Chapter2 Axial Tension and Compression
2
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-1 轴向拉压的概念及实例
(Concepts and examples of axial tension &
compression)
第二章 轴向拉伸和压缩
Chapter2 Axial Tension and Compression
§ 2-2 内力计算
(Calculation of internal force)
§ 2-3 应力及强度条件
(Stress and strength condition)
3
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
(Material properties in axial tension and
compression)
§ 2-5 拉压杆的变形计算
(Calculation of axial deformation)
§ 2-6 拉压超静定问题
(Statically indeterminate problem of
axially loaded members)
§ 2-7 剪切变形 (Shear deformation)
4
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-1 轴向拉压的概念及实例
(Concepts and example problems of axial
tension & compression)
一、工程实例
(Engineering examples)
5
(Axial tension & Compression,Shear)
6
(Axial tension & Compression,Shear)
三、变形特点 (Character of deformation)
沿轴向伸长或缩短二、受力特点 (Character of external force)
外力的合力作用线与杆的轴线重合四、计算简图 (Simple diagram for calculating)
F F FF
轴向压缩
(axial compression)
轴向拉伸
(axial tension)
7
(Axial tension & Compression,Shear)
m
m
F F
一、求内力 (Calculating internal force)
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件横截面 m-m 上的内力,
§ 2–2 内力计算
(Calculation of internal force)
8
(Axial tension & Compression,Shear)
在求内力的截面 m-m
处，假想地将杆截为两部分,
取左部分部分作为研究对象,弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为 FN,
m
m
F FN
1.截面法 (Method of sections)
（ 1）截开 m
m
F F
（ 2）代替
9
(Axial tension & Compression,Shear)
对研究对象列平衡方程
FN = F
式中,FN为杆件任一横截面 m-m上的内力,与 杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为 轴力 (axial force).
（ 3）平衡 m
m
F F
m
m
F FN
10
(Axial tension & Compression,Shear)
FN
若取 右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反,
m
m
F F
m
m
F FN
m
F
m
11
(Axial tension & Compression,Shear)
2.轴力符号的规定
(Sign convention for axial force)
FN
m
F F
m
m
F FN
m
F
m
（ 1）若轴力的指向背离截面，
则规定为正的，称为 拉力
(tensile force).
（ 2）若轴力的指向指向截面，
则规定为负的，称为 压力
(compressive force).
12
(Axial tension & Compression,Shear)
二、轴力图 (Axial force diagram)
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图,将正的轴力画在 x轴上侧,负的画在 x
轴下侧,
x
FN
O
13
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图,
CA B D600 300 500 400 E
40kN 55kN 25kN 20kN
14
(Axial tension & Compression,Shear)
CA B D600 300 500 400 E
40kN 55kN 25kN 20kN
CA B D E
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
解,求支座反力
kN10
0202555400
R
R
A
Ax
F
FF
15
(Axial tension & Compression,Shear)
求 AB段内的轴力
FRA FN1
CA B D E
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
1
0R1N AFF
)()kN(10R1N AFF
16
(Axial tension & Compression,Shear)
求 BC段内的轴力
FRA 40kN FN2
20kN
CA B D E
40kN 55kN 25kNFRA
2
040R2N AFF
)()kN(5040R2N AFF
17
(Axial tension & Compression,Shear)
FN3
求 CD段内的轴力
20kN25kN
CA B D E
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
3
020253 NF
)()kN(53NF
18
(Axial tension & Compression,Shear)
求 DE段内的轴力
20kNFN4
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
4
)(( k N )204NF
19
(Axial tension & Compression,Shear)
FN1=10kN （拉力）
FN2=50kN （拉力）
FN3= - 5kN （压力）
FN4=20kN （拉力 ）
发生在 BC段内任一横截面上
50
10
5
20
+
+
CA B D600 300 500 400 E
40kN 55kN 25kN 20kN
( k N )50N m a x?F
20
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-3 应力及强度条件
(Stress and strength condition)
一、横截面上的正应力 (Normal stress on cross section)
FF
a
b
c
d
21
(Axial tension & Compression,Shear)
1.变形现象 (Deformation phenomenon)
（ 1） 横向线 ab和 cd仍为直线,且仍然垂直于轴线 ;
（ 2） ab和 cd分别平行移至 a'b'和 c'd',且伸长量相等,
结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同,
FF
a
b
c
d
a?b? c?d?
22
(Axial tension & Compression,Shear)
2.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线,
3.内力的分布 (The distribution of internal force)
F? FN均匀分布
(uniform distribution)
23
(Axial tension & Compression,Shear)
式中,FN 为轴力,A 为杆的横截面面积,?的符号与轴力
FN 的符号相同,
当轴力为正号时（拉伸）,正应力也 为正号,称为拉 应力 ;
当轴力为负号时（压缩）,正应力也 为负号,称为压 应力,
4.正应力公式 (Formula for normal stress)
A
FN
24
(Axial tension & Compression,Shear)
F
k
k
F
c o sc o s A
F
A
Fp
二,斜截面上的应力 （ Stress on an inclined plane)
1,斜截面上的应力 （ Stress on an inclined plane）
F
k
k
Fα
pα
以 p?表示斜截面 k-k上的应力，于是有
A
Fp?
c o s
AA? FF?
25
(Axial tension & Compression,Shear)
沿截面法线方向的正应力
沿截面切线方向的切应力
将应力 pα分解为两个分量：
2c o s c o sp
s i n s i n 22p
pα
F
k
k
F
F k
k
x
n
pα
26
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1） α角
2.符号的规定 (Sign convention)
（ 2）正应力拉伸为正压缩为负
（ 3）切应力 对研究对象任一点取矩?
pα
F
k
k
F
F k
k
x
n
pα
顺时针为正逆时针为负逆时针时?为正号顺时针时?为负号自 x 转向 n
27
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）当? = 0° 时,
（ 2）当?= 45° 时，
（ 3）当?= -45° 时，
（ 4）当?= 90° 时，
ma x
2
ma x
讨 论
2
m in
00,
2c o s c o sp
s i n s i n 22p
x
n
F k
k
28
(Axial tension & Compression,Shear)
三、强度条件 (Strength condition)
杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1.数学表达式 (Mathematical formula)
][N m a xm a x AF
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
][
N ma x
FA?
（ 2）设计截面
（ 1） 强度校核 ][N ma x σA
F?
AF ][m a xN（ 3）确定许可荷载
29
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 2 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况,各段长度及横截面面积如图所示,已知 F = 50kN，
试求荷载引起的最大工作应力,
F
A
B
C
F
F
240
2
1
解：（ 1）作轴力图
kNN 501 FF
kNN 1 5032 FF
30
(Axial tension & Compression,Shear)
F
A
B
C
F
F
240
2
1
50kN
150kN
（ 2） 求应力
M P a.N/ m.
..
2
N
87010870
240240
50000
6
1
1
1
A
F
M P a.N/ m.
..
2
N
111011
370370
1 5 0 0 0 0
6
2
2
2
A
F
结论,在柱的下段，其值为 1.1MPa，是压应力,
max?
31
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 3 简易起重设备中,AC杆由两根 80?80?7等边角钢组成,AB杆由两根 10号工字钢组成,材料为 Q235钢，许用应力 [?]=170MPa,求许可荷载 [F].
A
B
C
F
30。
32
(Axial tension & Compression,Shear)
解：（ 1） 取结点 A为研究对象，受力分析如图 所示,
A
B
C
F
30°
F
A x
y
FN1
FN2
30。
33
(Axial tension & Compression,Shear)
结点 A的平衡方程为由型钢表查得
F
A x
y
FN1
FN2
30。
0300 1 FFF y?s i nN
00 12c o s 30NN FFF x
得到
FF
FF
7 3 21
2
2
1
.N
N
2
2
m
m
6
2
6
1
10286021430
10217221086
A
A
34
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 许可轴力为
（ 3）各杆的许可荷载
（ 4） 结论：许可荷载 [F]=184.6kN
AF ][m a xN
FF
FF
732.1
2
2N
1N
kN.][][ N 243 6911 AF?
kN.][][ N 204 8622 AF?
kN.][ N 61 842 11 FF kN.,][ N 72 8 07 3 21 22 FF
35
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 4 刚性杆 ACB有圆杆 CD悬挂在 C点,B端作用集中力 F=25kN,
已知 CD杆的直径 d=20mm,许用应力 [?]=160MPa，试校核 CD杆的强度,并求：
（ 1）结构的许可荷载 [F];
（ 2）若 F=50kN,设计 CD杆的 直径,
2a a
F
A B
D
C
36
(Axial tension & Compression,Shear)
解：
（ 1） 求 CD杆 的内力
2a a
F
A B
D
C
FNCD F
A C B
FRAy
FRAx
FFM CDA 230 N
/
/
[]
N
2
32
1 1 9 M P a
4
CDF F
Ad?
（ 2）结构的许可荷载 [F]
][N
A
F CD
CD
由
37
(Axial tension & Compression,Shear)
[F]=33.5kN
2a a
F
A B
D
C
FNCD F
A C B
FRAy
2
3 FAF
CD ][N?得
（ 3） 若 F=50kN，设计 CD杆的 直径
][N
A
F CD
CD
由
][
/
][
N
23 FFA CD
得
/
[]?
2 32
4
dF?
d=24.4mm 取 d=25mm
FRAx
38
(Axial tension & Compression,Shear)
1.试验条件 (Test conditions）
§ 2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
(Mechanical properties of materials in axial
tension and compression)
一、实验方法 (Test method)
（ 1） 常温,室内温度
（ 2） 静载,以缓慢平稳的方式加载
（ 3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件
39
(Axial tension & Compression,Shear)
2.试验设备 (Test instruments)
（ 1）微机控制电子万能试验机
（ 2）游标卡尺
40
(Axial tension & Compression,Shear)
二、拉伸试验 (Tensile tests)
先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为 标距 l
(original gage length).
l = 10d 或 l =5d
1,低碳钢拉伸时的力学性质
(Mechanical properties for a low-carbon steel in tension)
（ 1）拉伸试样 d
l
标距
41
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 拉伸图 ( F-? l 曲线 )
拉伸图与试样的尺寸有关,
为了消除试样尺寸的影响，把拉力 F除以试样的原始面积 A，
得正应力；同时把?l 除以标距的原始长度 l，得到应变,
表示 F和?l关系的曲线，
称为 拉伸图 (tension diagram)
F
O Δl
e
f
h
ab
c
d
d′ g f′
Δl0
42
(Axial tension & Compression,Shear)
p
（ 3）应力应变图表示应力和 应变关系的曲线，称为 应力 -应变图
(stress-strain diagram)
（ a） 弹性阶段试样的变形完全弹性的,
此阶段内的直线段材料满足胡克定律 (Hooke’s law)
E?
比例极限
(proportional limit)
p?
f
O f′ h?
a
43
(Axial tension & Compression,Shear)
b点是弹性阶段的最高点,
弹性 极限
(elastic limit)e
（ b） 屈服阶段当应力超过 b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为 屈服 (yielding).
p
f
O f′ h?
ab
e
c点为屈服低限
s? 屈服 极限(yielding strength)
44
(Axial tension & Compression,Shear)
s
b
（ c）强化阶段过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力,要使它继续变形必须增加拉力,这种现象称为材料的 强化 (hardening)
e点是强化阶段的最高点强度 极限
(ultimate Strength)
b?
e
p
f
O f′ h?
ab
c
e
45
(Axial tension & Compression,Shear)
（ d） 局部变形阶段过 e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，
出现 颈缩 (necking)现象，一直到试样被拉断,
s
b?
e
p
f
O f′ h?
ab
c
e
46
(Axial tension & Compression,Shear)
试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由
l 变为 l1，横截面积原为 A,断口处的最小横截面积为 A1,
断面收缩率
(percent reduction in area )
伸长率
(percent elongation)
≧ 5%的材料，称作 塑性材料 (ductile materials)
<5%的材料，称作 脆性材料 (brittle materials)
（ 4）伸长率和端面收缩率
%1001 l ll?
%1001 A AA?
47
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 5）卸载定律及冷作硬化卸载定律 (unloading law)
若加栽到强化阶段的某一点 d
停止加载,并逐渐卸载,在卸载过程中,荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律 (unloading law).
ab
c
e
f
O g f′ h εd′
d
48
(Axial tension & Compression,Shear)
在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大,这种现象称为冷作硬化冷作硬化
e - 弹性应变 (elastic strain)
p - 塑性应变 (plastic strain)
pe
ab
c
d
e
f
O d′ g f′ h?
e?p
d
49
(Axial tension & Compression,Shear)
Yield Strength and Ultimate Strength
50
(Axial tension & Compression,Shear)
2.无明显屈服极限的塑性材料
(Ductile materials without clearing
defined yield point)
0.2
3.铸铁拉伸时的机械性能
ｂ - 铸铁拉伸强度 极限
(Mechanical properties for
a cast iron in tension)
0.2%
割线斜率?ta n?E
名义屈服应力用 表示,20.?
o
O
/MPa
/%?
ｂ
α
51
(Axial tension & Compression,Shear)
Brittle vs,Ductile Behavior
52
(Axial tension & Compression,Shear)
三、材料压缩时的力学性能 (Mechanical properties of
materials in axial compression)
1.实验试样 (Test specimen)
2.低碳钢压缩时的曲线 (Stress-
strain curve for a low-carbon steel
in compression)
d
h0351,~.?
d
h
F
F
53
(Axial tension & Compression,Shear)
s
O
压缩的实验结果表明低碳钢压缩时的弹性模量 E屈服极限?s都与拉伸时大致相同,
屈服阶段后,试样越压越扁,横截面面积不断增大,试样不可能被压断,因此得不到压缩时的强度极限,
54
(Axial tension & Compression,Shear)
3.铸铁压缩时的曲线
(Stress - strain curve for cast iron in compression)
O
/%?
ｂ
铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成 45° ～ 55° 倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏,
铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的 4～ 5倍,
55
(Axial tension & Compression,Shear)
以大于 1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力,
用 [?]表示,n
u][
2,许用应力 (Allowable stress)
1,极限应力 (Ultimate stress)
四、安全因数和许用应力
(Factor of safety & allowable stress)
n — 安全因数 (factor of safety)
塑性材料 (ductile materials)
脆性材料 (brittle materials)
材料的两个强度指标?s 和?b 称作极限应力或危险应力,
并用?u 表示,
s
s][
n
b
b][
n
56
(Axial tension & Compression,Shear)
五,应力集中 (Stress concentrations)
开有圆孔的板条因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中 (stress concentrations).
FF
F
max?
带有切口的板条
FF
F
max?
57
(Axial tension & Compression,Shear)
应力集中因数 (stress- concentration factor)
六、蠕变及松弛 (creeping & relaxation)
固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为 蠕变 (creeping)
粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）
随时间逐渐降低的现象称为 松弛 (relaxation)
F
max?
ma x?K
发生应力集中的截面上的最大应力max?
同一截面上按净面积算出的平均应力?
58
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-5 拉压杆的变形计算
(Calculation of axial deformation)
FF b
h
一、纵向变形 (Axial deformation)
h1
b1
l l
1
2,纵向应变 (Axial strain)l
lΔ lll 1Δ1,纵向变形 (Axial deformation)
59
(Axial tension & Compression,Shear)
二,横向变形 (Lateral deformation)
三、泊松比 (Poisson’s ratio)
称为 泊松比 (Poisson’s ratio)
2,横向应变 (Lateral strain) b
b
b
bb Δ 1?
FF b
h
h1
b1
l l
1
1,横向变形 (Lateral deformation) bbb 1
60
(Axial tension & Compression,Shear)
四、胡克定律 (Hooke’s law)
式中 E 称为 弹性模量 (modulus of elasticity),EA称为抗拉
（压） 刚度 (rigidity).
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比,
上式改写为
AFNllΔ E?由
EA
lFl NΔ?
61
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 5 图示为一变截面圆杆 ABCD.已知 F1=20kN,F2=35kN
F3=35kN,l1=l3=300mm,l2=400mm,d1=12mm,d2=16mm，
d3=24mm,试求：
（ 1） Ⅰ -Ⅰ,Ⅱ -Ⅱ,III-III截面的轴力并作轴力图
（ 2） 杆的最大正应力?max
（ 3） B截面的位移及 AD杆的变形
F1
F2F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
62
(Axial tension & Compression,Shear)
解：求支座反力 FRD = -50kN
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
（ 1） Ⅰ -Ⅰ,Ⅱ -Ⅱ,III-III
截面的轴力并作轴力图
F1FN1
)(kN20
0
1N
1N1
F
FF
63
(Axial tension & Compression,Shear)
F2
F1FN2
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
)(kN15
0
2N
2N21
F
FFF
FRD FN3
)(kN50
0
3N
R3N
F
FF D
64
(Axial tension & Compression,Shear)
FN2 =-15kN （ -）
FN1 =20kN （ +）
FN3 =- 50kN （ -）
15
+
-
20
50
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
65
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 杆的最大正应力?max
AB段
DC段
BC段
FN2 =-15kN ( - )
FN1 =20kN （ +）
FN3 =- 50kN ( - )
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
)(M Pa.N 81 7 6
1
1
A
F
AB?
)(M Pa.N 674
2
2
A
F
BC?
)(M Pa.N 51 1 0
3
3
A
F
DCmax = 176.8MPa
发生在 AB段,
66
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 3） B截面的位移及 AD杆的变形
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
m102,5 3Δ 4-N
1
11
EA
lFl
AB m101,4 2Δ
4-N
2
22
EA
lFl
BC
m101,5 8Δ 4-N
3
33
EA
lFl
CD - 0,3m mΔΔ BCCDB llu
mm10- 0,4 7ΔΔΔΔ 4- CDBCABAD llll
67
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成,已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成?=30° 的角度,长度均为 l = 2m,直径均为 d=25mm,
钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物 F=100 kN,试求
A点 的位移?A.
A
B C
1 2
68
(Axial tension & Compression,Shear)
A
B C
1 2
解,（ 1） 列平衡方程,求杆的轴力
F
y
FN1 FN2
A
1 2
x
0c o sc o s0
0s i ns i n0
2N1N
1N2N
FFFF
FFF
y
x
c o s22N1N
FFF
69
(Axial tension & Compression,Shear)
A''
（ 2）两杆的变形为变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起,
A
B C
1 2
A
B C
1 2
（伸长）?c o s
ΔΔ N EA FlEA lFll 21121
70
(Axial tension & Compression,Shear)
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A?,
即为 A点的新位置,AA? 就是 A点的位移,
A''
A
B C
1 2
A2 A1
A
l?1
1 2
因变形很小,故可过 A1,A2 分别做两杆的垂线，相交于 A?
A?
可认为
A'
AAAA )(mm293.1
c o s2c o s
ΔΔ
2
1
EA
FllAA
A
71
(Axial tension & Compression,Shear)
F
A
FN1
FN2
x30°
y
A1l?1
例题 7 图示三角形架 AB和 AC 杆的弹性模量 E=200GPa
A1=2172mm2,A2=2548mm2,求 当 F=130kN时节点的位移,
2m
A
B
C
F
30°
1
2
解,(1)由平衡方程得两杆的轴力
FF
FF
732.1
2
2N
1N
1 杆受拉,2 杆受压 A2 l?2
mm.Δ
mm.Δ
N
N
7 6 50
1 9 81
2
22
22
1
11
11
EA
lF
lAA
EA
lF
lAA
（ 2）两杆的变形
72
(Axial tension & Compression,Shear)
30°
A
A1
A2
l?1l?2
A'
30°
AA3 为所求 A点的位移
A1l?1
2m
A
B
C
F
30°
1
2 A2 l?2
A3
30c o s
Δ 12
22
l
l
AAAAAA
30s i n30t a nt a n 3 0
122
32
llAA
AA
mm.)()( 783232223 AAAAAA
73
(Axial tension & Compression,Shear)
一、静定与超静定问题
(Statically determinate & indeterminate problem)
§ 2-6 拉压超静定问题
(Statically indeterminate problem of
axially loaded members)
1.静定问题 (Statically determinate problem)
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题,
2.超静定问题 (Statically indeterminate problem)
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题,
74
(Axial tension & Compression,Shear)
1.超静定的次数 (Degrees of statically indeterminate problem )
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数,
二、超静定问题求解方法 (Solution methods for
statically indeterminate problem）
2.求解超静定问题的步骤 (Procedure for solving a statically
indeterminate)
（ 1）确定静不定次数；列静力平衡方程
（ 2）根据变形协调条件列变形几何方程
（ 3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程
（ 4）联立补充方程与静力平衡方程求解
n = 未知力的个数 －独立平衡方程的数目
75
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 8 设 1,2,3 三杆用绞链连结如图所示,l1 = l2 = l,A1 = A2
= A,E1 = E2 = E,3杆的长度 l3,横截面积 A3,弹性模量 E3 。
试求在沿铅垂方向的外力 F作用下各杆的轴力,
C
A
B D
F
1 2
3
三、一般超静定问题举例
(Examples for general statically indeterminate problem)
x
y
F
A
FN2FN3FN1
解,（ 1）列平衡 方程
210 NN FFF x
0c o s
c o s0
3N2N
1N
FFF
FF
y
这是一次超静定问题 ﹗
76
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 变形几何方程由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后 A点将沿铅垂方向下移,变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起 ﹗
C
A
B D
F
1 2
3
x
y
F
A
FN2FN3FN1
C
A
B D
1 2
3
A'
77
(Axial tension & Compression,Shear)
3lΔ
变形几何方程为
A
1 23
C
A
B D
F
1 2
3
C
A
B D
1 2
3
A'
A'
1lΔ
c o sΔΔ 31 ll?
1
11
1 EA
lFl NΔ?
33
3
3 AE
lFl?c o sΔ N?
（ 3）补充方程?
2
33
31 c o sNN AE
EAFF?
物理方程为
78
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 4）联立平衡方程与补充方程求解 C
A
B D
F
1 2
3
3lΔ
A
1 23
A'
1lΔ
233
21
21
c o s
c o s
NN
AE
AE
F
FF
21 NN FF?
0321 FFFF NNN c o sc o s
2
33
31 c o sNN AE
EAFF?
2
33
3
21 c o s
N
AE
EA
F
F
79
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 9 图示平行杆系 1,2,3 悬吊着刚性横梁 AB，在横梁上作用着荷载 F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为 A，
l,E.
试求三杆的轴力 FN1,FN2,FN3.
AB C
F
3 aal 2 1
80
(Axial tension & Compression,Shear)
AB C
F
3 aal 2 1
F
AB C
3 aa 2 1
FN1FN2FN3
Fx
解：（ 1） 平衡方程
0xF 0?xF
0yF
0
3N2N1N
FFFF
0BM
这是一次超静定问题,且假设均为拉杆,
02 21 aFaF NN
81
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 变形几何方程物理方程
AB C
F
3 aal 2 1 A?
B? C?
l?3 l?2 l?1
AB C
3 2 1
231 2 lll ΔΔΔ
1
11
1 EA
lFl NΔ?
EA
lFl 3
3
NΔ?
EA
lFl 2
2
NΔ?
（ 3） 补充方程
231 2 NNN FFF
82
(Axial tension & Compression,Shear)
AB C
F
3 aal 2 1 A?
B? C?
l?3 l?2 l?1
AB C
3 2 1
（ 4）联立平衡方程与补充方程求解
N2N3N1 FFF 2
0?xF 0 FFFF N3N2N1 02 N2N1 aFaF
6/5
3/
6/
N3
N2
N1
FF
F
FF
83
(Axial tension & Compression,Shear)
图示杆系,若 3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力,3杆的轴力为拉力,1,2杆的轴力为压力,这种附加的内力就称为装配内力,与之相对应的应力称为 装配应力
(initial stresses),
A?
四、装配应力 (Initial stresses)
(Statically indeterminate
structure with a misfit)
A
B CD
21 3
l
84
(Axial tension & Compression,Shear)
A?
A
B CD
21 3
l
l?3
l?1
3lΔ 代表杆 3的伸长
1Δl 代表杆 1或杆 2的缩短
代表装配后 A点的位移
（ 1） 变形几何方程
3Δ l Δ 1Δ
c os
lΔ
c o s
ΔΔ 1
3
ll
（ 2） 物理方程
33
3
11
1 AE
lF
l
AE
l
F
l N3
N1
Δc o sΔ
85
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 3）补充方程
A?
A
B CD
21 3
l
l?3
l?1
2
1133 c o s
N1N3
AE
lF
AE
lF
（ 4） 平衡方程
0c o sc o s
0s i ns i n
N2N1N3
N2N1
FFF
FF
FN3 FN2F
N1
FN1,FN2,FN3
（ 5）联立平衡方程与补充方程求解
86
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 10 两铸件用两根钢杆 1,2 连接,其间距为 l =200mm,现要将制造得过长了?e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距 a,试计算各杆内的装配应力,已知：钢杆直径 d=10mm,铜杆横截面积为 20?30mm的矩形,钢的弹性模量
E=210GPa,铜的弹性模量 E3=100GPa,铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体,
A
B
C
1
2
a
a
B1
A1
C1
l
3
C1 C'
e
87
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）变形几何方程为
l
3
C1
e
C''
l3
A
B
C
1
2
B1
C1
A1
l1?l2=
ell ΔΔΔ 31
88
(Axial tension & Compression,Shear)
x（ 3）补充方程
（ 4）平衡方程
EA
lFl 1
1
N1Δ?
33
3 AE
lFl N3Δ?（ 2）物理方程
AE
lFe
AE
lF N1N3 Δ
33
C'
A'
B'
FN3
FN1
FN2
0 N2N1N3 FFF N2N1
FF?
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力,
89
(Axial tension & Compression,Shear)
五、温度应力 (Thermal stresses or temperature stresses)
例题 11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结,设两支承的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量为 E,线膨胀系数为?,试求温度升高?T 时杆内的 温度应力,
温度变化将引起物体的膨胀或收缩,静定结构可以自由变形,
不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力称为 热应力 (thermal stresses)或 温度应力 (temperature stresses).
A B
l
90
(Axial tension & Compression,Shear)
解,这是一次超静定问题变形相容条件是杆的总长度不变,
杆的变形为两部分,
即由温度升高引起的变形
lT 以及与轴向压力 FR相应的弹性变形?lF
A B'
lT
A B
l
B'
0?lΔ
A B
lF
FRA F
RB
91
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）变形几何方程
（ 3）补充方程
（ 4）温度内力
A B
l
A B'
lT
0 FT lll ΔΔΔ
EA
lFl B
F
RΔ?
lTl lT ΔΔ?
（ 2）物理方程由此得温度应力
EA
lFlT B
l
RΔ
TEAF lB ΔR TE
A
F
l
B
T Δ
R
B'A B
lF
FRA F
RB
92
(Axial tension & Compression,Shear)
一、基本概念和实例 (Basic concepts and examples)
1.工程实例 (Engineering
examples)
（ 1） 螺栓连接 (Bolted connections)
§ 2-7 剪切变形 (Shear deformation)
（ 2） 铆钉连接 (Riveted connections)
F F
螺栓 (bolt)
F F
铆钉 (rivet)铆钉
93
(Axial tension & Compression,Shear)
m
轴 (shaft)
键 (key)
齿轮 (gear)
（ 3） 键块联接 (Keyed connection)
（ 4） 销轴联接 (Pinned connection)
F
F
A
B
d
1?1
94
(Axial tension & Compression,Shear)
n n
（合力）
（合力）
F
F
2.受力特点 (Character of external force)
以铆钉为例构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用,
3.变形特点 (Character of deformation)
构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动,
95
(Axial tension & Compression,Shear)
4.连接处破坏三种形式,
(Three types of failure in connections)（ 1）
剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断,如沿 n-n面剪断,
（ 2） 挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏,
（ 3）拉伸 破坏钢板在受铆钉孔削弱的截面处，
应力增大，易在连接处拉断,
F
n n
FS
剪切面
(shearing plane)
n n
（合力）
（合力）
F
F
96
(Axial tension & Compression,Shear)
m m
F
剪切面
FS
二、剪切的应力分析
(Analysis of shearing stress)
1.内力计算 (Calculation of internal force)
FS - 剪力 (shearing force)
F
F
m m
00 S FFF x
FF?S
2.切应力 （ Shearing stress）
A
FS
式中,FS - 剪力 (shearing force)
A-剪切面的面积 (area in shear)
97
(Axial tension & Compression,Shear)
3.强度条件 (Strength condition)
[?] 为材料的许用切应力 (Allowable
shearing stress of a material)
(factor of safety)
m m
F
剪切面
F
F
m m A
F S
n
u][
n - 安全因数
- 剪切极限 应力u?
(ultimate shearing stress)
98
(Axial tension & Compression,Shear)
螺栓与钢板相互接触的侧面上,发生的彼此间的局部承压现象,称为 挤压 (bearing).
三、挤压的应力分析
(Analysis of bearing stress) FF
F F
在接触面上的压力,称为 挤压力 (bearing force),并记为 F
挤压面剪切面
1.挤压力 (Bearing force) F = FS
99
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）螺栓压扁
（ 2）钢板在孔缘压成椭圆
2.挤压破坏的两种形式 (Two types of bearing failure)
FF
3.挤压应力 (Bearing stress)
bs
bs
bs A
F
A
F
bs
bs
F -挤压力 (bearing force)
Abs -挤压面的面积 (area in bearing)
4.强度条件 (Strength condition)
[?bs]-许用挤压应力 (allowable bearing stress)
100
(Axial tension & Compression,Shear)
挤压现象的实际受力如图 所示,
（ 1）当接触面为圆柱面时,挤压面积
Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积
d
h
实际接触面直径投影面挤压面的面积计算
bsA d h
（ 2）当接触面为平面时,Abs 为实际接触面面积,
101
(Axial tension & Compression,Shear)
四、强度条件的应用 (Application of strength conditions)
bsbs?
F
A?
bsbs
[]?SF A?
(Check the intensity)1.校核强度
(Determine the allowable dimension)2.设计截面
AF bsbs ][
SFA
(Determine the allowable load)3.求许可载荷
4.破坏条件 (failure condition) u
102
(Axial tension & Compression,Shear)
解,（ 1） 键的受力分析如图例 题 12 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径 d=70mm,键的尺寸为
b× h× L=20 × 12 × 100mm,传递的扭转力偶矩 Me=2kN·m,键的许用切应力为 [?]= 60MPa,许用挤压应力为 [?bs]= 100MPa.试校核键的强度,
b
h
l
Me
d
F
Me h
e2 M
dF kNe 57
1070
10222
3
3
dMF
103
(Axial tension & Compression,Shear)
综上,键满足强度要求,
（ 2） 校核 剪切强度
（ 3）校核 挤压强度
M Pa6.281010020 1057 63S blF
A
F
FF?S
bs
bs
bs M Pa,
395106100
1057
2 6
3
hl
F
A
F
Me
d
F
b
h
l
A
104
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 13 一销钉连接如图 所示，
已知外力 F=18kN,被连接的构件
A 和 B 的厚度分别为?=8mm 和
1=5mm,销钉直径 d=15mm,
销钉材料的许用 切 应力为
[?] = 60MPa,许用挤压应力为
[?bs]= 200MPa,试校核销钉的强度,
1
F
F
A
1
B
d
105
(Axial tension & Compression,Shear)
1
F
F
A
1
B
d
解,（ 1）销钉受力如图 b所示
d
2
F2F
F剪切面挤压面
106
(Axial tension & Compression,Shear)
d
2
F2F
F
挤压面
F
FS FS
（ 2）校核剪切强度
2S
FF?由截面法得两个面上的 剪力剪切面积为? 2
4
dA
M Pa51SAF
（ 3）挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度为?的中间段进行挤压强度校核,
1? 2
bs
bs
bs M Pa 1 5 0td
F
A
F
故销钉是安全的,
剪切面
107
(Axial tension & Compression,Shear)
D
d
h
F
（ 1）销钉的剪切面面积 A
（ 2）销钉的挤压面面积 Abs
思考题
108
(Axial tension & Compression,Shear)
挤压面
D
d
h
F
挤压面剪切面
22
bs
π ( )
4
DdA
d
πA d h?
109
(Axial tension & Compression,Shear)
例 14 冲床的最大冲压力 F=400kN,冲头材料的许用压应力
[?]=440MPa,钢板的 剪切强度极限?u=360MPa,试求 冲头能冲剪的最小孔径 d和最大的钢板厚度?,
冲头
d
钢板冲模
F
110
(Axial tension & Compression,Shear)
F
解：（ 1） 冲头为轴向压缩变形
d=34mm
冲头
d
钢板冲模
F
剪切面
F
2 4F FdA
111
(Axial tension & Compression,Shear)
F
解,（ 2） 由钢板的剪切破坏条件
δ=10.4mm
冲头
d
钢板冲模
F
剪切面
F
2 4F FdA
112
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 15 一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板,钢板与铆钉材料相同,铆钉直径 d =16mm,钢板的尺寸为 b =100mm,
=10mm,F = 90kN,铆钉的许用应力是 [?] =120MPa,
[?bs] =120MPa,钢板的许用拉应力 [?]=160MPa,试校核铆钉接头的强度,
F
F
113
(Axial tension & Compression,Shear)
F Fb
F
F
114
(Axial tension & Compression,Shear)
解：（ 1） 校核铆钉的剪切强度 每个铆钉受力为 F/4
每个铆钉受剪面上的剪力为
F Fb
F/4
F/4
剪切面
kN5.224S FF
SS 2 1 1 2 MP a4FF dA
115
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 校核铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为 F/4
F/4
F/4
剪切面挤压面
b s b s
bs
4 1 4 1 MP a
FF
Ad
（ 3）校核钢板的拉伸强度
F
F/4
F/4
F/4
F/4
+
F3F/4
F/4
116
(Axial tension & Compression,Shear)
整个接头是安全的
F
F/4
F/4
F/4
F/4
1
1
2
2
M Pa)(
N
1-1 1 0 7
1
1
tdb
F
A
F
M Pa.)(N2-2 3992 43
2
2
tdb
F
A
F
2
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-1 轴向拉压的概念及实例
(Concepts and examples of axial tension &
compression)
第二章 轴向拉伸和压缩
Chapter2 Axial Tension and Compression
§ 2-2 内力计算
(Calculation of internal force)
§ 2-3 应力及强度条件
(Stress and strength condition)
3
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
(Material properties in axial tension and
compression)
§ 2-5 拉压杆的变形计算
(Calculation of axial deformation)
§ 2-6 拉压超静定问题
(Statically indeterminate problem of
axially loaded members)
§ 2-7 剪切变形 (Shear deformation)
4
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-1 轴向拉压的概念及实例
(Concepts and example problems of axial
tension & compression)
一、工程实例
(Engineering examples)
5
(Axial tension & Compression,Shear)
6
(Axial tension & Compression,Shear)
三、变形特点 (Character of deformation)
沿轴向伸长或缩短二、受力特点 (Character of external force)
外力的合力作用线与杆的轴线重合四、计算简图 (Simple diagram for calculating)
F F FF
轴向压缩
(axial compression)
轴向拉伸
(axial tension)
7
(Axial tension & Compression,Shear)
m
m
F F
一、求内力 (Calculating internal force)
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件横截面 m-m 上的内力,
§ 2–2 内力计算
(Calculation of internal force)
8
(Axial tension & Compression,Shear)
在求内力的截面 m-m
处，假想地将杆截为两部分,
取左部分部分作为研究对象,弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为 FN,
m
m
F FN
1.截面法 (Method of sections)
（ 1）截开 m
m
F F
（ 2）代替
9
(Axial tension & Compression,Shear)
对研究对象列平衡方程
FN = F
式中,FN为杆件任一横截面 m-m上的内力,与 杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为 轴力 (axial force).
（ 3）平衡 m
m
F F
m
m
F FN
10
(Axial tension & Compression,Shear)
FN
若取 右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反,
m
m
F F
m
m
F FN
m
F
m
11
(Axial tension & Compression,Shear)
2.轴力符号的规定
(Sign convention for axial force)
FN
m
F F
m
m
F FN
m
F
m
（ 1）若轴力的指向背离截面，
则规定为正的，称为 拉力
(tensile force).
（ 2）若轴力的指向指向截面，
则规定为负的，称为 压力
(compressive force).
12
(Axial tension & Compression,Shear)
二、轴力图 (Axial force diagram)
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图,将正的轴力画在 x轴上侧,负的画在 x
轴下侧,
x
FN
O
13
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图,
CA B D600 300 500 400 E
40kN 55kN 25kN 20kN
14
(Axial tension & Compression,Shear)
CA B D600 300 500 400 E
40kN 55kN 25kN 20kN
CA B D E
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
解,求支座反力
kN10
0202555400
R
R
A
Ax
F
FF
15
(Axial tension & Compression,Shear)
求 AB段内的轴力
FRA FN1
CA B D E
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
1
0R1N AFF
)()kN(10R1N AFF
16
(Axial tension & Compression,Shear)
求 BC段内的轴力
FRA 40kN FN2
20kN
CA B D E
40kN 55kN 25kNFRA
2
040R2N AFF
)()kN(5040R2N AFF
17
(Axial tension & Compression,Shear)
FN3
求 CD段内的轴力
20kN25kN
CA B D E
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
3
020253 NF
)()kN(53NF
18
(Axial tension & Compression,Shear)
求 DE段内的轴力
20kNFN4
40kN 55kN 25kN 20kNFRA
4
)(( k N )204NF
19
(Axial tension & Compression,Shear)
FN1=10kN （拉力）
FN2=50kN （拉力）
FN3= - 5kN （压力）
FN4=20kN （拉力 ）
发生在 BC段内任一横截面上
50
10
5
20
+
+
CA B D600 300 500 400 E
40kN 55kN 25kN 20kN
( k N )50N m a x?F
20
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-3 应力及强度条件
(Stress and strength condition)
一、横截面上的正应力 (Normal stress on cross section)
FF
a
b
c
d
21
(Axial tension & Compression,Shear)
1.变形现象 (Deformation phenomenon)
（ 1） 横向线 ab和 cd仍为直线,且仍然垂直于轴线 ;
（ 2） ab和 cd分别平行移至 a'b'和 c'd',且伸长量相等,
结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同,
FF
a
b
c
d
a?b? c?d?
22
(Axial tension & Compression,Shear)
2.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线,
3.内力的分布 (The distribution of internal force)
F? FN均匀分布
(uniform distribution)
23
(Axial tension & Compression,Shear)
式中,FN 为轴力,A 为杆的横截面面积,?的符号与轴力
FN 的符号相同,
当轴力为正号时（拉伸）,正应力也 为正号,称为拉 应力 ;
当轴力为负号时（压缩）,正应力也 为负号,称为压 应力,
4.正应力公式 (Formula for normal stress)
A
FN
24
(Axial tension & Compression,Shear)
F
k
k
F
c o sc o s A
F
A
Fp
二,斜截面上的应力 （ Stress on an inclined plane)
1,斜截面上的应力 （ Stress on an inclined plane）
F
k
k
Fα
pα
以 p?表示斜截面 k-k上的应力，于是有
A
Fp?
c o s
AA? FF?
25
(Axial tension & Compression,Shear)
沿截面法线方向的正应力
沿截面切线方向的切应力
将应力 pα分解为两个分量：
2c o s c o sp
s i n s i n 22p
pα
F
k
k
F
F k
k
x
n
pα
26
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1） α角
2.符号的规定 (Sign convention)
（ 2）正应力拉伸为正压缩为负
（ 3）切应力 对研究对象任一点取矩?
pα
F
k
k
F
F k
k
x
n
pα
顺时针为正逆时针为负逆时针时?为正号顺时针时?为负号自 x 转向 n
27
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）当? = 0° 时,
（ 2）当?= 45° 时，
（ 3）当?= -45° 时，
（ 4）当?= 90° 时，
ma x
2
ma x
讨 论
2
m in
00,
2c o s c o sp
s i n s i n 22p
x
n
F k
k
28
(Axial tension & Compression,Shear)
三、强度条件 (Strength condition)
杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1.数学表达式 (Mathematical formula)
][N m a xm a x AF
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
][
N ma x
FA?
（ 2）设计截面
（ 1） 强度校核 ][N ma x σA
F?
AF ][m a xN（ 3）确定许可荷载
29
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 2 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况,各段长度及横截面面积如图所示,已知 F = 50kN，
试求荷载引起的最大工作应力,
F
A
B
C
F
F
240
2
1
解：（ 1）作轴力图
kNN 501 FF
kNN 1 5032 FF
30
(Axial tension & Compression,Shear)
F
A
B
C
F
F
240
2
1
50kN
150kN
（ 2） 求应力
M P a.N/ m.
..
2
N
87010870
240240
50000
6
1
1
1
A
F
M P a.N/ m.
..
2
N
111011
370370
1 5 0 0 0 0
6
2
2
2
A
F
结论,在柱的下段，其值为 1.1MPa，是压应力,
max?
31
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 3 简易起重设备中,AC杆由两根 80?80?7等边角钢组成,AB杆由两根 10号工字钢组成,材料为 Q235钢，许用应力 [?]=170MPa,求许可荷载 [F].
A
B
C
F
30。
32
(Axial tension & Compression,Shear)
解：（ 1） 取结点 A为研究对象，受力分析如图 所示,
A
B
C
F
30°
F
A x
y
FN1
FN2
30。
33
(Axial tension & Compression,Shear)
结点 A的平衡方程为由型钢表查得
F
A x
y
FN1
FN2
30。
0300 1 FFF y?s i nN
00 12c o s 30NN FFF x
得到
FF
FF
7 3 21
2
2
1
.N
N
2
2
m
m
6
2
6
1
10286021430
10217221086
A
A
34
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 许可轴力为
（ 3）各杆的许可荷载
（ 4） 结论：许可荷载 [F]=184.6kN
AF ][m a xN
FF
FF
732.1
2
2N
1N
kN.][][ N 243 6911 AF?
kN.][][ N 204 8622 AF?
kN.][ N 61 842 11 FF kN.,][ N 72 8 07 3 21 22 FF
35
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 4 刚性杆 ACB有圆杆 CD悬挂在 C点,B端作用集中力 F=25kN,
已知 CD杆的直径 d=20mm,许用应力 [?]=160MPa，试校核 CD杆的强度,并求：
（ 1）结构的许可荷载 [F];
（ 2）若 F=50kN,设计 CD杆的 直径,
2a a
F
A B
D
C
36
(Axial tension & Compression,Shear)
解：
（ 1） 求 CD杆 的内力
2a a
F
A B
D
C
FNCD F
A C B
FRAy
FRAx
FFM CDA 230 N
/
/
[]
N
2
32
1 1 9 M P a
4
CDF F
Ad?
（ 2）结构的许可荷载 [F]
][N
A
F CD
CD
由
37
(Axial tension & Compression,Shear)
[F]=33.5kN
2a a
F
A B
D
C
FNCD F
A C B
FRAy
2
3 FAF
CD ][N?得
（ 3） 若 F=50kN，设计 CD杆的 直径
][N
A
F CD
CD
由
][
/
][
N
23 FFA CD
得
/
[]?
2 32
4
dF?
d=24.4mm 取 d=25mm
FRAx
38
(Axial tension & Compression,Shear)
1.试验条件 (Test conditions）
§ 2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
(Mechanical properties of materials in axial
tension and compression)
一、实验方法 (Test method)
（ 1） 常温,室内温度
（ 2） 静载,以缓慢平稳的方式加载
（ 3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件
39
(Axial tension & Compression,Shear)
2.试验设备 (Test instruments)
（ 1）微机控制电子万能试验机
（ 2）游标卡尺
40
(Axial tension & Compression,Shear)
二、拉伸试验 (Tensile tests)
先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为 标距 l
(original gage length).
l = 10d 或 l =5d
1,低碳钢拉伸时的力学性质
(Mechanical properties for a low-carbon steel in tension)
（ 1）拉伸试样 d
l
标距
41
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 拉伸图 ( F-? l 曲线 )
拉伸图与试样的尺寸有关,
为了消除试样尺寸的影响，把拉力 F除以试样的原始面积 A，
得正应力；同时把?l 除以标距的原始长度 l，得到应变,
表示 F和?l关系的曲线，
称为 拉伸图 (tension diagram)
F
O Δl
e
f
h
ab
c
d
d′ g f′
Δl0
42
(Axial tension & Compression,Shear)
p
（ 3）应力应变图表示应力和 应变关系的曲线，称为 应力 -应变图
(stress-strain diagram)
（ a） 弹性阶段试样的变形完全弹性的,
此阶段内的直线段材料满足胡克定律 (Hooke’s law)
E?
比例极限
(proportional limit)
p?
f
O f′ h?
a
43
(Axial tension & Compression,Shear)
b点是弹性阶段的最高点,
弹性 极限
(elastic limit)e
（ b） 屈服阶段当应力超过 b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为 屈服 (yielding).
p
f
O f′ h?
ab
e
c点为屈服低限
s? 屈服 极限(yielding strength)
44
(Axial tension & Compression,Shear)
s
b
（ c）强化阶段过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力,要使它继续变形必须增加拉力,这种现象称为材料的 强化 (hardening)
e点是强化阶段的最高点强度 极限
(ultimate Strength)
b?
e
p
f
O f′ h?
ab
c
e
45
(Axial tension & Compression,Shear)
（ d） 局部变形阶段过 e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，
出现 颈缩 (necking)现象，一直到试样被拉断,
s
b?
e
p
f
O f′ h?
ab
c
e
46
(Axial tension & Compression,Shear)
试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由
l 变为 l1，横截面积原为 A,断口处的最小横截面积为 A1,
断面收缩率
(percent reduction in area )
伸长率
(percent elongation)
≧ 5%的材料，称作 塑性材料 (ductile materials)
<5%的材料，称作 脆性材料 (brittle materials)
（ 4）伸长率和端面收缩率
%1001 l ll?
%1001 A AA?
47
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 5）卸载定律及冷作硬化卸载定律 (unloading law)
若加栽到强化阶段的某一点 d
停止加载,并逐渐卸载,在卸载过程中,荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律 (unloading law).
ab
c
e
f
O g f′ h εd′
d
48
(Axial tension & Compression,Shear)
在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大,这种现象称为冷作硬化冷作硬化
e - 弹性应变 (elastic strain)
p - 塑性应变 (plastic strain)
pe
ab
c
d
e
f
O d′ g f′ h?
e?p
d
49
(Axial tension & Compression,Shear)
Yield Strength and Ultimate Strength
50
(Axial tension & Compression,Shear)
2.无明显屈服极限的塑性材料
(Ductile materials without clearing
defined yield point)
0.2
3.铸铁拉伸时的机械性能
ｂ - 铸铁拉伸强度 极限
(Mechanical properties for
a cast iron in tension)
0.2%
割线斜率?ta n?E
名义屈服应力用 表示,20.?
o
O
/MPa
/%?
ｂ
α
51
(Axial tension & Compression,Shear)
Brittle vs,Ductile Behavior
52
(Axial tension & Compression,Shear)
三、材料压缩时的力学性能 (Mechanical properties of
materials in axial compression)
1.实验试样 (Test specimen)
2.低碳钢压缩时的曲线 (Stress-
strain curve for a low-carbon steel
in compression)
d
h0351,~.?
d
h
F
F
53
(Axial tension & Compression,Shear)
s
O
压缩的实验结果表明低碳钢压缩时的弹性模量 E屈服极限?s都与拉伸时大致相同,
屈服阶段后,试样越压越扁,横截面面积不断增大,试样不可能被压断,因此得不到压缩时的强度极限,
54
(Axial tension & Compression,Shear)
3.铸铁压缩时的曲线
(Stress - strain curve for cast iron in compression)
O
/%?
ｂ
铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成 45° ～ 55° 倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏,
铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的 4～ 5倍,
55
(Axial tension & Compression,Shear)
以大于 1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力,
用 [?]表示,n
u][
2,许用应力 (Allowable stress)
1,极限应力 (Ultimate stress)
四、安全因数和许用应力
(Factor of safety & allowable stress)
n — 安全因数 (factor of safety)
塑性材料 (ductile materials)
脆性材料 (brittle materials)
材料的两个强度指标?s 和?b 称作极限应力或危险应力,
并用?u 表示,
s
s][
n
b
b][
n
56
(Axial tension & Compression,Shear)
五,应力集中 (Stress concentrations)
开有圆孔的板条因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中 (stress concentrations).
FF
F
max?
带有切口的板条
FF
F
max?
57
(Axial tension & Compression,Shear)
应力集中因数 (stress- concentration factor)
六、蠕变及松弛 (creeping & relaxation)
固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为 蠕变 (creeping)
粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）
随时间逐渐降低的现象称为 松弛 (relaxation)
F
max?
ma x?K
发生应力集中的截面上的最大应力max?
同一截面上按净面积算出的平均应力?
58
(Axial tension & Compression,Shear)
§ 2-5 拉压杆的变形计算
(Calculation of axial deformation)
FF b
h
一、纵向变形 (Axial deformation)
h1
b1
l l
1
2,纵向应变 (Axial strain)l
lΔ lll 1Δ1,纵向变形 (Axial deformation)
59
(Axial tension & Compression,Shear)
二,横向变形 (Lateral deformation)
三、泊松比 (Poisson’s ratio)
称为 泊松比 (Poisson’s ratio)
2,横向应变 (Lateral strain) b
b
b
bb Δ 1?
FF b
h
h1
b1
l l
1
1,横向变形 (Lateral deformation) bbb 1
60
(Axial tension & Compression,Shear)
四、胡克定律 (Hooke’s law)
式中 E 称为 弹性模量 (modulus of elasticity),EA称为抗拉
（压） 刚度 (rigidity).
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比,
上式改写为
AFNllΔ E?由
EA
lFl NΔ?
61
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 5 图示为一变截面圆杆 ABCD.已知 F1=20kN,F2=35kN
F3=35kN,l1=l3=300mm,l2=400mm,d1=12mm,d2=16mm，
d3=24mm,试求：
（ 1） Ⅰ -Ⅰ,Ⅱ -Ⅱ,III-III截面的轴力并作轴力图
（ 2） 杆的最大正应力?max
（ 3） B截面的位移及 AD杆的变形
F1
F2F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
62
(Axial tension & Compression,Shear)
解：求支座反力 FRD = -50kN
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
（ 1） Ⅰ -Ⅰ,Ⅱ -Ⅱ,III-III
截面的轴力并作轴力图
F1FN1
)(kN20
0
1N
1N1
F
FF
63
(Axial tension & Compression,Shear)
F2
F1FN2
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
)(kN15
0
2N
2N21
F
FFF
FRD FN3
)(kN50
0
3N
R3N
F
FF D
64
(Axial tension & Compression,Shear)
FN2 =-15kN （ -）
FN1 =20kN （ +）
FN3 =- 50kN （ -）
15
+
-
20
50
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
65
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 杆的最大正应力?max
AB段
DC段
BC段
FN2 =-15kN ( - )
FN1 =20kN （ +）
FN3 =- 50kN ( - )
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
)(M Pa.N 81 7 6
1
1
A
F
AB?
)(M Pa.N 674
2
2
A
F
BC?
)(M Pa.N 51 1 0
3
3
A
F
DCmax = 176.8MPa
发生在 AB段,
66
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 3） B截面的位移及 AD杆的变形
F1F
2
F3
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
l1l2l3
ABC
D
FRD
m102,5 3Δ 4-N
1
11
EA
lFl
AB m101,4 2Δ
4-N
2
22
EA
lFl
BC
m101,5 8Δ 4-N
3
33
EA
lFl
CD - 0,3m mΔΔ BCCDB llu
mm10- 0,4 7ΔΔΔΔ 4- CDBCABAD llll
67
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成,已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成?=30° 的角度,长度均为 l = 2m,直径均为 d=25mm,
钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物 F=100 kN,试求
A点 的位移?A.
A
B C
1 2
68
(Axial tension & Compression,Shear)
A
B C
1 2
解,（ 1） 列平衡方程,求杆的轴力
F
y
FN1 FN2
A
1 2
x
0c o sc o s0
0s i ns i n0
2N1N
1N2N
FFFF
FFF
y
x
c o s22N1N
FFF
69
(Axial tension & Compression,Shear)
A''
（ 2）两杆的变形为变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起,
A
B C
1 2
A
B C
1 2
（伸长）?c o s
ΔΔ N EA FlEA lFll 21121
70
(Axial tension & Compression,Shear)
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A?,
即为 A点的新位置,AA? 就是 A点的位移,
A''
A
B C
1 2
A2 A1
A
l?1
1 2
因变形很小,故可过 A1,A2 分别做两杆的垂线，相交于 A?
A?
可认为
A'
AAAA )(mm293.1
c o s2c o s
ΔΔ
2
1
EA
FllAA
A
71
(Axial tension & Compression,Shear)
F
A
FN1
FN2
x30°
y
A1l?1
例题 7 图示三角形架 AB和 AC 杆的弹性模量 E=200GPa
A1=2172mm2,A2=2548mm2,求 当 F=130kN时节点的位移,
2m
A
B
C
F
30°
1
2
解,(1)由平衡方程得两杆的轴力
FF
FF
732.1
2
2N
1N
1 杆受拉,2 杆受压 A2 l?2
mm.Δ
mm.Δ
N
N
7 6 50
1 9 81
2
22
22
1
11
11
EA
lF
lAA
EA
lF
lAA
（ 2）两杆的变形
72
(Axial tension & Compression,Shear)
30°
A
A1
A2
l?1l?2
A'
30°
AA3 为所求 A点的位移
A1l?1
2m
A
B
C
F
30°
1
2 A2 l?2
A3
30c o s
Δ 12
22
l
l
AAAAAA
30s i n30t a nt a n 3 0
122
32
llAA
AA
mm.)()( 783232223 AAAAAA
73
(Axial tension & Compression,Shear)
一、静定与超静定问题
(Statically determinate & indeterminate problem)
§ 2-6 拉压超静定问题
(Statically indeterminate problem of
axially loaded members)
1.静定问题 (Statically determinate problem)
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题,
2.超静定问题 (Statically indeterminate problem)
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题,
74
(Axial tension & Compression,Shear)
1.超静定的次数 (Degrees of statically indeterminate problem )
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数,
二、超静定问题求解方法 (Solution methods for
statically indeterminate problem）
2.求解超静定问题的步骤 (Procedure for solving a statically
indeterminate)
（ 1）确定静不定次数；列静力平衡方程
（ 2）根据变形协调条件列变形几何方程
（ 3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程
（ 4）联立补充方程与静力平衡方程求解
n = 未知力的个数 －独立平衡方程的数目
75
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 8 设 1,2,3 三杆用绞链连结如图所示,l1 = l2 = l,A1 = A2
= A,E1 = E2 = E,3杆的长度 l3,横截面积 A3,弹性模量 E3 。
试求在沿铅垂方向的外力 F作用下各杆的轴力,
C
A
B D
F
1 2
3
三、一般超静定问题举例
(Examples for general statically indeterminate problem)
x
y
F
A
FN2FN3FN1
解,（ 1）列平衡 方程
210 NN FFF x
0c o s
c o s0
3N2N
1N
FFF
FF
y
这是一次超静定问题 ﹗
76
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 变形几何方程由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后 A点将沿铅垂方向下移,变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起 ﹗
C
A
B D
F
1 2
3
x
y
F
A
FN2FN3FN1
C
A
B D
1 2
3
A'
77
(Axial tension & Compression,Shear)
3lΔ
变形几何方程为
A
1 23
C
A
B D
F
1 2
3
C
A
B D
1 2
3
A'
A'
1lΔ
c o sΔΔ 31 ll?
1
11
1 EA
lFl NΔ?
33
3
3 AE
lFl?c o sΔ N?
（ 3）补充方程?
2
33
31 c o sNN AE
EAFF?
物理方程为
78
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 4）联立平衡方程与补充方程求解 C
A
B D
F
1 2
3
3lΔ
A
1 23
A'
1lΔ
233
21
21
c o s
c o s
NN
AE
AE
F
FF
21 NN FF?
0321 FFFF NNN c o sc o s
2
33
31 c o sNN AE
EAFF?
2
33
3
21 c o s
N
AE
EA
F
F
79
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 9 图示平行杆系 1,2,3 悬吊着刚性横梁 AB，在横梁上作用着荷载 F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为 A，
l,E.
试求三杆的轴力 FN1,FN2,FN3.
AB C
F
3 aal 2 1
80
(Axial tension & Compression,Shear)
AB C
F
3 aal 2 1
F
AB C
3 aa 2 1
FN1FN2FN3
Fx
解：（ 1） 平衡方程
0xF 0?xF
0yF
0
3N2N1N
FFFF
0BM
这是一次超静定问题,且假设均为拉杆,
02 21 aFaF NN
81
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 变形几何方程物理方程
AB C
F
3 aal 2 1 A?
B? C?
l?3 l?2 l?1
AB C
3 2 1
231 2 lll ΔΔΔ
1
11
1 EA
lFl NΔ?
EA
lFl 3
3
NΔ?
EA
lFl 2
2
NΔ?
（ 3） 补充方程
231 2 NNN FFF
82
(Axial tension & Compression,Shear)
AB C
F
3 aal 2 1 A?
B? C?
l?3 l?2 l?1
AB C
3 2 1
（ 4）联立平衡方程与补充方程求解
N2N3N1 FFF 2
0?xF 0 FFFF N3N2N1 02 N2N1 aFaF
6/5
3/
6/
N3
N2
N1
FF
F
FF
83
(Axial tension & Compression,Shear)
图示杆系,若 3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力,3杆的轴力为拉力,1,2杆的轴力为压力,这种附加的内力就称为装配内力,与之相对应的应力称为 装配应力
(initial stresses),
A?
四、装配应力 (Initial stresses)
(Statically indeterminate
structure with a misfit)
A
B CD
21 3
l
84
(Axial tension & Compression,Shear)
A?
A
B CD
21 3
l
l?3
l?1
3lΔ 代表杆 3的伸长
1Δl 代表杆 1或杆 2的缩短
代表装配后 A点的位移
（ 1） 变形几何方程
3Δ l Δ 1Δ
c os
lΔ
c o s
ΔΔ 1
3
ll
（ 2） 物理方程
33
3
11
1 AE
lF
l
AE
l
F
l N3
N1
Δc o sΔ
85
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 3）补充方程
A?
A
B CD
21 3
l
l?3
l?1
2
1133 c o s
N1N3
AE
lF
AE
lF
（ 4） 平衡方程
0c o sc o s
0s i ns i n
N2N1N3
N2N1
FFF
FF
FN3 FN2F
N1
FN1,FN2,FN3
（ 5）联立平衡方程与补充方程求解
86
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 10 两铸件用两根钢杆 1,2 连接,其间距为 l =200mm,现要将制造得过长了?e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距 a,试计算各杆内的装配应力,已知：钢杆直径 d=10mm,铜杆横截面积为 20?30mm的矩形,钢的弹性模量
E=210GPa,铜的弹性模量 E3=100GPa,铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体,
A
B
C
1
2
a
a
B1
A1
C1
l
3
C1 C'
e
87
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）变形几何方程为
l
3
C1
e
C''
l3
A
B
C
1
2
B1
C1
A1
l1?l2=
ell ΔΔΔ 31
88
(Axial tension & Compression,Shear)
x（ 3）补充方程
（ 4）平衡方程
EA
lFl 1
1
N1Δ?
33
3 AE
lFl N3Δ?（ 2）物理方程
AE
lFe
AE
lF N1N3 Δ
33
C'
A'
B'
FN3
FN1
FN2
0 N2N1N3 FFF N2N1
FF?
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力,
89
(Axial tension & Compression,Shear)
五、温度应力 (Thermal stresses or temperature stresses)
例题 11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结,设两支承的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量为 E,线膨胀系数为?,试求温度升高?T 时杆内的 温度应力,
温度变化将引起物体的膨胀或收缩,静定结构可以自由变形,
不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力称为 热应力 (thermal stresses)或 温度应力 (temperature stresses).
A B
l
90
(Axial tension & Compression,Shear)
解,这是一次超静定问题变形相容条件是杆的总长度不变,
杆的变形为两部分,
即由温度升高引起的变形
lT 以及与轴向压力 FR相应的弹性变形?lF
A B'
lT
A B
l
B'
0?lΔ
A B
lF
FRA F
RB
91
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）变形几何方程
（ 3）补充方程
（ 4）温度内力
A B
l
A B'
lT
0 FT lll ΔΔΔ
EA
lFl B
F
RΔ?
lTl lT ΔΔ?
（ 2）物理方程由此得温度应力
EA
lFlT B
l
RΔ
TEAF lB ΔR TE
A
F
l
B
T Δ
R
B'A B
lF
FRA F
RB
92
(Axial tension & Compression,Shear)
一、基本概念和实例 (Basic concepts and examples)
1.工程实例 (Engineering
examples)
（ 1） 螺栓连接 (Bolted connections)
§ 2-7 剪切变形 (Shear deformation)
（ 2） 铆钉连接 (Riveted connections)
F F
螺栓 (bolt)
F F
铆钉 (rivet)铆钉
93
(Axial tension & Compression,Shear)
m
轴 (shaft)
键 (key)
齿轮 (gear)
（ 3） 键块联接 (Keyed connection)
（ 4） 销轴联接 (Pinned connection)
F
F
A
B
d
1?1
94
(Axial tension & Compression,Shear)
n n
（合力）
（合力）
F
F
2.受力特点 (Character of external force)
以铆钉为例构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用,
3.变形特点 (Character of deformation)
构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动,
95
(Axial tension & Compression,Shear)
4.连接处破坏三种形式,
(Three types of failure in connections)（ 1）
剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断,如沿 n-n面剪断,
（ 2） 挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏,
（ 3）拉伸 破坏钢板在受铆钉孔削弱的截面处，
应力增大，易在连接处拉断,
F
n n
FS
剪切面
(shearing plane)
n n
（合力）
（合力）
F
F
96
(Axial tension & Compression,Shear)
m m
F
剪切面
FS
二、剪切的应力分析
(Analysis of shearing stress)
1.内力计算 (Calculation of internal force)
FS - 剪力 (shearing force)
F
F
m m
00 S FFF x
FF?S
2.切应力 （ Shearing stress）
A
FS
式中,FS - 剪力 (shearing force)
A-剪切面的面积 (area in shear)
97
(Axial tension & Compression,Shear)
3.强度条件 (Strength condition)
[?] 为材料的许用切应力 (Allowable
shearing stress of a material)
(factor of safety)
m m
F
剪切面
F
F
m m A
F S
n
u][
n - 安全因数
- 剪切极限 应力u?
(ultimate shearing stress)
98
(Axial tension & Compression,Shear)
螺栓与钢板相互接触的侧面上,发生的彼此间的局部承压现象,称为 挤压 (bearing).
三、挤压的应力分析
(Analysis of bearing stress) FF
F F
在接触面上的压力,称为 挤压力 (bearing force),并记为 F
挤压面剪切面
1.挤压力 (Bearing force) F = FS
99
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 1）螺栓压扁
（ 2）钢板在孔缘压成椭圆
2.挤压破坏的两种形式 (Two types of bearing failure)
FF
3.挤压应力 (Bearing stress)
bs
bs
bs A
F
A
F
bs
bs
F -挤压力 (bearing force)
Abs -挤压面的面积 (area in bearing)
4.强度条件 (Strength condition)
[?bs]-许用挤压应力 (allowable bearing stress)
100
(Axial tension & Compression,Shear)
挤压现象的实际受力如图 所示,
（ 1）当接触面为圆柱面时,挤压面积
Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积
d
h
实际接触面直径投影面挤压面的面积计算
bsA d h
（ 2）当接触面为平面时,Abs 为实际接触面面积,
101
(Axial tension & Compression,Shear)
四、强度条件的应用 (Application of strength conditions)
bsbs?
F
A?
bsbs
[]?SF A?
(Check the intensity)1.校核强度
(Determine the allowable dimension)2.设计截面
AF bsbs ][
SFA
(Determine the allowable load)3.求许可载荷
4.破坏条件 (failure condition) u
102
(Axial tension & Compression,Shear)
解,（ 1） 键的受力分析如图例 题 12 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径 d=70mm,键的尺寸为
b× h× L=20 × 12 × 100mm,传递的扭转力偶矩 Me=2kN·m,键的许用切应力为 [?]= 60MPa,许用挤压应力为 [?bs]= 100MPa.试校核键的强度,
b
h
l
Me
d
F
Me h
e2 M
dF kNe 57
1070
10222
3
3
dMF
103
(Axial tension & Compression,Shear)
综上,键满足强度要求,
（ 2） 校核 剪切强度
（ 3）校核 挤压强度
M Pa6.281010020 1057 63S blF
A
F
FF?S
bs
bs
bs M Pa,
395106100
1057
2 6
3
hl
F
A
F
Me
d
F
b
h
l
A
104
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 13 一销钉连接如图 所示，
已知外力 F=18kN,被连接的构件
A 和 B 的厚度分别为?=8mm 和
1=5mm,销钉直径 d=15mm,
销钉材料的许用 切 应力为
[?] = 60MPa,许用挤压应力为
[?bs]= 200MPa,试校核销钉的强度,
1
F
F
A
1
B
d
105
(Axial tension & Compression,Shear)
1
F
F
A
1
B
d
解,（ 1）销钉受力如图 b所示
d
2
F2F
F剪切面挤压面
106
(Axial tension & Compression,Shear)
d
2
F2F
F
挤压面
F
FS FS
（ 2）校核剪切强度
2S
FF?由截面法得两个面上的 剪力剪切面积为? 2
4
dA
M Pa51SAF
（ 3）挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度为?的中间段进行挤压强度校核,
1? 2
bs
bs
bs M Pa 1 5 0td
F
A
F
故销钉是安全的,
剪切面
107
(Axial tension & Compression,Shear)
D
d
h
F
（ 1）销钉的剪切面面积 A
（ 2）销钉的挤压面面积 Abs
思考题
108
(Axial tension & Compression,Shear)
挤压面
D
d
h
F
挤压面剪切面
22
bs
π ( )
4
DdA
d
πA d h?
109
(Axial tension & Compression,Shear)
例 14 冲床的最大冲压力 F=400kN,冲头材料的许用压应力
[?]=440MPa,钢板的 剪切强度极限?u=360MPa,试求 冲头能冲剪的最小孔径 d和最大的钢板厚度?,
冲头
d
钢板冲模
F
110
(Axial tension & Compression,Shear)
F
解：（ 1） 冲头为轴向压缩变形
d=34mm
冲头
d
钢板冲模
F
剪切面
F
2 4F FdA
111
(Axial tension & Compression,Shear)
F
解,（ 2） 由钢板的剪切破坏条件
δ=10.4mm
冲头
d
钢板冲模
F
剪切面
F
2 4F FdA
112
(Axial tension & Compression,Shear)
例题 15 一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板,钢板与铆钉材料相同,铆钉直径 d =16mm,钢板的尺寸为 b =100mm,
=10mm,F = 90kN,铆钉的许用应力是 [?] =120MPa,
[?bs] =120MPa,钢板的许用拉应力 [?]=160MPa,试校核铆钉接头的强度,
F
F
113
(Axial tension & Compression,Shear)
F Fb
F
F
114
(Axial tension & Compression,Shear)
解：（ 1） 校核铆钉的剪切强度 每个铆钉受力为 F/4
每个铆钉受剪面上的剪力为
F Fb
F/4
F/4
剪切面
kN5.224S FF
SS 2 1 1 2 MP a4FF dA
115
(Axial tension & Compression,Shear)
（ 2） 校核铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为 F/4
F/4
F/4
剪切面挤压面
b s b s
bs
4 1 4 1 MP a
FF
Ad
（ 3）校核钢板的拉伸强度
F
F/4
F/4
F/4
F/4
+
F3F/4
F/4
116
(Axial tension & Compression,Shear)
整个接头是安全的
F
F/4
F/4
F/4
F/4
1
1
2
2
M Pa)(
N
1-1 1 0 7
1
1
tdb
F
A
F
M Pa.)(N2-2 3992 43
2
2
tdb
F
A
F
