串联后
n
i
i
i
y y
x
x
y
1
)(
（ 2-14）
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
%5
%5
%)5%5(
1
)(
1
)(
21
21
21
21
2
2
2
1
1
1
21
21
3
21
1
RR
RR
RR
RR
R
R
R
R
R
R
RR
RR
R
RR
R
R
第 2章 基本测量理论与测量数据处理例 2.2已知电阻上电压及电流的测量相对误差分别为 γV=± 3%,γi=± 2%,求功率 P=UI的相对误差 。
解 由式（ 2-14
%5
%)2%3()(
)(
uI
I
uI
u
uI
Iu
uI
uI
P
P
p
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.4.2 测量误差的分配
1,等准确度分配当总误差中各分项所起作用相近时,则给它们分配以相同的误差 。 若总误差为 Δy,分项误差为 Δxi,
n
i i
i
x
f
y
x
1
(i=1,2,…,m)
第 2章 基本测量理论与测量数据处理例 2.3 有一工作在 220 V交流电压下的变压器,其工作电路如图 2.8所示,已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比为
W12∶ W34∶ W45=1∶ 2∶ 2,用最大量程为 500 V的交流电压表测量变压器总输出电压 U,要求相对误差小于 ± 2%,问应该用哪个级别的交流电压表？
解 由于变压器次级线圈的两组电压 U1,U2为 440 V，
总电压 U为 880 V,故应分别测量 U1,U2,再用求和的方法求得总电压 U= U1 + U2。 已知总的相对误差为 ΔU=U×
（ ± 2%） =± 17.6 V,由于 U1,U2性质完全等同,根据等准确度分配原则分配误差,
VUUUU 8.8221
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
1
2
3
5
4
U
1
U
2
图 2.8 例 2.3图第 2章 基本测量理论与测量数据处理由此推得
2.
等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上尽管有一定差异,但它们对误差总和的作用和影响是相同的,
%66.1
5 0 0
8.8
m
m U
U
m
m
xxfxxfxxf,..2
1
1
1
第 2章 基本测量理论与测量数据处理此时，分配公式为例 2.4 用电压表与电流表测量电阻上消耗的功率,
已测出电流为 100 mA,电压为 3 V,算出功率为 300
mW,若要求功率测量的系统误差小于 5%,则电压和电流的测量误差应在多大范围?
解 按题意,功率测量允许的系统误差为
ΔP= 300 mW× 5%=15 mW
j
j xf
myx
/
/
第 2章 基本测量理论与测量数据处理又 ΔP=ΔIu+IΔu=ΔP1+ΔP2
根据等作用分配,有则
3.
mA
u
P
I
P
PP
5.2
32
152/
2
21
mVmAIPu 750 75.01 002 152/
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.4.3 最佳测量方案选择例 2.5 用电阻表,电压表,电流表的组合来测量电阻消耗的功率,已知电阻的阻值 R,电阻上的电压 V，
流过电阻的电流 I,其相对误差分别为 γR=± 2%，
γV=± 2%,γI =± 3%,试确定最佳测量方案 。
解 有三种测量方法,即 P=UI,P=U2/R,P=I2R，
现分别计算每种方案的最大测量误差 。
(1) P=UI
%5%)3%2()(
)(
I
I
U
U
P
I
I
P
P
U
U
P
P
P
P
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
（ 2） P=U2/R：
（ 3） P=I2R
%6%)2%22(
)2(2
R
R
U
U
R
R
U
U
P
P
P
%8%)2%32(
)2()
2
(
2
2
2
R
R
I
I
RI
RI
RI
IIR
P
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.5 测量数据处理
2.5.1 有效数字及数字的舍入规则
1,有效数字
2,数字的舍入规则第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2.5.2 等精度测量结果的处理对等精度测量得到的测试数据,通常按下述步骤进行处理：
（ 1） 利用修正值等方法对测得值进行修正,将已减弱恒值系统误差影响的各数据 Xi依次列成表格 。
（ 2） 。
（ 3） 列出残差 。
（ 4） 列出 U2i,。
n
i
iXnX
1
1
XXU ii
n
i
iUn
1
2
1
1?
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
（ 5） 按 |Ui|>3σ的原则,检查并剔除粗大误差 。
（ 6） 判断有无系统误差,如有,可进行修正或重新测量 。
（ 7） 。
（ 8） 写出测量结果的表达式，即 。
2.5.3 实验曲线的绘制
1,直线拟合假定实验数据的最佳拟合直线方程为,Y=AX+B，
A,B为常数,分别表示直线的斜率与截距 。
nx /
nXX?3
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i BAXyYyUBA
1
2
1
2
1
2 )()(),(?
第 2章 基本测量理论与测量数据处理根据最小二乘原理,满足最佳拟合,也即 Ψ(A,B) 为最小的条件为：
最终有
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xBxAyx
nBxAy
11
2
1
11
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
xxn
yxyxn
A
1
2
1
2
1 1 1
)(
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
2,曲线拟合根据最小二乘原理,可得
m
i
n
j
kj
ij
n
i
k
ii xaxy
1 01
)(
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
i
n
i
iiii
xxn
xyxxy
B
1
2
1
2
1 1 11
2
)(
第 2章 基本测量理论与测量数据处理思考题 2
1,测量误差的来源有哪些？
2,某数字电压表显示最大数值为 19 999,最小一挡量程为 20 mV,问该电压表的最高分辨率是多少？
3,被测电压为 50 V,用 0.5级量程为 0~300 V和 1.0
级量程为 0~100 V的两只电压表去测量,哪一个测量结果更准确？
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
4,测量上限为 500 V的电压表,当实际值为 445 V
时示值为 450 V,求该示值的绝对误差,相对误差,引用误差和修正值 。
5,伏安法测电阻的两种电路如图 2.9所示,图中 A
为电流表,内阻为 RA,V为电压表,内阻为 RV,求：
(1) 两种电路中,由于 RA与 RV的影响,Rx的绝对误差和相对误差各为多少？
(2) 比较两种测量结果,指出两种电路各自的适用范围 。
第 2章 基本测量理论与测量数据处理图 2.9 题 5图
A
VR
x
( a )
A
V R
x
( b )
第 2章 基本测量理论与测量数据处理
6,按照舍入法则,对下列数据进行处理,使其各保留三位有效数字：
6.3724,7.9245,5.2850,0.104 125,8935
7,按照有效数字的运算法则,计算下列结果：
(1) 1.1723× 3.2
(2) 1.1723× 3.20
(3) 50.313× 4.52
(4) 55.4× 3.7
(5) 66.09+4.853
(6) 90.4-1.353
