Chapter5 Stresses in beams
(Stresses in Beams)
§ 5-1 引言 ( Introduction)
§ 5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
§ 5-3 横力弯曲时的正应力 (Normal
stresses in transverse bending )
§ 5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear
stresses in beams and strength condition)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§ 5-5 提高梁强度的主要措施 （ Measures
to strengthen the strength of beams)
(Stresses in Beams)
m
m FS
M一,弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩 M,又有剪力 FS.
§ 5-1 引言 (Introduction)
m
m FS
m
m
M?只有与正应力有关的法向内力元素
dFN =? dA 才能合成弯矩,
弯矩 M 正应力?
剪力 FS 切应力?内力只有与切应力有关的切向内力元素
dFS =? dA 才能合成 剪力；
所以，在梁的横截面上一般既有正应力,
又有切应力,
(Stresses in Beams)
二、分析方法 (Analysis method)
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁 (横截面上只有 M而无 FS的情况 )
平面弯曲时横截面 横力弯曲 (横截面上既有 FS又有 M的情况 )
简支梁 CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是 纯弯曲,
若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲,
三、纯弯曲 （ Pure bending)
+
+
F
F
+
Fa
F F
a a
C D
A B
(Stresses in Beams)
deformation
geometric
relationship
Examine the deformation，
then propose the hypothesis
Distribution regularity
of deformation
Distribution regularity
of stress
Establish the formula
变形几何关系物理关系静力关系观察变形，
提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式
physical
relationship
static
relationship
§ 5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
(Stresses in Beams)
一、实验 （ Experiment）
1.变形现象 （ Deformation phenomenon )
纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，
靠近底端的纵向线段伸长,
相对转过了一个角度，
仍与变形后的纵向弧线垂直,
各横向线仍保持为直线，
各纵向线段弯成弧线，
横向线
(Stresses in Beams)
2.提出假设 ( Assumptions）
（ a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；
（ b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压,
推论,必有一层变形前后长度不变的纤维 — 中性层中性轴 横截面对称轴中性轴横截面对称轴
⊥
中性层
(Stresses in Beams)
dx
图（ b）
y
z
xO
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比,
图（ a）
dx
二、变形几何关系 （ Deformation geometric relation ）
图（ c）
d
z y
x
O’
O’
b’
b’
y
b b
OO
xbb d? OO? ''OO d?
yy+?
d
dd)(
d)( ybb +
(Stresses in Beams)
三、物理关系 (Physical relationship)
所以
Hooke’s Law M
y
z
O x
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比,
应力分布规律：
待解决问题 中性轴的位置中性层的曲率半径?
Eεσ?
yEσ?
(Stresses in Beams)
y
z
xO
M
dAy σdA
四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系,这一力系简化得到三个内力分量,
FN
Mz
My
内力与外力相平衡可得
d A
d A
z
y
AA AσF dd NNF
iyM
izM
AA y Az σM dd
AA z Ay σM dd
0? （ 1）
0? （ 2）
M? （ 3）
NdF
yMd
zMd
Aσd?
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（ 1）式，得将应力表达式代入（ 2）式，得将应力表达式代入 (3)式，得中性轴通过横截面形心
zIE
M?
1
自然满足
0dN AyEF A? 0dA AyE? 0d
A Ay?zS
0d AyzEM Aiy? 0d?A AyzE? 0dA Ayz?yzI
MAyyEM Aiz d?MIE z MAyE A?d2?
(Stresses in Beams)
zEI
M?
1
yEσ?
将 代入得到 纯弯曲时横截面上正应力的计算公式,
zI
Myσ?
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩,
(Stresses in Beams)
讨论
（ 1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入,根据梁变形的情况直接判断?的正负号,以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力 (?为正号 ).凹入边的应力为压应力 （?为负号 ）；
（ 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处,
I
yMσ
z
m a x
m a x?
则公式改写为 W
Mσ?
ma x
引用记号 — 抗弯截面系数
ma xy
IW z?
(Stresses in Beams)
（ 1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面
b
h
z
y
z
d
y
z
D
d
y
32
π
2/
64/π
2/
34 d
d
d
d
IW z
62/
12/
2/
23 bh
h
bh
h
IW z
D
dαDW )1(
32
π 43?
(Stresses in Beams)
z
y
（ 2）对于中性轴不是对称轴的横截面
y maxc
ymaxt
M
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和 直接代入公式y maxty maxc
zI
Myσ?
maxcσ
tmaxσ
I
Myσ
z
m a xc
m a xc?
I
Myσ
z
m a xt
m a xt?
(Stresses in Beams)
当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力,梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲,
§ 5-3 横力弯曲时的正应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending)
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力,切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立,
一、横力弯曲 (Nonuniform bending)
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力,
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 W
xMσ )(?
(Stresses in Beams)
二、公式的应用范围
(The applicable range of the flexure formula )
1.在弹性范围内
(All stresses in the beam are below the proportional limit)
3.平面弯曲 （ Plane bending）
4.直梁 （ Straight beams）
2.具有切应力的梁 （ The beam with the shear stress） 5/?hl
三、强度条件 （ Strength condition)
1.数学表达式 （ Mathematical formula) ][
ma x
ma x σW
Mσ梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,
(Stresses in Beams)
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
][
ma x
σ
MW?
（ 2）设计截面
][ma x σWM?（ 3）确定许可载荷
（ 1） 强度校核 ][
ma x σ
W
M?
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 ][][ ct σσ?
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
σσ m a xcm a xt?（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
][ tm a xt σσ?
][ cma xc σσ?
(Stresses in Beams)
例题 1 螺栓压板夹紧装置如图所示,已知板长 3a＝ 150mm，压板材料的弯曲许用应力 [?]＝ 140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力 F.
A CB
F
a2a
20
φ30
φ14
FRA FRB
+ Fa
解：（ 1）作出弯矩图的最大弯矩为 Fa；
（ 2）求惯性矩，抗弯截面系数
4
33
cm07.112 )cm2)(cm4.1(12 )cm2)(cm3(zI
3
4
m a x
cm07.11 c mcm07.1 y IW zz
（ 3）求许可载荷
][m a x σWM z? kN3
][
][
a
σW
F
σWFa
z
z
(Stresses in Beams)
80
y 1
y 2
20
20
120
z
例题 2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示,铸铁的许用拉应力为 [?t] = 30MPa,许用压应力为 [?c] =160MPa,已知截面对形心轴 z的惯性矩为 Iz =763cm4,y1 =52mm,校核梁的强度,
F1=9kN F2=4kN
A
C B D
1m 1m 1m
(Stresses in Beams)
FRA FRBF1=9kN F2=4kN
A C B D
1m 1m 1m
-
+
4kN
2.5kN
解,kN52R,F A? kN510R,F B?
最大正弯矩在截面 C上最大负弯矩在截面 B上
mkN5.2M C
mkN4M B
B截面 ][M Pa2.27
t
1
ma xt σI
yMσ
z
B
][M Pa2.46 c2ma xc σI yMσ
z
B
C截面 ][M Pa8.28
t
2
ma xt σI
yMσ
z
C
80
y 1
y 2
20
20
120
z
(Stresses in Beams)
例题 3 由 n 片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于
z
b
Fl
h
解：每一薄片中的最大正应力 n
bh
Fl
n
h
b
l
n
F
W
M
σ
z
2
2
ma x
ma x
6
)(
6
1
nF/
z
b
Fl
h
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于 bh
Fl
bh
Fl
W
Mσ
z
2
2
ma x
ma x
6
6
1
(Stresses in Beams)
一、梁横截面上的切应力 （ Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁 (Beam of rectangular cross section)
§ 5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear
stresses in beams and strength condition)
（ 1）两个假设 (Two assumptions)
（ a） 切应力与剪力平行；
（ b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）,
q(x)F
1 F2
(Stresses in Beams)
（ 2）分析方法 (Analysis method)
（ a） 用横截面 m-m,n-n从梁中截取
dx一段,两横截面上的弯矩不等,所以两截面同一 y处的正应力也不等；
（ b） 假想地从梁段上截出体积元素
mB1,在两端面 mA1,nB1上两个法向内力不等,
q(x)F
1 F2 m
m
n
n
x dx
m n
nm
x
y
z
O
b dx
m’
m’
h
n
y
A B
A1 B1
A
B
B1A1
m n
x
z
y
y
m? FN2
FN1
(Stresses in Beams)
m n
nm
x
y
z
Oy
A
B
A1 B1
b dx
m’
m’
h
n
τ
τ’
（ c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力 dFS′.故在此面上就有切应力 τ.
根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等,各点的切应力方向均与截面侧边平行,取分离体的平衡即可求出,
A B
B1A1
m n
x
z
y
y
FN1 F
N2
dFS’
m?
(Stresses in Beams)
A B
B1A1
m n
x
z
y
y
m’
FN1 F
N2
dFS’
（ 3）公式推导 (Derivation of the formula)
假设 m-m,n-n上的弯矩为 M和 M+dM，
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为?1 和?2.
A1为距中性轴为 y的横线以外部分的横截面面积,
1 d11N A AσF Ay
I
MA
I
My
AzA z
dd
11
1
1
*?
z
z
SIM
*+
z
zA
SI MMAσF dd
1
22N
式中：
为面积 A1对中性轴的静矩,
*
1
d1Az AyS
Ad1?
(Stresses in Beams)
化简后得
*?
z
z
SIMF 1N
*+?
z
z
SI MMF d2N
xbF dd s
由平衡方程
0 xF 0d 'S1N2N FFF
bI
S
x
M
z
z
*
dd? S
d
d F
x
M?
bI
SF
z
zS
*
A B
B1A1
m n
x
z
y
y
m’
FN2 F
N1
dFS’
Ad1?
(Stresses in Beams)
b 矩型截面的宽度,
bI
SF
z
zS
*
y
A*
z整个横截面对中性轴的惯性矩,zI
距中性轴为 y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩,
Sz*
（ 4）切应力沿截面高度的变化规律
( The shear- stress distribution on the rectangular cross section )
沿截面高度的变化由静矩 与 y之间的关系确定,Sz*
(Stresses in Beams)
yd1
y1
n
B
m
A
x
y
z
Oy
A1 B1
m1
* 1 d1Az AyS
)4(2d 2
2
1
2/
1 y
hbAbyh
y
)4(2 2
2
SS yh
I
F
bI
SF
zz
z
*
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化,
z
τmaxy=± h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
bh
F
bh
hF
I
hF
z
S
3
2
S
2
S
ma x 2
3
1288
A
F
2
3 S
ma x 式中,A=bh为矩形截面的面积,
(Stresses in Beams)
z
截面静矩的计算方法
A为截面面积
y为截面的形心坐标 A1
Az yAAyS d
2.工字形截面梁 （工 -section beam)
假设求应力的点到中性轴的距离为 y.
研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
H o
y
xb
zh
bI
SF
z
zS
*
y
(Stresses in Beams)
d — 腹板的厚度
Oz
y
y
A*
dI
SF
z
zS
*
— 距中性轴为 y的横线以外部分的横截面面积 A对中性轴的静矩,
Sz*
8)(8
22
S
m a x
hbBBH
bI
F
z
min
oz
y
max
τmax
（ a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；
（ b）最大切应力也在中性轴上,这也是整个横截面上的最大切应力,
mi nma x bh
FS
(Stresses in Beams)
min
max
dI
SF
z
zS
*
ma x
ma x
式中,
— 中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩,
Sz*max
y
d
z O
'k
'O
k
假设,（ a）沿宽度 k-k'上各点处的切应力均汇交于 O'点；
（ b）各点处切应力沿 y方向的分量沿宽度相等,
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切,
3.圆截面梁 (Beam of circular cross section)
Oz
y
max
(Stresses in Beams)
最大切应力发生在中性轴上
y
d
z O
'k
'O
k
A
F
bI
SF
z
z S
*
S
m a x 3
4
式中 为圆截面的面积,? 2π
4
dA
4.圆环形截面梁 (Circular pipe beam)
图示为一段薄壁环形截面梁,环壁厚度为
，环的平均半径为 r0,由于r0 故可假设
（ a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
（ b）切应力的方向与圆周相切,
z
y
δ
(Stresses in Beams)
式中 A=2?r0?
为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为
z
y
δ
A
F S
ma x 2
二、强度条件 （ Strength condition）
][ma x ][
S ma x
*
ma x
ma x bI
SF
z
z
三、需要校核切应力的几种特殊情况
（ 1）梁的跨度较短,M较小，而 FS较大时,要校核切应力；
（ 2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；
（ 3） 各向异性材料 (如木材 )的抗剪能力较差,要校核切应力,
max
(Stresses in Beams)
F
例题 4 一简易起重设备如图所示,起重量 (包含电葫芦自重 )F = 30 kN,跨长 l = 5 m,吊车大梁 AB由 20a工字钢制成,其许用弯曲正应力 [?]=170MPa,
许用弯曲切应力 [?]= 100MPa,试校核梁的强度,
+
37.5 kN·m
5m
A B
2.5m
F
C
解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在梁中间位置时有最大正应力,
mkN5.37m a xM
（ a）正应力强度校核 由型钢表查得 20a工字钢的 3cm237?W z
所以梁的最大正应力为 ][M Pa1 5 8
ma x
ma x σW
Mσ
z
(Stresses in Beams)
+
FSmax
5m
A B
F
C
（ b）切应力强度校核在计算最大切应力时，应取荷载 F在紧靠任一支座例如支座 A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大,kN30
Rm a xS FFF A
查型钢表中,20a号工字钢，有 cm2.17
*
ma x
S I
z
z
d=7mm
][M Pa9.24
*
ma xma xS
ma x dI
SF
z
z据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的,
(Stresses in Beams)
例题 5 简支梁 AB如图所示,l＝ 2m,a＝ 0.2m,梁上的载荷为 q为
10kN/m,F＝ 200kN.材料的许用应力为 [?]=160MPa,[?]＝
100MPa，试选择工字钢型号,
解：（ 1）计算支反力做内力图,
q
BA
C DE
l
F Fa a
8kN
210kN 208kN
41.8 kN·m 41.8 kN·m45 kN·m
（ 2）根据最大弯矩选择工字钢型号
3
6
3
ma x cm2 8 1
101 6 0
1045
][
MW
z
查型钢表，选用 22a工字钢，其
Wz＝ 309cm3
FRA F
RB
(Stresses in Beams)
（ 3）校核梁的切应力腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为 210kN
查表得,cm9.18*
ma x
z
z
S
I
M Pa100][M Pa148
1075.0109.18
10210
22
3
ma xma xS
ma x
*
bI
SF
z
z
τmax超过 [?]很多，应重新选择更大的截面,现已 25b工字钢进行试算查表得,cm9.18*
ma x
z
z
S
I
d=1cm
M Pa100][M Pa6.98101103.21 10210 22
3
ma x
所以应选用型号为 25b的工字钢,
(Stresses in Beams)
例题 6 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载 F增加为 50kN，故在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为 120mm?10mm而长度
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示,已知许用弯曲正应力 [?]=152MPa,许用切应力 [?]=95MPa.试校核此梁的强度,
2.2m 200
z
120
10解：加强后的梁是阶梯状变截面梁,所以要校核
（ 3） F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,
（ 2） F靠近支座时 支座截面上的 切应力；
（ 1） F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力；
(Stresses in Beams)
（ 1）校核 F位于跨中截面时的弯曲正应力查表得 20a工字钢 4cm23 70?zI
62.5kN·m
2.2m
F
1.41m
2.5m 5m
A BCD
1.4m
FRBFRA
最大弯 矩值为 mkN5.62m a xM
跨中截面对中性轴的惯性矩为
200
z
120
10 48 m105020 ]10)5110(120
10[2102730
12
8
+zI
略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩,
抗弯截面系数 m10456
36
m a x
y
IW z
z
[]ma xc ma x 1 3 7 MP a
z
M
W
(Stresses in Beams)
（ 2）校核突变截面处的正应力，
也就是校核未加强段的正应力强度,
2.2m
F
1.41m
2.5m 5m
A BCD
1.4m
FRBFRA
50.4 kN·m
该截面上的最大弯矩为
mkN4.50 lF a bM D
从型钢表中查得 20a工字钢
cm237 3?W z
][MP2 1 3ma x σaWMσ
z
D
D梁不能满足正应力强度条件,
为此应将加强板适当延长,（ 3）校核阶梯梁的切应力
F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置?
SmaxFF
请同学们自行完成计算,
(Stresses in Beams)
§ 5-5 提高梁强度的主要措施 （ Measures to
strengthen the strength of beams)
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件 ][ma x
ma x σW
Mσ
z
F
l
Fl/4 Fl/8
F
l/4 l/4l/2
(Stresses in Beams)
2.合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动 a=0.207l时，最大弯矩减小,
a al
q
0.0214ql2
l
q
ql2/2
(Stresses in Beams)
二、增大 Wz
1.合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
32
π 3
1
DW
z?
)2/(π,4π 12
2
1 DaaD
1
32
2 1,1 8 6
)π(
6 zz W
RbhW
z
D
za
a
a1
2a
1 z 11
2
1
2
1 π2,2
4
π
DaaD
1
3
1
2
3 67.1 6
4
6 zz W
abhW
(Stresses in Beams)
工字形截面与框形截面类似,
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4
π
DaaaD
14 57.4 zz WW?0.8a2a
2
1.6
a 2
2a
2 z
2.合理的放置
F
b
h
W
W?
2
1
b
h
12
3
1
bhW?
b
h
12
3
2
hbW?
(Stresses in Beams)
2.对于脆性材料制成的梁,宜采用 T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧,
三、根据材料特性选择截面形状
1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,
z
y1
y2
cmax
tmax
要使 y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力
[]
[]
ma x 1
t1
ma x 2
c2
z
z
yM
yσ I
yM yσ
I
tmax
cmax
(Stresses in Beams)
四、采用等强度梁梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁,
例如，宽度 b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律 h(x)，可按正应力强度条件求得,
b
h(x
)
z
F
l/2 l/2
梁任一横截面上最大正应力为 ][
)()61(
)2(
)(
)(
2ma x
σ
xbh
xF
xW
xM
σ
求得 ][
3)(
σb
Fxxh?
(Stresses in Beams)
但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度
][22323
m i n
S
m a x bh
F
A
F
][4
3
mi n?b
Fh?
求得
b
h(x
)
z
F
l/2 l/2 ][
3)(
b
Fxxh?
按上 确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁,
F
(Stresses in Beams)
§ 5-1 引言 ( Introduction)
§ 5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
§ 5-3 横力弯曲时的正应力 (Normal
stresses in transverse bending )
§ 5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear
stresses in beams and strength condition)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§ 5-5 提高梁强度的主要措施 （ Measures
to strengthen the strength of beams)
(Stresses in Beams)
m
m FS
M一,弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩 M,又有剪力 FS.
§ 5-1 引言 (Introduction)
m
m FS
m
m
M?只有与正应力有关的法向内力元素
dFN =? dA 才能合成弯矩,
弯矩 M 正应力?
剪力 FS 切应力?内力只有与切应力有关的切向内力元素
dFS =? dA 才能合成 剪力；
所以，在梁的横截面上一般既有正应力,
又有切应力,
(Stresses in Beams)
二、分析方法 (Analysis method)
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁 (横截面上只有 M而无 FS的情况 )
平面弯曲时横截面 横力弯曲 (横截面上既有 FS又有 M的情况 )
简支梁 CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是 纯弯曲,
若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲,
三、纯弯曲 （ Pure bending)
+
+
F
F
+
Fa
F F
a a
C D
A B
(Stresses in Beams)
deformation
geometric
relationship
Examine the deformation，
then propose the hypothesis
Distribution regularity
of deformation
Distribution regularity
of stress
Establish the formula
变形几何关系物理关系静力关系观察变形，
提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式
physical
relationship
static
relationship
§ 5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
(Stresses in Beams)
一、实验 （ Experiment）
1.变形现象 （ Deformation phenomenon )
纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，
靠近底端的纵向线段伸长,
相对转过了一个角度，
仍与变形后的纵向弧线垂直,
各横向线仍保持为直线，
各纵向线段弯成弧线，
横向线
(Stresses in Beams)
2.提出假设 ( Assumptions）
（ a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；
（ b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压,
推论,必有一层变形前后长度不变的纤维 — 中性层中性轴 横截面对称轴中性轴横截面对称轴
⊥
中性层
(Stresses in Beams)
dx
图（ b）
y
z
xO
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比,
图（ a）
dx
二、变形几何关系 （ Deformation geometric relation ）
图（ c）
d
z y
x
O’
O’
b’
b’
y
b b
OO
xbb d? OO? ''OO d?
yy+?
d
dd)(
d)( ybb +
(Stresses in Beams)
三、物理关系 (Physical relationship)
所以
Hooke’s Law M
y
z
O x
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比,
应力分布规律：
待解决问题 中性轴的位置中性层的曲率半径?
Eεσ?
yEσ?
(Stresses in Beams)
y
z
xO
M
dAy σdA
四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系,这一力系简化得到三个内力分量,
FN
Mz
My
内力与外力相平衡可得
d A
d A
z
y
AA AσF dd NNF
iyM
izM
AA y Az σM dd
AA z Ay σM dd
0? （ 1）
0? （ 2）
M? （ 3）
NdF
yMd
zMd
Aσd?
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（ 1）式，得将应力表达式代入（ 2）式，得将应力表达式代入 (3)式，得中性轴通过横截面形心
zIE
M?
1
自然满足
0dN AyEF A? 0dA AyE? 0d
A Ay?zS
0d AyzEM Aiy? 0d?A AyzE? 0dA Ayz?yzI
MAyyEM Aiz d?MIE z MAyE A?d2?
(Stresses in Beams)
zEI
M?
1
yEσ?
将 代入得到 纯弯曲时横截面上正应力的计算公式,
zI
Myσ?
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩,
(Stresses in Beams)
讨论
（ 1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入,根据梁变形的情况直接判断?的正负号,以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力 (?为正号 ).凹入边的应力为压应力 （?为负号 ）；
（ 2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处,
I
yMσ
z
m a x
m a x?
则公式改写为 W
Mσ?
ma x
引用记号 — 抗弯截面系数
ma xy
IW z?
(Stresses in Beams)
（ 1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面
b
h
z
y
z
d
y
z
D
d
y
32
π
2/
64/π
2/
34 d
d
d
d
IW z
62/
12/
2/
23 bh
h
bh
h
IW z
D
dαDW )1(
32
π 43?
(Stresses in Beams)
z
y
（ 2）对于中性轴不是对称轴的横截面
y maxc
ymaxt
M
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和 直接代入公式y maxty maxc
zI
Myσ?
maxcσ
tmaxσ
I
Myσ
z
m a xc
m a xc?
I
Myσ
z
m a xt
m a xt?
(Stresses in Beams)
当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力,梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲,
§ 5-3 横力弯曲时的正应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending)
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力,切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立,
一、横力弯曲 (Nonuniform bending)
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力,
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 W
xMσ )(?
(Stresses in Beams)
二、公式的应用范围
(The applicable range of the flexure formula )
1.在弹性范围内
(All stresses in the beam are below the proportional limit)
3.平面弯曲 （ Plane bending）
4.直梁 （ Straight beams）
2.具有切应力的梁 （ The beam with the shear stress） 5/?hl
三、强度条件 （ Strength condition)
1.数学表达式 （ Mathematical formula) ][
ma x
ma x σW
Mσ梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,
(Stresses in Beams)
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
][
ma x
σ
MW?
（ 2）设计截面
][ma x σWM?（ 3）确定许可载荷
（ 1） 强度校核 ][
ma x σ
W
M?
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 ][][ ct σσ?
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
σσ m a xcm a xt?（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
][ tm a xt σσ?
][ cma xc σσ?
(Stresses in Beams)
例题 1 螺栓压板夹紧装置如图所示,已知板长 3a＝ 150mm，压板材料的弯曲许用应力 [?]＝ 140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力 F.
A CB
F
a2a
20
φ30
φ14
FRA FRB
+ Fa
解：（ 1）作出弯矩图的最大弯矩为 Fa；
（ 2）求惯性矩，抗弯截面系数
4
33
cm07.112 )cm2)(cm4.1(12 )cm2)(cm3(zI
3
4
m a x
cm07.11 c mcm07.1 y IW zz
（ 3）求许可载荷
][m a x σWM z? kN3
][
][
a
σW
F
σWFa
z
z
(Stresses in Beams)
80
y 1
y 2
20
20
120
z
例题 2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示,铸铁的许用拉应力为 [?t] = 30MPa,许用压应力为 [?c] =160MPa,已知截面对形心轴 z的惯性矩为 Iz =763cm4,y1 =52mm,校核梁的强度,
F1=9kN F2=4kN
A
C B D
1m 1m 1m
(Stresses in Beams)
FRA FRBF1=9kN F2=4kN
A C B D
1m 1m 1m
-
+
4kN
2.5kN
解,kN52R,F A? kN510R,F B?
最大正弯矩在截面 C上最大负弯矩在截面 B上
mkN5.2M C
mkN4M B
B截面 ][M Pa2.27
t
1
ma xt σI
yMσ
z
B
][M Pa2.46 c2ma xc σI yMσ
z
B
C截面 ][M Pa8.28
t
2
ma xt σI
yMσ
z
C
80
y 1
y 2
20
20
120
z
(Stresses in Beams)
例题 3 由 n 片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于
z
b
Fl
h
解：每一薄片中的最大正应力 n
bh
Fl
n
h
b
l
n
F
W
M
σ
z
2
2
ma x
ma x
6
)(
6
1
nF/
z
b
Fl
h
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于 bh
Fl
bh
Fl
W
Mσ
z
2
2
ma x
ma x
6
6
1
(Stresses in Beams)
一、梁横截面上的切应力 （ Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁 (Beam of rectangular cross section)
§ 5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear
stresses in beams and strength condition)
（ 1）两个假设 (Two assumptions)
（ a） 切应力与剪力平行；
（ b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）,
q(x)F
1 F2
(Stresses in Beams)
（ 2）分析方法 (Analysis method)
（ a） 用横截面 m-m,n-n从梁中截取
dx一段,两横截面上的弯矩不等,所以两截面同一 y处的正应力也不等；
（ b） 假想地从梁段上截出体积元素
mB1,在两端面 mA1,nB1上两个法向内力不等,
q(x)F
1 F2 m
m
n
n
x dx
m n
nm
x
y
z
O
b dx
m’
m’
h
n
y
A B
A1 B1
A
B
B1A1
m n
x
z
y
y
m? FN2
FN1
(Stresses in Beams)
m n
nm
x
y
z
Oy
A
B
A1 B1
b dx
m’
m’
h
n
τ
τ’
（ c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力 dFS′.故在此面上就有切应力 τ.
根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等,各点的切应力方向均与截面侧边平行,取分离体的平衡即可求出,
A B
B1A1
m n
x
z
y
y
FN1 F
N2
dFS’
m?
(Stresses in Beams)
A B
B1A1
m n
x
z
y
y
m’
FN1 F
N2
dFS’
（ 3）公式推导 (Derivation of the formula)
假设 m-m,n-n上的弯矩为 M和 M+dM，
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为?1 和?2.
A1为距中性轴为 y的横线以外部分的横截面面积,
1 d11N A AσF Ay
I
MA
I
My
AzA z
dd
11
1
1
*?
z
z
SIM
*+
z
zA
SI MMAσF dd
1
22N
式中：
为面积 A1对中性轴的静矩,
*
1
d1Az AyS
Ad1?
(Stresses in Beams)
化简后得
*?
z
z
SIMF 1N
*+?
z
z
SI MMF d2N
xbF dd s
由平衡方程
0 xF 0d 'S1N2N FFF
bI
S
x
M
z
z
*
dd? S
d
d F
x
M?
bI
SF
z
zS
*
A B
B1A1
m n
x
z
y
y
m’
FN2 F
N1
dFS’
Ad1?
(Stresses in Beams)
b 矩型截面的宽度,
bI
SF
z
zS
*
y
A*
z整个横截面对中性轴的惯性矩,zI
距中性轴为 y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩,
Sz*
（ 4）切应力沿截面高度的变化规律
( The shear- stress distribution on the rectangular cross section )
沿截面高度的变化由静矩 与 y之间的关系确定,Sz*
(Stresses in Beams)
yd1
y1
n
B
m
A
x
y
z
Oy
A1 B1
m1
* 1 d1Az AyS
)4(2d 2
2
1
2/
1 y
hbAbyh
y
)4(2 2
2
SS yh
I
F
bI
SF
zz
z
*
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化,
z
τmaxy=± h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
bh
F
bh
hF
I
hF
z
S
3
2
S
2
S
ma x 2
3
1288
A
F
2
3 S
ma x 式中,A=bh为矩形截面的面积,
(Stresses in Beams)
z
截面静矩的计算方法
A为截面面积
y为截面的形心坐标 A1
Az yAAyS d
2.工字形截面梁 （工 -section beam)
假设求应力的点到中性轴的距离为 y.
研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
H o
y
xb
zh
bI
SF
z
zS
*
y
(Stresses in Beams)
d — 腹板的厚度
Oz
y
y
A*
dI
SF
z
zS
*
— 距中性轴为 y的横线以外部分的横截面面积 A对中性轴的静矩,
Sz*
8)(8
22
S
m a x
hbBBH
bI
F
z
min
oz
y
max
τmax
（ a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；
（ b）最大切应力也在中性轴上,这也是整个横截面上的最大切应力,
mi nma x bh
FS
(Stresses in Beams)
min
max
dI
SF
z
zS
*
ma x
ma x
式中,
— 中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩,
Sz*max
y
d
z O
'k
'O
k
假设,（ a）沿宽度 k-k'上各点处的切应力均汇交于 O'点；
（ b）各点处切应力沿 y方向的分量沿宽度相等,
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切,
3.圆截面梁 (Beam of circular cross section)
Oz
y
max
(Stresses in Beams)
最大切应力发生在中性轴上
y
d
z O
'k
'O
k
A
F
bI
SF
z
z S
*
S
m a x 3
4
式中 为圆截面的面积,? 2π
4
dA
4.圆环形截面梁 (Circular pipe beam)
图示为一段薄壁环形截面梁,环壁厚度为
，环的平均半径为 r0,由于r0 故可假设
（ a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
（ b）切应力的方向与圆周相切,
z
y
δ
(Stresses in Beams)
式中 A=2?r0?
为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为
z
y
δ
A
F S
ma x 2
二、强度条件 （ Strength condition）
][ma x ][
S ma x
*
ma x
ma x bI
SF
z
z
三、需要校核切应力的几种特殊情况
（ 1）梁的跨度较短,M较小，而 FS较大时,要校核切应力；
（ 2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；
（ 3） 各向异性材料 (如木材 )的抗剪能力较差,要校核切应力,
max
(Stresses in Beams)
F
例题 4 一简易起重设备如图所示,起重量 (包含电葫芦自重 )F = 30 kN,跨长 l = 5 m,吊车大梁 AB由 20a工字钢制成,其许用弯曲正应力 [?]=170MPa,
许用弯曲切应力 [?]= 100MPa,试校核梁的强度,
+
37.5 kN·m
5m
A B
2.5m
F
C
解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在梁中间位置时有最大正应力,
mkN5.37m a xM
（ a）正应力强度校核 由型钢表查得 20a工字钢的 3cm237?W z
所以梁的最大正应力为 ][M Pa1 5 8
ma x
ma x σW
Mσ
z
(Stresses in Beams)
+
FSmax
5m
A B
F
C
（ b）切应力强度校核在计算最大切应力时，应取荷载 F在紧靠任一支座例如支座 A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大,kN30
Rm a xS FFF A
查型钢表中,20a号工字钢，有 cm2.17
*
ma x
S I
z
z
d=7mm
][M Pa9.24
*
ma xma xS
ma x dI
SF
z
z据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的,
(Stresses in Beams)
例题 5 简支梁 AB如图所示,l＝ 2m,a＝ 0.2m,梁上的载荷为 q为
10kN/m,F＝ 200kN.材料的许用应力为 [?]=160MPa,[?]＝
100MPa，试选择工字钢型号,
解：（ 1）计算支反力做内力图,
q
BA
C DE
l
F Fa a
8kN
210kN 208kN
41.8 kN·m 41.8 kN·m45 kN·m
（ 2）根据最大弯矩选择工字钢型号
3
6
3
ma x cm2 8 1
101 6 0
1045
][
MW
z
查型钢表，选用 22a工字钢，其
Wz＝ 309cm3
FRA F
RB
(Stresses in Beams)
（ 3）校核梁的切应力腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为 210kN
查表得,cm9.18*
ma x
z
z
S
I
M Pa100][M Pa148
1075.0109.18
10210
22
3
ma xma xS
ma x
*
bI
SF
z
z
τmax超过 [?]很多，应重新选择更大的截面,现已 25b工字钢进行试算查表得,cm9.18*
ma x
z
z
S
I
d=1cm
M Pa100][M Pa6.98101103.21 10210 22
3
ma x
所以应选用型号为 25b的工字钢,
(Stresses in Beams)
例题 6 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载 F增加为 50kN，故在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为 120mm?10mm而长度
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示,已知许用弯曲正应力 [?]=152MPa,许用切应力 [?]=95MPa.试校核此梁的强度,
2.2m 200
z
120
10解：加强后的梁是阶梯状变截面梁,所以要校核
（ 3） F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,
（ 2） F靠近支座时 支座截面上的 切应力；
（ 1） F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力；
(Stresses in Beams)
（ 1）校核 F位于跨中截面时的弯曲正应力查表得 20a工字钢 4cm23 70?zI
62.5kN·m
2.2m
F
1.41m
2.5m 5m
A BCD
1.4m
FRBFRA
最大弯 矩值为 mkN5.62m a xM
跨中截面对中性轴的惯性矩为
200
z
120
10 48 m105020 ]10)5110(120
10[2102730
12
8
+zI
略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩,
抗弯截面系数 m10456
36
m a x
y
IW z
z
[]ma xc ma x 1 3 7 MP a
z
M
W
(Stresses in Beams)
（ 2）校核突变截面处的正应力，
也就是校核未加强段的正应力强度,
2.2m
F
1.41m
2.5m 5m
A BCD
1.4m
FRBFRA
50.4 kN·m
该截面上的最大弯矩为
mkN4.50 lF a bM D
从型钢表中查得 20a工字钢
cm237 3?W z
][MP2 1 3ma x σaWMσ
z
D
D梁不能满足正应力强度条件,
为此应将加强板适当延长,（ 3）校核阶梯梁的切应力
F 靠近任一支座时，支座截面为不利荷载位置?
SmaxFF
请同学们自行完成计算,
(Stresses in Beams)
§ 5-5 提高梁强度的主要措施 （ Measures to
strengthen the strength of beams)
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件 ][ma x
ma x σW
Mσ
z
F
l
Fl/4 Fl/8
F
l/4 l/4l/2
(Stresses in Beams)
2.合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动 a=0.207l时，最大弯矩减小,
a al
q
0.0214ql2
l
q
ql2/2
(Stresses in Beams)
二、增大 Wz
1.合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
32
π 3
1
DW
z?
)2/(π,4π 12
2
1 DaaD
1
32
2 1,1 8 6
)π(
6 zz W
RbhW
z
D
za
a
a1
2a
1 z 11
2
1
2
1 π2,2
4
π
DaaD
1
3
1
2
3 67.1 6
4
6 zz W
abhW
(Stresses in Beams)
工字形截面与框形截面类似,
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4
π
DaaaD
14 57.4 zz WW?0.8a2a
2
1.6
a 2
2a
2 z
2.合理的放置
F
b
h
W
W?
2
1
b
h
12
3
1
bhW?
b
h
12
3
2
hbW?
(Stresses in Beams)
2.对于脆性材料制成的梁,宜采用 T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧,
三、根据材料特性选择截面形状
1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,
z
y1
y2
cmax
tmax
要使 y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力
[]
[]
ma x 1
t1
ma x 2
c2
z
z
yM
yσ I
yM yσ
I
tmax
cmax
(Stresses in Beams)
四、采用等强度梁梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁,
例如，宽度 b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律 h(x)，可按正应力强度条件求得,
b
h(x
)
z
F
l/2 l/2
梁任一横截面上最大正应力为 ][
)()61(
)2(
)(
)(
2ma x
σ
xbh
xF
xW
xM
σ
求得 ][
3)(
σb
Fxxh?
(Stresses in Beams)
但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度
][22323
m i n
S
m a x bh
F
A
F
][4
3
mi n?b
Fh?
求得
b
h(x
)
z
F
l/2 l/2 ][
3)(
b
Fxxh?
按上 确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁,
F
