量子物理
2005年秋季学期
Quantum Physics
陈信义编第 1章 波粒二象性第 2章 薛定谔方程第 3章 原子中的电子
第 4章 固体中的电子
第 5章 核物理和粒子物理简介目 录量子力学是研究原子,分子和凝聚态物质的结构和性质的理论基础,在化学,生物,信息,
激光,能源和新材料等方面的科学研究和技术开发中,发挥越来越重要的作用 。
1900年,普朗克 （ M.Pulanck） 提出能量子,
即能量量子化的概念,这对经典物理理论是一个极大的冲击,因为能量的连续性在经典物理中是,天经地义,的事情 。 在物理学上,
能量子概念的提出具有划时代的意义,它标志了量子力学的诞生 。
1905年,为解释光电效应,爱因斯坦提出光量子 （ 光子 ） 的概念,指出光具有波粒二象性 。
1923年,德布罗意 （ P.L.de Broglie） 提出实物粒子也具有波动性的假设 。 波粒二象性的假设,
为物质世界建立了一个统一的模型 。 物质具有波粒二象性是建立量子力学的一个基本出发点 。
1927 年,戴维孙 （ C.J.Davisson） 和革末
（ L.H.Germer） 通过镍单晶体表面对电子束的散射,观测到和 X光衍射类似的电子衍射现象；
同年,G.P.汤姆孙 （ G.P.Thomson） 用电子束通过多晶薄膜,证实了电子的波动性 。
1925年,海森伯 (W.Heisenberg)放弃电子轨道等经典概念,用实验上可观测到的光谱线的频率和强度描述原子过程,奠定了量子力学的一种形式 —矩阵力学的基础 。
1926年,薛定谔 (E.Schrodinger)
提出了非相对论粒子 （ 能量远小于静能 ） 的运动方程 —薛定谔方程,
由此方程出发的量子力学称为波动力学 。
矩阵力学和波动力学是等价的,前者偏重于物质的粒子性,后者偏重于物质的波动性,
它们是量子力学的两种不同描述方式 。 薛定谔方程是微分方程,数学工具人们比较熟悉,我们只简要介绍波动力学 。
同年,狄拉克 （ P.A.M,Dirac） 提出了电子的相对论性运动方程 —狄拉克方程,把狭义相对论引入薛定谔方程,统一了量子论和相对论,为研究粒子物理的量子场论奠定了基础 。
量子物理的理论基础独立于经典力学,同我们的日常感受格格不入 。 对于生活在宏观世界又比较熟悉经典力学的人们来说,学习量子物理确有一定难度 。 初学者往往试图用经典的概念去理解量子物理,这将使学习陷入困境 。
物理学是基于实验事实的信仰,对于量子物理来说尤其是这样 。 合理的假定总是有些道理可讲的,但它不能由更基本的假定或理论推导出来,其正确性只能用实验来检验 。 相信这些基本假定,并自觉应用它们去分析和解决问题,
是学习和理解量子物理的第一步 。
强烈建议做好预习,带着问题来上课,否则你会觉得被动和郁闷 。
首先介绍揭示波粒二象性的实验规律,它们不但是建立量子力学的实验基础,而且在现代科学技术中也有广泛的应用 。 然后简要介绍量子力学中的一些最基本的概念和规律 。
§ 1.1黑体辐射
△ § 1.2光电效应（自学）
§ 1.3光子、光的二象性
§ 1.4 康普顿效应
§ 1.5 实物粒子的波动性
§ 1.6 概率波与概率幅
§ 1.7不确定关系第 1章 波粒二象性
Wave-particle duality
§ 1.1黑体辐射 （ Black-body radiation）
物体由大量原子组成,热运动引起原子碰撞使原子激发而辐射电磁波 。 原子的动能越大,
通过碰撞引起原子激发的能量就越高,从而辐射电磁波的波长就越短 。
热运动是混乱的,原子的动能与温度有关,
因而辐射电磁波的能量也与温度有关 。
一、热辐射的基本概念
1、热辐射 （ thermal radiation）
例如,加热铁块,温度?,铁块颜色由看
蓝白 色不出发光? 暗红?橙色?黄白色这种 与温度有关 的 电磁辐射,称为 热辐射。
激光,日光灯发光就不是热辐射。
并不是所有发光现象都是热辐射,例如：
任何物体在任何温度下都有热辐射,波长自远红外区 连续 延伸到紫外区 （ 连续谱 ） 。
温度辐射中短波长的电磁波的比例?
1400K800K 1000K 1200K
几种温度下辐射最强的电磁波颜色头部的红外照片 （ 热的地方显白色,冷的显黑色 ）
低温物体 （ 例如人体 ） 也有热辐射,但辐射较弱,并且主要成分是波长较长的红外线 。
中国第一张红外照片 （熊大缜于 1935年在清华大学气象台顶上拍摄的北京西山夜景）
鸟的羽毛的颜色是不是热辐射？
3、光谱辐出度（单色辐出度） M?
这种 温度不变 的热辐射称为 平衡热辐射。
（单位时间内）T
单位面积
2、平衡热辐射则物体的温度恒定。
加热一物体,若物体所吸收的能量等于在同一时间内辐射的能量，
monochromatic energy density of radiation
M?— 单位时间内，从物体单位表面发出的频率 在?附近单位频率间隔内 的电磁波的能量。
d
)(d TEM?
Ed )d(
M?取决于 T,?和材料种类和表面情况
4、（总）辐出度（总发射本领） M(T)
radiant exitance
单位,w/m2
monochromatic absorptance
)(
)(
d
d
)(
入射吸收
E
E
T?
0
)()( dTMTM
5、单色吸收比（率）(T)
的物体，
维恩设计的黑体：
二、黑体 （ black body）
1、黑体：
的物体即 1
。黑体是理想化模型，
能完全吸收各种波长电磁波 而无反射不透明介质空腔开一小孔,电磁波射入小孔后,很难再从小孔中射出 。 小孔表面是黑体 。
即使是煤黑，对太阳光的?也小于 99%。
【 演示 】 黑体模型
2、基尔霍夫 （ Kirchhoff） 辐射定律
)(?
,TIMM
2
2
1
1
黑体的光谱辐出度最大,与构成黑体的材料无关 。 利用黑体可撇开材料的具体性质,普遍研究热辐射本身的规律 。
好的辐射体也是好的吸收体在平衡热辐射时
1
3
黑 T
),(
2
2
1
1?
TIMMM
黑体?
－与材料无关的普适函数)(?,TI
1?黑体
【 演示 】 好的辐射体也是好的吸收体一个黑白花盘子的两张照片室温，反射光1100K，自身辐射光三、黑体辐射谱（ M?～?关系）
测量黑体辐射谱的实验装置黑体热电偶 测 M?(T)
光栅光谱仪
T
对黑体加热，放出热辐射。
用光栅分光把辐射按频段分开。
用热电偶测各频段辐射强度，得 。)(TM
黑体辐射和热辐射实验曲线：
不同温度下的黑体辐曲线
M10 -8 W/(m2?Hz)?
/1014Hz
钨丝和太阳的热辐射曲线可见光区钨丝 M?/?(10 -8 W/(m2?Hz)?
太阳 M?/?10 -9 W/(m2?Hz)?
/1014Hz
太阳 (黑体 )
5800K
钨丝
2750K
面积为 M(T)
M? (10 -8 W/(m2? Hz))
/1014HzT
b
m
Km10898.2 3b
1、维恩位移定律
m = C? T
C? = 5.880× 1010 Hz/K
或
1893年由理论推导而得
m
黑体辐射的实验定律：
Wien displacement law
测?m=510nm,得 T表面 = 5700K设太阳为黑体，
2、斯特藩 （ Stefan ） — 玻耳兹曼定律
4)( TTM
—— 斯特藩 — 玻耳兹曼常量
428 Kw / m1067.5
斯特藩 — 玻耳兹曼定律和维恩位移定律是测量高温,遥感和红外追踪等的物理基础 。
1879年斯特藩从实验上总结而得
1884年 玻耳兹曼 从理论上证明辐射的振子模型四、经典物理遇到的困难
,3,2,1,2 n
n
a
n?
空腔壁产生的热辐射，
可想象成是以壁为节点的许多驻波。
如何从理论上找到符合实验的 函数式?)(TM
维恩（ W,Wien）公式
（ 1864-1928）W,Wien
1896年,维恩假设气体分子辐射的频率只与其速率有关,首先从理论上推出一个黑体辐射公式
TeTM /3)(
其中?,?为常量。
普朗克不太信服维恩公式的推导过程,认为维恩提出的假设没什么道理 。
高频段与实验符合很好,
低频段明显偏离实验曲线 。
瑞利 (Rayleigh) — 金斯 (Jeans)公式
L,Rayleigh(1842-1919)
1900年 6月,瑞利按经典的能量均分定理,把空腔中简谐振子平均能量取与温度成正比的连续值，得到一个黑体辐射公式
kTcTM 2
22
)(
123 KJ1038.1k
低频段与实验符合很好，高频段明显偏离实验曲线。
M,
“紫外灾难”！
/1014Hz
M? (10 - 9 W/(m2? Hz))
0
实验曲线
TeTM /3)(
,? 为常量
kTcTM 2
22
)(
（ 1896）
（ 1900）
K2000?T
“紫外灾难”
,物理学晴空中的一朵乌云 !”
五、普朗克的能量子假说和黑体辐射公式
1900年 10月,普朗克利用数学上的内插法,
把适用于高频的维恩公式和适用于低频的瑞利
－金斯公式衔接起来,得到一个半经验公式,
即 普朗克黑体辐射公式：
1
2)( 3
2 kThec
hTM
在全波段与实验曲线惊人地符合！
普朗克常量：
seV101 3 6.4
sJ106 2 6.6
15
34
h
/1014Hz
M? (10 - 9 W/(m2? Hz))
0
实验曲线
TeTM /3)(
,? 为常量
kTcTM 2
22
)(
（ 1896）
（ 1900）
K2000
1
2)( 3
2 kThec
hTM
普朗克黑体辐射公式符合实验曲线普朗克不满足,侥幸猜到,的半经验公式,
要,不惜任何代价,地去揭示真正的物理意义 。普朗克认为,空腔内壁的分子,原子的振动可以看成是许多带电的简谐振子,这些简谐振子可以辐射和吸收能量,并与空腔内的辐射达到平衡 。 从空腔小孔辐射出的电磁波,就是由这些空腔内壁的简谐振子辐射出的 。
普朗克大胆地假设,频率为 的简谐振子的能量值,只能取 的整数倍 。 即,简谐振子的能量是量子化的 （ quantization）,只能取下面的一系列特定的分立值
h?
,3,2,
能量 称为 能量子 (quantum of energy)，
空腔内的辐射就是由各种频率的能量子组成 。
上述假设称为 普朗克能量子假设 。
h?
在这一假设基础上,再运用经典的统计物理方法就可推出普朗克黑体辐射公式 。
能量子的假设对于经典物理来说是离经叛道的,就连普朗克本人当时都觉得难以置信 。 为回到经典的理论体系,在一段时间内他总想用能量的连续性来解决黑体辐射问题,但都没有成功 。
能量子概念的提出标志了量子力学的诞生,
普朗克为此获得 1918年诺贝尔物理学奖 。
1921 年 叶企孙,W.Duane,H.H.Palmer 测得：
sJ10)0 0 9.05 5 6.6( 34h
1986年推荐值,sJ106 2 60 7 5 5.6 34h
sJ1063.6 34h
1998年推荐值,sJ1062 60 68 76.6 34h
一般取：
4 TM积分
1
2)(
/
3
2 kThec
hTM
kTcTM 2
22
)(低频
TeTM /3)(高频
TCm求导由普朗克公式可导出其他所有热辐射公式：
在 1918年 4月普朗克六十岁生日庆祝会上,
爱因斯坦说：
在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是为了满足智力上的快感；有的人是为了纯粹功利的目的 。 而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那些普遍的基本规律,这是他无穷的毅力和耐心的源泉 。 … … 他成了一个以伟大的创造性观念造福于世界的人 。
普朗克 （ Max Karl Ernst Ludwig Planck）
1858－ 1947
叶企孙中国科学院学部委员用 X 射线方法测定普朗克常量，在国际上沿用了 16年。
清华大学首任物理系主任（ 1926）、首任理学院院长（ 1929）
（ 1898－ 1977）
证明所发出的带电粒子是电子。
光电效应,光照射某些金属时，能从表面释
△§ 6.2光电效应 （ photoelectric effect）
光电效应中 产生的电子称为,光电子”。
要求自学光电效应的实验规律和经典波动理论的困难。
光电效应引起的现象是 赫兹 在 1887年发现的，
当 1896年 J.J.汤姆孙 发现了电子之后,勒纳德 才放出电子的效应。
自学中要搞清以下几点：
① 光强 I 对饱和光电流 im的影响：
② 频率的影响：
截止电压 与 I 无关；
0UKU c
在?一定时，
。 Ii m?
存在红限频率
。 KU 00
③ 光电转换时间极短 <10-9s 。
2、波动理论的困难,不能解释以上②,③
1、实验规律 （特点）：
【 演示 】 光电效应
§ 6.3 光子、光的二象性一、爱因斯坦的光子理论光的发射、传播、吸收都是量子化的。
光子能量 h?
当普朗克还在寻找他的能量子的经典理论的根源时,爱因斯坦却大大发展了能量子的概念。
爱因斯坦光量子假设（ 1905）：
电磁辐射由以光速 c 运动的局限于空间某一
光量子具有,整体性”
小范围的光的能量子单元 — 光子 所组成，
二、光子理论对光电效应的解释
Ahm m221 v
A：逸出功光强?hNI N：光子数通量一束光就是以速率 c 运动的一束光子流。
一个光子将全部能量交给一个电子,
电子克服金属对它的束缚,从金属中逸出 。
IN单位时间打出光电子多?im?
光子打出光电子 是瞬时发生的 s)10( 9?
光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！
但是光量子理论在当时并未被物理学界接受，
h? > A 时才能产生光电效应，
所以存在：
h
A?
0?
红限频率普朗克在推荐爱因斯坦为柏林科学院院士时说不发生光电效应，
当? <A/h时，
,光量子假设可能是走得太远了。”
Ahm m221 v
0eUeKeU c
eKh?
1916年 密立根 （ R.A.Milikan） 做了精确的光电效应实验,利用 Uc—?的直线斜率 K，
这和当时用其他方法定出的 h符合得很好。 从而进一步证实了爱因斯坦的光子理论。 尽管如此，密立根还是认为光子理论是完全站不住脚的。
被人们接受是相当困难的。
可见，一个新思想要定出 h = 6.56?10-34J.s。
密立根 由于研究 基本电荷和 光电效应,特别是通过著名的油滴实验，证明电荷有最小单位,获得 1923
年诺贝尔物理学奖
1868 — 1953
爱因斯坦 由于对 光电效应 的理论解释和对 理论物理学 的贡献,获得
1921年诺贝尔物理学奖
1879 — 1955
三、光的波粒二象性 （ dualism）
波动性特征：
粒子性特征：
波长大或障碍物小 → 波动性突出波长小或障碍物大 → 粒子性突出统一于
,概率波”
、
pmE,、
hE?
2c
hm
h
c
hp
光作为电磁波是弥散在空间而连续的光作为粒子在空间中是集中而分立的光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定，
光子各向辐射等概率
2
1
r
I?r
点光源单缝衍射
I大，光子出现概率大；
I小，光子出现概率小。
光子是分立的，光强分布可以是连续的。
波面被分割，不表示光子被分割，
光子通过 1缝的 概率 正比于 I1,
1
2
I1
I2
双缝实验光子通过 2缝的 概率 正 比于 I2 。
光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比。
一,实验规律
1922?23年康普顿研究了 X射线在石墨上的散射
§ 6.4 康普顿效应 （ Compton effect）
光阑
X 射线管探测器
X 射线谱仪晶体
0
散射波长?,?0
石墨体
(散射物质 )
0
散射曲线的三个特点：
1、除原波长?0外，出现了移向长波方面的新的散射波长?,
2、新波长?随散射角?的增大而增大。
3、当散射角增大时，原波长的谱线强度降低，而新波长的谱线强度升高。
散射出现了?≠?0的现象，
.,.,,...,..,..,.
....
...,...
..
..,...
.,
.
..
..,.,.
..,.,...
..
..
..
.
.,
..
..,
.,...
.
.,..
..
o（ A）0.709 0.749 波长
....
.,.
o0
o45
o90
o135
称为 康普顿散射。
= 2.41?10-3nm（实验值）
只有当入射波长?0与?c可比拟时,康普顿实验表明：
)c o s1( c
2
s i n2 2 c?
c 称为电子的 康普顿波长
c = 0.0241?
新散射波长?>入射波长?0，
和散射物质无关。
波长的偏移=0 只与散射角?有关，
实验规律是：
效应才显著,因此要用 X射线才能观察到。
康普顿用光子理论做了成功的解释：
X射线光子与,静止” 的,自由电子” 弹性碰撞
碰撞过程中能量与动量守恒二、康普顿效应的理论解释经典电磁理论难解释为什么有?≠?0的散射，
碰撞?光子把部分能量传给电子外层电子束缚能 ~ eV,室温下 kT~10-2eV）
（ 波长 1?的 X射线,其光子能量 104 eV，
e
自由电子 （ 静止 ）
0?h
v?m
m0
h?
光子的能量?
散射 X射线 频率?波长?
2200 mchcmh
v mechech 00
220 /1/ cmm v
能量守恒动量守恒反冲电子质量解得,)c o s1(
c
e000 echp echp
v?m
m0自由电子（静止）
)co s1(
00
0 cm
hcc
m
103101.9
1063.6
831
34
0
cm
h
c?
= 2,43?10-3nm
等于实验值这是因为光子还可与石墨中被原子核束缚为什么康普顿散射中还有原波长?0 呢？
光子和整个原子碰撞。
内层电子束缚能 103~104eV，不能视为自由，
而应视为与原子是一个整体。 所以这相当于光子原子 mm
∵
即 散射光子波长不变,散射线中还有与原波
∴ 在弹性碰撞中，入射光子几乎不损失能量，
得很紧的电子发生碰撞。
长相同的射线。
1、为什么康普顿效应中的电子不能像光电效应三、讨论几个问题违反相对论 ！
自由电子不能吸收光子，只能散射光子。
c v
2200 mccmh
00
0 eme
c
h v
220 /1/ cmm v
2
2
11
cc
vv
那样吸收光子，而是散射光子？
上述过程不能同时满足能量、动量守恒。
假设自由电子能吸收光子，则有因此：
2、为什么在光电效应中不考虑动量守恒？
∴ 光子? 电子系统仍可认为能量是守恒的。
在光电效应中，入射的是可见光和紫外线，
光子能量低，电子与整个原子的联系不能忽略，
原子也要参与动量交换,光子? 电子系统动量不守恒。 但原子质量较大，能量交换可忽略，
3、为什么可见光观察不到康普顿效应？
可见光光子能量不够大，原子内的 电子不能视为自由,所以可见光不能产生康普顿效应。
四,康普顿散射实验的意义
支持了,光量子” 概念，进一步证实了
首次实验证实了爱因斯坦提出的,光量子
证实了 在微观领域的单个碰撞事件中,
动量和能量守恒定律仍然是成立的 。
康普顿获得 1927年诺贝尔物理学奖。
p =? /c = h? /c = h /?
= h?
具有动量” 的假设康普顿
（ A,H.Compton)
美国人 (1892-1962）
1925?26年他用银的 X射线（?0 = 5.62nm）
五、吴有训对康普顿效应研究的贡献吴有训 1923年参加了发现康普顿效应的研究康普顿效应作出了重要贡献。
在同一散射角（?=120?） 测量各种波长的散射以 15种轻重不同的元素为散射物质，为入射线，
光强度，作了大量 X 射线散射实验。 这 对证实工作，
吴有训的康普顿效应散射实验曲线：
1,与散射物质无关,仅与散射角有关 。曲线表明：
2、轻元素 重元素，
0 II? 0 II?
。
散射角
01 2 0
证实了康普顿效应的普遍性
证实了两种散射线的产生机制：
－ 外层电子（自由电子）散射
0 －内层电子（整个原子）散射的证据。
吴有训工作的意义：
在康普顿的一本著作,X? Rays in theory
and experiment,（ 1935）中，有 19处 引用了吴有训的工作。 书中两图并列作为康普顿效应
20世纪 50年代的吴有训吴有训 （ 1897—1977）
物理学家、教育家、
中国科学院副院长，
曾任清华大学物理系主任、理学院院长。
1928年被叶企孙聘为清华大学物理系教授，
对证实康普顿效应作出了重要贡献光 (波 )具有粒子性，那么实物粒子具有一、德布罗意假设波动性吗?
L.V,de Broglie （ 法国人,1892? 1986 ）
从自然界的对称性出发，
具有粒子性，那么实物粒子也应具有波动性。
1924.11.29德布罗意 把题为,量子理论的研究”
的博士论文提交给了巴黎大学。
§ 6.5 实物粒子的波动性认为既然光 (波 )
与粒子相联系的波称为 物质波 或 德布罗意波，
一个能量为 E、动量为 p 的实物 粒子,同时
p
h
h
E
hp?
hE?
他在论文中指出：
关系与光子一样,
它的波长?,频率?和 E,p的德布罗意关系
— 德布罗意波长 （ de Broglie wavelength）
也具有 波动 性，
物质波的概念可以成功地解释原子中令人
r nhrm v?2
－ 轨道角动量量子化
“揭开了自然界巨大帷幕的一角”
“看来疯狂，可真是站得住脚呢”
nr?2
p
h
稳定轨道波长论文获得了评委会高度评价。
困惑的轨道量子化条件。
爱因斯坦称：
,3,2,1,2 nnnhl?
路易,德布罗意
Louis.V.de Broglie
法国人
1892 — 1986
提出电子的波动性
1929年获诺贝尔物理奖
Em
h
p
h
02
eUm
h
p
h
02
U=150V时,?=0.1nm
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。
在论文答辩会上，佩林问：
“这种波怎样用实验耒证实呢？”
德布罗意答道：
“用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”
电子的波长：
设加速电压为 U
（单位为伏特）
— X 射线波段
（ 电子 v << c）
)nm(22 5.1
U
二、电子衍射实验
戴维孙 (Davisson)革末 (Germer)实验 (1927)
当满足 2dsin? = n?,
n= 1,2,3,… 时,应观察到电流 I 为极大 。
G
Ni 片
（ 单晶 ）
抽真空
U
I?
C CC
I
U
nC
emd
hnU
02s i n2?
当,2C,3C… 时，
CU?
eUm
h
p
h
02
实验观察到 I 为极大！
G.P.汤姆孙 （ G.P.Thomson） 实验 （ 1927）
1929年德布罗意获诺贝尔物理奖电子通过金多晶薄膜衍射金多晶薄膜电子束衍射图象
1937年戴维孙,G.P.汤姆孙共获诺贝尔物理奖
【 演示 】 电子衍射 （ 电子通过镍多晶 ）
约恩孙 （ Jonsson） 实验 （ 1961）
电子单、双、三、四缝衍射实验：
质子、中子、原子、分子 … 也有波动性。
mmm h,1v
单 缝 双 缝 三 缝 四 缝宏观粒子 m 大, 0，表现不出波动性。
【 例 】 m = 0.01kg,v = 300 m/s 的子弹
m34
34
1021.2
3 0 001.0
1063.6
vm
h
p
h?
h极小? 宏观物体的波长小得实验难以测量
“宏观物体只表现出粒子性”
h? 0,
波动光学 几何光学 ）（ 0：
量子物理 经典物理
c,相对论 牛顿力学两把自然尺度,c 和 h
波长
§ 1.6 概率波与概率幅一、对物质波的理解，概率波的概念薛定谔,波是基本的，
波包总要扩散,而电子是稳定的。
德布罗意,物质波是引导粒子运动的,导波”。
— 本质是什么，不明确。
电子是,物质波包”。
通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的一部分,如果波代表实体,那就意味着能观测到电子的一部分,这与显示电子具有整体性的实验结果矛盾 。
—夸大了波动性，抹煞了粒子性。
另一种理解,粒子是基本的,电子的波动性是大量电子之间 相互作用的结果 。
为防止电子间发生作用,让电子一个一个地入射,发现时间足够长后的干涉图样和大量电子同时入射时完全相同 。
这说明,电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时相互作用的结果,而是单个电子就具有波动性 。 换言之,干涉是电子,自己和自己,的干涉 。
无论是大量电子同时入射,还是电子一个一个地长时间地入射,都只是让单个电子干涉的效果在底片上积累并显现出来而已 。
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
70000
3000 20000
7个电子 100个电子底片上出现一个个的点子?电子具有 粒子性。
“一个电子”所具有的波动性，
来源于而不是电子间相互作用的结果。
随着电子增多，逐渐形成衍射图样一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。
玻恩 （ M.Born）,
子在空间的概率分布的“概率波”。
德布罗意波 并不像经典波那样是代表实在物理量的波动,而是描述粒尽管单个电子的去向是概率性的,但其概率在二,波函数及其统计解释
1、波函数 （ wave function）
平面简谐波函数,y = Acos(? t-kx)
复数表示：
概率波波函数：
2、波函数的统计解释
)( kxtiAey
，（ ),txΨ一维 ),( trΨ?三维物质波是“概率波”，
在空间各处出现的概率呢？
它是怎样描述粒子量子力学假定：微观粒子的状态用波函数表示 。
玻恩对? 的统计解释 (1926),波函数? 是描述粒子在空间概率分布的,概率振幅,。其模方
),(),(),( *2 trΨtrΨtrΨ
代表 t 时刻，在坐标 附近单位体积中发现一个粒子的概率，
r?
r
dV
x
y
z 在 t 时刻，在 附近 dV
内发现粒子的概率为：
r?
VtrΨ d),( 2?
在空间?发现粒子的概率为,
Ω
VtrΨ d,2?
称为,概率密度”。
它无直接的物理意义，
对单个粒子：
不同于经典波的波函数，),( trΨ?
和波函数的位相。有意义的是 2
Ψ
给出粒子概率密度分布；2
Ψ
对大量粒子,2
ΨN
给出粒子数的分布；
3、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义只开上缝?P1
只开下缝?P2
双缝 齐开?P12=P1+P2
（ 1）子弹穿过双缝
（ 2）光波只开上缝?光强 I1
只开下缝?光强 I2
双缝齐开?
通过上缝的光波用 描述tiexA?)(
1
通过下缝的光波用 描述tiexA?)(
2
双缝 齐开时的光波为 tieAA?)(
21?
光强为
*
212
*
1
2
2
2
1
2
2112 AAAAAAAAI
21 II
+干涉项 干涉项
2112 III
双缝齐开时，电子可通过上缝也可通过下缝，
（ 3）电子电子的状态用只开上缝时,电子有一定的概率通过上缝，
)(1 x?其状态用 描述，
只开下缝时,电子有一定的概率通过下缝，
211 ||ΨP?
电子的概率分布为
)(2 x?其状态用 描述,222 ||ΨP?电子的概率分布为
1? 2?,都有。
通过双缝后，
分布是 d不是 c。
波函数?描述。
通过上、下缝各有一定的概率，
22121212 |||| ΨΨΨP 212221 PP||Ψ||Ψ
出现了干涉。
是由于概率幅的线性叠加产生的。
即使只有一个电子，当双缝齐开时，
两部分概率幅的叠加就会产生干涉。
微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的它的状态也要用 来描述。
2112 ΨΨΨ
衍射图样是概率波的干涉结果。
可见，干涉是概率波的干涉，
总的概率幅为
2112 ΨΨΨ
相干叠加性。
4、统计解释对波函数提出的要求
1）有限性,在空间任何有限体积元?V中找到归一化,在空间各点的概率总和必须为 1。
1d,2 VtrΨ? )(,全空间
A
1 — 归一化因子归一化条件：
根据波函数的统计解释，它应有以下性质：
)d( 2 VΨ
V
必须为有限值。粒子的概率
，AVtrΨ d,2?若
1d,1
2
VtrΨ
A
则
2） 单值性：
度在任意时刻、任意位置都是确定的。
3） 连续性：
波函数应单值,从而保证概率密
对于势场连续点,或势场不是无限大的间断点,波函数的一阶导数连续 。 （ 后面证明 ）
波函数连续,保证概率密度连续。
波函数作出的统计解释,获得了 1954年诺贝玻恩 （ M.Born，英籍德国人,1882? 1970）
由于进行了量子力学的基本研究,特别是 对尔物理学奖。
波函数本身,测不到,看不见,,是一个很抽象的概念,但是它的模方给我们展示了粒子在空间分布的图像,即粒子坐标的取值情况 。 当测量粒子的某一力学量的取值时,只要给定描述粒子状态的波函数,按照量子力学给出的一套方法就可以预言一次测量可能测到哪个值,以及测到这个值的概率是多少 。
对波恩的统计诠释是有争论的,爱因斯坦就反对统计诠释 。 他不相信,上帝玩掷骰子游戏,,认为用波函数对物理实在的描述是不完备的,还有一个我们尚不了解的,隐参数,。 虽然至今所有实验都证实统计诠释是正确的,但是这种关于量子力学根本问题的争论不但推动了量子力学的发展,而且还为量子信息论等新兴学科的诞生奠定了基础 。
与自由粒子相联系的德布罗意波,是一个单色平面波 。
5、自由粒子的波函数沿 +x传播的单色平面波，波函数：
)c o s (),( kxtAtxy
)(),( kxtiAetxy
复数形式可写成微观粒子波函数一般是坐标和时间的复函数,
因此采用复数形式的平面波表达式,只要把其中 描述波动性的参量 ω,k换成 描述粒子性的参量 E,p就可以了 。
E
h
E 22
seV106,5 8sJ1005.12 - 1634h?
其中
,)(),( Et
i
extx
由德布罗意关系,得
p
h
h
E,
p
h
pk
22
)(),( EtpxiAetx自由粒子波函数：
pxiAex)(? （空间因子）
pxiAex)(?
自由粒子波函数：
三维：
rpiAer)(?
.c on s t?p?
.c o ns t 22 A?
概率密度：
空间位置完全不确定，动量取确定值
【 思考 】 自由粒子波函数能归一化吗？
p>0：向右
p<0：向左
xAxx d22 d)(?
原因,Φ(x)代表全空间理想平面波,而实际的自由粒子,例如由加速器引出的粒子束,只能分布在有限的空间内 。 若限定粒子只能出现在某一区间,则自由粒子波函数变成
2,0
2,)(
Lx
LxAex
px
i
1)(
2
2
22
L
L
xAxx dd?
LA
1?
这称为,箱归一化,,上式表示的就是自由粒子的,箱归一化,波函数 。
“归一化”的自由粒子波函数：
2,0
2,
1
)(
Lx
Lxe
Lx
px
i
为回到原来理想平面波的情况,只要在用箱归一化波函数所得结果中,令 L→ ∞ 就可以了 。
三、状态叠加原理量子力学要求：
也是该体系的一个 可能的状态 。 展开系数 Cn为任意复常数 。
若叠加中各状态间的差异无穷小，
d C
积分代替求和：
n
nnC
则应该 用
21,,则它们的 线性组合若体系具有一系列互异的可能状态四、对波粒二象性的理解粒子性
“原子性”或“整体性”：
具有集中的能量 E和动量 p
不是经典粒子！ 抛弃了“轨道”概念！
波动性
“相干叠加”、干涉、衍射、偏 振
不是经典波 ！ 不代表实在物理量的波动 。
具有波长?和波矢
)2( ek?
只在空间和时间的很小区域内,作为一个整体产生效果 。
轨道：粒子在任意时刻都具有确定的位置和速度,从而下一时刻的位置和速度完全确定 。
但这和粒子性本身是完全不同的两个概念 。
两种图象不会同时出现在你的视觉中 。
少女？ 老妇？
微观粒子在某些条件下表现出粒子性,在另一些条件下表现出波动性,
而两种性质虽寓于同一客体体中,却不能同时表现出来 。
§ 1.7 不确定度关系 （ uncertainty relation）
经典粒子的轨道概念在多大程度上适用于微观世界？ 1927年,海森伯分析了一些理想实验并考虑到德布罗意关系,得出不确定度关系
（ 测不准关系 ）,粒子在同一方向上的坐标和动量不能同时确定 。
如果用?x代表位置的测量不确定度 （ 不确定范围 ）,用?px代表沿 x方向的动量的测量不确定度,那么它们的乘积有一个下限,即
2
xpx
速度不确定度?v和速度本身 v数量级相同,
电子速度完全不确定 。
【 例 】 原子的线度按 估算,原子中电子的动能按 估算,论证原子中电子的运动不存在轨道 。
m10 10?
eV10
2 xpx
解
s)(m106.0101011.92 1005.2 61031
- 34
1xmv?
)sm(102
1011.9
106.11022 6
31
19
mEv k
从而下一时刻电子位置完全不能确定,轨道的概念失去意义 。
2,2,2
zyx pzpypx
不确定度关系：
2
tE
能量和时间之间的不确定度关系：
t：测量能量经历的时间范围,?E,测量误差。
~
τ：寿命,Γ,能级宽度。
不确定度关系是微观体系具有波粒二象性的必然结果,本质上不是由测量仪器对体系干扰造成 。 以电子单缝衍射为例来分析。
电子通过狭缝时,x 方向 位置不确定度 ax?Δ
hhpx 1
1
x s i ns i nΔΔ
1s i nΔ?pp x? 1s i n
h
1s i n0?pp x
x 方向 动量不确定度：
1s i nx
电子束
1
1
p p
x
a
x
认为电子集中在该区域
p
h
2?
hpx xΔΔ
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
【 例 】 设子弹质量为 0.01kg,枪口直径为 0.5cm，
试分析波粒二象性对射击瞄准的影响 。
横向速度的不确定度为解
)sm(101,1100,5102 101,0 52 3022
- 34
xmv x
这可以看成是横向速度的最大值,它远远小于子弹从枪口射出时每秒几百米的速度,
因此对射击瞄准没有任何实际的影响 。
子弹的运动几乎显现不出波粒二象性 。
【 例 】 动能 Ek?108 eV的电子射入威尔逊云室,
径迹的线度?10? 4cm，问,轨道”概念适用否？
解 电子横向位置的不确定度?x?10? 4cm。
横向动量的不确定度
128 smkg10
2
xp x
123 smkg108.12 kmEp电子动量为显然?px<<p,?px对电子运动几乎没影响,
轨道概念仍适用 。 实验上正是通过粒子在云室中留下的径迹 （ 轨道 ） 来探测高能粒子 。
96
威尔逊云室中宇宙线（高能粒子）的径迹
【 演示 】 α粒子通过 威尔逊云室乙醇
Ra衰变? α粒子
2005年秋季学期
Quantum Physics
陈信义编第 1章 波粒二象性第 2章 薛定谔方程第 3章 原子中的电子
第 4章 固体中的电子
第 5章 核物理和粒子物理简介目 录量子力学是研究原子,分子和凝聚态物质的结构和性质的理论基础,在化学,生物,信息,
激光,能源和新材料等方面的科学研究和技术开发中,发挥越来越重要的作用 。
1900年,普朗克 （ M.Pulanck） 提出能量子,
即能量量子化的概念,这对经典物理理论是一个极大的冲击,因为能量的连续性在经典物理中是,天经地义,的事情 。 在物理学上,
能量子概念的提出具有划时代的意义,它标志了量子力学的诞生 。
1905年,为解释光电效应,爱因斯坦提出光量子 （ 光子 ） 的概念,指出光具有波粒二象性 。
1923年,德布罗意 （ P.L.de Broglie） 提出实物粒子也具有波动性的假设 。 波粒二象性的假设,
为物质世界建立了一个统一的模型 。 物质具有波粒二象性是建立量子力学的一个基本出发点 。
1927 年,戴维孙 （ C.J.Davisson） 和革末
（ L.H.Germer） 通过镍单晶体表面对电子束的散射,观测到和 X光衍射类似的电子衍射现象；
同年,G.P.汤姆孙 （ G.P.Thomson） 用电子束通过多晶薄膜,证实了电子的波动性 。
1925年,海森伯 (W.Heisenberg)放弃电子轨道等经典概念,用实验上可观测到的光谱线的频率和强度描述原子过程,奠定了量子力学的一种形式 —矩阵力学的基础 。
1926年,薛定谔 (E.Schrodinger)
提出了非相对论粒子 （ 能量远小于静能 ） 的运动方程 —薛定谔方程,
由此方程出发的量子力学称为波动力学 。
矩阵力学和波动力学是等价的,前者偏重于物质的粒子性,后者偏重于物质的波动性,
它们是量子力学的两种不同描述方式 。 薛定谔方程是微分方程,数学工具人们比较熟悉,我们只简要介绍波动力学 。
同年,狄拉克 （ P.A.M,Dirac） 提出了电子的相对论性运动方程 —狄拉克方程,把狭义相对论引入薛定谔方程,统一了量子论和相对论,为研究粒子物理的量子场论奠定了基础 。
量子物理的理论基础独立于经典力学,同我们的日常感受格格不入 。 对于生活在宏观世界又比较熟悉经典力学的人们来说,学习量子物理确有一定难度 。 初学者往往试图用经典的概念去理解量子物理,这将使学习陷入困境 。
物理学是基于实验事实的信仰,对于量子物理来说尤其是这样 。 合理的假定总是有些道理可讲的,但它不能由更基本的假定或理论推导出来,其正确性只能用实验来检验 。 相信这些基本假定,并自觉应用它们去分析和解决问题,
是学习和理解量子物理的第一步 。
强烈建议做好预习,带着问题来上课,否则你会觉得被动和郁闷 。
首先介绍揭示波粒二象性的实验规律,它们不但是建立量子力学的实验基础,而且在现代科学技术中也有广泛的应用 。 然后简要介绍量子力学中的一些最基本的概念和规律 。
§ 1.1黑体辐射
△ § 1.2光电效应（自学）
§ 1.3光子、光的二象性
§ 1.4 康普顿效应
§ 1.5 实物粒子的波动性
§ 1.6 概率波与概率幅
§ 1.7不确定关系第 1章 波粒二象性
Wave-particle duality
§ 1.1黑体辐射 （ Black-body radiation）
物体由大量原子组成,热运动引起原子碰撞使原子激发而辐射电磁波 。 原子的动能越大,
通过碰撞引起原子激发的能量就越高,从而辐射电磁波的波长就越短 。
热运动是混乱的,原子的动能与温度有关,
因而辐射电磁波的能量也与温度有关 。
一、热辐射的基本概念
1、热辐射 （ thermal radiation）
例如,加热铁块,温度?,铁块颜色由看
蓝白 色不出发光? 暗红?橙色?黄白色这种 与温度有关 的 电磁辐射,称为 热辐射。
激光,日光灯发光就不是热辐射。
并不是所有发光现象都是热辐射,例如：
任何物体在任何温度下都有热辐射,波长自远红外区 连续 延伸到紫外区 （ 连续谱 ） 。
温度辐射中短波长的电磁波的比例?
1400K800K 1000K 1200K
几种温度下辐射最强的电磁波颜色头部的红外照片 （ 热的地方显白色,冷的显黑色 ）
低温物体 （ 例如人体 ） 也有热辐射,但辐射较弱,并且主要成分是波长较长的红外线 。
中国第一张红外照片 （熊大缜于 1935年在清华大学气象台顶上拍摄的北京西山夜景）
鸟的羽毛的颜色是不是热辐射？
3、光谱辐出度（单色辐出度） M?
这种 温度不变 的热辐射称为 平衡热辐射。
（单位时间内）T
单位面积
2、平衡热辐射则物体的温度恒定。
加热一物体,若物体所吸收的能量等于在同一时间内辐射的能量，
monochromatic energy density of radiation
M?— 单位时间内，从物体单位表面发出的频率 在?附近单位频率间隔内 的电磁波的能量。
d
)(d TEM?
Ed )d(
M?取决于 T,?和材料种类和表面情况
4、（总）辐出度（总发射本领） M(T)
radiant exitance
单位,w/m2
monochromatic absorptance
)(
)(
d
d
)(
入射吸收
E
E
T?
0
)()( dTMTM
5、单色吸收比（率）(T)
的物体，
维恩设计的黑体：
二、黑体 （ black body）
1、黑体：
的物体即 1
。黑体是理想化模型，
能完全吸收各种波长电磁波 而无反射不透明介质空腔开一小孔,电磁波射入小孔后,很难再从小孔中射出 。 小孔表面是黑体 。
即使是煤黑，对太阳光的?也小于 99%。
【 演示 】 黑体模型
2、基尔霍夫 （ Kirchhoff） 辐射定律
)(?
,TIMM
2
2
1
1
黑体的光谱辐出度最大,与构成黑体的材料无关 。 利用黑体可撇开材料的具体性质,普遍研究热辐射本身的规律 。
好的辐射体也是好的吸收体在平衡热辐射时
1
3
黑 T
),(
2
2
1
1?
TIMMM
黑体?
－与材料无关的普适函数)(?,TI
1?黑体
【 演示 】 好的辐射体也是好的吸收体一个黑白花盘子的两张照片室温，反射光1100K，自身辐射光三、黑体辐射谱（ M?～?关系）
测量黑体辐射谱的实验装置黑体热电偶 测 M?(T)
光栅光谱仪
T
对黑体加热，放出热辐射。
用光栅分光把辐射按频段分开。
用热电偶测各频段辐射强度，得 。)(TM
黑体辐射和热辐射实验曲线：
不同温度下的黑体辐曲线
M10 -8 W/(m2?Hz)?
/1014Hz
钨丝和太阳的热辐射曲线可见光区钨丝 M?/?(10 -8 W/(m2?Hz)?
太阳 M?/?10 -9 W/(m2?Hz)?
/1014Hz
太阳 (黑体 )
5800K
钨丝
2750K
面积为 M(T)
M? (10 -8 W/(m2? Hz))
/1014HzT
b
m
Km10898.2 3b
1、维恩位移定律
m = C? T
C? = 5.880× 1010 Hz/K
或
1893年由理论推导而得
m
黑体辐射的实验定律：
Wien displacement law
测?m=510nm,得 T表面 = 5700K设太阳为黑体，
2、斯特藩 （ Stefan ） — 玻耳兹曼定律
4)( TTM
—— 斯特藩 — 玻耳兹曼常量
428 Kw / m1067.5
斯特藩 — 玻耳兹曼定律和维恩位移定律是测量高温,遥感和红外追踪等的物理基础 。
1879年斯特藩从实验上总结而得
1884年 玻耳兹曼 从理论上证明辐射的振子模型四、经典物理遇到的困难
,3,2,1,2 n
n
a
n?
空腔壁产生的热辐射，
可想象成是以壁为节点的许多驻波。
如何从理论上找到符合实验的 函数式?)(TM
维恩（ W,Wien）公式
（ 1864-1928）W,Wien
1896年,维恩假设气体分子辐射的频率只与其速率有关,首先从理论上推出一个黑体辐射公式
TeTM /3)(
其中?,?为常量。
普朗克不太信服维恩公式的推导过程,认为维恩提出的假设没什么道理 。
高频段与实验符合很好,
低频段明显偏离实验曲线 。
瑞利 (Rayleigh) — 金斯 (Jeans)公式
L,Rayleigh(1842-1919)
1900年 6月,瑞利按经典的能量均分定理,把空腔中简谐振子平均能量取与温度成正比的连续值，得到一个黑体辐射公式
kTcTM 2
22
)(
123 KJ1038.1k
低频段与实验符合很好，高频段明显偏离实验曲线。
M,
“紫外灾难”！
/1014Hz
M? (10 - 9 W/(m2? Hz))
0
实验曲线
TeTM /3)(
,? 为常量
kTcTM 2
22
)(
（ 1896）
（ 1900）
K2000?T
“紫外灾难”
,物理学晴空中的一朵乌云 !”
五、普朗克的能量子假说和黑体辐射公式
1900年 10月,普朗克利用数学上的内插法,
把适用于高频的维恩公式和适用于低频的瑞利
－金斯公式衔接起来,得到一个半经验公式,
即 普朗克黑体辐射公式：
1
2)( 3
2 kThec
hTM
在全波段与实验曲线惊人地符合！
普朗克常量：
seV101 3 6.4
sJ106 2 6.6
15
34
h
/1014Hz
M? (10 - 9 W/(m2? Hz))
0
实验曲线
TeTM /3)(
,? 为常量
kTcTM 2
22
)(
（ 1896）
（ 1900）
K2000
1
2)( 3
2 kThec
hTM
普朗克黑体辐射公式符合实验曲线普朗克不满足,侥幸猜到,的半经验公式,
要,不惜任何代价,地去揭示真正的物理意义 。普朗克认为,空腔内壁的分子,原子的振动可以看成是许多带电的简谐振子,这些简谐振子可以辐射和吸收能量,并与空腔内的辐射达到平衡 。 从空腔小孔辐射出的电磁波,就是由这些空腔内壁的简谐振子辐射出的 。
普朗克大胆地假设,频率为 的简谐振子的能量值,只能取 的整数倍 。 即,简谐振子的能量是量子化的 （ quantization）,只能取下面的一系列特定的分立值
h?
,3,2,
能量 称为 能量子 (quantum of energy)，
空腔内的辐射就是由各种频率的能量子组成 。
上述假设称为 普朗克能量子假设 。
h?
在这一假设基础上,再运用经典的统计物理方法就可推出普朗克黑体辐射公式 。
能量子的假设对于经典物理来说是离经叛道的,就连普朗克本人当时都觉得难以置信 。 为回到经典的理论体系,在一段时间内他总想用能量的连续性来解决黑体辐射问题,但都没有成功 。
能量子概念的提出标志了量子力学的诞生,
普朗克为此获得 1918年诺贝尔物理学奖 。
1921 年 叶企孙,W.Duane,H.H.Palmer 测得：
sJ10)0 0 9.05 5 6.6( 34h
1986年推荐值,sJ106 2 60 7 5 5.6 34h
sJ1063.6 34h
1998年推荐值,sJ1062 60 68 76.6 34h
一般取：
4 TM积分
1
2)(
/
3
2 kThec
hTM
kTcTM 2
22
)(低频
TeTM /3)(高频
TCm求导由普朗克公式可导出其他所有热辐射公式：
在 1918年 4月普朗克六十岁生日庆祝会上,
爱因斯坦说：
在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是为了满足智力上的快感；有的人是为了纯粹功利的目的 。 而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那些普遍的基本规律,这是他无穷的毅力和耐心的源泉 。 … … 他成了一个以伟大的创造性观念造福于世界的人 。
普朗克 （ Max Karl Ernst Ludwig Planck）
1858－ 1947
叶企孙中国科学院学部委员用 X 射线方法测定普朗克常量，在国际上沿用了 16年。
清华大学首任物理系主任（ 1926）、首任理学院院长（ 1929）
（ 1898－ 1977）
证明所发出的带电粒子是电子。
光电效应,光照射某些金属时，能从表面释
△§ 6.2光电效应 （ photoelectric effect）
光电效应中 产生的电子称为,光电子”。
要求自学光电效应的实验规律和经典波动理论的困难。
光电效应引起的现象是 赫兹 在 1887年发现的，
当 1896年 J.J.汤姆孙 发现了电子之后,勒纳德 才放出电子的效应。
自学中要搞清以下几点：
① 光强 I 对饱和光电流 im的影响：
② 频率的影响：
截止电压 与 I 无关；
0UKU c
在?一定时，
。 Ii m?
存在红限频率
。 KU 00
③ 光电转换时间极短 <10-9s 。
2、波动理论的困难,不能解释以上②,③
1、实验规律 （特点）：
【 演示 】 光电效应
§ 6.3 光子、光的二象性一、爱因斯坦的光子理论光的发射、传播、吸收都是量子化的。
光子能量 h?
当普朗克还在寻找他的能量子的经典理论的根源时,爱因斯坦却大大发展了能量子的概念。
爱因斯坦光量子假设（ 1905）：
电磁辐射由以光速 c 运动的局限于空间某一
光量子具有,整体性”
小范围的光的能量子单元 — 光子 所组成，
二、光子理论对光电效应的解释
Ahm m221 v
A：逸出功光强?hNI N：光子数通量一束光就是以速率 c 运动的一束光子流。
一个光子将全部能量交给一个电子,
电子克服金属对它的束缚,从金属中逸出 。
IN单位时间打出光电子多?im?
光子打出光电子 是瞬时发生的 s)10( 9?
光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！
但是光量子理论在当时并未被物理学界接受，
h? > A 时才能产生光电效应，
所以存在：
h
A?
0?
红限频率普朗克在推荐爱因斯坦为柏林科学院院士时说不发生光电效应，
当? <A/h时，
,光量子假设可能是走得太远了。”
Ahm m221 v
0eUeKeU c
eKh?
1916年 密立根 （ R.A.Milikan） 做了精确的光电效应实验,利用 Uc—?的直线斜率 K，
这和当时用其他方法定出的 h符合得很好。 从而进一步证实了爱因斯坦的光子理论。 尽管如此，密立根还是认为光子理论是完全站不住脚的。
被人们接受是相当困难的。
可见，一个新思想要定出 h = 6.56?10-34J.s。
密立根 由于研究 基本电荷和 光电效应,特别是通过著名的油滴实验，证明电荷有最小单位,获得 1923
年诺贝尔物理学奖
1868 — 1953
爱因斯坦 由于对 光电效应 的理论解释和对 理论物理学 的贡献,获得
1921年诺贝尔物理学奖
1879 — 1955
三、光的波粒二象性 （ dualism）
波动性特征：
粒子性特征：
波长大或障碍物小 → 波动性突出波长小或障碍物大 → 粒子性突出统一于
,概率波”
、
pmE,、
hE?
2c
hm
h
c
hp
光作为电磁波是弥散在空间而连续的光作为粒子在空间中是集中而分立的光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定，
光子各向辐射等概率
2
1
r
I?r
点光源单缝衍射
I大，光子出现概率大；
I小，光子出现概率小。
光子是分立的，光强分布可以是连续的。
波面被分割，不表示光子被分割，
光子通过 1缝的 概率 正比于 I1,
1
2
I1
I2
双缝实验光子通过 2缝的 概率 正 比于 I2 。
光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比。
一,实验规律
1922?23年康普顿研究了 X射线在石墨上的散射
§ 6.4 康普顿效应 （ Compton effect）
光阑
X 射线管探测器
X 射线谱仪晶体
0
散射波长?,?0
石墨体
(散射物质 )
0
散射曲线的三个特点：
1、除原波长?0外，出现了移向长波方面的新的散射波长?,
2、新波长?随散射角?的增大而增大。
3、当散射角增大时，原波长的谱线强度降低，而新波长的谱线强度升高。
散射出现了?≠?0的现象，
.,.,,...,..,..,.
....
...,...
..
..,...
.,
.
..
..,.,.
..,.,...
..
..
..
.
.,
..
..,
.,...
.
.,..
..
o（ A）0.709 0.749 波长
....
.,.
o0
o45
o90
o135
称为 康普顿散射。
= 2.41?10-3nm（实验值）
只有当入射波长?0与?c可比拟时,康普顿实验表明：
)c o s1( c
2
s i n2 2 c?
c 称为电子的 康普顿波长
c = 0.0241?
新散射波长?>入射波长?0，
和散射物质无关。
波长的偏移=0 只与散射角?有关，
实验规律是：
效应才显著,因此要用 X射线才能观察到。
康普顿用光子理论做了成功的解释：
X射线光子与,静止” 的,自由电子” 弹性碰撞
碰撞过程中能量与动量守恒二、康普顿效应的理论解释经典电磁理论难解释为什么有?≠?0的散射，
碰撞?光子把部分能量传给电子外层电子束缚能 ~ eV,室温下 kT~10-2eV）
（ 波长 1?的 X射线,其光子能量 104 eV，
e
自由电子 （ 静止 ）
0?h
v?m
m0
h?
光子的能量?
散射 X射线 频率?波长?
2200 mchcmh
v mechech 00
220 /1/ cmm v
能量守恒动量守恒反冲电子质量解得,)c o s1(
c
e000 echp echp
v?m
m0自由电子（静止）
)co s1(
00
0 cm
hcc
m
103101.9
1063.6
831
34
0
cm
h
c?
= 2,43?10-3nm
等于实验值这是因为光子还可与石墨中被原子核束缚为什么康普顿散射中还有原波长?0 呢？
光子和整个原子碰撞。
内层电子束缚能 103~104eV，不能视为自由，
而应视为与原子是一个整体。 所以这相当于光子原子 mm
∵
即 散射光子波长不变,散射线中还有与原波
∴ 在弹性碰撞中，入射光子几乎不损失能量，
得很紧的电子发生碰撞。
长相同的射线。
1、为什么康普顿效应中的电子不能像光电效应三、讨论几个问题违反相对论 ！
自由电子不能吸收光子，只能散射光子。
c v
2200 mccmh
00
0 eme
c
h v
220 /1/ cmm v
2
2
11
cc
vv
那样吸收光子，而是散射光子？
上述过程不能同时满足能量、动量守恒。
假设自由电子能吸收光子，则有因此：
2、为什么在光电效应中不考虑动量守恒？
∴ 光子? 电子系统仍可认为能量是守恒的。
在光电效应中，入射的是可见光和紫外线，
光子能量低，电子与整个原子的联系不能忽略，
原子也要参与动量交换,光子? 电子系统动量不守恒。 但原子质量较大，能量交换可忽略，
3、为什么可见光观察不到康普顿效应？
可见光光子能量不够大，原子内的 电子不能视为自由,所以可见光不能产生康普顿效应。
四,康普顿散射实验的意义
支持了,光量子” 概念，进一步证实了
首次实验证实了爱因斯坦提出的,光量子
证实了 在微观领域的单个碰撞事件中,
动量和能量守恒定律仍然是成立的 。
康普顿获得 1927年诺贝尔物理学奖。
p =? /c = h? /c = h /?
= h?
具有动量” 的假设康普顿
（ A,H.Compton)
美国人 (1892-1962）
1925?26年他用银的 X射线（?0 = 5.62nm）
五、吴有训对康普顿效应研究的贡献吴有训 1923年参加了发现康普顿效应的研究康普顿效应作出了重要贡献。
在同一散射角（?=120?） 测量各种波长的散射以 15种轻重不同的元素为散射物质，为入射线，
光强度，作了大量 X 射线散射实验。 这 对证实工作，
吴有训的康普顿效应散射实验曲线：
1,与散射物质无关,仅与散射角有关 。曲线表明：
2、轻元素 重元素，
0 II? 0 II?
。
散射角
01 2 0
证实了康普顿效应的普遍性
证实了两种散射线的产生机制：
－ 外层电子（自由电子）散射
0 －内层电子（整个原子）散射的证据。
吴有训工作的意义：
在康普顿的一本著作,X? Rays in theory
and experiment,（ 1935）中，有 19处 引用了吴有训的工作。 书中两图并列作为康普顿效应
20世纪 50年代的吴有训吴有训 （ 1897—1977）
物理学家、教育家、
中国科学院副院长，
曾任清华大学物理系主任、理学院院长。
1928年被叶企孙聘为清华大学物理系教授，
对证实康普顿效应作出了重要贡献光 (波 )具有粒子性，那么实物粒子具有一、德布罗意假设波动性吗?
L.V,de Broglie （ 法国人,1892? 1986 ）
从自然界的对称性出发，
具有粒子性，那么实物粒子也应具有波动性。
1924.11.29德布罗意 把题为,量子理论的研究”
的博士论文提交给了巴黎大学。
§ 6.5 实物粒子的波动性认为既然光 (波 )
与粒子相联系的波称为 物质波 或 德布罗意波，
一个能量为 E、动量为 p 的实物 粒子,同时
p
h
h
E
hp?
hE?
他在论文中指出：
关系与光子一样,
它的波长?,频率?和 E,p的德布罗意关系
— 德布罗意波长 （ de Broglie wavelength）
也具有 波动 性，
物质波的概念可以成功地解释原子中令人
r nhrm v?2
－ 轨道角动量量子化
“揭开了自然界巨大帷幕的一角”
“看来疯狂，可真是站得住脚呢”
nr?2
p
h
稳定轨道波长论文获得了评委会高度评价。
困惑的轨道量子化条件。
爱因斯坦称：
,3,2,1,2 nnnhl?
路易,德布罗意
Louis.V.de Broglie
法国人
1892 — 1986
提出电子的波动性
1929年获诺贝尔物理奖
Em
h
p
h
02
eUm
h
p
h
02
U=150V时,?=0.1nm
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。
在论文答辩会上，佩林问：
“这种波怎样用实验耒证实呢？”
德布罗意答道：
“用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”
电子的波长：
设加速电压为 U
（单位为伏特）
— X 射线波段
（ 电子 v << c）
)nm(22 5.1
U
二、电子衍射实验
戴维孙 (Davisson)革末 (Germer)实验 (1927)
当满足 2dsin? = n?,
n= 1,2,3,… 时,应观察到电流 I 为极大 。
G
Ni 片
（ 单晶 ）
抽真空
U
I?
C CC
I
U
nC
emd
hnU
02s i n2?
当,2C,3C… 时，
CU?
eUm
h
p
h
02
实验观察到 I 为极大！
G.P.汤姆孙 （ G.P.Thomson） 实验 （ 1927）
1929年德布罗意获诺贝尔物理奖电子通过金多晶薄膜衍射金多晶薄膜电子束衍射图象
1937年戴维孙,G.P.汤姆孙共获诺贝尔物理奖
【 演示 】 电子衍射 （ 电子通过镍多晶 ）
约恩孙 （ Jonsson） 实验 （ 1961）
电子单、双、三、四缝衍射实验：
质子、中子、原子、分子 … 也有波动性。
mmm h,1v
单 缝 双 缝 三 缝 四 缝宏观粒子 m 大, 0，表现不出波动性。
【 例 】 m = 0.01kg,v = 300 m/s 的子弹
m34
34
1021.2
3 0 001.0
1063.6
vm
h
p
h?
h极小? 宏观物体的波长小得实验难以测量
“宏观物体只表现出粒子性”
h? 0,
波动光学 几何光学 ）（ 0：
量子物理 经典物理
c,相对论 牛顿力学两把自然尺度,c 和 h
波长
§ 1.6 概率波与概率幅一、对物质波的理解，概率波的概念薛定谔,波是基本的，
波包总要扩散,而电子是稳定的。
德布罗意,物质波是引导粒子运动的,导波”。
— 本质是什么，不明确。
电子是,物质波包”。
通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的一部分,如果波代表实体,那就意味着能观测到电子的一部分,这与显示电子具有整体性的实验结果矛盾 。
—夸大了波动性，抹煞了粒子性。
另一种理解,粒子是基本的,电子的波动性是大量电子之间 相互作用的结果 。
为防止电子间发生作用,让电子一个一个地入射,发现时间足够长后的干涉图样和大量电子同时入射时完全相同 。
这说明,电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时相互作用的结果,而是单个电子就具有波动性 。 换言之,干涉是电子,自己和自己,的干涉 。
无论是大量电子同时入射,还是电子一个一个地长时间地入射,都只是让单个电子干涉的效果在底片上积累并显现出来而已 。
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
70000
3000 20000
7个电子 100个电子底片上出现一个个的点子?电子具有 粒子性。
“一个电子”所具有的波动性，
来源于而不是电子间相互作用的结果。
随着电子增多，逐渐形成衍射图样一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。
玻恩 （ M.Born）,
子在空间的概率分布的“概率波”。
德布罗意波 并不像经典波那样是代表实在物理量的波动,而是描述粒尽管单个电子的去向是概率性的,但其概率在二,波函数及其统计解释
1、波函数 （ wave function）
平面简谐波函数,y = Acos(? t-kx)
复数表示：
概率波波函数：
2、波函数的统计解释
)( kxtiAey
，（ ),txΨ一维 ),( trΨ?三维物质波是“概率波”，
在空间各处出现的概率呢？
它是怎样描述粒子量子力学假定：微观粒子的状态用波函数表示 。
玻恩对? 的统计解释 (1926),波函数? 是描述粒子在空间概率分布的,概率振幅,。其模方
),(),(),( *2 trΨtrΨtrΨ
代表 t 时刻，在坐标 附近单位体积中发现一个粒子的概率，
r?
r
dV
x
y
z 在 t 时刻，在 附近 dV
内发现粒子的概率为：
r?
VtrΨ d),( 2?
在空间?发现粒子的概率为,
Ω
VtrΨ d,2?
称为,概率密度”。
它无直接的物理意义，
对单个粒子：
不同于经典波的波函数，),( trΨ?
和波函数的位相。有意义的是 2
Ψ
给出粒子概率密度分布；2
Ψ
对大量粒子,2
ΨN
给出粒子数的分布；
3、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义只开上缝?P1
只开下缝?P2
双缝 齐开?P12=P1+P2
（ 1）子弹穿过双缝
（ 2）光波只开上缝?光强 I1
只开下缝?光强 I2
双缝齐开?
通过上缝的光波用 描述tiexA?)(
1
通过下缝的光波用 描述tiexA?)(
2
双缝 齐开时的光波为 tieAA?)(
21?
光强为
*
212
*
1
2
2
2
1
2
2112 AAAAAAAAI
21 II
+干涉项 干涉项
2112 III
双缝齐开时，电子可通过上缝也可通过下缝，
（ 3）电子电子的状态用只开上缝时,电子有一定的概率通过上缝，
)(1 x?其状态用 描述，
只开下缝时,电子有一定的概率通过下缝，
211 ||ΨP?
电子的概率分布为
)(2 x?其状态用 描述,222 ||ΨP?电子的概率分布为
1? 2?,都有。
通过双缝后，
分布是 d不是 c。
波函数?描述。
通过上、下缝各有一定的概率，
22121212 |||| ΨΨΨP 212221 PP||Ψ||Ψ
出现了干涉。
是由于概率幅的线性叠加产生的。
即使只有一个电子，当双缝齐开时，
两部分概率幅的叠加就会产生干涉。
微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的它的状态也要用 来描述。
2112 ΨΨΨ
衍射图样是概率波的干涉结果。
可见，干涉是概率波的干涉，
总的概率幅为
2112 ΨΨΨ
相干叠加性。
4、统计解释对波函数提出的要求
1）有限性,在空间任何有限体积元?V中找到归一化,在空间各点的概率总和必须为 1。
1d,2 VtrΨ? )(,全空间
A
1 — 归一化因子归一化条件：
根据波函数的统计解释，它应有以下性质：
)d( 2 VΨ
V
必须为有限值。粒子的概率
，AVtrΨ d,2?若
1d,1
2
VtrΨ
A
则
2） 单值性：
度在任意时刻、任意位置都是确定的。
3） 连续性：
波函数应单值,从而保证概率密
对于势场连续点,或势场不是无限大的间断点,波函数的一阶导数连续 。 （ 后面证明 ）
波函数连续,保证概率密度连续。
波函数作出的统计解释,获得了 1954年诺贝玻恩 （ M.Born，英籍德国人,1882? 1970）
由于进行了量子力学的基本研究,特别是 对尔物理学奖。
波函数本身,测不到,看不见,,是一个很抽象的概念,但是它的模方给我们展示了粒子在空间分布的图像,即粒子坐标的取值情况 。 当测量粒子的某一力学量的取值时,只要给定描述粒子状态的波函数,按照量子力学给出的一套方法就可以预言一次测量可能测到哪个值,以及测到这个值的概率是多少 。
对波恩的统计诠释是有争论的,爱因斯坦就反对统计诠释 。 他不相信,上帝玩掷骰子游戏,,认为用波函数对物理实在的描述是不完备的,还有一个我们尚不了解的,隐参数,。 虽然至今所有实验都证实统计诠释是正确的,但是这种关于量子力学根本问题的争论不但推动了量子力学的发展,而且还为量子信息论等新兴学科的诞生奠定了基础 。
与自由粒子相联系的德布罗意波,是一个单色平面波 。
5、自由粒子的波函数沿 +x传播的单色平面波，波函数：
)c o s (),( kxtAtxy
)(),( kxtiAetxy
复数形式可写成微观粒子波函数一般是坐标和时间的复函数,
因此采用复数形式的平面波表达式,只要把其中 描述波动性的参量 ω,k换成 描述粒子性的参量 E,p就可以了 。
E
h
E 22
seV106,5 8sJ1005.12 - 1634h?
其中
,)(),( Et
i
extx
由德布罗意关系,得
p
h
h
E,
p
h
pk
22
)(),( EtpxiAetx自由粒子波函数：
pxiAex)(? （空间因子）
pxiAex)(?
自由粒子波函数：
三维：
rpiAer)(?
.c on s t?p?
.c o ns t 22 A?
概率密度：
空间位置完全不确定，动量取确定值
【 思考 】 自由粒子波函数能归一化吗？
p>0：向右
p<0：向左
xAxx d22 d)(?
原因,Φ(x)代表全空间理想平面波,而实际的自由粒子,例如由加速器引出的粒子束,只能分布在有限的空间内 。 若限定粒子只能出现在某一区间,则自由粒子波函数变成
2,0
2,)(
Lx
LxAex
px
i
1)(
2
2
22
L
L
xAxx dd?
LA
1?
这称为,箱归一化,,上式表示的就是自由粒子的,箱归一化,波函数 。
“归一化”的自由粒子波函数：
2,0
2,
1
)(
Lx
Lxe
Lx
px
i
为回到原来理想平面波的情况,只要在用箱归一化波函数所得结果中,令 L→ ∞ 就可以了 。
三、状态叠加原理量子力学要求：
也是该体系的一个 可能的状态 。 展开系数 Cn为任意复常数 。
若叠加中各状态间的差异无穷小，
d C
积分代替求和：
n
nnC
则应该 用
21,,则它们的 线性组合若体系具有一系列互异的可能状态四、对波粒二象性的理解粒子性
“原子性”或“整体性”：
具有集中的能量 E和动量 p
不是经典粒子！ 抛弃了“轨道”概念！
波动性
“相干叠加”、干涉、衍射、偏 振
不是经典波 ！ 不代表实在物理量的波动 。
具有波长?和波矢
)2( ek?
只在空间和时间的很小区域内,作为一个整体产生效果 。
轨道：粒子在任意时刻都具有确定的位置和速度,从而下一时刻的位置和速度完全确定 。
但这和粒子性本身是完全不同的两个概念 。
两种图象不会同时出现在你的视觉中 。
少女？ 老妇？
微观粒子在某些条件下表现出粒子性,在另一些条件下表现出波动性,
而两种性质虽寓于同一客体体中,却不能同时表现出来 。
§ 1.7 不确定度关系 （ uncertainty relation）
经典粒子的轨道概念在多大程度上适用于微观世界？ 1927年,海森伯分析了一些理想实验并考虑到德布罗意关系,得出不确定度关系
（ 测不准关系 ）,粒子在同一方向上的坐标和动量不能同时确定 。
如果用?x代表位置的测量不确定度 （ 不确定范围 ）,用?px代表沿 x方向的动量的测量不确定度,那么它们的乘积有一个下限,即
2
xpx
速度不确定度?v和速度本身 v数量级相同,
电子速度完全不确定 。
【 例 】 原子的线度按 估算,原子中电子的动能按 估算,论证原子中电子的运动不存在轨道 。
m10 10?
eV10
2 xpx
解
s)(m106.0101011.92 1005.2 61031
- 34
1xmv?
)sm(102
1011.9
106.11022 6
31
19
mEv k
从而下一时刻电子位置完全不能确定,轨道的概念失去意义 。
2,2,2
zyx pzpypx
不确定度关系：
2
tE
能量和时间之间的不确定度关系：
t：测量能量经历的时间范围,?E,测量误差。
~
τ：寿命,Γ,能级宽度。
不确定度关系是微观体系具有波粒二象性的必然结果,本质上不是由测量仪器对体系干扰造成 。 以电子单缝衍射为例来分析。
电子通过狭缝时,x 方向 位置不确定度 ax?Δ
hhpx 1
1
x s i ns i nΔΔ
1s i nΔ?pp x? 1s i n
h
1s i n0?pp x
x 方向 动量不确定度：
1s i nx
电子束
1
1
p p
x
a
x
认为电子集中在该区域
p
h
2?
hpx xΔΔ
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
【 例 】 设子弹质量为 0.01kg,枪口直径为 0.5cm，
试分析波粒二象性对射击瞄准的影响 。
横向速度的不确定度为解
)sm(101,1100,5102 101,0 52 3022
- 34
xmv x
这可以看成是横向速度的最大值,它远远小于子弹从枪口射出时每秒几百米的速度,
因此对射击瞄准没有任何实际的影响 。
子弹的运动几乎显现不出波粒二象性 。
【 例 】 动能 Ek?108 eV的电子射入威尔逊云室,
径迹的线度?10? 4cm，问,轨道”概念适用否？
解 电子横向位置的不确定度?x?10? 4cm。
横向动量的不确定度
128 smkg10
2
xp x
123 smkg108.12 kmEp电子动量为显然?px<<p,?px对电子运动几乎没影响,
轨道概念仍适用 。 实验上正是通过粒子在云室中留下的径迹 （ 轨道 ） 来探测高能粒子 。
96
威尔逊云室中宇宙线（高能粒子）的径迹
【 演示 】 α粒子通过 威尔逊云室乙醇
Ra衰变? α粒子
