动态电路的方程及其初始条件7.1 一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7
一阶电路的零输入响应7.2 一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8*
一阶电路的零状态响应7.3 卷积积分7.9*
一阶电路的全响应7.4 状态方程7.10*
二阶电路的零输入响应7.5
二阶电路的零状态响应和全响应7.6
动态电路时域分析中的几个问题7.11*
首 页本章重点第 7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；
重点
3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
返 回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
1,动态电路
7.1 动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
下 页上 页特点返 回例
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零电阻电路下 页上 页
+
-
us
R1
R2
（ t = 0）i
返 回
i = 0,uC= Us
i = 0,uC = 0
k接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：
k未动作前,电路处于稳定状态：
电容电路下 页上 页
k
+
–
uCUs
R
C
i(t = 0)
+
-
(t →?)
+
–
uCUs
R
C
i
+
-
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期返 回
uL= 0,i=Us /R
i = 0,uL = 0
k接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路：
k未动作前,电路处于稳定状态：
电感电路下 页上 页
k
+
–
uLUs
R i(t = 0)
+
-
L
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
US/Ri
t0
uLSU 有一过渡期返 回下 页上 页
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
k未动作前,电路处于稳定状态,uL= 0,i=Us /R
k断开瞬间 i = 0,uL =?
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。
注意
k
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
返 回过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
w
p
Δ
Δ
电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化
p0Δ?t
下 页上 页返 回
)(
d
d
SC
C tuu
t
uRC
应用 KVL和电容的 VCR得：
若以电流为变量,)(d1 S tuti
C
Ri
t
tu
C
i
t
iR
d
)(d
d
d S
2,动态电路的方程下 页上 页
(t >0)
+
–
uCUs
R
C
i
+
-
)(SC tuuRi
t
uCi
d
d C?
例 RC电路返 回
)(SL tuuRi
)(
d
d
S tut
iLRi
应用 KVL和电感的 VCR得,
t
iLu
d
d
L?
若以电感电压为变量,)(d
SLL tuutuL
R
t
tu
t
uu
L
R
d
)(d
d
d SL
L
下 页上 页
(t >0)
+
–
uLUs
R i
+
-
RL电路返 回有源电阻电路一个动态元件一阶电路下 页上 页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
返 回
)(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tuu
t
uRC
t
uLC
)(SC tuuuRi L
二阶电路t
uCi
d
d C?
2
C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLu
L
下 页上 页
(t >0)
+
–
uLUs
R i
+
- C
uC＋－
RLC电路应用 KVL和元件的 VCR得,
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
返 回一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
① 描述动态电路的电路方程为微分方程；
② 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。
0)(
d
d
01 ttexat
xa
0)(
d
d
d
d
012
2
2 ttexat
xa
t
xa
二阶电路 二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。
下 页上 页结论返 回高阶电路 电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。
0)(
d
d
d
d
d
d
011
1
1
ttexat
xa
t
xa
t
xa
n
n
nn
n
n?
动态电路的分析方法
① 根据 KVL,KCL和 VCR建立微分方程；
下 页上 页返 回复频域分析法时域分析法
② 求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
下 页上 页返 回稳态分析和动态分析的区别稳态 动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的通解任意激励
SUxat
xa
01 d
d
0?dtdxt SUxa?0
下 页上 页直流时返 回
① t = 0＋ 与 t = 0－ 的概念 认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间
0＋ 换路后一瞬间
3.电路的初始条件
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
初始条件为 t = 0＋ 时 u,i 及其各阶导数的值。
下 页上 页注意
0
f(t)
)0()0( ff
0－ 0＋
)0()0( ff
t
返 回图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例解
0
d
d
c
c u
t
uRC
)0( 0 tuRi c
特征根方程,01R C p RCp 1
通解：
oUk?
RC
t
pt
c keketu
)(
代入初始条件得,RCtoc eUtu)(
在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
下 页上 页明确
R
－
+
C
i
uC
(t=0)
返 回
d)(1)(?
tC i
C
tu
d)(1d)(1
0
0
t i
C
i
C
d)(1)0(
0
tC i
C
u
t = 0+ 时刻 d)(1)0()0( 0
0?
i
C
uu CC
i u
c C
+
-
② 电容的初始条件
0
下 页上 页当 i(?)为有限值时返 回
q (0+) = q (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
q =C uC
电荷守恒下 页上 页结论返 回
d)(1)(?
tL uLti
d))(1d)(1
0
0
t u
L
u
L
d)(1)0()0( 0
0?
uLii LL
③ 电感的初始条件
t = 0+时刻
0 d)(
1)0(
0
tL u
L
i
下 页上 页当 u为有限值时
iL
u L
+
-
返 回
L (0＋ )=?L (0－ )
iL(0＋ )= iL(0－ )
LLi
磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
下 页上 页结论返 回
L(0+)=?L (0－ )
iL(0+)= iL(0－ )
qc (0+) = qc (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
④ 换路定律
① 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）
换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）
换路前后保持不变。
② 换路定律反映了能量不能跃变。
下 页上 页注意返 回
⑤ 电路初始值的确定
(2)由换路定律
uC (0+) = uC (0－ )=8V
mA2.010 810)0(Ci
(1) 由 0－ 电路求 uC(0－ )
uC(0－ )=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+)
iC(0－ )=0 iC(0+)
例 1 求 iC(0+) 电容开路下 页上 页
+
-
10V
i
iC +
uC
-S
10k
40k
+
-
10V
+
uC
-
10k
40k
+
8V
-
0+等效电路
+
-
10V
i iC10k
电容用电压源注意返 回
)0()0( LL uu
iL(0+)= iL(0－ ) =2A
V842)0(Lu
例 2 t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
① 先求
A241 10)0(Li
② 应用换路定律,
电感用电流源替代
)0(?Li解电感短路下 页上 页
iL
+
uL
-
L10V S
1? 4?
+
-
iL
10V
1? 4?
+
-
③ 由 0+等效电路求 uL(0+)
2A
+
uL
-10V
1? 4?
+
-
注意返 回求初始值的步骤,
1.由换路前电路（稳定状态）求 uC(0－ )和 iL(0－ )；
2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3.画 0+等效电路。
4.由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
a,换路后的电路
（取 0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
下 页上 页小结返 回
iL(0+) = iL(0－ ) = iS
uC(0+) = uC(0－ ) = RiS
uL(0+)= - RiS
求 iC(0+),uL(0+)
0)0( RRiii SsC
例 3
解 由 0－ 电路得,
下 页上 页由 0+电路得,
S(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
R
iS iC
R
iS
0－ 电路
uL+ –
iC
R
iS
RiS
+
–
返 回
V24122
)0()0(
CC uu
A124/48
)0()0(
LL ii
例 4 求 k闭合瞬间各支路电流和电感电压解
A83/)2448()0(Ci
A20812)0(i
V2412248)0(Lu
下 页上 页由 0－ 电路得,由 0+电路得,
iL
+u
L-LS
2?
+
-
48V
3?
2? C
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
返 回
12A
24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
求 k闭合瞬间流过它的电流值解 ① 确定 0－ 值
A12020)0()0( LL ii
V10)0()0( CC uu
② 给出 0＋ 等效电路
A2110101020)0(ki
V1010)0()0( LL iu
A110/)0()0( CC ui
下 页上 页例 5
iL
+20V
-
10?
+ uC
10? 10?
－iL
+20V
-
L
S
10?
+ u
C
10? 10?
C
－
返 回
1A
10V
ki
+ uL －
iC
+20V
-
10? 10? 10?
－
7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。
1.RC电路的零输入响应已知 uC (0－ )=U0
0 CR uu
t
uCi C
d
d
uR= Ri
零输入响应下 页上 页
iS(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
返 回
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
RCp
1特征根特征方程 RCp+1=0
tRC eA 1pt
C eAu?
则下 页上 页代入初始值 uC (0+)=uC(0－ )=U0
A=U0
iS(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
返 回
000
teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
0
0
teUu RC
t
c
RC
t
RC
t
C e
R
U
RC
eCU
t
uCi 0
0 )
1(
d
d
下 页上 页或返 回
t
U0 uC
0
I0
t
i
0
令? =RC,称?为一阶电路的时间常数
秒伏安秒欧伏库欧法欧?
RC?
① 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
连续函数 跃变
② 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关 ;
下 页上 页表明返 回时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= RC
大 → 过渡过程时间长
小 → 过渡过程时间短电压初值一定：
R 大 （ C一定 ） i=u/R 放电电流小 放电时间长
U0
t
uc
0?小
大
C 大 （ R一定 ） W=Cu2/2 储能大
11
RCp
物理含义下 页上 页返 回
a,?,电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
工程上认为,经过 3?－ 5?,过渡过程结束。
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0 U0 U0 e
-1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
下 页上 页注意返 回
＝ t2－ t1
t1时刻曲线的斜率等于
21
1C
1C
0C 0)()(1
d
d
11 tt
tutueU
t
u
t
t
t?
U0
t
uc
0
t1 t2
)(3 6 8.0)( 1C2C tutu?
次切距的长度下 页上 页
RC
t
eUu 0C
返 回
b,时间常数?的几何意义：
③ 能量关系
tRiW R d0 2
电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量,2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量：
tReRU RC
t
d)( 2
0
0
2
02
1 CU?
te
R
U RC t d2
0
2
0
0
2 2
0 |)
2
( RC
t
eRC
R
U
下 页上 页
uC R
+
－
C
返 回例 1 图示电路中的电容原充有 24V电压，求 k闭合后，
电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：
+
uC 4?
5F
－
i1
t >0
等效电路
0 0C teUu RC
t
下 页上 页
i3
S
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
s 2045 V 240 RCU?
返 回
+
uC 4?
5F
－
i1
0 V24 20 teu
t
c
分流得：
A64 20 1
t
C eui
A4
3
2 20
12
t
eii A23
1 20
13
t
eii
下 页上 页
i3
S
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
返 回下 页上 页例 2 求,(1)图示电路 k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律,(2） 电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。
解 这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：
F4
21
12 μ
CC
CCC?
u (0+)=u(0－ )=20V
返 回
u1（ 0-） =4V
u
S
C1=5?F
+
+
-
--
i
C2=20?F u2（ 0-） =24V
250k?
+
下 页上 页
u
k
4?F
+ +
--
i
20V 250k? 020 teu t
s 1104052 3RC?
A8010250 3?teui
V)2016(
d80
5
1
4)(
1
( 0 )
00
1
11
t
t tt
e
ted ξξi
C
uu
V)204(
d80
20
1
24d)(
1
( 0 )
00
2
22
t
t tt
e
teξξi
C
uu
返 回下 页上 页
J40)16105(21 6-1w
J5 0 0 05 8 0 0
初始储能
J5760)241020(21 26-2w
最终储能
J5 0 0 0201020)5(21 26-11 www
电阻耗能
J800d)80(10250d 0 230 2R t t tetRiw
返 回
2,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
Rp特征根代入初始值 A= iL(0+)= I0
0
1
)0()0( IRR Uii SLL
00dd LL tRitiL
ptAeti?)(
L
0)( 00L teIeIti tL
R
pt
t >0
下 页上 页
iL
S(t=0)US L
+
–
uL
RR1+
-
i
L
+
–
uLR
返 回
RL
t
L
L eRIt
iLtu /
0)(
d
d
0)( / 0 teIti RL
t
L
t
I0 iL
0
连续函数跃变
① 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
下 页上 页表明
-RI0
uL
t
0
i
L
+
–
uLR
返 回
② 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关 ;
下 页上 页
][][][][][][ 秒欧安秒伏欧安韦欧亨?
R
L?
令 称为一阶 RL电路时间常数? = L/R
时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
L大 W=LiL2/2 起始能量大
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小 放电慢,? 大
大 → 过渡过程时间长? 小 → 过渡过程时间短物理含义 电流初值 iL(0)一定：
返 回
③ 能量关系
tRiW R d 0 2
电感不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕。
设 iL(0+)=I0
电感放出能量,2
02
1 LI
电阻吸收（消耗）能量：
tReI RL
t
d2/0 0 )(
2
02
1 LI?
teRI RL
t
d/
2
0
2
0
0
2
2
0 |)2
/( RC t eRLRI
下 页上 页
i
L
+
–
uLR
返 回
iL (0+) = iL(0－ ) = 1 A
uV (0+)=－ 10000V
造成 V 损坏。
例 1 t=0时,打开开关 S,求 uv
0/ t ei t L?
。电压表量程,50V
sRR L
V
4104
1 0 0 0 0
4
010000 2500 teiRu tLVV
解下 页上 页
iL
S(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?
V RV
10k?
10V
iL
L
R
10V
+
-
返 回例 2 t=0时,开关 S由 1→2,求 电感电压和电流及开关两端电压 u12。
s166 RL?
解 A263 66//324 24)0()0( LL ii
66//)42(3R
下 页上 页
i
+
–
uL
6?
6H
t >0
iL
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4? 4?
6?+
－
uL
2?
1 2
返 回
0 V12A 2 te
t
iLuei tL
L
t
L d
d
V424
2
42412 tL eiu
下 页上 页
i
+
–
uL
6?
6H
t >0iL
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4? 4?
6?+
－
uL
2?
1 2
返 回
① 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t
eyty
)0()(
iL(0+)= iL(0－ )
uC (0+) = uC (0－ )RC电路
RL电路下 页上 页小结返 回
④ 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，
称为零输入线性。
② 衰减快慢取决于时间常数?
③ 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
下 页上 页小结
= R C? = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
RC
电路 RL电路返 回动态元件初始能量为零，由 t >0电路中外加激励作用所产生的响应。
SC
C
d
d Uu
t
uRC方程：
7.3 一阶电路的零状态响应解答形式为：
CCC uuu
1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下 页上 页
i
S(t=0)
US
+ –uR C+
–
uC
R
uC (0－ )=0
+
–
非齐次线性常微分方程返 回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
RC
t
AeuC
变化规律由电路参数和结构决定的通解 0
d
d
C
C u
t
uRC
SC Uu
通解（自由分量，暂态分量）Cu
特解（强制分量）
Cu?
SC
C
d
d Uu
t
uRC的特解下 页上 页返 回全解
uC (0+)=A+US= 0 A= － US
由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
RC
t
AeUuutu SCCC )(
下 页上 页
)0( )1( S SSC teUeUUu RC
t
RC
t
从以上式子可以得出,RCte
R
U
t
uCi SC
d
d
返 回
-US uC‘
uC“U
S
t
i
R
US
0
t
uC
0
① 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：
连续函数跃变稳态分量（强制分量） 暂态分量（自由分量）
下 页上 页表明
+
返 回
② 响应变化的快慢，由时间常数?＝ RC决定；? 大，
充电慢,? 小充电就快。
③ 响应与外加激励成线性关系；
④ 能量关系
2
S2
1 CU电容储存能量：
电源提供能量,2
SS0 S d CUqUtiU
2
S2
1 CU?
电阻消耗能量,tR
R
UtRi RC te d)(d 2
0
S
0
2
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
下 页上 页表明
R
C
+
-
US
返 回例 t=0时,开关 S闭合，已知 uC(0－ )=0,求 (1)电容电压和电流,(2) uC＝ 80V时的充电时间 t。
解 (1)这是一个 RC电路零状态响应问题，有：
)0( V)1(100 )1( 200 SC t-eeUu t-RC
t
s105105 0 0 35 RC?
A2.0d 200SC tRC
t
eeRUtuCi d
(2)设经过 t1秒,uC＝ 80V
,t-e t- s0458)1(10080 1200 1 m
下 页上 页
500?
10?F
+
-
100V
S
+
－
uC
i
返 回
2,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
t
iL
d
d
)1(SL
t
L
R
e
R
Ui
已知 iL(0－ )=0，电路方程为：
LLL iii
t
iL
R
US
0
R
Ui S
L A0)0(
tLRAe
R
U S
下 页上 页
iLS(t=0)
US
+ –uR
L
+
–
uL
R
+
—
返 回
)1(SL
t
L
R
e
R
Ui
t
L
R
eU
t
iLu
S
L
L d
d
uL
US
t0
下 页上 页
iLS(t=0)
US
+ –uR
L
+
–
uL
R
+
—
返 回例 1 t=0时,开关 S打开，求 t >0后 iL,uL的变化规律。
解 这是 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
Ω200300//20080eqR
s01.02 0 0/2/ eq RL?
t > 0
下 页上 页
A10)(Li A)1(10)( 1 0 0L teti
V200010)( 100100eqL tt eeRtu
返 回
iL
S
+
–
uL2H
R 80?
10A
200
300
iL
+
–
uL2H10A Req
例 2 t=0开关 k打开，求 t >0后 iL,uL及电流源的电压。
解 这是 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
201010eqR V201020U
s1.020/2/ eq RL?
下 页上 页
iL
+
–
uL2HU
o
Req+
－
t > 0
A1/)( eq0 RUi L
A)1()( 10 tL eti V20)( 10100 ttL eeUtu
)V1020(105 10S tLL euiIu
返 回
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A
10?
5?
+
–
u
7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
Sd
d Uu
t
uRC
C
C
以 RC电路为例，电路微分方程：1,全响应全响应下 页上 页
i
S(t=0)
US
+ –uR
C
+
–
uC
R
解答为,uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US
通解?t
C Aeu
= RC
返 回
uC (0－ )=U0
uC (0+)=A+US=U0? A=U0 - US
由初始值定 A
下 页上 页
0)( 0
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
返 回
2,全响应的两种分解方式
uC"
-USU0 暂态解
uC'US
稳态解
U0 uc 全解
t
uc
0
全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
① 着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰下 页上 页返 回全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
② 着眼于因果关系 便于叠加计算下 页上 页零输入响应零状态响应
S(t=0)
US C
+
–
R
uC (0－ )=U0
+
S(t=0)
US C
+
–
R
uC (0－ )=U0
S(t=0)
US C
+
–
R
uC (0－ )= 0
返 回
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
下 页上 页返 回例 1 t=0 时,开关 k打开，求 t >0后的 iL,uL。
解 这是 RL电路全响应问题，
有：
s20/112/6.0/ RL?
A64/24
)0()0(
LL ii
A6)( 20 tL eti零输入响应：
A)1(1224)( 20 tL eti零状态响应：
A42)1(26)( 202020 tttL eeeti全响应：
下 页上 页
iLS(t=0)+
–
24V
0.6
H
4?
+
－
uL
8?
返 回或求出稳态分量,A212/24)(
Li
全响应,A2)( 20 tL Aeti
代入初值有,6＝ 2＋ A A=4
例 2 t=0时,开关 K闭合,求 t >0后的 iC,uC及电流源两端的电压。
解 这是 RC电路全响应问题，有：
)1,V1)0(( FCu C
下 页上 页稳态分量：
V11110)(Cu
返 回
+
–
10V 1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
V1011)( 5.0 tC etu
A5)( 5.0 tCC e
t
uti
d
d
V512111)( 5.0 tCC euitu
下 页上 页
s21)11( RC?
全响应,V11)( 5.0 t
C Aetu
返 回
+
–
10V 1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
3,三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：
t
eAtftf )()(
令 t = 0+ Atff
0
)()0(
0)()0( tffA
cbf
t
fa
d
d
其解答一般形式为：
下 页上 页特解返 回
t
efftftf )]0()0([)()(
时间常数初始值稳态解三要素
f
f
)0(
)(
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。
用 0+等效电路求解用 t→?的稳态 电路求解下 页上 页直流激励时,)()0()(
fftf
t
effftf )]()0([)()(
A
注意返 回
V2)0()0( CC uu
V6 6 7.01)1//2()(Cu s2332eq CR?
033.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 t eeu ttC
例 1 已知,t=0 时合开关，求换路后的 uC(t)
解 t
uc
2
(V)
0.667
0
t
C euuutu
)]()0([)()( CCC
下 页上 页
1A 2?
1?
3F+
-
uC
返 回例 2 t=0时,开关闭合，求 t >0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
s5/1)5//5/(6.0/ RL?
A25/10)0()0( LL ii
A65/205/10)(Li
下 页上 页
iL+
– 20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
t
LLLL eiiiti
)]()0([)()(三要素公式
046)62(6)( 55 t eeti ttL
V10)5()4(5.0)( 55 ttLL ee
t
iLtu
d
d
A225/)10()( 51 tL euti
A245/)20()( 52 tL euti 返 回三要素为：
s5/1)5//5/(6.0/ RL?
A25/10)0()0( LL ii
A65/205/10)(Li
046)62(6)( 55 t eeti ttL
A22)20(2)( 551 tt eeti
A24)42(4)( 552 tt eeti
A0110 )2010()0(1i
A2110 )1020()0(2i
A25/10)(1i
A45/20)(2i
下 页上 页
0＋ 等效电路返 回
+
–
20V
2A
5? 5?
+
–10V
i2i1
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t)
解 三要素为：
V12624)( 111 iiiu C
V8)0()0( CC uu
下 页上 页
4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
10/10 11 iuRiu eq
2A 4? 1? 0.1F
+
uC
－
+
－
4?
i1
2i1 8V
+
－
12
返 回
t
euuutu )]()0([)()( CCCC
V2012]128[12)(C tt eetu
下 页上 页
s11.010eq CR?
例 4 已知,t=0时开关闭合，求换路后的电流 i(t) 。
+
–
1H
0.25F
5?
2?
S
10V
i
解 三要素为：
V10)0()0( CC uu
0)(Cu
s5.025.02eq1 CR?
返 回
V10)]()0([)()( 2CCCC t
t
eeuuutu
0)0()0( LL ii
A25/10)(Li
s2.05/1/2 eqRL?
A)1(2)]()0([)()( 5 t
t
LLLL eeiiiti
)A5)1(2(
2
)()()( 25 ttC
L ee
tutiti
下 页上 页
+
–
1H
0.25F
5?
2?
S
10V
i
返 回已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S1,t
=0.2s时合 S2,求两次换路后的电感电流 i(t)。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti
A25/10)(
s2.05/1/
0)0()0(
1
i
RL
ii
解下 页上 页例 5
i
10V
+
S1(t=0)
S2(t=0.2s)
3?
2?
-
返 回
t > 0.2s
A52/10)(
5.02/1/
A26.1)2.0(
2
i
RL
i
26.122)2.0( 2.05 ei
A74.35)( )2.0(2 teti
下 页上 页
i
10V
+
S1(t=0)
S2(t=0.2s)
3?
2?
-
返 回
tei 522 (0 < t? 0.2s)
)2.0(274.35 tei ( t? 0.2s)
下 页上 页
i
t(s)0.2
5
(A)
1.26
2
0
返 回
7.5 二阶电路的零输入响应
uC(0+)=U0 i(0+)=0
0
2
CCC u
t
uRC
t
uLC
d
d
d
d
已知：
1,二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：
电路方程,0
CL uuRi
t
iLu
t
uCi
L
C
d
d
d
d
以电感电流为变量,02 i
t
iRC
t
iLC
d
d
d
d
下 页上 页
R
LC
+
-
i
uc
返 回
012 RC PLC P特征方程：
电路方程,02
C
CC u
t
uRC
t
uLC
d
d
d
d
以电容电压为变量时的 初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0 0
0
t
C
t
u
d
d
以电感电流为变量时的 初始条件：
i(0+)=0 uC(0+)=U0
)0()0( 0
0
U
t
iLuu
t
LC
d
d
L
U
t
i
t
0
0
d
d
下 页上 页返 回
2,零状态响应的三种情况二个不等负实根 2 CLR?
二个相等负实根 2 CLR?
二个共轭复根 2
C
LR?
L
CLRRP
2
/42
过阻尼临界阻尼欠阻尼
LCL
RR 1)
2(
2特征根：
下 页上 页返 回
2 )1( CLR?
21
21C
tt pp
eAeAu
0210C )0( UAAUu
02211
)0(
APAP
t
u C
d
d
0
12
1
2
0
12
2
1
U
PP
P
A
U
PP
P
A
)( 21 12
12
0 tt
C
PP ePeP
PP
Uu?
下 页上 页返 回
)( 21 12
12
0
C
tt PP ePeP
PP
Uu?
U0
t
uc
tPe
PP
UP 1
12
02
tPe
PP
UP
2
12
01
设 |P2|>|P1|
下 页上 页
0
① 电容电压返 回
)()( 21
12
0
C
ttc pp ee
PPL
U
t
uCi?
d
d
t=0+ ic=0,t=? ic=0
ic>0 t = tm 时 ic 最大
tm
ic
)( 21 12
12
0
C
tt PP ePeP
PP
Uu?
下 页上 页
t
U0 uc
0
② 电容和电感电流返 回
U0 uc
tm 2tm u
L
ic
)()( 21 21
12
0 tt
L
pp ePeP
PP
U
t
iLu?
d
d
)( 21 12
12
0
C
tt PP ePeP
PP
Uu?
0< t < tm,i 增加,uL>0,t > tm i 减小,uL <0
t=2 tm时? uL?最大
0,,0 0 LL utUut
下 页上 页
R
LC
+
-
t0
③ 电感电压返 回
iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下,
0)( 21 21 tt pp ePeP
21
1
2
pp
p
p
n
t m
由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t,
0)( 21 2221 tt pp ePeP
mtt 2?
)(
)(
21
21
12
0 tt
L
pp ePeP
PP
U
t
iLu?
d
d
21
1
22
pp
p
p
n
t
m
m
tP
tP
e
e
P
P
2
1
1
2?
下 页上 页返 回
④ 能量转换关系
0 < t < tm uC减小,i 增加 。 t > tm uC减小,i 减小,
下 页上 页
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uC
tm 2tm
uL
iC
0
返 回
2 )2(
C
LR?
LCL
R
L
RP 1)
2
(
2
2
2,1
jP
( 谐振角频率) ( 衰减系数),令 1 2 0 LCLR：
220 ( 固有振荡角频率)
uc 的解答形式：
)( 21)(21 21 tjtjttptpC eAeAeeAeAu
经常写为：
)s i n ( tAeu tC
下 页上 页共轭复根返 回
0c o ss i n)(0)0(
s i n)0( 00
AA
dt
du
UAUu
C
C
由初始条件
a r c t g
UA,
s i n
0
δ
ωω0
下 页上 页
)s i n ( tAeu tc
0
s in 00 UA ω,ω０,δ的关系
)s i n ( 00
teUu t
C
返 回
)s i n ( 00
teUu t
C
弦函数。为包线依指数衰减的正是振幅以 00 Uu C
t=0 时 uc=U0 uC =0,?t =?-?,2?-?,.,n?-?
t?-? 2?-? 20
U0
uC
teU?
0
0
teU?
0
0
下 页上 页返 回
t?-? 2?-? 20
U0
uC
iC
te
L
U
t
uCi tC
C
s i n 0
d
d
)s i n ( 00
teU
t
iLu t
L d
d
uL=0,?t =?,?+?,2?+?,.,n?+?
ic=0,?t =0,?,2?,.,n?,为 uc极值点，
ic 的极值点为 uL 零点 。
下 页上 页返 回能量转换关系：
0 <?t <<?t <?--? <?t <?
t?-? 2?-? 20
U0
uc
iC
下 页上 页
R
LC
+
-
R
LC
+
-
R
LC
+
-
返 回特例,R=0 时
2
1 0 0,，
LC
t
L
U
i
utUu
LC
s i n
)90s i n (
0
0
0
等幅振荡
t
下 页上 页
LC
+
-0
返 回
2 )3(
C
LR
L
RPP
221
tt
C teAeAu
2
1
0)(0)0(
)0(
21
010
AA
t
u
UAUu
c
c
d
d由初始条件
02
01
UA
UA
下 页上 页相等负实根返 回
tt
C teAeAu
2
1
0201 UAUA
非振荡放电
) 1(
) 1(
0
0
0
teU
t
i
Lu
te
L
U
t
u
Ci
teUu
t
L
tC
C
t
C
d
d
d
d
下 页上 页返 回非振荡放电 过阻尼,2 CLR?
tt
C
pp eAeAu 21
21
振荡放电 欠阻尼,2
C
LR?
)s i n ( tAeu tC
非振荡放电 临界阻尼,2 CLR?
tt
C teAeAu
2
1
定常数
)0(
)0(
t
u
u
C
C
d
d由初始条件可推广应用于一般二阶电路下 页上 页小结返 回电路如图,t=0 时打开开关。求 uC并画出其变化曲线。
解 （ 1） uC(0－ )=25V
iL(0－ )=5A
特征方程为,50P2+2500P+106=0
1 3 925 jP
例 1
0C
2
CCC u
t
uRC
t
uL
d
d
d
d
)1 3 9s i n (25 tAeu tC
（ 2） 开关打开为 RLC串联电路，方程为：
下 页上 页
5Ω
100?F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-
+ -
iL
uC
返 回
)1 3 9s i n (25 tAeu tC
(3)
5
d
d
25)0(
0t
u
C
u
C
C
410
5
)s i n25c o s139(
25s i n
A
A
0176 356，A
V)1 7 61 3 9s i n (3 5 6 025 teu tC
t0
uC
356
25
下 页上 页返 回
7.6 二阶电路的零状态响应和全响应
uC(0－ )=0,iL(0－ )=0
微分方程为：
S
2
d
d
d
d Uu
t
uRC
t
uLC
C
CC
CCC uuu
通解特解特解,SC Uu
特征方程为,
012 RC PLC P
下 页上 页
R L
C
+
-
uCiLUS? (t)
+
-
例
1,二阶电路的零状态响应返 回
)( 2121S 21 ppeAeAUu ttC pp
) ( 21 2 1S PPteAeAUu ttC
)( )s i n ( 21 S jPtAeUu tC,
uC解答形式 为：
确定二个常数 ),(由初值 tuu d )(0d 0 C
下 页上 页
t
uC
US
0
返 回求电流 i 的零状态响应。
i1= i － 0.5 u1
= i － 0.5(2－ i)?2
= 2i － 2
由 KVL,i
t
idtiii 2
d
d62)2(2
11
整理得,1212
d
d8
d
d
2
2
i
t
i
t
i
首先写微分方程解下 页上 页
2-i
i1
例二阶非齐次常微分方程返 回
+
u1
-
0.5u1
2? 1/6F
1HS 2?
2?
2A
i
特征根为,P1= － 2,P2 = － 6
iii解答形式为：
第三步求特解 i'
由稳态模型有,i' = 0.5 u1 u1=2(2－ 0.5u1)
i'=1A
tt eAeAi 6
2
2
1
u1=2
下 页上 页
1212
d
d8
d
d
2
2
i
t
i
t
i
第二步求通解 i?
返 回稳态模型
+
u1
-
2?
i
2A
0.5u1
2?
第四步定常数
tt eAeAi 62211
由 0+电路模型：
)0()0(
d
d
0)0()0(
Lu
t
i
L
ii
V8225.0)0( 111 uuuu L
21
21
628
10
AA
AA
5.1
5.0
2
1
A
A
A 5.15.01 62 tt eei
下 页上 页返 回
+
u1
-
0.5u1
2? 1/6F
1Hk 2?
2?
2A
i
+
u1
-
0.5u1
2?
2?
uL(0+)
2,二阶电路的全响应已知,iL(0-)=2A uC(0-)=0 求,iL,iR
(1) 列微分方程
50dddd L2
2
LL RitiLtiR L C
(2)求特解
0
d
d50d
d
2
2
L
t
i
LCi
R
t
i
L
L
L
A1Li
解下 页上 页
R iR
-
50 V
50?
100
F
0.5H
+ iL
iC
例应用结点法：
返 回
(3)求通解 02 0 0 0 02 0 02 PP
特征根为,P= -100?j100
)1 0 0s i n (1 100 tAei t
(4)定常数
)0( 0s i n100c o s100
)0( 2s i n1
L
L
uAA
iA
2
45
A
)45 100s i n (21 100 tei tL
特征方程为：
下 页上 页
50dddd 2
2
LL RitiLtiR L C
返 回
(5)求 iR
)1 0 0s i n (1 100 tAei tR
或设解答形式为：
定常数
)0(
d
d
1)0( 1)0(
R
CR
t
i
ii
R
ui C
R
50
200)0(1)0(dd1)0(dd CCR iRCtuRti
CLR iii 2
2
d
d
t
iLCi L
L
下 页上 页
R iR
-
50 V
50?
100
F
0.5H
+ iL
iC
R iR
-
50V
50?
+
iC2A
返 回
200s i n100c o s100
1s i n1
AA
A
2
0
A
)1 0 0s i n (1 100 tAei tR
下 页上 页返 回
1.二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。
2.二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。
非振荡放电 过阻尼,0 tt pp eAeAu 21
21C
振荡放电 欠阻尼,0
非振荡放电 临界阻尼,0 tt teAeAu
2 1C
2
0
2p
)s i n ( C tAeu t
下 页上 页小结返 回
3.求二阶电路全响应的步骤
(a)列写 t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应 =强制分量 +自由分量定常数由初值
)0(
)0(
)(
dt
df
f
e
上 页返 回 上 页
7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
1,单位阶跃函数
定义
)0(1
)0(0
)(
t
t
t?
t
(t)
0
1
单位阶跃函数的延迟
)(1
)(0
)(
0
0
0 tt
tt
tt?
t
(t-t0)
t00
1
下 页上 页返 回
t = 0 合闸 i(t) = Is )(t?
① 在电路中模拟开关的动作 t = 0 合闸 u(t) = E )(t?
单位阶跃函数的作用下 页上 页
S
US u(t) )(S tU? u(t)
返 回
Is
)(ti
k )(tI
S? u(t)
② 起始一个函数
t
f (t)
0
)()s in ( 00 tttt
t0
③ 延迟一个函数下 页上 页
t
f(t)
0 t0
)()s in ( tt? )()s in ( 0ttt
返 回
用单位阶跃函数表示复杂的信号例 1
)()()( 0ttttf
(t)
t
f(t)
1
0
1
t0 t
f(t)
0
t0
-? (t-t0)
)4()3()1(2)( ttttf
例 2
1 t
1
f(t)
0
2
43
下 页上 页返 回
)1()]1()([)( tttttf例 4
1 t
1
f(t)
0
)1()1()( tttt
)1()1( tt?
)(tt?
)4()3(
)1()()(
tt
tttf
例 3
1 t
1
f(t)
0
2
43
下 页上 页返 回
)()()1( tt u?
例 5
t
1
0 2
已知电压 u(t)的波形如图，
试画出下列电压的波形。
)1()2()4( tt u?
)1()1()3( tt u?
)()1()2( tt u
t
1 u(t)
0－ 2 2
t
1
0－ 1 1
t
1
0 1 t
1
0 21
下 页上 页返 回
)( )1()( tetu RC
t
C?
)( 1)( te
R
ti RC
t
)( tei RC
t
和 0 tei RC
t 的区别
2,一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下 页上 页
i
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
)( t?
注意返 回
)( tei RC
t
0 tei RC
t
t0
1
i
t0
1
i
下 页上 页
t
uC
1
0
返 回
t
iC
0
激励在 t = t0 时加入，
则响应从 t =t0开始。
t- t0
RCC e
R
i
1?
( t - t0 )
)(1 0
tte
R
RC
- t
不要写为：
下 页上 页
iC
(t -t0) C
+
–
uC
R
R
1
t0
注意返 回
)5.0(10)(10 ttu S
求图示电路中电流 iC(t）例下 页上 页
10k
10k
us
+
-
ic 100
F
uC(0－ )=0 0.5
10
t(s)
us(V)
0
5k
0.5us
+
-
ic 100?
F
uC(0－ )=0
等效返 回
)5.0(10)(10 ttu S应用叠加定理下 页上 页
)(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
)5.0(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
)(t?
5k+
-
ic 100?
F
s5.0105101 0 0 36RC?
mA )( 51dd 2C tetuCi tC
)( )1()( 2t tetu C
阶跃响应为：
返 回由齐次性和叠加性得实际响应为：
)]5.0(51)(51[5 )5.0(22 tetei ttC
mA)5.0()( )5.0(22 tete tt
下 页上 页
)(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
)5.0(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
返 回
)5.0()( )5.0(22 tetei ttC
0)5.0( 1)( 5.00 ttt
tei 2
C
)5.0(2
1)5.0(2)5.0(22
C
6 3 2.0
)1(
t
ttt
e
eeeei
下 页上 页
1)5.0( 1)( 0,5 s ttt
分段表示为：
返 回分段表示为：
s)0,5(m A 0,6 3 2-
s)5.0(0 m A
)(
5)0.-2(-
2
C te
te
ti
t
t
t(s)
iC(mA)
0
1
-0.632
0.5
波形 0.368
下 页上 页
)5.0(6 3 2.0
)]5.0()([
)5.0(2
2
te
ttei
t
t
C
返 回
2,二阶电路的阶跃响应下 页上 页
S0,5R C L Ci i i i i
)(5.0 tiii LCR
对电路应用 KCL列结点电流方程有已知图示电路中 uC(0-)=0,iL(0-)=0,求单位阶跃响应 iL(t）
例解返 回
iS 0.25H0.2? 2F
A)(t? iR iLiC 0.5iC
下 页上 页
d
d
RL
R
uiLi
R R t
2
2
d
d
d
d
t
iLC
t
uCi LC
C
)(44dd5dd 2
2
tititi LLL
iii L
tptp AAi 21 ee 21
0452 pp
11p 42p
代入已知参数并整理得：
这是一个关于 的二阶线性非齐次方程，其解为特解特征方程通解解得特征根
1i
返 回下 页上 页
4121 e ettLi A A
(0 ) (0 ) 0LLii
(0 ) (0 ) 0CCuu
04
01
21
21
AA
AA
4 A41( ) ( ) 1 e e33 ttLi t s t t
代 初始条件阶跃响应电路的动态过程是过阻尼性质的。
3
4
1A
3
1
2?A
返 回
7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应
1,单位冲激函数
定义 )0( 0)( tt?
1d)( tt? t
(t)
1
0
单位脉冲函数的极限
/ 2
1/?
t
p(t)
-? / 2
1 0
)()(lim 0 ttp
)]2()2([1)( tttp
下 页上 页返 回
单位冲激函数的延迟
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
t
(t-t0)
t00
（ 1）
单位冲激函数的性质
① 冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
)(
0 1
0 0
d)( t
t
t
tt
t
)(
d
)( d t
t
t
下 页上 页返 回
② 冲激函数的 ‘ 筛分性 ’
)0(d)( )0(d)()( fttftttf
)(d)()( 00 tfttttf同理
d)
6
()( s i n tttt
02.1
62
1
66
s i n
例
t
(t)
1
0
f(t)
f(0)
f(t)在 t0 处连续
f(0)?(t)
注意下 页上 页返 回
)(dd tRutuC cc
uc不是冲激函数,否则 KCL不成立分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为
(1) t 在 0－ → 0+间例 1
2,一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。
冲激响应求单位冲激电流激励下的 RC电路的零状态响应。
解注意下 页上 页返 回
uC(0－ )=0
iC
R
(t)
C
+
-
uC
)0(1)0( CC uCu
电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。
1d)(dd
d
d 0
0
0
0
C0
0
C
ttt
R
ut
t
uC?
0
1)]0()0([ CC uuC
结论
(2) t > 0+ 为零输入响应（ RC放电） i
C
R C
+
uC
－
Cu
1)0(
C
01
C teCu
RC
t
01
C
C teRCR
ui RC t
下 页上 页返 回
uC
t
0
C
1
)(
1
)(
)(
1
C
C
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
RC
t
iC
t
1
RC
1?
0
下 页上 页返 回
)(
d
d t
t
iLRi L
L
例 2 求单位冲激电压激励下的 RL电路的零状态响应。
分二个时间段考虑冲激响应解
L
+
-
iLR
)(t?
+
-
uL
0)0(Li
iL不是冲激函数,否则 KVL不成立。注意
1d)(dd 0
0
0
0
0
0
ttt
dt
diLtRi L
L?
0
( 0 ) - ( 0 ) = 1-+LLL i i )0(1)0( LL i
L
i
下 页上 页返 回
(1) t 在 0－ → 0+间 方程为电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
)0(1)0( LL i
L
i
结论
(2) t > 0+ RL放电
L
iLR +
-
uL
R
L
Li L
1)0(?
01
te
L
i
t
L
0 te
L
RRiu t
LL
下 页上 页返 回
)(1 teLi
t
L?
)()( teLRtu
t
L
iL
t
0
L
1
uL
t
1
R
L?
0
下 页上 页返 回零状态 R(t))(te
3,单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
(t)
单位阶跃
(t) t
tt
d
)(d)(
)(dd)( tstth?
激励 响应下 页上 页返 回
)()( tti S
先求单位阶跃响应：
求,is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t).例解
)()1()( teRtu RC
t
C?
uC(0+)=0 uC(?)=R? = RC
iC(0+)=1 iC(?)=0 )(
C tei
RC
t
再求单位冲激响应,令,)()(
S tti
下 页上 页返 回令
uC(0－ )=0
iC
R
iS(t)
C
+
-
uC
)()1(
d
d teR
t
u RC
t
C?
)()1( teR RC
t
)(1 te
C
RC
t
)(1 teC RC
t
)()0()()( tfttf
0
)]([
d
d
C teti
RC
t
)(1)(
te
RC
te RC
t
RC
t
)(1)( te
RC
t RC
t
下 页上 页返 回
uC
R
t0
iC
1
t0
uC
t0
C
1
冲激响应阶跃响应
iC
t
1
RC
1?
0
下 页上 页返 回有限值 有限值
KVL方程为
)(dddd CC2 C
2
tutuRCtuLC
0
0
0
0 C
0
0
C0
0 2
C
2
d)(dd
d
dd
d
d tttut
t
uRCt
t
uLC?
例
4,二阶电路的冲激响应
R L
C
+
-
+
-
uC
iR
(t)
求单位冲激电压激励下的 RLC电路的零状态响应。
解
t 在 0－ 至 0＋ 间 1d
d
d0
0 2
C
2
t
t
uLC
下 页上 页返 回
1)0(dd)0(dd CC tuLCtuLC
下 页上 页
1d
d
d0
0 2
C
2
t
t
uLC
Lii CL
1)0()0(
t>0+为零输入响应 0
d
d
d
d
C
C
2
C
2
utuRCtuLC
2 CLR? tt pp eAeAu 21 21C
LC
PAPA
AA
1
0
2211
21
12
12
1
PP
LCAA
0)0()0( CC uu
返 回
2 CLR?
)()s i n (1 C tte
LC
u t
)s i n ( C tAeu t
)j( 21、P
)()(
)(
1
21
12
C teePPLCu
tt pp
下 页上 页返 回
7.9* 卷积积分
1.卷积积分
定义 设函数 f1(t),f2(t) t < 0 均为零
d)()()(*)( 20 121 ftftftf t
性质
)(*)()(*)( 1221 tftftftf?
下 页上 页返 回
d)()()(*)( 20 121 ftftftf t
)d)(()(0 21 t tff
t dftf0 12 )()(
令? = t -?
d? = - d?
,0 t
,t 0 )(*)( 12 tftf?
证明下 页上 页
2.卷积积分的应用激励 e(t) 响应 r(t)线性网络零状态返 回
d)()()( 0 t ethtr
将激励 e( t )近似 看成一系列具有相同宽度的 矩形脉冲的叠加，
下 页上 页激励 e(t) 响应 r(t)线性网络零状态
)(t?
若 )()(
1 thtf? )()(2 tetf?冲激响应则 )(*)()(*)()(
21 tethtftftr
物理解释返 回下 页上 页
0
e
t
0
t
1
t
2
t
n-1
t
Δ)()(Δ)()()( 1Δ10Δ0Δ tptetptee
Δ)()(Δ)()( Δ2Δ2 kk tptetpte
Δk1k1201 tttttt?
返 回
Δ)()( kΔ
1n
0
k tpte
k
下 页上 页若单位脉冲函数 p ( t ) 的零状态响应为 h Δ ( t )
第 1个矩形脉冲
Δ)()( 1Δ1 tpte Δ)()( kΔ1 tthte?
响应第 k个矩形脉冲
Δ)()( kΔk tpte Δ)()( kΔk tthte?
响应返 回根据叠加定理,t时刻观察到的响应应为 0 ~ t
时间内所有激励产生的响应的和下 页上 页
Δ)()()( kΔ
1n
0
kΔ thtetr
k
n当
k
ΔΔΔ
,dΔ
)(,)(,,0Δ
t
trrteehh
d)()()(
0?
tt ethtr
0t 0?若 d)()()(
0
t ethtr
返 回例 1 已知,R=500 k?,C=1?F,uC(0)=0
，求 uC(t)A)(2 tei t
s
下 页上 页先求电路的冲激响应 h(t)解
A)( ti s?
00 d1)0( tiCu sC
00 d)(1 ttC? V110
6
C
uC(?)=0 s5.010105 0 0 63RC?
V)()( 2 teth t
返 回
R C
iS +
–
uC
再计算 时的响应 uC ( t )μA)(2 tei ts
d)()()(*)()( 0 thithtitu t SSC
V)()22( 2 tee tt
t tee0 )(26 d102
t ttt eeee 0 2626 )1(102d102
例 2
下 页上 页设例 1中的,求 uC(t) μA)]1()([ tti s
解 )]1()([)(1 tttf设：
)()( 22 tetf t
返 回
d)()()(*)( 20 121 tfftftf t
被积函数积分变量下 页上 页参变量
f1(?)
1
0 1
f2(-?)1
0
由图解过程确定积分上下限
tetttftftu 221C *)]1()([)(*)()(
返 回
1
0 1
e-2(-?)
t0 1
V)1(21d1)(10 20 )(2 tt tC eetut
V)1(21d)(1 2210 )(2C tt eeetut
下 页上 页
0)(0 C tut
t
e-2(t-?) 移
t’
卷积返 回
1.网络的状态与状态变量
网络状态指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。
状态变量电路的一组独立的动态变量 X，
X=[x1,x2…… xn]T,
它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如 独立的 电 容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。
下 页上 页
7.10* 状态方程返 回
状态变量法下 页上 页借助于 状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。 只要知道状态变量在某一时刻值 X(t0),再知道输入激励 e(t),就可以确定 t>t0后电路的全部性状 (响应 )。
状态变量 X(t0)
激 励 e(t) (t?t0) Y(t) (t?t0) 响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。
返 回已知,
0)0(
V3)0(
)s i n (20)( 30
i
u
L
C
o
tte?
求,).0(),0(),0(),0( uiui RRLC
解
V7)0(u L
V3)0(Ru
A1)0(
A1)0(
C
R
i
ie(0)=10V
0)0(
V3)0(C
i
u
L
例下 页上 页
3?
L
Ce(t) +
iL iC+
-
uC
-
uo
返 回同理可推广至任一时刻 t1
由
)(
)(
)(
1
1C
1
ti
tu
t
L
e
)(
)(
)(
)(
1C
1
1
1
ti
ti
tu
tu
R
L
R
(1)状态变量和储能元件有关
(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量
(3)状态变量的选择不唯一。
求出下 页上 页表明返 回设 uc,iL 为状态变量
R
ui
t
uCi C
L
C
C d
d
RC
ui
t
u CLC
Cd
d
L
u
L
te
t
i CL )(
d
d
整理得每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用 直观编写法。
状态方程下 页上 页
2,状态方程的列写
3?
L
Ce(t) +
iL iC+
-
uC
-
uo
C
L
L )(d
d ute
t
iLu
返 回矩阵形式
)(1
0
0
1
11
d
d
d
d
te
L
L
CRC
t
t
i
u
i
u
L
C
L
C
0
3)0(X
① 联立的一阶微分方程组
② 左端为状态变量的一阶导数
③ 右端含状态变量和输入量下 页上 页特点返 回
A X B VX
一般形式下 页上 页返 回
12 ddd
d d d
T
nxxxX
t t t
12,TnX x x x?
电路的输出方程
)(
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
te
R
R
u
i
u
i
u
i
L
C
R
R
C
L
① 代数方程
② 用状态变量和输入量表示输出量一般形式 [Y]=[C][X]+[D][V]
下 页上 页
3?
L
Ce(t) +
iL iC+
-
uC
-
uC
特点电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系返 回下 页上 页例 列出电路的状态方程
L1
CuS +
iL1
iS
+
-
uC
-
R1
R2
iL2L21
2
1 2
解 对结点①列出 KCL方程
21d
d
LL
C ii
t
uC
返 回下 页上 页
1
1
2
2
1 1 S
2 2 S
d
d
d
()
d
L
CL
L
CL
i
L u R i u
t
i
L u R i i
t
1
2
1 S
1
S
1 1 1
2
22
2 2 2
d 11
0
00d
d 11
00
d
d 1
00
d
C
C
L
L
u
t CC
ui
R u
i
it L L L
i
i RR
t L L L
对回路 1和回路 2列出 KVL方程把以上方程整理成矩阵形式有返 回下 页上 页
n1 Cuu?
2n 2 S 2()Lu i i R
2
Sn1
22n 2 S
1 0 0 0
00
C
L
u uu
iRRui
若以结点①、②的电压作为输出，则有整理并写成矩阵形式有返 回
1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。
下 页上 页
7.11* 动态电路时域分析中的几个问题
① 当一个网络中存在纯电容回路，由 KVL可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。
例返 回下 页上 页
② 当网络中存在纯电感结点，由 KCL可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非独立的。
③ 网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压
uC由 uS决定。
④ 网络中与独立电流源串联的电感元件，其 iL由 iS
决定。
返 回以上四种请况中非独立的 uC和 iL不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于 C,L元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中 C,L元件总数，下面着重讨论常态网络。
下 页上 页
CuS +
+
-
uC
-
R 零阶电路返 回
iS R
L
2.动态电路中初始值的计算下 页上 页
)0()0( CC uu )0()0( LL ii
对于通常电路，初始值由下面关系确定
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
在下面情况下
① 换路后的电路有纯电容构成的回路，或有由电容和独立电压源构成的回路，且回路中各个电容上电压值 uC(0-)的代数和不等于该回路中各个电压源初始值的代数和。
返 回上 页
② 换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），
且结点上各电感的电流值 iL(0-)与电流源电流的初始值的代数和不等于零，
在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即
(0 ) (0 )kkqq
(0 ) (0 )k k k kC u C u
(0 ) (0 )kk
(0 ) (0 )k k k kL i L i
或或返 回
一阶电路的零输入响应7.2 一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8*
一阶电路的零状态响应7.3 卷积积分7.9*
一阶电路的全响应7.4 状态方程7.10*
二阶电路的零输入响应7.5
二阶电路的零状态响应和全响应7.6
动态电路时域分析中的几个问题7.11*
首 页本章重点第 7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；
重点
3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
返 回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
1,动态电路
7.1 动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
下 页上 页特点返 回例
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零电阻电路下 页上 页
+
-
us
R1
R2
（ t = 0）i
返 回
i = 0,uC= Us
i = 0,uC = 0
k接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：
k未动作前,电路处于稳定状态：
电容电路下 页上 页
k
+
–
uCUs
R
C
i(t = 0)
+
-
(t →?)
+
–
uCUs
R
C
i
+
-
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期返 回
uL= 0,i=Us /R
i = 0,uL = 0
k接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路：
k未动作前,电路处于稳定状态：
电感电路下 页上 页
k
+
–
uLUs
R i(t = 0)
+
-
L
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
前一个稳定状态 过渡状态新的稳定状态
t1
US/Ri
t0
uLSU 有一过渡期返 回下 页上 页
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
k未动作前,电路处于稳定状态,uL= 0,i=Us /R
k断开瞬间 i = 0,uL =?
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。
注意
k
(t →?)
+
–
uLUs
R i
+
-
返 回过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
w
p
Δ
Δ
电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化
p0Δ?t
下 页上 页返 回
)(
d
d
SC
C tuu
t
uRC
应用 KVL和电容的 VCR得：
若以电流为变量,)(d1 S tuti
C
Ri
t
tu
C
i
t
iR
d
)(d
d
d S
2,动态电路的方程下 页上 页
(t >0)
+
–
uCUs
R
C
i
+
-
)(SC tuuRi
t
uCi
d
d C?
例 RC电路返 回
)(SL tuuRi
)(
d
d
S tut
iLRi
应用 KVL和电感的 VCR得,
t
iLu
d
d
L?
若以电感电压为变量,)(d
SLL tuutuL
R
t
tu
t
uu
L
R
d
)(d
d
d SL
L
下 页上 页
(t >0)
+
–
uLUs
R i
+
-
RL电路返 回有源电阻电路一个动态元件一阶电路下 页上 页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
返 回
)(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tuu
t
uRC
t
uLC
)(SC tuuuRi L
二阶电路t
uCi
d
d C?
2
C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLu
L
下 页上 页
(t >0)
+
–
uLUs
R i
+
- C
uC＋－
RLC电路应用 KVL和元件的 VCR得,
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
返 回一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。
① 描述动态电路的电路方程为微分方程；
② 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。
0)(
d
d
01 ttexat
xa
0)(
d
d
d
d
012
2
2 ttexat
xa
t
xa
二阶电路 二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。
下 页上 页结论返 回高阶电路 电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。
0)(
d
d
d
d
d
d
011
1
1
ttexat
xa
t
xa
t
xa
n
n
nn
n
n?
动态电路的分析方法
① 根据 KVL,KCL和 VCR建立微分方程；
下 页上 页返 回复频域分析法时域分析法
② 求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
下 页上 页返 回稳态分析和动态分析的区别稳态 动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的通解任意激励
SUxat
xa
01 d
d
0?dtdxt SUxa?0
下 页上 页直流时返 回
① t = 0＋ 与 t = 0－ 的概念 认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间
0＋ 换路后一瞬间
3.电路的初始条件
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
)(lim)0(
0
0
tff
t
t
初始条件为 t = 0＋ 时 u,i 及其各阶导数的值。
下 页上 页注意
0
f(t)
)0()0( ff
0－ 0＋
)0()0( ff
t
返 回图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例解
0
d
d
c
c u
t
uRC
)0( 0 tuRi c
特征根方程,01R C p RCp 1
通解：
oUk?
RC
t
pt
c keketu
)(
代入初始条件得,RCtoc eUtu)(
在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
下 页上 页明确
R
－
+
C
i
uC
(t=0)
返 回
d)(1)(?
tC i
C
tu
d)(1d)(1
0
0
t i
C
i
C
d)(1)0(
0
tC i
C
u
t = 0+ 时刻 d)(1)0()0( 0
0?
i
C
uu CC
i u
c C
+
-
② 电容的初始条件
0
下 页上 页当 i(?)为有限值时返 回
q (0+) = q (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
q =C uC
电荷守恒下 页上 页结论返 回
d)(1)(?
tL uLti
d))(1d)(1
0
0
t u
L
u
L
d)(1)0()0( 0
0?
uLii LL
③ 电感的初始条件
t = 0+时刻
0 d)(
1)0(
0
tL u
L
i
下 页上 页当 u为有限值时
iL
u L
+
-
返 回
L (0＋ )=?L (0－ )
iL(0＋ )= iL(0－ )
LLi
磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
下 页上 页结论返 回
L(0+)=?L (0－ )
iL(0+)= iL(0－ )
qc (0+) = qc (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
④ 换路定律
① 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）
换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）
换路前后保持不变。
② 换路定律反映了能量不能跃变。
下 页上 页注意返 回
⑤ 电路初始值的确定
(2)由换路定律
uC (0+) = uC (0－ )=8V
mA2.010 810)0(Ci
(1) 由 0－ 电路求 uC(0－ )
uC(0－ )=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+)
iC(0－ )=0 iC(0+)
例 1 求 iC(0+) 电容开路下 页上 页
+
-
10V
i
iC +
uC
-S
10k
40k
+
-
10V
+
uC
-
10k
40k
+
8V
-
0+等效电路
+
-
10V
i iC10k
电容用电压源注意返 回
)0()0( LL uu
iL(0+)= iL(0－ ) =2A
V842)0(Lu
例 2 t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
① 先求
A241 10)0(Li
② 应用换路定律,
电感用电流源替代
)0(?Li解电感短路下 页上 页
iL
+
uL
-
L10V S
1? 4?
+
-
iL
10V
1? 4?
+
-
③ 由 0+等效电路求 uL(0+)
2A
+
uL
-10V
1? 4?
+
-
注意返 回求初始值的步骤,
1.由换路前电路（稳定状态）求 uC(0－ )和 iL(0－ )；
2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3.画 0+等效电路。
4.由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
a,换路后的电路
（取 0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
下 页上 页小结返 回
iL(0+) = iL(0－ ) = iS
uC(0+) = uC(0－ ) = RiS
uL(0+)= - RiS
求 iC(0+),uL(0+)
0)0( RRiii SsC
例 3
解 由 0－ 电路得,
下 页上 页由 0+电路得,
S(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
R
iS iC
R
iS
0－ 电路
uL+ –
iC
R
iS
RiS
+
–
返 回
V24122
)0()0(
CC uu
A124/48
)0()0(
LL ii
例 4 求 k闭合瞬间各支路电流和电感电压解
A83/)2448()0(Ci
A20812)0(i
V2412248)0(Lu
下 页上 页由 0－ 电路得,由 0+电路得,
iL
+u
L-LS
2?
+
-
48V
3?
2? C
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
返 回
12A
24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
求 k闭合瞬间流过它的电流值解 ① 确定 0－ 值
A12020)0()0( LL ii
V10)0()0( CC uu
② 给出 0＋ 等效电路
A2110101020)0(ki
V1010)0()0( LL iu
A110/)0()0( CC ui
下 页上 页例 5
iL
+20V
-
10?
+ uC
10? 10?
－iL
+20V
-
L
S
10?
+ u
C
10? 10?
C
－
返 回
1A
10V
ki
+ uL －
iC
+20V
-
10? 10? 10?
－
7.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。
1.RC电路的零输入响应已知 uC (0－ )=U0
0 CR uu
t
uCi C
d
d
uR= Ri
零输入响应下 页上 页
iS(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
返 回
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
RCp
1特征根特征方程 RCp+1=0
tRC eA 1pt
C eAu?
则下 页上 页代入初始值 uC (0+)=uC(0－ )=U0
A=U0
iS(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
返 回
000
teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
0
0
teUu RC
t
c
RC
t
RC
t
C e
R
U
RC
eCU
t
uCi 0
0 )
1(
d
d
下 页上 页或返 回
t
U0 uC
0
I0
t
i
0
令? =RC,称?为一阶电路的时间常数
秒伏安秒欧伏库欧法欧?
RC?
① 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
连续函数 跃变
② 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关 ;
下 页上 页表明返 回时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= RC
大 → 过渡过程时间长
小 → 过渡过程时间短电压初值一定：
R 大 （ C一定 ） i=u/R 放电电流小 放电时间长
U0
t
uc
0?小
大
C 大 （ R一定 ） W=Cu2/2 储能大
11
RCp
物理含义下 页上 页返 回
a,?,电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
工程上认为,经过 3?－ 5?,过渡过程结束。
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0 U0 U0 e
-1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
下 页上 页注意返 回
＝ t2－ t1
t1时刻曲线的斜率等于
21
1C
1C
0C 0)()(1
d
d
11 tt
tutueU
t
u
t
t
t?
U0
t
uc
0
t1 t2
)(3 6 8.0)( 1C2C tutu?
次切距的长度下 页上 页
RC
t
eUu 0C
返 回
b,时间常数?的几何意义：
③ 能量关系
tRiW R d0 2
电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量,2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量：
tReRU RC
t
d)( 2
0
0
2
02
1 CU?
te
R
U RC t d2
0
2
0
0
2 2
0 |)
2
( RC
t
eRC
R
U
下 页上 页
uC R
+
－
C
返 回例 1 图示电路中的电容原充有 24V电压，求 k闭合后，
电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：
+
uC 4?
5F
－
i1
t >0
等效电路
0 0C teUu RC
t
下 页上 页
i3
S
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
s 2045 V 240 RCU?
返 回
+
uC 4?
5F
－
i1
0 V24 20 teu
t
c
分流得：
A64 20 1
t
C eui
A4
3
2 20
12
t
eii A23
1 20
13
t
eii
下 页上 页
i3
S
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
返 回下 页上 页例 2 求,(1)图示电路 k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律,(2） 电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。
解 这是一个求一阶 RC 零输入响应问题，有：
F4
21
12 μ
CC
CCC?
u (0+)=u(0－ )=20V
返 回
u1（ 0-） =4V
u
S
C1=5?F
+
+
-
--
i
C2=20?F u2（ 0-） =24V
250k?
+
下 页上 页
u
k
4?F
+ +
--
i
20V 250k? 020 teu t
s 1104052 3RC?
A8010250 3?teui
V)2016(
d80
5
1
4)(
1
( 0 )
00
1
11
t
t tt
e
ted ξξi
C
uu
V)204(
d80
20
1
24d)(
1
( 0 )
00
2
22
t
t tt
e
teξξi
C
uu
返 回下 页上 页
J40)16105(21 6-1w
J5 0 0 05 8 0 0
初始储能
J5760)241020(21 26-2w
最终储能
J5 0 0 0201020)5(21 26-11 www
电阻耗能
J800d)80(10250d 0 230 2R t t tetRiw
返 回
2,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
Rp特征根代入初始值 A= iL(0+)= I0
0
1
)0()0( IRR Uii SLL
00dd LL tRitiL
ptAeti?)(
L
0)( 00L teIeIti tL
R
pt
t >0
下 页上 页
iL
S(t=0)US L
+
–
uL
RR1+
-
i
L
+
–
uLR
返 回
RL
t
L
L eRIt
iLtu /
0)(
d
d
0)( / 0 teIti RL
t
L
t
I0 iL
0
连续函数跃变
① 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
下 页上 页表明
-RI0
uL
t
0
i
L
+
–
uLR
返 回
② 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关 ;
下 页上 页
][][][][][][ 秒欧安秒伏欧安韦欧亨?
R
L?
令 称为一阶 RL电路时间常数? = L/R
时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
L大 W=LiL2/2 起始能量大
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小 放电慢,? 大
大 → 过渡过程时间长? 小 → 过渡过程时间短物理含义 电流初值 iL(0)一定：
返 回
③ 能量关系
tRiW R d 0 2
电感不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕。
设 iL(0+)=I0
电感放出能量,2
02
1 LI
电阻吸收（消耗）能量：
tReI RL
t
d2/0 0 )(
2
02
1 LI?
teRI RL
t
d/
2
0
2
0
0
2
2
0 |)2
/( RC t eRLRI
下 页上 页
i
L
+
–
uLR
返 回
iL (0+) = iL(0－ ) = 1 A
uV (0+)=－ 10000V
造成 V 损坏。
例 1 t=0时,打开开关 S,求 uv
0/ t ei t L?
。电压表量程,50V
sRR L
V
4104
1 0 0 0 0
4
010000 2500 teiRu tLVV
解下 页上 页
iL
S(t=0)
+
–
uV
L=4H
R=10?
V RV
10k?
10V
iL
L
R
10V
+
-
返 回例 2 t=0时,开关 S由 1→2,求 电感电压和电流及开关两端电压 u12。
s166 RL?
解 A263 66//324 24)0()0( LL ii
66//)42(3R
下 页上 页
i
+
–
uL
6?
6H
t >0
iL
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4? 4?
6?+
－
uL
2?
1 2
返 回
0 V12A 2 te
t
iLuei tL
L
t
L d
d
V424
2
42412 tL eiu
下 页上 页
i
+
–
uL
6?
6H
t >0iL
S(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4? 4?
6?+
－
uL
2?
1 2
返 回
① 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t
eyty
)0()(
iL(0+)= iL(0－ )
uC (0+) = uC (0－ )RC电路
RL电路下 页上 页小结返 回
④ 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，
称为零输入线性。
② 衰减快慢取决于时间常数?
③ 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
下 页上 页小结
= R C? = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
RC
电路 RL电路返 回动态元件初始能量为零，由 t >0电路中外加激励作用所产生的响应。
SC
C
d
d Uu
t
uRC方程：
7.3 一阶电路的零状态响应解答形式为：
CCC uuu
1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下 页上 页
i
S(t=0)
US
+ –uR C+
–
uC
R
uC (0－ )=0
+
–
非齐次线性常微分方程返 回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
RC
t
AeuC
变化规律由电路参数和结构决定的通解 0
d
d
C
C u
t
uRC
SC Uu
通解（自由分量，暂态分量）Cu
特解（强制分量）
Cu?
SC
C
d
d Uu
t
uRC的特解下 页上 页返 回全解
uC (0+)=A+US= 0 A= － US
由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
RC
t
AeUuutu SCCC )(
下 页上 页
)0( )1( S SSC teUeUUu RC
t
RC
t
从以上式子可以得出,RCte
R
U
t
uCi SC
d
d
返 回
-US uC‘
uC“U
S
t
i
R
US
0
t
uC
0
① 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：
连续函数跃变稳态分量（强制分量） 暂态分量（自由分量）
下 页上 页表明
+
返 回
② 响应变化的快慢，由时间常数?＝ RC决定；? 大，
充电慢,? 小充电就快。
③ 响应与外加激励成线性关系；
④ 能量关系
2
S2
1 CU电容储存能量：
电源提供能量,2
SS0 S d CUqUtiU
2
S2
1 CU?
电阻消耗能量,tR
R
UtRi RC te d)(d 2
0
S
0
2
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
下 页上 页表明
R
C
+
-
US
返 回例 t=0时,开关 S闭合，已知 uC(0－ )=0,求 (1)电容电压和电流,(2) uC＝ 80V时的充电时间 t。
解 (1)这是一个 RC电路零状态响应问题，有：
)0( V)1(100 )1( 200 SC t-eeUu t-RC
t
s105105 0 0 35 RC?
A2.0d 200SC tRC
t
eeRUtuCi d
(2)设经过 t1秒,uC＝ 80V
,t-e t- s0458)1(10080 1200 1 m
下 页上 页
500?
10?F
+
-
100V
S
+
－
uC
i
返 回
2,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
t
iL
d
d
)1(SL
t
L
R
e
R
Ui
已知 iL(0－ )=0，电路方程为：
LLL iii
t
iL
R
US
0
R
Ui S
L A0)0(
tLRAe
R
U S
下 页上 页
iLS(t=0)
US
+ –uR
L
+
–
uL
R
+
—
返 回
)1(SL
t
L
R
e
R
Ui
t
L
R
eU
t
iLu
S
L
L d
d
uL
US
t0
下 页上 页
iLS(t=0)
US
+ –uR
L
+
–
uL
R
+
—
返 回例 1 t=0时,开关 S打开，求 t >0后 iL,uL的变化规律。
解 这是 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
Ω200300//20080eqR
s01.02 0 0/2/ eq RL?
t > 0
下 页上 页
A10)(Li A)1(10)( 1 0 0L teti
V200010)( 100100eqL tt eeRtu
返 回
iL
S
+
–
uL2H
R 80?
10A
200
300
iL
+
–
uL2H10A Req
例 2 t=0开关 k打开，求 t >0后 iL,uL及电流源的电压。
解 这是 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
201010eqR V201020U
s1.020/2/ eq RL?
下 页上 页
iL
+
–
uL2HU
o
Req+
－
t > 0
A1/)( eq0 RUi L
A)1()( 10 tL eti V20)( 10100 ttL eeUtu
)V1020(105 10S tLL euiIu
返 回
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A
10?
5?
+
–
u
7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
Sd
d Uu
t
uRC
C
C
以 RC电路为例，电路微分方程：1,全响应全响应下 页上 页
i
S(t=0)
US
+ –uR
C
+
–
uC
R
解答为,uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US
通解?t
C Aeu
= RC
返 回
uC (0－ )=U0
uC (0+)=A+US=U0? A=U0 - US
由初始值定 A
下 页上 页
0)( 0
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
返 回
2,全响应的两种分解方式
uC"
-USU0 暂态解
uC'US
稳态解
U0 uc 全解
t
uc
0
全响应 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
① 着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰下 页上 页返 回全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
② 着眼于因果关系 便于叠加计算下 页上 页零输入响应零状态响应
S(t=0)
US C
+
–
R
uC (0－ )=U0
+
S(t=0)
US C
+
–
R
uC (0－ )=U0
S(t=0)
US C
+
–
R
uC (0－ )= 0
返 回
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
下 页上 页返 回例 1 t=0 时,开关 k打开，求 t >0后的 iL,uL。
解 这是 RL电路全响应问题，
有：
s20/112/6.0/ RL?
A64/24
)0()0(
LL ii
A6)( 20 tL eti零输入响应：
A)1(1224)( 20 tL eti零状态响应：
A42)1(26)( 202020 tttL eeeti全响应：
下 页上 页
iLS(t=0)+
–
24V
0.6
H
4?
+
－
uL
8?
返 回或求出稳态分量,A212/24)(
Li
全响应,A2)( 20 tL Aeti
代入初值有,6＝ 2＋ A A=4
例 2 t=0时,开关 K闭合,求 t >0后的 iC,uC及电流源两端的电压。
解 这是 RC电路全响应问题，有：
)1,V1)0(( FCu C
下 页上 页稳态分量：
V11110)(Cu
返 回
+
–
10V 1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
V1011)( 5.0 tC etu
A5)( 5.0 tCC e
t
uti
d
d
V512111)( 5.0 tCC euitu
下 页上 页
s21)11( RC?
全响应,V11)( 5.0 t
C Aetu
返 回
+
–
10V 1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
3,三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：
t
eAtftf )()(
令 t = 0+ Atff
0
)()0(
0)()0( tffA
cbf
t
fa
d
d
其解答一般形式为：
下 页上 页特解返 回
t
efftftf )]0()0([)()(
时间常数初始值稳态解三要素
f
f
)0(
)(
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。
用 0+等效电路求解用 t→?的稳态 电路求解下 页上 页直流激励时,)()0()(
fftf
t
effftf )]()0([)()(
A
注意返 回
V2)0()0( CC uu
V6 6 7.01)1//2()(Cu s2332eq CR?
033.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 t eeu ttC
例 1 已知,t=0 时合开关，求换路后的 uC(t)
解 t
uc
2
(V)
0.667
0
t
C euuutu
)]()0([)()( CCC
下 页上 页
1A 2?
1?
3F+
-
uC
返 回例 2 t=0时,开关闭合，求 t >0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
s5/1)5//5/(6.0/ RL?
A25/10)0()0( LL ii
A65/205/10)(Li
下 页上 页
iL+
– 20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
t
LLLL eiiiti
)]()0([)()(三要素公式
046)62(6)( 55 t eeti ttL
V10)5()4(5.0)( 55 ttLL ee
t
iLtu
d
d
A225/)10()( 51 tL euti
A245/)20()( 52 tL euti 返 回三要素为：
s5/1)5//5/(6.0/ RL?
A25/10)0()0( LL ii
A65/205/10)(Li
046)62(6)( 55 t eeti ttL
A22)20(2)( 551 tt eeti
A24)42(4)( 552 tt eeti
A0110 )2010()0(1i
A2110 )1020()0(2i
A25/10)(1i
A45/20)(2i
下 页上 页
0＋ 等效电路返 回
+
–
20V
2A
5? 5?
+
–10V
i2i1
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t)
解 三要素为：
V12624)( 111 iiiu C
V8)0()0( CC uu
下 页上 页
4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
10/10 11 iuRiu eq
2A 4? 1? 0.1F
+
uC
－
+
－
4?
i1
2i1 8V
+
－
12
返 回
t
euuutu )]()0([)()( CCCC
V2012]128[12)(C tt eetu
下 页上 页
s11.010eq CR?
例 4 已知,t=0时开关闭合，求换路后的电流 i(t) 。
+
–
1H
0.25F
5?
2?
S
10V
i
解 三要素为：
V10)0()0( CC uu
0)(Cu
s5.025.02eq1 CR?
返 回
V10)]()0([)()( 2CCCC t
t
eeuuutu
0)0()0( LL ii
A25/10)(Li
s2.05/1/2 eqRL?
A)1(2)]()0([)()( 5 t
t
LLLL eeiiiti
)A5)1(2(
2
)()()( 25 ttC
L ee
tutiti
下 页上 页
+
–
1H
0.25F
5?
2?
S
10V
i
返 回已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S1,t
=0.2s时合 S2,求两次换路后的电感电流 i(t)。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti
A25/10)(
s2.05/1/
0)0()0(
1
i
RL
ii
解下 页上 页例 5
i
10V
+
S1(t=0)
S2(t=0.2s)
3?
2?
-
返 回
t > 0.2s
A52/10)(
5.02/1/
A26.1)2.0(
2
i
RL
i
26.122)2.0( 2.05 ei
A74.35)( )2.0(2 teti
下 页上 页
i
10V
+
S1(t=0)
S2(t=0.2s)
3?
2?
-
返 回
tei 522 (0 < t? 0.2s)
)2.0(274.35 tei ( t? 0.2s)
下 页上 页
i
t(s)0.2
5
(A)
1.26
2
0
返 回
7.5 二阶电路的零输入响应
uC(0+)=U0 i(0+)=0
0
2
CCC u
t
uRC
t
uLC
d
d
d
d
已知：
1,二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：
电路方程,0
CL uuRi
t
iLu
t
uCi
L
C
d
d
d
d
以电感电流为变量,02 i
t
iRC
t
iLC
d
d
d
d
下 页上 页
R
LC
+
-
i
uc
返 回
012 RC PLC P特征方程：
电路方程,02
C
CC u
t
uRC
t
uLC
d
d
d
d
以电容电压为变量时的 初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0 0
0
t
C
t
u
d
d
以电感电流为变量时的 初始条件：
i(0+)=0 uC(0+)=U0
)0()0( 0
0
U
t
iLuu
t
LC
d
d
L
U
t
i
t
0
0
d
d
下 页上 页返 回
2,零状态响应的三种情况二个不等负实根 2 CLR?
二个相等负实根 2 CLR?
二个共轭复根 2
C
LR?
L
CLRRP
2
/42
过阻尼临界阻尼欠阻尼
LCL
RR 1)
2(
2特征根：
下 页上 页返 回
2 )1( CLR?
21
21C
tt pp
eAeAu
0210C )0( UAAUu
02211
)0(
APAP
t
u C
d
d
0
12
1
2
0
12
2
1
U
PP
P
A
U
PP
P
A
)( 21 12
12
0 tt
C
PP ePeP
PP
Uu?
下 页上 页返 回
)( 21 12
12
0
C
tt PP ePeP
PP
Uu?
U0
t
uc
tPe
PP
UP 1
12
02
tPe
PP
UP
2
12
01
设 |P2|>|P1|
下 页上 页
0
① 电容电压返 回
)()( 21
12
0
C
ttc pp ee
PPL
U
t
uCi?
d
d
t=0+ ic=0,t=? ic=0
ic>0 t = tm 时 ic 最大
tm
ic
)( 21 12
12
0
C
tt PP ePeP
PP
Uu?
下 页上 页
t
U0 uc
0
② 电容和电感电流返 回
U0 uc
tm 2tm u
L
ic
)()( 21 21
12
0 tt
L
pp ePeP
PP
U
t
iLu?
d
d
)( 21 12
12
0
C
tt PP ePeP
PP
Uu?
0< t < tm,i 增加,uL>0,t > tm i 减小,uL <0
t=2 tm时? uL?最大
0,,0 0 LL utUut
下 页上 页
R
LC
+
-
t0
③ 电感电压返 回
iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下,
0)( 21 21 tt pp ePeP
21
1
2
pp
p
p
n
t m
由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t,
0)( 21 2221 tt pp ePeP
mtt 2?
)(
)(
21
21
12
0 tt
L
pp ePeP
PP
U
t
iLu?
d
d
21
1
22
pp
p
p
n
t
m
m
tP
tP
e
e
P
P
2
1
1
2?
下 页上 页返 回
④ 能量转换关系
0 < t < tm uC减小,i 增加 。 t > tm uC减小,i 减小,
下 页上 页
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uC
tm 2tm
uL
iC
0
返 回
2 )2(
C
LR?
LCL
R
L
RP 1)
2
(
2
2
2,1
jP
( 谐振角频率) ( 衰减系数),令 1 2 0 LCLR：
220 ( 固有振荡角频率)
uc 的解答形式：
)( 21)(21 21 tjtjttptpC eAeAeeAeAu
经常写为：
)s i n ( tAeu tC
下 页上 页共轭复根返 回
0c o ss i n)(0)0(
s i n)0( 00
AA
dt
du
UAUu
C
C
由初始条件
a r c t g
UA,
s i n
0
δ
ωω0
下 页上 页
)s i n ( tAeu tc
0
s in 00 UA ω,ω０,δ的关系
)s i n ( 00
teUu t
C
返 回
)s i n ( 00
teUu t
C
弦函数。为包线依指数衰减的正是振幅以 00 Uu C
t=0 时 uc=U0 uC =0,?t =?-?,2?-?,.,n?-?
t?-? 2?-? 20
U0
uC
teU?
0
0
teU?
0
0
下 页上 页返 回
t?-? 2?-? 20
U0
uC
iC
te
L
U
t
uCi tC
C
s i n 0
d
d
)s i n ( 00
teU
t
iLu t
L d
d
uL=0,?t =?,?+?,2?+?,.,n?+?
ic=0,?t =0,?,2?,.,n?,为 uc极值点，
ic 的极值点为 uL 零点 。
下 页上 页返 回能量转换关系：
0 <?t <<?t <?--? <?t <?
t?-? 2?-? 20
U0
uc
iC
下 页上 页
R
LC
+
-
R
LC
+
-
R
LC
+
-
返 回特例,R=0 时
2
1 0 0,，
LC
t
L
U
i
utUu
LC
s i n
)90s i n (
0
0
0
等幅振荡
t
下 页上 页
LC
+
-0
返 回
2 )3(
C
LR
L
RPP
221
tt
C teAeAu
2
1
0)(0)0(
)0(
21
010
AA
t
u
UAUu
c
c
d
d由初始条件
02
01
UA
UA
下 页上 页相等负实根返 回
tt
C teAeAu
2
1
0201 UAUA
非振荡放电
) 1(
) 1(
0
0
0
teU
t
i
Lu
te
L
U
t
u
Ci
teUu
t
L
tC
C
t
C
d
d
d
d
下 页上 页返 回非振荡放电 过阻尼,2 CLR?
tt
C
pp eAeAu 21
21
振荡放电 欠阻尼,2
C
LR?
)s i n ( tAeu tC
非振荡放电 临界阻尼,2 CLR?
tt
C teAeAu
2
1
定常数
)0(
)0(
t
u
u
C
C
d
d由初始条件可推广应用于一般二阶电路下 页上 页小结返 回电路如图,t=0 时打开开关。求 uC并画出其变化曲线。
解 （ 1） uC(0－ )=25V
iL(0－ )=5A
特征方程为,50P2+2500P+106=0
1 3 925 jP
例 1
0C
2
CCC u
t
uRC
t
uL
d
d
d
d
)1 3 9s i n (25 tAeu tC
（ 2） 开关打开为 RLC串联电路，方程为：
下 页上 页
5Ω
100?F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-
+ -
iL
uC
返 回
)1 3 9s i n (25 tAeu tC
(3)
5
d
d
25)0(
0t
u
C
u
C
C
410
5
)s i n25c o s139(
25s i n
A
A
0176 356，A
V)1 7 61 3 9s i n (3 5 6 025 teu tC
t0
uC
356
25
下 页上 页返 回
7.6 二阶电路的零状态响应和全响应
uC(0－ )=0,iL(0－ )=0
微分方程为：
S
2
d
d
d
d Uu
t
uRC
t
uLC
C
CC
CCC uuu
通解特解特解,SC Uu
特征方程为,
012 RC PLC P
下 页上 页
R L
C
+
-
uCiLUS? (t)
+
-
例
1,二阶电路的零状态响应返 回
)( 2121S 21 ppeAeAUu ttC pp
) ( 21 2 1S PPteAeAUu ttC
)( )s i n ( 21 S jPtAeUu tC,
uC解答形式 为：
确定二个常数 ),(由初值 tuu d )(0d 0 C
下 页上 页
t
uC
US
0
返 回求电流 i 的零状态响应。
i1= i － 0.5 u1
= i － 0.5(2－ i)?2
= 2i － 2
由 KVL,i
t
idtiii 2
d
d62)2(2
11
整理得,1212
d
d8
d
d
2
2
i
t
i
t
i
首先写微分方程解下 页上 页
2-i
i1
例二阶非齐次常微分方程返 回
+
u1
-
0.5u1
2? 1/6F
1HS 2?
2?
2A
i
特征根为,P1= － 2,P2 = － 6
iii解答形式为：
第三步求特解 i'
由稳态模型有,i' = 0.5 u1 u1=2(2－ 0.5u1)
i'=1A
tt eAeAi 6
2
2
1
u1=2
下 页上 页
1212
d
d8
d
d
2
2
i
t
i
t
i
第二步求通解 i?
返 回稳态模型
+
u1
-
2?
i
2A
0.5u1
2?
第四步定常数
tt eAeAi 62211
由 0+电路模型：
)0()0(
d
d
0)0()0(
Lu
t
i
L
ii
V8225.0)0( 111 uuuu L
21
21
628
10
AA
AA
5.1
5.0
2
1
A
A
A 5.15.01 62 tt eei
下 页上 页返 回
+
u1
-
0.5u1
2? 1/6F
1Hk 2?
2?
2A
i
+
u1
-
0.5u1
2?
2?
uL(0+)
2,二阶电路的全响应已知,iL(0-)=2A uC(0-)=0 求,iL,iR
(1) 列微分方程
50dddd L2
2
LL RitiLtiR L C
(2)求特解
0
d
d50d
d
2
2
L
t
i
LCi
R
t
i
L
L
L
A1Li
解下 页上 页
R iR
-
50 V
50?
100
F
0.5H
+ iL
iC
例应用结点法：
返 回
(3)求通解 02 0 0 0 02 0 02 PP
特征根为,P= -100?j100
)1 0 0s i n (1 100 tAei t
(4)定常数
)0( 0s i n100c o s100
)0( 2s i n1
L
L
uAA
iA
2
45
A
)45 100s i n (21 100 tei tL
特征方程为：
下 页上 页
50dddd 2
2
LL RitiLtiR L C
返 回
(5)求 iR
)1 0 0s i n (1 100 tAei tR
或设解答形式为：
定常数
)0(
d
d
1)0( 1)0(
R
CR
t
i
ii
R
ui C
R
50
200)0(1)0(dd1)0(dd CCR iRCtuRti
CLR iii 2
2
d
d
t
iLCi L
L
下 页上 页
R iR
-
50 V
50?
100
F
0.5H
+ iL
iC
R iR
-
50V
50?
+
iC2A
返 回
200s i n100c o s100
1s i n1
AA
A
2
0
A
)1 0 0s i n (1 100 tAei tR
下 页上 页返 回
1.二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。
2.二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。
非振荡放电 过阻尼,0 tt pp eAeAu 21
21C
振荡放电 欠阻尼,0
非振荡放电 临界阻尼,0 tt teAeAu
2 1C
2
0
2p
)s i n ( C tAeu t
下 页上 页小结返 回
3.求二阶电路全响应的步骤
(a)列写 t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应 =强制分量 +自由分量定常数由初值
)0(
)0(
)(
dt
df
f
e
上 页返 回 上 页
7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
1,单位阶跃函数
定义
)0(1
)0(0
)(
t
t
t?
t
(t)
0
1
单位阶跃函数的延迟
)(1
)(0
)(
0
0
0 tt
tt
tt?
t
(t-t0)
t00
1
下 页上 页返 回
t = 0 合闸 i(t) = Is )(t?
① 在电路中模拟开关的动作 t = 0 合闸 u(t) = E )(t?
单位阶跃函数的作用下 页上 页
S
US u(t) )(S tU? u(t)
返 回
Is
)(ti
k )(tI
S? u(t)
② 起始一个函数
t
f (t)
0
)()s in ( 00 tttt
t0
③ 延迟一个函数下 页上 页
t
f(t)
0 t0
)()s in ( tt? )()s in ( 0ttt
返 回
用单位阶跃函数表示复杂的信号例 1
)()()( 0ttttf
(t)
t
f(t)
1
0
1
t0 t
f(t)
0
t0
-? (t-t0)
)4()3()1(2)( ttttf
例 2
1 t
1
f(t)
0
2
43
下 页上 页返 回
)1()]1()([)( tttttf例 4
1 t
1
f(t)
0
)1()1()( tttt
)1()1( tt?
)(tt?
)4()3(
)1()()(
tt
tttf
例 3
1 t
1
f(t)
0
2
43
下 页上 页返 回
)()()1( tt u?
例 5
t
1
0 2
已知电压 u(t)的波形如图，
试画出下列电压的波形。
)1()2()4( tt u?
)1()1()3( tt u?
)()1()2( tt u
t
1 u(t)
0－ 2 2
t
1
0－ 1 1
t
1
0 1 t
1
0 21
下 页上 页返 回
)( )1()( tetu RC
t
C?
)( 1)( te
R
ti RC
t
)( tei RC
t
和 0 tei RC
t 的区别
2,一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下 页上 页
i
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
)( t?
注意返 回
)( tei RC
t
0 tei RC
t
t0
1
i
t0
1
i
下 页上 页
t
uC
1
0
返 回
t
iC
0
激励在 t = t0 时加入，
则响应从 t =t0开始。
t- t0
RCC e
R
i
1?
( t - t0 )
)(1 0
tte
R
RC
- t
不要写为：
下 页上 页
iC
(t -t0) C
+
–
uC
R
R
1
t0
注意返 回
)5.0(10)(10 ttu S
求图示电路中电流 iC(t）例下 页上 页
10k
10k
us
+
-
ic 100
F
uC(0－ )=0 0.5
10
t(s)
us(V)
0
5k
0.5us
+
-
ic 100?
F
uC(0－ )=0
等效返 回
)5.0(10)(10 ttu S应用叠加定理下 页上 页
)(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
)5.0(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
)(t?
5k+
-
ic 100?
F
s5.0105101 0 0 36RC?
mA )( 51dd 2C tetuCi tC
)( )1()( 2t tetu C
阶跃响应为：
返 回由齐次性和叠加性得实际响应为：
)]5.0(51)(51[5 )5.0(22 tetei ttC
mA)5.0()( )5.0(22 tete tt
下 页上 页
)(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
)5.0(5 t?
5k+
-
ic 100?
F
返 回
)5.0()( )5.0(22 tetei ttC
0)5.0( 1)( 5.00 ttt
tei 2
C
)5.0(2
1)5.0(2)5.0(22
C
6 3 2.0
)1(
t
ttt
e
eeeei
下 页上 页
1)5.0( 1)( 0,5 s ttt
分段表示为：
返 回分段表示为：
s)0,5(m A 0,6 3 2-
s)5.0(0 m A
)(
5)0.-2(-
2
C te
te
ti
t
t
t(s)
iC(mA)
0
1
-0.632
0.5
波形 0.368
下 页上 页
)5.0(6 3 2.0
)]5.0()([
)5.0(2
2
te
ttei
t
t
C
返 回
2,二阶电路的阶跃响应下 页上 页
S0,5R C L Ci i i i i
)(5.0 tiii LCR
对电路应用 KCL列结点电流方程有已知图示电路中 uC(0-)=0,iL(0-)=0,求单位阶跃响应 iL(t）
例解返 回
iS 0.25H0.2? 2F
A)(t? iR iLiC 0.5iC
下 页上 页
d
d
RL
R
uiLi
R R t
2
2
d
d
d
d
t
iLC
t
uCi LC
C
)(44dd5dd 2
2
tititi LLL
iii L
tptp AAi 21 ee 21
0452 pp
11p 42p
代入已知参数并整理得：
这是一个关于 的二阶线性非齐次方程，其解为特解特征方程通解解得特征根
1i
返 回下 页上 页
4121 e ettLi A A
(0 ) (0 ) 0LLii
(0 ) (0 ) 0CCuu
04
01
21
21
AA
AA
4 A41( ) ( ) 1 e e33 ttLi t s t t
代 初始条件阶跃响应电路的动态过程是过阻尼性质的。
3
4
1A
3
1
2?A
返 回
7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应
1,单位冲激函数
定义 )0( 0)( tt?
1d)( tt? t
(t)
1
0
单位脉冲函数的极限
/ 2
1/?
t
p(t)
-? / 2
1 0
)()(lim 0 ttp
)]2()2([1)( tttp
下 页上 页返 回
单位冲激函数的延迟
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
t
(t-t0)
t00
（ 1）
单位冲激函数的性质
① 冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
)(
0 1
0 0
d)( t
t
t
tt
t
)(
d
)( d t
t
t
下 页上 页返 回
② 冲激函数的 ‘ 筛分性 ’
)0(d)( )0(d)()( fttftttf
)(d)()( 00 tfttttf同理
d)
6
()( s i n tttt
02.1
62
1
66
s i n
例
t
(t)
1
0
f(t)
f(0)
f(t)在 t0 处连续
f(0)?(t)
注意下 页上 页返 回
)(dd tRutuC cc
uc不是冲激函数,否则 KCL不成立分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为
(1) t 在 0－ → 0+间例 1
2,一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。
冲激响应求单位冲激电流激励下的 RC电路的零状态响应。
解注意下 页上 页返 回
uC(0－ )=0
iC
R
(t)
C
+
-
uC
)0(1)0( CC uCu
电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。
1d)(dd
d
d 0
0
0
0
C0
0
C
ttt
R
ut
t
uC?
0
1)]0()0([ CC uuC
结论
(2) t > 0+ 为零输入响应（ RC放电） i
C
R C
+
uC
－
Cu
1)0(
C
01
C teCu
RC
t
01
C
C teRCR
ui RC t
下 页上 页返 回
uC
t
0
C
1
)(
1
)(
)(
1
C
C
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
RC
t
iC
t
1
RC
1?
0
下 页上 页返 回
)(
d
d t
t
iLRi L
L
例 2 求单位冲激电压激励下的 RL电路的零状态响应。
分二个时间段考虑冲激响应解
L
+
-
iLR
)(t?
+
-
uL
0)0(Li
iL不是冲激函数,否则 KVL不成立。注意
1d)(dd 0
0
0
0
0
0
ttt
dt
diLtRi L
L?
0
( 0 ) - ( 0 ) = 1-+LLL i i )0(1)0( LL i
L
i
下 页上 页返 回
(1) t 在 0－ → 0+间 方程为电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
)0(1)0( LL i
L
i
结论
(2) t > 0+ RL放电
L
iLR +
-
uL
R
L
Li L
1)0(?
01
te
L
i
t
L
0 te
L
RRiu t
LL
下 页上 页返 回
)(1 teLi
t
L?
)()( teLRtu
t
L
iL
t
0
L
1
uL
t
1
R
L?
0
下 页上 页返 回零状态 R(t))(te
3,单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
(t)
单位阶跃
(t) t
tt
d
)(d)(
)(dd)( tstth?
激励 响应下 页上 页返 回
)()( tti S
先求单位阶跃响应：
求,is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t).例解
)()1()( teRtu RC
t
C?
uC(0+)=0 uC(?)=R? = RC
iC(0+)=1 iC(?)=0 )(
C tei
RC
t
再求单位冲激响应,令,)()(
S tti
下 页上 页返 回令
uC(0－ )=0
iC
R
iS(t)
C
+
-
uC
)()1(
d
d teR
t
u RC
t
C?
)()1( teR RC
t
)(1 te
C
RC
t
)(1 teC RC
t
)()0()()( tfttf
0
)]([
d
d
C teti
RC
t
)(1)(
te
RC
te RC
t
RC
t
)(1)( te
RC
t RC
t
下 页上 页返 回
uC
R
t0
iC
1
t0
uC
t0
C
1
冲激响应阶跃响应
iC
t
1
RC
1?
0
下 页上 页返 回有限值 有限值
KVL方程为
)(dddd CC2 C
2
tutuRCtuLC
0
0
0
0 C
0
0
C0
0 2
C
2
d)(dd
d
dd
d
d tttut
t
uRCt
t
uLC?
例
4,二阶电路的冲激响应
R L
C
+
-
+
-
uC
iR
(t)
求单位冲激电压激励下的 RLC电路的零状态响应。
解
t 在 0－ 至 0＋ 间 1d
d
d0
0 2
C
2
t
t
uLC
下 页上 页返 回
1)0(dd)0(dd CC tuLCtuLC
下 页上 页
1d
d
d0
0 2
C
2
t
t
uLC
Lii CL
1)0()0(
t>0+为零输入响应 0
d
d
d
d
C
C
2
C
2
utuRCtuLC
2 CLR? tt pp eAeAu 21 21C
LC
PAPA
AA
1
0
2211
21
12
12
1
PP
LCAA
0)0()0( CC uu
返 回
2 CLR?
)()s i n (1 C tte
LC
u t
)s i n ( C tAeu t
)j( 21、P
)()(
)(
1
21
12
C teePPLCu
tt pp
下 页上 页返 回
7.9* 卷积积分
1.卷积积分
定义 设函数 f1(t),f2(t) t < 0 均为零
d)()()(*)( 20 121 ftftftf t
性质
)(*)()(*)( 1221 tftftftf?
下 页上 页返 回
d)()()(*)( 20 121 ftftftf t
)d)(()(0 21 t tff
t dftf0 12 )()(
令? = t -?
d? = - d?
,0 t
,t 0 )(*)( 12 tftf?
证明下 页上 页
2.卷积积分的应用激励 e(t) 响应 r(t)线性网络零状态返 回
d)()()( 0 t ethtr
将激励 e( t )近似 看成一系列具有相同宽度的 矩形脉冲的叠加，
下 页上 页激励 e(t) 响应 r(t)线性网络零状态
)(t?
若 )()(
1 thtf? )()(2 tetf?冲激响应则 )(*)()(*)()(
21 tethtftftr
物理解释返 回下 页上 页
0
e
t
0
t
1
t
2
t
n-1
t
Δ)()(Δ)()()( 1Δ10Δ0Δ tptetptee
Δ)()(Δ)()( Δ2Δ2 kk tptetpte
Δk1k1201 tttttt?
返 回
Δ)()( kΔ
1n
0
k tpte
k
下 页上 页若单位脉冲函数 p ( t ) 的零状态响应为 h Δ ( t )
第 1个矩形脉冲
Δ)()( 1Δ1 tpte Δ)()( kΔ1 tthte?
响应第 k个矩形脉冲
Δ)()( kΔk tpte Δ)()( kΔk tthte?
响应返 回根据叠加定理,t时刻观察到的响应应为 0 ~ t
时间内所有激励产生的响应的和下 页上 页
Δ)()()( kΔ
1n
0
kΔ thtetr
k
n当
k
ΔΔΔ
,dΔ
)(,)(,,0Δ
t
trrteehh
d)()()(
0?
tt ethtr
0t 0?若 d)()()(
0
t ethtr
返 回例 1 已知,R=500 k?,C=1?F,uC(0)=0
，求 uC(t)A)(2 tei t
s
下 页上 页先求电路的冲激响应 h(t)解
A)( ti s?
00 d1)0( tiCu sC
00 d)(1 ttC? V110
6
C
uC(?)=0 s5.010105 0 0 63RC?
V)()( 2 teth t
返 回
R C
iS +
–
uC
再计算 时的响应 uC ( t )μA)(2 tei ts
d)()()(*)()( 0 thithtitu t SSC
V)()22( 2 tee tt
t tee0 )(26 d102
t ttt eeee 0 2626 )1(102d102
例 2
下 页上 页设例 1中的,求 uC(t) μA)]1()([ tti s
解 )]1()([)(1 tttf设：
)()( 22 tetf t
返 回
d)()()(*)( 20 121 tfftftf t
被积函数积分变量下 页上 页参变量
f1(?)
1
0 1
f2(-?)1
0
由图解过程确定积分上下限
tetttftftu 221C *)]1()([)(*)()(
返 回
1
0 1
e-2(-?)
t0 1
V)1(21d1)(10 20 )(2 tt tC eetut
V)1(21d)(1 2210 )(2C tt eeetut
下 页上 页
0)(0 C tut
t
e-2(t-?) 移
t’
卷积返 回
1.网络的状态与状态变量
网络状态指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。
状态变量电路的一组独立的动态变量 X，
X=[x1,x2…… xn]T,
它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如 独立的 电 容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。
下 页上 页
7.10* 状态方程返 回
状态变量法下 页上 页借助于 状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。 只要知道状态变量在某一时刻值 X(t0),再知道输入激励 e(t),就可以确定 t>t0后电路的全部性状 (响应 )。
状态变量 X(t0)
激 励 e(t) (t?t0) Y(t) (t?t0) 响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。
返 回已知,
0)0(
V3)0(
)s i n (20)( 30
i
u
L
C
o
tte?
求,).0(),0(),0(),0( uiui RRLC
解
V7)0(u L
V3)0(Ru
A1)0(
A1)0(
C
R
i
ie(0)=10V
0)0(
V3)0(C
i
u
L
例下 页上 页
3?
L
Ce(t) +
iL iC+
-
uC
-
uo
返 回同理可推广至任一时刻 t1
由
)(
)(
)(
1
1C
1
ti
tu
t
L
e
)(
)(
)(
)(
1C
1
1
1
ti
ti
tu
tu
R
L
R
(1)状态变量和储能元件有关
(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量
(3)状态变量的选择不唯一。
求出下 页上 页表明返 回设 uc,iL 为状态变量
R
ui
t
uCi C
L
C
C d
d
RC
ui
t
u CLC
Cd
d
L
u
L
te
t
i CL )(
d
d
整理得每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用 直观编写法。
状态方程下 页上 页
2,状态方程的列写
3?
L
Ce(t) +
iL iC+
-
uC
-
uo
C
L
L )(d
d ute
t
iLu
返 回矩阵形式
)(1
0
0
1
11
d
d
d
d
te
L
L
CRC
t
t
i
u
i
u
L
C
L
C
0
3)0(X
① 联立的一阶微分方程组
② 左端为状态变量的一阶导数
③ 右端含状态变量和输入量下 页上 页特点返 回
A X B VX
一般形式下 页上 页返 回
12 ddd
d d d
T
nxxxX
t t t
12,TnX x x x?
电路的输出方程
)(
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
te
R
R
u
i
u
i
u
i
L
C
R
R
C
L
① 代数方程
② 用状态变量和输入量表示输出量一般形式 [Y]=[C][X]+[D][V]
下 页上 页
3?
L
Ce(t) +
iL iC+
-
uC
-
uC
特点电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系返 回下 页上 页例 列出电路的状态方程
L1
CuS +
iL1
iS
+
-
uC
-
R1
R2
iL2L21
2
1 2
解 对结点①列出 KCL方程
21d
d
LL
C ii
t
uC
返 回下 页上 页
1
1
2
2
1 1 S
2 2 S
d
d
d
()
d
L
CL
L
CL
i
L u R i u
t
i
L u R i i
t
1
2
1 S
1
S
1 1 1
2
22
2 2 2
d 11
0
00d
d 11
00
d
d 1
00
d
C
C
L
L
u
t CC
ui
R u
i
it L L L
i
i RR
t L L L
对回路 1和回路 2列出 KVL方程把以上方程整理成矩阵形式有返 回下 页上 页
n1 Cuu?
2n 2 S 2()Lu i i R
2
Sn1
22n 2 S
1 0 0 0
00
C
L
u uu
iRRui
若以结点①、②的电压作为输出，则有整理并写成矩阵形式有返 回
1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。
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7.11* 动态电路时域分析中的几个问题
① 当一个网络中存在纯电容回路，由 KVL可知其中必有一个电容电压可由回路中其它元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。
例返 回下 页上 页
② 当网络中存在纯电感结点，由 KCL可知其中必有一个电感电流可由其它元件的电流求出，此电感电流时非独立的。
③ 网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压
uC由 uS决定。
④ 网络中与独立电流源串联的电感元件，其 iL由 iS
决定。
返 回以上四种请况中非独立的 uC和 iL不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于 C,L元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中 C,L元件总数，下面着重讨论常态网络。
下 页上 页
CuS +
+
-
uC
-
R 零阶电路返 回
iS R
L
2.动态电路中初始值的计算下 页上 页
)0()0( CC uu )0()0( LL ii
对于通常电路，初始值由下面关系确定
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
在下面情况下
① 换路后的电路有纯电容构成的回路，或有由电容和独立电压源构成的回路，且回路中各个电容上电压值 uC(0-)的代数和不等于该回路中各个电压源初始值的代数和。
返 回上 页
② 换路后的电路有纯电感构成的结点（或割集）或有由电感和独立电流源构成的结点（或割集），
且结点上各电感的电流值 iL(0-)与电流源电流的初始值的代数和不等于零，
在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即
(0 ) (0 )kkqq
(0 ) (0 )k k k kC u C u
(0 ) (0 )kk
(0 ) (0 )k k k kL i L i
或或返 回
