第 9章 正弦稳态 电路的 分析首 页本章重点正弦稳态电路的分析9.3
正弦稳态电路的功率9.4
复功率9.5
最大功率传输9.6
阻抗和导纳9.1
2,正弦稳态电路的分析；
3,正弦稳态电路的功率分析；
重点：
1,阻抗和导纳；
返 回
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗 正弦稳态情况下 I?
ZU?
+
-
无源线性网络
I?U?
+
-
zφZ
I
UZ || d e f
iuz
IUZ 阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式下 页上 页返 回当无源网络内为单个元件时有：
RIUZ
LXLI
UZ j j
CXCI
UZ j
1j
Z 可以是实数，也可以是虚数。
I?
CU?+
-
下 页上 页
I?
RU?+
-
I?
LU?+
-
表明返 回
2,RLC串联电路
KVL,.,,,,,,1jj I
CILIRUUUU CLR
IXXRICLR CL )](j[)]1(j[ IXR?)j(
zZXRCLRI
UZ?
j1jj?
下 页上 页
L
C
R
u
uL
uCi
+
-
+
-
+ -+ -uR
R
+
-
+
-
+ -+ -
,I
j? L
U?
LU?
CU
,
C?j
1
RU?
返 回
Z — 复阻抗； |Z| — 复阻抗的模；?z — 阻抗角；
R — 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )。
转换关系,a r c t a n
| | 22
R
X
φ
XRZ
z
或
R=|Z|cos?z
X=|Z|sin?z
阻抗三角形
|Z|
R
X?
z
iuz
I
U
Z
下 页上 页返 回
I?
分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠?z 为复数，称复阻抗
（ 2）?L > 1/?C,X>0,? z>0,电路为感性，
电压超前电流。
0?i?
下 页上 页相量图：一般选电流为参考向量，
CU?
RU?
LU?
U?
z UX
电压三角形
2
CL
222 )( UUUUUU
RXR
j? Leq
XU?
R+
-
+
-
+
-RU?
等效电路返 回
I?
（ 3）?L<1/?C,X<0,?z <0,电路为容性，
电压落后电流。
CU?
RU?
LU?
U?
z
UX
等效电路下 页上 页
XU?
eqj
1
C?
R+
-
+
-
+ -RU?
,U
I?
（ 4）?L=1/?C,X=0,? z=0,电路为电阻性，
电压与电流同相。
I?
RU?
LU?
CU?
R+-
+
-
I?
RU?U?
等效电路
2222 )(
LCRXR UUUUUU
返 回例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103),60(c o s25 4 ftu
求 i,uR,uL,uC,
解 画出相量模型
V 605U
CLRZ
1jj
Ω5.56j
103.0103π2jj 34
L?
Ω5.26j102.0103π2 1j1j 64C?
5.26j5.56j15
Ω 4.6354.33 o
下 页上 页
L
C
R
u
uL
uCi
+
-
+
-
+ -+ -uR
R
+
-
+
-
+ -+ -
,I
j? L
U?
LU?
CU
,
C?j
1
RU?
返 回
A 4.3149.0
4.6354.33
605 o
o
o
Z
UI
则 A )4.3ω(c o s21 4 9.0 o ti
V 4.3235.24.3149.015 oo IRU R
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo ILU L
V 4.9395.34.3149.0905.26C1j ooo
IU C
V )4.3(c o s22 3 5.2 o tωu R
V )6.86(c o s242.8 o tωu L
V )4.93(c o s295.3 o tωu C
下 页上 页返 回下 页上 页
UL=8.42>U=5,分电压大于总电压。
相量图注意
U?
LU?CU?
I?RU?
-3.4°
返 回
3.导纳 正弦稳态情况下
S || yφY
U
IY
定义导纳
uiy
U
IY? 导纳模导纳角下 页上 页无源线性网络
I?U?
+
-
I?
YU?
+
-
返 回
Z
Y
Y
Z 1,1对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有：
GRUIY 1 LB
LU
IY j
j
1
C
B
C
U
I
Y
j
j
Y 可以是实数，也可以是虚数。
下 页上 页
I?
CU?+
-
I?
RU?+
-
I?
LU?+
-
表明返 回
4,RLC并联电路由 KCL,CLR IIII j1j UCU
L
UG
)j1j( UCLG )j([ UBBG CL )j( UG
yYBGLCGU
IY?
j1jj?
下 页上 页
i
L CRu
iL iC+
-
iR
R
+
-
I?
j?L U? L
I? CI?
C?j
1
RI
返 回
Y— 复导纳； |Y| — 复导纳的模；?y— 导纳角；
G — 电导 (导纳的实部 )； B — 电纳 (导纳的虚部 )；
转换关系,
a r c t a n
| | 22
G
B
φ
BGY
y
或
G=|Y|cos? y
B=|Y|sin? y
导纳三角形
|Y|
G
B
y
uiy
U
I
Y
下 页上 页返 回
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠?y为复 数，称复导纳；
（ 2）?C >1/?L,B>0,?y>0,电路为容性，
电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量，
2222 )(
LCGBG IIIIII
U?
GI
,
CI
,
I
y
LI
,
0?u?
分析 R,L,C 并联电路得出：
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
IB
下 页上 页注意返 回
（ 3）?C<1/?L,B<0,?y<0,电路为感性，
电流落后电压；
2222 )(
CLGBG IIIIII
U?
GI
,
LI
,
I?
y
CI
,
等效电路下 页上 页
I?
U?
BI
eqj
1
C?
RI
R
+
-
返 回
（ 4）?C=1/?L,B=0,? y =0,电路为电阻性，
电流与电压同相。
等效电路等效电路下 页上 页
I?
j? Leg U? BI
RI
R
+
-
R+-
+
-
I?
RU?U?U?
GII
CI?
LI?
返 回
5,复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ
一般情况 G?1/R,B?1/X。 若 Z为感性,X>0,则 B<0，即仍为感性。
||j yφYBGY
BGY XR XRXRZ j 22 jj11
2222,XR XXR R BG zy φ φZY,||
1||
下 页上 页
Z
R
jX G jBY
注意返 回同样，若由 Y变为 Z，则有：
yz
zy
φ φ
Z
Y
XR
XRZ
φZXRZφYBGY
BG
B
BG
G
BG
BG
BGY
,
||
1
||
j
||j,||j
2222
22
,
j
j
11
下 页上 页
G jBY Z R jX
返 回例 RL串联电路如图，求在?＝ 106rad/s时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为：
02.501.7860j50j LXRZ
601006.010 36LX L?
S 0 0 9 8.0j0 0 8 2.0
2.500 1 2 8.0
2.501.78
11 0
0
Z
Y
1 2 20 0 8 2.0 11GR
mH1 0 2.00 0 9 8.0 1L
下 页上 页
0.06mH
50?
R’ L’
返 回下 页上 页注意
① 一端口 N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，
其每一部分都是频率的函数，随频率而变；
② 一端口 N0中如不含受控源，则有
90||?z? 或?90||?y?
但有受控源时，可能会出现
90||?z? 或?90||?
y?
其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；
返 回下 页上 页注意
1||||?YZ 0 yz
③ 一端口 N0的两种参数 Z和 Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为返 回
6,阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn )( 2121
UZZU ii分压公式
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
① 阻抗的串联下 页上 页
Z1
+
Z2 Zn
－U?
I? Z
+
-U?
I?
返 回
n
k
n
k
kkk BGYY
1 1
)j(
分流公式
IYYI ii
② 导纳的并联
YUYYYUIIII nn )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为：
21
21
ZZ
ZZZ
下 页上 页
Y1
+
Y2 Yn
－
U?
I?
Y
+
-U?
I?
返 回例 1 求图示电路的等效阻抗,?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
Ω100j130
100
)100j100(100j
30
jj
)j(j
2
2
1
CL
CL
XRX
XRX
RZ
1 0 010110 35LX L?
Ω100101.010 11 65CX C?
下 页上 页
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
返 回例 2 图示电路对外呈现感性还是容性？
解 1 等效阻抗为：
75.4j5.5
4j8
1.5325
6j3
)4j3(5
)4j3(5
6j3
0
Z
下 页上 页
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
电路对外呈现容性返 回解 2 用相量图求解，取电感电流为参考相量：
2I?
I?
2U?
1U? U?
下 页上 页
U? 2I?
1I?
I?
2U?
1U?
＋＋
－ －
－
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
电压滞后于电流，电路对外呈现容性。
返 回例 图为 RC选频网络，求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1?
U
U
解 设,Z1=R+jXC,Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUU
o
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
实数?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
RX
RXXR
RX
XR
XRRX
XR
Z
Z
2222
2
2
1
j2
j
2j
j
)j(
)j(j
j
CXR?
3211
oU
U
下 页上 页
jXC
－
R
－
＋
＋
R u
o
u1
jXC
返 回
9.3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
GuiRiu
u
i
0,KVL
0,K C L
或
,元件约束关系
:电阻电路
0,K V L
0,K C L
UYIIZU
U
I
或
,元件约束关系
:正弦电路相量分析下 页上 页返 回
1.引入相量法,电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的 。
下 页上 页结论
2.引入电路的相量模型,把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程 。
3.引入阻抗以后,可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中 。 直流 （ f =0)是一个特例 。
返 回例 1
画出电路的相量模型
7.175.1049
901047.318
47.318j1000
)47.318j(1000
1j
)1j( 3
1
1
1
CR
CRZ
,r a d / s314,V100
,μF10,mH500,10,1 0 0 0 21
U
CLRR
求,各支路电流。
已知：
解下 页上 页
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2U?
1I?
2I?
3I? C?
1j?
L?j
R2+
_
R1
返 回
1 5 7j10j22 LRZ?
3.5299.166 13.132j11.102
157j1013.289j11.92 21 ZZZ
下 页上 页
13.28911.923.7245.0331 jZ?
Z1 Z2U?
1I?
2I?
3I? C?
1j?
L?j
R2+
_
R1
返 回
A3.526.03.5299.166 01001
Z
UI
A20181.0
3.526.0
7.175.1049
47.318j
1
j
1j
1
1
2
I
C
R
CI
A7057.03.526.0
7.175.1 0 4 9
1 0 0 0
1
j
1
1
1
3
I
C
R
R
I
下 页上 页
Z1 Z2U?
1I?
2I?
3I? C?
1j?
L?j
R2+
_
R1
返 回
SI?
L?j C?
1jS
U?
+_
R1
R2
R3R4
列写电路的回路电流方程和结点电压方程例 2
解
1I?
2I?
4I?3I?
回路方程
SUIRILRILRR 3221121 )j()j(
0)j()j( 33112431 IRILRILRRR
01j)1j( 42312332 ICIRIRICRR
SII4 下 页上 页
+_
su si
L R1
R2
R3R
4
C
返 回
1nU?
2nU?
3nU?
结点方程
Sn UU1
011)11
j
1(
3
3
1
2
2
321
nnn
U
R
U
R
U
RRLR
Snnn IUCURUCRR
12
3
3
43
j1)j11(
下 页上 页
SI?
L?j
C?
1j?
SU?
+_
R1
R2
R3R4
返 回
,Ω,45,Ω 30
Ω,30j,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
求电流已知
：
方法 1：电源变换
15j15
30j30
)30j(30//
31 ZZ
解例 3
ZZZZ
ZZII
231
31S
//
)//(
4530j15j15
)15j15(4j
o
o
3 6,9-5
455,6 5 7
A9.8113.1 o
下 页上 页
S31 )//( IZZ?
Z2Z
1Z3
Z
I?
+
-
Z2
SI?
Z1 ZZ3
I?
返 回方法 2：戴维宁等效变换
V4586.84 )//( o310 ZZIU S求开路电压：
求等效电阻,Ω45j15//
231 ZZZZ eq
A9.8113.1 4545j15 4586.84 o
0
0
ZZ
UI
下 页上 页
Zeq
Z
0
U?
+
-
I?+
-
0U?
Z2
SI?
Z1 Z3
返 回例 4 求图示电路的戴维宁等效电路。
60300j3006030060100200 0111o UIIIU
解
V45230j1 60 0oU?
下 页上 页
+ _
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
200I?
1
I?
100?
求开路电压：
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
4I?
1
I?
50?
50?
返 回求短路电流：
A06.010060 0SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230
SC
eq I
UZ
下 页上 页
+ _
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
200I?
1
I?
100?
SCI?+
_ 0060?
100?
返 回例 5 用叠加定理计算电流 2 I?
解,)( )1( SS 短路单独作用 UI
32
3
S2 ZZ
ZII
oo
o
o
30503050
305004
A3031.2350 30200 o
o
V451 0 0,oSU?已知
,Ω3050,Ω3050 A,04 o3o31oS ZZZI?
下 页上 页
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
U?
+
-
Z2
SI?
Z1
Z3
2I
返 回
32
S
2 ZZ
UI
A135155.13031.2 oo222 III
350
451 0 0 o
:)( )2( SS 开路单独作用 IU
下 页上 页
A135155.1 o
Z2Z1
Z3
2I
S
U?
+
-
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
U?
+
-
返 回已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件,Z1 Z3= Z2 Zx 得：
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
|Z1|1?|Z3|3 = |Z2|2?|Zx|x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
1 +?3 =?2 +?x
下 页上 页
Z1 Z2
Zx Z3
返 回已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时问,SUIβ，
11111S )1( IZIβZIZIZU
例 7
解
.90
o
11
相位差为 实部为零,
关系和找出分析：
转转
，：
Z
IZUUI
SS
)1 0 0 05050(j10410)1( 1
1
S ββZZβ
I
U
41 0104 1 0 ββ,令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压
I
U
下 页上 页
1
I? 1
Iβ?
Z
Z1
+
_S
U?
I?
返 回已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32?,
f=50Hz。 求：线圈的电阻 R2和电感 L2。
方法一,画相量图分析。
例 8
解
LR UUUUUU 2121
下 页上 页
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I?
I?
1U?
LU?
2RU
2U?q
2
U?
q?
c o s2 2122212 UUUUU
1.1154237.0c o s
返 回
A73.132/4.55/ 11 RUI
9.641 8 02q
H1 3 3.0)π2/(
Ω8.41s i n ||
Ω6.19c o s ||
Ω2.4673.1/80/||
2
222
222
22
fXL
θZX
ZR
IUZ
q
下 页上 页
I?
1U?
LU?
2RU
2U?q
2
U?
q?
返 回方法二、
q 1158004.55 021 UUU
q? c o s1 1 5c o s804.55
q? s in115s in80?
093.64
4 2 4.0cos
其余步骤同解法一。
下 页上 页
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I?
返 回
U?用相量图分析
oo 0~1 8 0 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0时,如何变化?ab?U
解 1
U?
CU?
CI?
CU
CI; 21,ab2 相位改变不变,改变当由相量图可知,UUR?
当 R2=0,q?180?；
当 R2,q?0?。
2U?
RU?
RU
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
q abU
q?ab
U
a
bb
下 页上 页
a b1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_
U?
abU?
+
-+
-
+
-
RU?
+
-
返 回例 10 图示电路，
。、、、：、
、、、
2121
32
,5
V200A210A10
RXXIXRR
UII
LCL 求
解下 页上 页
R1
R2jXL
+
_
CU?
U?
+ _
1
I?
jXC
3
I?
2
I?
A10451013510210 100321 IIII
V1501052001 CCCR UUUUU
2752 22 22 LRRCLRC UUUUUUU
5.7210 275 Ω1510150 2 LC XRX
3I?2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
1RU?
返 回例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
解
)c o s (2 uS tUu：已知应用三要素法：
0)0()0( LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI
22 )(
RL
用相量法求正弦稳态解
tLLLL eiiiti
)()0( )()( 0
t
iiL eItIti
c o s)c o s ()(
mm
下 页上 页
L
+
_
Su Lu
+
_
Li
R
返 回
t
iiL eItIti
c o s)c o s ()(
mm
)c o s ()(2π m iLi tIti,＝当
t
i
o
直接进入稳定状态下 页上 页过渡过程与接入时刻有关注意返 回出现瞬时电流大于稳态电流现象
t
i
o
下 页上 页
t
Li eItIti
mm )c o s ()(0,＝当返 回
9.4 正弦稳态电路的功率
iu
ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
)c o s (2)(
c o s2)(
的相位差和为
1,瞬时功率
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
无源网络
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
下 页上 页返 回第一种分解方法：
p 有时为正,有时为负；
p>0,电路吸收功率；
p<0,电路发出功率；
t
io
u
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp
UIcos? 恒定 分量 。
UIcos (2? t －?)
为正弦分量。
下 页上 页返 回
p
t
o
第二种分解方法：
tUItφUItp 2s i ns i n)2c o s1(c o s)(
UIcos? (1-cos2? t)
为不可逆分量。
UIsin? sin2? t为可逆分量 。
部分 能量在电源和一端口之间 来回交换 。
下 页上 页返 回
2.平均功率 P
T tpTP 0 d1
=?u-?i,功率因数角 。 对无源网络,为其等效阻抗的阻抗角 。
cos?,功率因数。
P 的单位,W（瓦）
T ttUIUIT 0 d)]2c o s (c o s[1
φUI c o s? φUIP c o s?
下 页上 页返 回一般地,有,0cos1
X>0,? >0,感性,X<0,? <0,容性,
cos? 1,纯电阻0,纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率,亦称为有功功率 。 表示电路实际消耗的功率,它不仅与电压电流有效值有关,而且与 cos? 有关,这是交流和直流的很大区别,主要由于电压,电流存在相位差 。
下 页上 页结论返 回
4,视在功率 S
3,无功功率 Q
φUIQ s ind e f?
单位,var (乏 )。
Q>0,表示网络吸收无功功率；
Q<0,表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。
是由储能元件 L,C的性质决定的
)(V A,d e f 伏安单位UIS?
下 页上 页电气设备的容量返 回有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22 QPS
S
P
Q 功率三角形下 页上 页返 回
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcos? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin? =UIsin0? =0
PL=UIcos? =UIcos90? =0
QL =UIsin? =UIsin90? =UI=I2XL
i
u C
+
-
PC=UIcos? =UIcos(-90?)=0
QC =UIsin? =UIsin (-90?)= -UI= I2XC
下 页上 页
i
u L
+
-
返 回
6,任意阻抗的功率计算
u
i
Z
+
-
PZ =UIcos? =I2|Z|cos?
=I2RQZ =UIsin? =I2|Z|sin? =I2X
＝ I2(XL＋ XC)=QL＋ QC
吸收无功为负吸收无功为正
0
0
2
2
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS 222222
S
P
Q?Z
R
X相似三角形
(发出无功 )
下 页上 页返 回电感、电容的无功补偿作用
t
i
o uL
L发出功率时,C刚好吸收功率,与外电路交换功率为 pL+pC。 L、
C的无功具有互相补偿的作用 。
t
i
o
uC
pL
pC
下 页上 页
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
返 回电压、电流的有功分量和无功分量：
以感性负载为例 IUUIP
Rc o s
GUIφUIP c o s
I?
U
BI
GI
I?
U?
RU
XU
IUUIQ Xs in
的无功分量为称的有功分量为称
X UU
UU R
BUIφUIQ s in
的无功分量为称的有功分量为称
II
II
B
G
下 页上 页
R X+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
I?
G B
+
_
GI
I?
BI
U?
返 回
IUUIP Rc o s
GUIφUIP c o s
IUUIQ Xs in
BUIφUIQ s in
IUUUIQPS XR 2222
IUIIUQPS BG 2222
S
P
Q?Z
R
X
相似三角形
I
IG
IB?U
UR
UX
下 页上 页返 回反映电源和负载之间交换能量的速率 。
m a xm a x
2
m
222
π2
2
1
2
1
π2
)2(
WfWLIω
ILωLIXIQ
T
LL
无功的物理意义,
下 页上 页返 回例 1 三表法测线圈参数。 已知,f=50Hz,且测得
U=50V,I=1A,P=30W。
解法 1
VA50150 UIS
v a r40
3050 2222
PSQ
301302IPR 401
40
2I
QX
L
H1 2 7.0π1 0 040 LXL
下 页上 页
R
L
+
_
U?
I?
Z
WA
V
*
*
返 回
Ω30130 222 IPRRIP解法 2
Ω50150|| IUZ 又 22 )(|| LRZ
H127.0314403050314 1||1 2222 RZL?
c o s?UIP? 6.0
150
30c o s?
UI
P?
Ω50150|| IUZ
300,650c o sZ?R
Ω408.050s i n||LZX
下 页上 页解法 3
返 回已知：电动机 PD=1000W，
U=220,f =50Hz,C =30?F
cos?D=0.8,求：负载电路的功率因数 。
A68.58.0220 1000c o s
D
D
D φU
PI
例 2
解
oDD 8.36,0,8 (c o s φφ ）感性?
o02 2 0U?设
08.2jj0220,8.3668.5 ooD CII C
oD 3.1673.433.1j54.4 CIII
96.0)]3.16(0c o s [c o s ooφ
下 页上 页
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
返 回
7,功率因数的提高设备容量 S(额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos?
cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
① 设备不能充分利用,电流到了额定值,但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
下 页上 页
S
75kVA 负载返 回
② 当输出相同的有功功率时,线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大 。
U?
I?
1
I?
2
c o s?UIP? c o sI
解决办法,（ 1）高压传输
（ 2）改进自身设备
（ 3）并联电容，提高功率因数 。
U
下 页上 页
i+
-
u Z
返 回分析
CI?
U?
LI?
1
I?
2
并联电容后，原负载的电压和电流不变，
吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
特点：
下 页上 页
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
返 回并联电容的确定：
21 s i ns i n III LC
补偿容量不同全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠过 —— 功率因数又由高变低 (性质不同 )
代入得将 c o s,c o s
12 U
PIU PI
L
)tgtg( 21 UPCUI C
)tgtg( 212 UPC
下 页上 页
CI?
U?
LI?
1
I?
2
返 回并联电容也可以用功率三角形确定：
1?2
P
QC
QL
Q
)tgtg(
)tgtg(
212
2
21C
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
L
从功率角度看,
并联电容后,电源向负载输送的有功 UIL
cos?1=UI cos?2不变,但是电源向负载输送的无功
UIsin?2<UILsin?1减少了,减少的这部分无功由电容,产生,来补偿,使感性负载吸收的无功不变,
而功率因数得到改善 。
下 页上 页返 回已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?1=0.6，要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流各为多大？
o11 13.53 6.0c o s φφ
例解
o22 84.25 9.0c o s φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
A8.75
6.02 2 0
1010
c o s
3
1
U
PII
L
未并电容时：
并联电容后,A5.50
9.02 2 0
1010
c o s
3
2
U PI
下 页上 页
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
返 回若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少并联电容,此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s φφ
解 o11 84.25 9.0c o s φφ
F 103 )8,1 91tg5,8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
A8.4795.02 2 0 1010
3
I
cos? 提高后，线路上总电流减少，但继续提高 cos? 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将 cos? 提高到 0.9即可。
下 页上 页注意返 回
9.5 复功率
1,复功率功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU
VA * 单位IUS
U?
I?
负载
+
_
定义：
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
XIRIX ) I(RZIIIZIUS 2222** jj
也可表示为：
)(o r *2****
YUYUUYUUIUS
下 页上 页返 回
.守恒 视在功率复功率守恒,不
2121 SSSUUU
下 页上 页结论
S① 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
0)j(
11
b
k
k
b
k
kk SQP
注意把 P,Q,S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；
S?
复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即
返 回求电路各支路的复功率
V)1.37(2 3 6 010 oo ZU?
例解 1
)15j5//()25j10(Z
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo发S
VA 1 9 2 0j768)25j10 1(236 *2*121 YUS 吸
VA 3 3 4 5j1 1 1 3 *222 YUS 吸发吸吸 SSS 21
下 页上 页
+
_
U?
10
∠
0 o
A
10?
j25?
5?
-j1
5?
1I? 2
I?
返 回
A )3.105(77.815j525j10 15j5010 oo1I?
解 2
A 5.3494.14
o
12 III S
VA 1 9 2 3j769)25j10(77.8 21211 ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o*11
SIZIS发下 页上 页返 回
9.6 最大功率传输
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
U
I
ZZ
U
I
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率负载有源网络等效电路下 页上 页
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
返 回正弦电路中负载获得最大功率 Pmax的条件
① 若 ZL= RL + jXL可任意改变
a)先 设 RL 不变,XL 改变显然，当 Xi + XL=0,即 XL =-Xi时,P 获得最大值。
2
Li
2
SL
)( RR
URP
b)再讨论 RL 改变时,P 的最大值
i
2
S
m a x
4 R
U
P?
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
下 页上 页讨论当 RL= Ri 时,P 获得最大值
RL= Ri XL =-Xi ZL= Zi*
最佳匹配条件返 回
② 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变获得最大功率的条件是,Xi + XL=0,即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
最大功率为
③ 若 ZL= RL为纯电阻负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
iiiL
L
ZXRRRP 22 0dd,获得最大功率条件令模匹配下 页上 页返 回电路如图，求,1.RL=5?时其消耗的功率；
2,RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
3.在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
A)6.26(89.055j5 010 1,o
o
I?
例解
5j5
105010j5j 65Li XRZ
W4589.0 22 LL RIP
下 页上 页
+
_U? 10∠ 0
o V
50?H
RL
5? I?
=105rad/s
获最大功率当 07.755,2 2222 ＋iiL XRR
返 回
A)5.22(7 6 6.007.75j5 010 o
o
I?
W15.407.77 6 6.0 22 LL RIP
下 页上 页
+
_10∠ 0
o V
50?H
RL5?
I?
CRY
L
j1 3,
+
_ 10∠ 0
o V
50?H
RL5?
I?
C
2
2
2L )(1j)(1j1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
CR
R
YZ?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
当 获最大功率
1
10
FC
R L
A110 010
o
I?
W5512m a x iRIP
返 回求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。例解 45j15)30//30j(30jiZ
045260)30//30j(j4
SU?
45j15 *iL ZZ当
W1 2 0154 )260(
2
m a xP有上 页
S
U
Zi
+
-
I?
ZL
I? 4∠
90
o A ZL
-j30?
30?
-j3
0?
返 回
正弦稳态电路的功率9.4
复功率9.5
最大功率传输9.6
阻抗和导纳9.1
2,正弦稳态电路的分析；
3,正弦稳态电路的功率分析；
重点：
1,阻抗和导纳；
返 回
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗 正弦稳态情况下 I?
ZU?
+
-
无源线性网络
I?U?
+
-
zφZ
I
UZ || d e f
iuz
IUZ 阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式下 页上 页返 回当无源网络内为单个元件时有：
RIUZ
LXLI
UZ j j
CXCI
UZ j
1j
Z 可以是实数，也可以是虚数。
I?
CU?+
-
下 页上 页
I?
RU?+
-
I?
LU?+
-
表明返 回
2,RLC串联电路
KVL,.,,,,,,1jj I
CILIRUUUU CLR
IXXRICLR CL )](j[)]1(j[ IXR?)j(
zZXRCLRI
UZ?
j1jj?
下 页上 页
L
C
R
u
uL
uCi
+
-
+
-
+ -+ -uR
R
+
-
+
-
+ -+ -
,I
j? L
U?
LU?
CU
,
C?j
1
RU?
返 回
Z — 复阻抗； |Z| — 复阻抗的模；?z — 阻抗角；
R — 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )。
转换关系,a r c t a n
| | 22
R
X
φ
XRZ
z
或
R=|Z|cos?z
X=|Z|sin?z
阻抗三角形
|Z|
R
X?
z
iuz
I
U
Z
下 页上 页返 回
I?
分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠?z 为复数，称复阻抗
（ 2）?L > 1/?C,X>0,? z>0,电路为感性，
电压超前电流。
0?i?
下 页上 页相量图：一般选电流为参考向量，
CU?
RU?
LU?
U?
z UX
电压三角形
2
CL
222 )( UUUUUU
RXR
j? Leq
XU?
R+
-
+
-
+
-RU?
等效电路返 回
I?
（ 3）?L<1/?C,X<0,?z <0,电路为容性，
电压落后电流。
CU?
RU?
LU?
U?
z
UX
等效电路下 页上 页
XU?
eqj
1
C?
R+
-
+
-
+ -RU?
,U
I?
（ 4）?L=1/?C,X=0,? z=0,电路为电阻性，
电压与电流同相。
I?
RU?
LU?
CU?
R+-
+
-
I?
RU?U?
等效电路
2222 )(
LCRXR UUUUUU
返 回例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103),60(c o s25 4 ftu
求 i,uR,uL,uC,
解 画出相量模型
V 605U
CLRZ
1jj
Ω5.56j
103.0103π2jj 34
L?
Ω5.26j102.0103π2 1j1j 64C?
5.26j5.56j15
Ω 4.6354.33 o
下 页上 页
L
C
R
u
uL
uCi
+
-
+
-
+ -+ -uR
R
+
-
+
-
+ -+ -
,I
j? L
U?
LU?
CU
,
C?j
1
RU?
返 回
A 4.3149.0
4.6354.33
605 o
o
o
Z
UI
则 A )4.3ω(c o s21 4 9.0 o ti
V 4.3235.24.3149.015 oo IRU R
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo ILU L
V 4.9395.34.3149.0905.26C1j ooo
IU C
V )4.3(c o s22 3 5.2 o tωu R
V )6.86(c o s242.8 o tωu L
V )4.93(c o s295.3 o tωu C
下 页上 页返 回下 页上 页
UL=8.42>U=5,分电压大于总电压。
相量图注意
U?
LU?CU?
I?RU?
-3.4°
返 回
3.导纳 正弦稳态情况下
S || yφY
U
IY
定义导纳
uiy
U
IY? 导纳模导纳角下 页上 页无源线性网络
I?U?
+
-
I?
YU?
+
-
返 回
Z
Y
Y
Z 1,1对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有：
GRUIY 1 LB
LU
IY j
j
1
C
B
C
U
I
Y
j
j
Y 可以是实数，也可以是虚数。
下 页上 页
I?
CU?+
-
I?
RU?+
-
I?
LU?+
-
表明返 回
4,RLC并联电路由 KCL,CLR IIII j1j UCU
L
UG
)j1j( UCLG )j([ UBBG CL )j( UG
yYBGLCGU
IY?
j1jj?
下 页上 页
i
L CRu
iL iC+
-
iR
R
+
-
I?
j?L U? L
I? CI?
C?j
1
RI
返 回
Y— 复导纳； |Y| — 复导纳的模；?y— 导纳角；
G — 电导 (导纳的实部 )； B — 电纳 (导纳的虚部 )；
转换关系,
a r c t a n
| | 22
G
B
φ
BGY
y
或
G=|Y|cos? y
B=|Y|sin? y
导纳三角形
|Y|
G
B
y
uiy
U
I
Y
下 页上 页返 回
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠?y为复 数，称复导纳；
（ 2）?C >1/?L,B>0,?y>0,电路为容性，
电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量，
2222 )(
LCGBG IIIIII
U?
GI
,
CI
,
I
y
LI
,
0?u?
分析 R,L,C 并联电路得出：
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
IB
下 页上 页注意返 回
（ 3）?C<1/?L,B<0,?y<0,电路为感性，
电流落后电压；
2222 )(
CLGBG IIIIII
U?
GI
,
LI
,
I?
y
CI
,
等效电路下 页上 页
I?
U?
BI
eqj
1
C?
RI
R
+
-
返 回
（ 4）?C=1/?L,B=0,? y =0,电路为电阻性，
电流与电压同相。
等效电路等效电路下 页上 页
I?
j? Leg U? BI
RI
R
+
-
R+-
+
-
I?
RU?U?U?
GII
CI?
LI?
返 回
5,复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ
一般情况 G?1/R,B?1/X。 若 Z为感性,X>0,则 B<0，即仍为感性。
||j yφYBGY
BGY XR XRXRZ j 22 jj11
2222,XR XXR R BG zy φ φZY,||
1||
下 页上 页
Z
R
jX G jBY
注意返 回同样，若由 Y变为 Z，则有：
yz
zy
φ φ
Z
Y
XR
XRZ
φZXRZφYBGY
BG
B
BG
G
BG
BG
BGY
,
||
1
||
j
||j,||j
2222
22
,
j
j
11
下 页上 页
G jBY Z R jX
返 回例 RL串联电路如图，求在?＝ 106rad/s时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为：
02.501.7860j50j LXRZ
601006.010 36LX L?
S 0 0 9 8.0j0 0 8 2.0
2.500 1 2 8.0
2.501.78
11 0
0
Z
Y
1 2 20 0 8 2.0 11GR
mH1 0 2.00 0 9 8.0 1L
下 页上 页
0.06mH
50?
R’ L’
返 回下 页上 页注意
① 一端口 N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，
其每一部分都是频率的函数，随频率而变；
② 一端口 N0中如不含受控源，则有
90||?z? 或?90||?y?
但有受控源时，可能会出现
90||?z? 或?90||?
y?
其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；
返 回下 页上 页注意
1||||?YZ 0 yz
③ 一端口 N0的两种参数 Z和 Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为返 回
6,阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn )( 2121
UZZU ii分压公式
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
① 阻抗的串联下 页上 页
Z1
+
Z2 Zn
－U?
I? Z
+
-U?
I?
返 回
n
k
n
k
kkk BGYY
1 1
)j(
分流公式
IYYI ii
② 导纳的并联
YUYYYUIIII nn )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为：
21
21
ZZ
ZZZ
下 页上 页
Y1
+
Y2 Yn
－
U?
I?
Y
+
-U?
I?
返 回例 1 求图示电路的等效阻抗,?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
Ω100j130
100
)100j100(100j
30
jj
)j(j
2
2
1
CL
CL
XRX
XRX
RZ
1 0 010110 35LX L?
Ω100101.010 11 65CX C?
下 页上 页
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
返 回例 2 图示电路对外呈现感性还是容性？
解 1 等效阻抗为：
75.4j5.5
4j8
1.5325
6j3
)4j3(5
)4j3(5
6j3
0
Z
下 页上 页
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
电路对外呈现容性返 回解 2 用相量图求解，取电感电流为参考相量：
2I?
I?
2U?
1U? U?
下 页上 页
U? 2I?
1I?
I?
2U?
1U?
＋＋
－ －
－
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
电压滞后于电流，电路对外呈现容性。
返 回例 图为 RC选频网络，求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1?
U
U
解 设,Z1=R+jXC,Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUU
o
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
实数?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
RX
RXXR
RX
XR
XRRX
XR
Z
Z
2222
2
2
1
j2
j
2j
j
)j(
)j(j
j
CXR?
3211
oU
U
下 页上 页
jXC
－
R
－
＋
＋
R u
o
u1
jXC
返 回
9.3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
GuiRiu
u
i
0,KVL
0,K C L
或
,元件约束关系
:电阻电路
0,K V L
0,K C L
UYIIZU
U
I
或
,元件约束关系
:正弦电路相量分析下 页上 页返 回
1.引入相量法,电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的 。
下 页上 页结论
2.引入电路的相量模型,把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程 。
3.引入阻抗以后,可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中 。 直流 （ f =0)是一个特例 。
返 回例 1
画出电路的相量模型
7.175.1049
901047.318
47.318j1000
)47.318j(1000
1j
)1j( 3
1
1
1
CR
CRZ
,r a d / s314,V100
,μF10,mH500,10,1 0 0 0 21
U
CLRR
求,各支路电流。
已知：
解下 页上 页
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2U?
1I?
2I?
3I? C?
1j?
L?j
R2+
_
R1
返 回
1 5 7j10j22 LRZ?
3.5299.166 13.132j11.102
157j1013.289j11.92 21 ZZZ
下 页上 页
13.28911.923.7245.0331 jZ?
Z1 Z2U?
1I?
2I?
3I? C?
1j?
L?j
R2+
_
R1
返 回
A3.526.03.5299.166 01001
Z
UI
A20181.0
3.526.0
7.175.1049
47.318j
1
j
1j
1
1
2
I
C
R
CI
A7057.03.526.0
7.175.1 0 4 9
1 0 0 0
1
j
1
1
1
3
I
C
R
R
I
下 页上 页
Z1 Z2U?
1I?
2I?
3I? C?
1j?
L?j
R2+
_
R1
返 回
SI?
L?j C?
1jS
U?
+_
R1
R2
R3R4
列写电路的回路电流方程和结点电压方程例 2
解
1I?
2I?
4I?3I?
回路方程
SUIRILRILRR 3221121 )j()j(
0)j()j( 33112431 IRILRILRRR
01j)1j( 42312332 ICIRIRICRR
SII4 下 页上 页
+_
su si
L R1
R2
R3R
4
C
返 回
1nU?
2nU?
3nU?
结点方程
Sn UU1
011)11
j
1(
3
3
1
2
2
321
nnn
U
R
U
R
U
RRLR
Snnn IUCURUCRR
12
3
3
43
j1)j11(
下 页上 页
SI?
L?j
C?
1j?
SU?
+_
R1
R2
R3R4
返 回
,Ω,45,Ω 30
Ω,30j,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
求电流已知
：
方法 1：电源变换
15j15
30j30
)30j(30//
31 ZZ
解例 3
ZZZZ
ZZII
231
31S
//
)//(
4530j15j15
)15j15(4j
o
o
3 6,9-5
455,6 5 7
A9.8113.1 o
下 页上 页
S31 )//( IZZ?
Z2Z
1Z3
Z
I?
+
-
Z2
SI?
Z1 ZZ3
I?
返 回方法 2：戴维宁等效变换
V4586.84 )//( o310 ZZIU S求开路电压：
求等效电阻,Ω45j15//
231 ZZZZ eq
A9.8113.1 4545j15 4586.84 o
0
0
ZZ
UI
下 页上 页
Zeq
Z
0
U?
+
-
I?+
-
0U?
Z2
SI?
Z1 Z3
返 回例 4 求图示电路的戴维宁等效电路。
60300j3006030060100200 0111o UIIIU
解
V45230j1 60 0oU?
下 页上 页
+ _
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
200I?
1
I?
100?
求开路电压：
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
4I?
1
I?
50?
50?
返 回求短路电流：
A06.010060 0SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230
SC
eq I
UZ
下 页上 页
+ _
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
200I?
1
I?
100?
SCI?+
_ 0060?
100?
返 回例 5 用叠加定理计算电流 2 I?
解,)( )1( SS 短路单独作用 UI
32
3
S2 ZZ
ZII
oo
o
o
30503050
305004
A3031.2350 30200 o
o
V451 0 0,oSU?已知
,Ω3050,Ω3050 A,04 o3o31oS ZZZI?
下 页上 页
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
U?
+
-
Z2
SI?
Z1
Z3
2I
返 回
32
S
2 ZZ
UI
A135155.13031.2 oo222 III
350
451 0 0 o
:)( )2( SS 开路单独作用 IU
下 页上 页
A135155.1 o
Z2Z1
Z3
2I
S
U?
+
-
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
U?
+
-
返 回已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件,Z1 Z3= Z2 Zx 得：
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
|Z1|1?|Z3|3 = |Z2|2?|Zx|x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
1 +?3 =?2 +?x
下 页上 页
Z1 Z2
Zx Z3
返 回已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时问,SUIβ，
11111S )1( IZIβZIZIZU
例 7
解
.90
o
11
相位差为 实部为零,
关系和找出分析：
转转
，：
Z
IZUUI
SS
)1 0 0 05050(j10410)1( 1
1
S ββZZβ
I
U
41 0104 1 0 ββ,令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压
I
U
下 页上 页
1
I? 1
Iβ?
Z
Z1
+
_S
U?
I?
返 回已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32?,
f=50Hz。 求：线圈的电阻 R2和电感 L2。
方法一,画相量图分析。
例 8
解
LR UUUUUU 2121
下 页上 页
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I?
I?
1U?
LU?
2RU
2U?q
2
U?
q?
c o s2 2122212 UUUUU
1.1154237.0c o s
返 回
A73.132/4.55/ 11 RUI
9.641 8 02q
H1 3 3.0)π2/(
Ω8.41s i n ||
Ω6.19c o s ||
Ω2.4673.1/80/||
2
222
222
22
fXL
θZX
ZR
IUZ
q
下 页上 页
I?
1U?
LU?
2RU
2U?q
2
U?
q?
返 回方法二、
q 1158004.55 021 UUU
q? c o s1 1 5c o s804.55
q? s in115s in80?
093.64
4 2 4.0cos
其余步骤同解法一。
下 页上 页
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I?
返 回
U?用相量图分析
oo 0~1 8 0 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0时,如何变化?ab?U
解 1
U?
CU?
CI?
CU
CI; 21,ab2 相位改变不变,改变当由相量图可知,UUR?
当 R2=0,q?180?；
当 R2,q?0?。
2U?
RU?
RU
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
q abU
q?ab
U
a
bb
下 页上 页
a b1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_
U?
abU?
+
-+
-
+
-
RU?
+
-
返 回例 10 图示电路，
。、、、：、
、、、
2121
32
,5
V200A210A10
RXXIXRR
UII
LCL 求
解下 页上 页
R1
R2jXL
+
_
CU?
U?
+ _
1
I?
jXC
3
I?
2
I?
A10451013510210 100321 IIII
V1501052001 CCCR UUUUU
2752 22 22 LRRCLRC UUUUUUU
5.7210 275 Ω1510150 2 LC XRX
3I?2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
1RU?
返 回例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
解
)c o s (2 uS tUu：已知应用三要素法：
0)0()0( LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI
22 )(
RL
用相量法求正弦稳态解
tLLLL eiiiti
)()0( )()( 0
t
iiL eItIti
c o s)c o s ()(
mm
下 页上 页
L
+
_
Su Lu
+
_
Li
R
返 回
t
iiL eItIti
c o s)c o s ()(
mm
)c o s ()(2π m iLi tIti,＝当
t
i
o
直接进入稳定状态下 页上 页过渡过程与接入时刻有关注意返 回出现瞬时电流大于稳态电流现象
t
i
o
下 页上 页
t
Li eItIti
mm )c o s ()(0,＝当返 回
9.4 正弦稳态电路的功率
iu
ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
)c o s (2)(
c o s2)(
的相位差和为
1,瞬时功率
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
无源网络
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
下 页上 页返 回第一种分解方法：
p 有时为正,有时为负；
p>0,电路吸收功率；
p<0,电路发出功率；
t
io
u
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp
UIcos? 恒定 分量 。
UIcos (2? t －?)
为正弦分量。
下 页上 页返 回
p
t
o
第二种分解方法：
tUItφUItp 2s i ns i n)2c o s1(c o s)(
UIcos? (1-cos2? t)
为不可逆分量。
UIsin? sin2? t为可逆分量 。
部分 能量在电源和一端口之间 来回交换 。
下 页上 页返 回
2.平均功率 P
T tpTP 0 d1
=?u-?i,功率因数角 。 对无源网络,为其等效阻抗的阻抗角 。
cos?,功率因数。
P 的单位,W（瓦）
T ttUIUIT 0 d)]2c o s (c o s[1
φUI c o s? φUIP c o s?
下 页上 页返 回一般地,有,0cos1
X>0,? >0,感性,X<0,? <0,容性,
cos? 1,纯电阻0,纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率,亦称为有功功率 。 表示电路实际消耗的功率,它不仅与电压电流有效值有关,而且与 cos? 有关,这是交流和直流的很大区别,主要由于电压,电流存在相位差 。
下 页上 页结论返 回
4,视在功率 S
3,无功功率 Q
φUIQ s ind e f?
单位,var (乏 )。
Q>0,表示网络吸收无功功率；
Q<0,表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。
是由储能元件 L,C的性质决定的
)(V A,d e f 伏安单位UIS?
下 页上 页电气设备的容量返 回有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22 QPS
S
P
Q 功率三角形下 页上 页返 回
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcos? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin? =UIsin0? =0
PL=UIcos? =UIcos90? =0
QL =UIsin? =UIsin90? =UI=I2XL
i
u C
+
-
PC=UIcos? =UIcos(-90?)=0
QC =UIsin? =UIsin (-90?)= -UI= I2XC
下 页上 页
i
u L
+
-
返 回
6,任意阻抗的功率计算
u
i
Z
+
-
PZ =UIcos? =I2|Z|cos?
=I2RQZ =UIsin? =I2|Z|sin? =I2X
＝ I2(XL＋ XC)=QL＋ QC
吸收无功为负吸收无功为正
0
0
2
2
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS 222222
S
P
Q?Z
R
X相似三角形
(发出无功 )
下 页上 页返 回电感、电容的无功补偿作用
t
i
o uL
L发出功率时,C刚好吸收功率,与外电路交换功率为 pL+pC。 L、
C的无功具有互相补偿的作用 。
t
i
o
uC
pL
pC
下 页上 页
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
返 回电压、电流的有功分量和无功分量：
以感性负载为例 IUUIP
Rc o s
GUIφUIP c o s
I?
U
BI
GI
I?
U?
RU
XU
IUUIQ Xs in
的无功分量为称的有功分量为称
X UU
UU R
BUIφUIQ s in
的无功分量为称的有功分量为称
II
II
B
G
下 页上 页
R X+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
I?
G B
+
_
GI
I?
BI
U?
返 回
IUUIP Rc o s
GUIφUIP c o s
IUUIQ Xs in
BUIφUIQ s in
IUUUIQPS XR 2222
IUIIUQPS BG 2222
S
P
Q?Z
R
X
相似三角形
I
IG
IB?U
UR
UX
下 页上 页返 回反映电源和负载之间交换能量的速率 。
m a xm a x
2
m
222
π2
2
1
2
1
π2
)2(
WfWLIω
ILωLIXIQ
T
LL
无功的物理意义,
下 页上 页返 回例 1 三表法测线圈参数。 已知,f=50Hz,且测得
U=50V,I=1A,P=30W。
解法 1
VA50150 UIS
v a r40
3050 2222
PSQ
301302IPR 401
40
2I
QX
L
H1 2 7.0π1 0 040 LXL
下 页上 页
R
L
+
_
U?
I?
Z
WA
V
*
*
返 回
Ω30130 222 IPRRIP解法 2
Ω50150|| IUZ 又 22 )(|| LRZ
H127.0314403050314 1||1 2222 RZL?
c o s?UIP? 6.0
150
30c o s?
UI
P?
Ω50150|| IUZ
300,650c o sZ?R
Ω408.050s i n||LZX
下 页上 页解法 3
返 回已知：电动机 PD=1000W，
U=220,f =50Hz,C =30?F
cos?D=0.8,求：负载电路的功率因数 。
A68.58.0220 1000c o s
D
D
D φU
PI
例 2
解
oDD 8.36,0,8 (c o s φφ ）感性?
o02 2 0U?设
08.2jj0220,8.3668.5 ooD CII C
oD 3.1673.433.1j54.4 CIII
96.0)]3.16(0c o s [c o s ooφ
下 页上 页
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
返 回
7,功率因数的提高设备容量 S(额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos?
cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
① 设备不能充分利用,电流到了额定值,但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
下 页上 页
S
75kVA 负载返 回
② 当输出相同的有功功率时,线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大 。
U?
I?
1
I?
2
c o s?UIP? c o sI
解决办法,（ 1）高压传输
（ 2）改进自身设备
（ 3）并联电容，提高功率因数 。
U
下 页上 页
i+
-
u Z
返 回分析
CI?
U?
LI?
1
I?
2
并联电容后，原负载的电压和电流不变，
吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
特点：
下 页上 页
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
返 回并联电容的确定：
21 s i ns i n III LC
补偿容量不同全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠过 —— 功率因数又由高变低 (性质不同 )
代入得将 c o s,c o s
12 U
PIU PI
L
)tgtg( 21 UPCUI C
)tgtg( 212 UPC
下 页上 页
CI?
U?
LI?
1
I?
2
返 回并联电容也可以用功率三角形确定：
1?2
P
QC
QL
Q
)tgtg(
)tgtg(
212
2
21C
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
L
从功率角度看,
并联电容后,电源向负载输送的有功 UIL
cos?1=UI cos?2不变,但是电源向负载输送的无功
UIsin?2<UILsin?1减少了,减少的这部分无功由电容,产生,来补偿,使感性负载吸收的无功不变,
而功率因数得到改善 。
下 页上 页返 回已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?1=0.6，要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流各为多大？
o11 13.53 6.0c o s φφ
例解
o22 84.25 9.0c o s φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
A8.75
6.02 2 0
1010
c o s
3
1
U
PII
L
未并电容时：
并联电容后,A5.50
9.02 2 0
1010
c o s
3
2
U PI
下 页上 页
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
返 回若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少并联电容,此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s φφ
解 o11 84.25 9.0c o s φφ
F 103 )8,1 91tg5,8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
A8.4795.02 2 0 1010
3
I
cos? 提高后，线路上总电流减少，但继续提高 cos? 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将 cos? 提高到 0.9即可。
下 页上 页注意返 回
9.5 复功率
1,复功率功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU
VA * 单位IUS
U?
I?
负载
+
_
定义：
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
XIRIX ) I(RZIIIZIUS 2222** jj
也可表示为：
)(o r *2****
YUYUUYUUIUS
下 页上 页返 回
.守恒 视在功率复功率守恒,不
2121 SSSUUU
下 页上 页结论
S① 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
0)j(
11
b
k
k
b
k
kk SQP
注意把 P,Q,S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；
S?
复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即
返 回求电路各支路的复功率
V)1.37(2 3 6 010 oo ZU?
例解 1
)15j5//()25j10(Z
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo发S
VA 1 9 2 0j768)25j10 1(236 *2*121 YUS 吸
VA 3 3 4 5j1 1 1 3 *222 YUS 吸发吸吸 SSS 21
下 页上 页
+
_
U?
10
∠
0 o
A
10?
j25?
5?
-j1
5?
1I? 2
I?
返 回
A )3.105(77.815j525j10 15j5010 oo1I?
解 2
A 5.3494.14
o
12 III S
VA 1 9 2 3j769)25j10(77.8 21211 ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o*11
SIZIS发下 页上 页返 回
9.6 最大功率传输
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
U
I
ZZ
U
I
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率负载有源网络等效电路下 页上 页
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
返 回正弦电路中负载获得最大功率 Pmax的条件
① 若 ZL= RL + jXL可任意改变
a)先 设 RL 不变,XL 改变显然，当 Xi + XL=0,即 XL =-Xi时,P 获得最大值。
2
Li
2
SL
)( RR
URP
b)再讨论 RL 改变时,P 的最大值
i
2
S
m a x
4 R
U
P?
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
下 页上 页讨论当 RL= Ri 时,P 获得最大值
RL= Ri XL =-Xi ZL= Zi*
最佳匹配条件返 回
② 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变获得最大功率的条件是,Xi + XL=0,即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
最大功率为
③ 若 ZL= RL为纯电阻负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
iiiL
L
ZXRRRP 22 0dd,获得最大功率条件令模匹配下 页上 页返 回电路如图，求,1.RL=5?时其消耗的功率；
2,RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
3.在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
A)6.26(89.055j5 010 1,o
o
I?
例解
5j5
105010j5j 65Li XRZ
W4589.0 22 LL RIP
下 页上 页
+
_U? 10∠ 0
o V
50?H
RL
5? I?
=105rad/s
获最大功率当 07.755,2 2222 ＋iiL XRR
返 回
A)5.22(7 6 6.007.75j5 010 o
o
I?
W15.407.77 6 6.0 22 LL RIP
下 页上 页
+
_10∠ 0
o V
50?H
RL5?
I?
CRY
L
j1 3,
+
_ 10∠ 0
o V
50?H
RL5?
I?
C
2
2
2L )(1j)(1j1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
CR
R
YZ?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
当 获最大功率
1
10
FC
R L
A110 010
o
I?
W5512m a x iRIP
返 回求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。例解 45j15)30//30j(30jiZ
045260)30//30j(j4
SU?
45j15 *iL ZZ当
W1 2 0154 )260(
2
m a xP有上 页
S
U
Zi
+
-
I?
ZL
I? 4∠
90
o A ZL
-j30?
30?
-j3
0?
返 回
