Chapter 3 Torsion
(Torsion)
第三章 扭 转 (Torsion)
§ 3-1 扭转的概念和实例
(Concepts and example problem of torsion)
§ 3-2 扭转内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
§ 3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion in thin— wall circular tube)
§ 3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition)
(Torsion)
§ 3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
(Free torsion of open and closed thin-
walled members)
§ 3-5 圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
(Torsional deformation of circular bars &
stiffness condition)
§ 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形
(Calculation of the stress and deformation
in close-coiled helical springs)
§ 3-7 非圆截面杆的扭转
(Torsion of noncircular prismatic bars)
(Torsion)
§ 3-1 扭转的概念及实例
(Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例 (Example problems)
(Torsion)
(Torsion)
MeMe
二、受力特点 (Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,
三、变形特点 (Character of deformation)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,
(Torsion)
§ 3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
从动轮 主动轮 从动轮一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
Me— 作用在轴上的力偶矩 ( N · m )
P— 轴传递的功率 (kW)
n—轴的转速 ( r/min )
/
kWe Nm
r m i n
9 5 4 9
P
M
n
nMe2
Me1 Me3
(Torsion)
Me
在 n-n 截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算 (Calculation of internal force)
1.求内力 (Calculating internal force)
截面法 (Method of sections)
T
0 xM
eMT?
Me Me
(Torsion)
Me
x
n
n
Me Me
x
T
Me
x
T
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负,
2.扭矩符号的规定
(Sign convention for torque)
3.扭矩图 (Torque diagram)
用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置 ;用垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x
轴下方,T
x
+
_
(Torsion)
Me4
A
B C D
Me1
Me2 Me3 n
例题 1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min,主动轮 A输入的功率为 P1 = 500 kW,若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为 P2 = 150 kW,P3 = 150 kW,P4 = 200 kW,
试做扭矩图,
(Torsion)
解,计算外力偶矩
/
kwe
r min
9 5 4 9
p
M
n
mN6366
mN5.4774
mN15915
4e
3e2e
1e
M
MM
M
Me4
A
B C D
Me1
Me2 Me3 n
(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩,假设 T 2为正值,
结果为负号,说明 T 2 应是负值扭矩由平衡方程
AB C D
Me1Me3Me2
2
2
0
0
23e2e
TMM
M x
mN95 493e2e2 MMT
同理,在 BC 段内
mN5.47742e1 MT
B C
x
Me2 Me3 T
2
Me4
Me2
x1T
(Torsion)
AB C D
同理,在 BC 段内在 AD 段内 1
1 3
3
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同,
Me4Me1Me3Me2
Me2
Me4
mN5.47742e1 MT
mN6 36 64e3 MT T1 T
3
作出扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
6366 N·m
+
_从图可见,最大扭矩在 CA段内,
mN9 54 9m a xT
(Torsion)
§ 3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)
1.实验前
（ 1）画纵向线,圆周线 ;
（ 2）施加一对外力偶,
一、应力分析 (Analysis of stress)
薄壁圆筒：壁厚 （ r0— 圆筒的 平均半径）010
1 r
dx
x
Me Me
2.实验后
（ 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
（ 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度? ；
（ 3） 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形,
(Torsion)
3.推论 (Inference)
（ 1）横截面上无正应力，只有切应力；
（ 2）切应力方向垂直半径或与圆周相切,
dx δ
圆周各点处切应力的方向于圆周相切,
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化,
Me Me
A
B
D
C
(Torsion)
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式,
4.推导公式 (Derivation of formula)
()d d 2 πAAA r r A r r T
2π2 r
T
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致,
T
τ
τ
(Torsion)
xdy
dx
y
z
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
ττ
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行,
两侧面的内力元素? dy dz
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶,
由平衡方程
0 yF
其矩为 (?dy dz) dx
(Torsion)
x
y
dy
z dx
ττ
2,要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得
(? dy dz) dx
00 xz FM
zyx d)dd(
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem)
单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,
都指相（或背离）该两平面的交线,
4.纯剪切单元体 (Element in pure shear)
单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体,
(Torsion)
Me Me
l
式中,r 为薄壁圆筒的外半经,
三、剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与
Me （在数值上等于 T ）成正比,
l
r
(Torsion)
三个弹性常数的关系
T
O?
从 T 与? 之间的线性关系,可推出?与?间的线性关系,
该式称为材料的 剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
G –剪切弹性模量
l
r
r
T
2π2
G?
)1(2
EG
O
(Torsion)
思考题：指出下面图形的切应变
2?切应变为 切应变为 0
(Torsion)
变形几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式
deformation
geometric
relation Distribution regularity
of deformation
Distribution
regularity of stress
Establish the formula
Examine the deformation
then propose the hypothesis
physical
relation
static
relation
§ 3-4 圆杆扭转的应力分析 ·强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition)
(Torsion)
1.变形现象
(Deformation phenomenon)
（ 1） 轴向线仍为直线,且长度不变；
（ 2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；
一、变形几何关系 (Geometrical
Relationship of Deformation)
（ 3） 径向线保持为直线,只是绕轴线旋转,
2.平面假设 (Plane assumption)
变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面,
(Torsion)
a
a
b
b
dx
O1 O2
3.几何关系 (Getrical relationship)
倾角? 是横截面圆周上任一点 A处的切应变,d?是
b-b截面相对于 a-a 截面象刚性平面一样绕杆 的 轴 线 转动的一个角度,
经过半径 O2D 上任一点 G的 纵向线 EG 也倾斜了一个角度
r,也就是横截面半径上任一点 E处的切应变
' dt a n
drr
r GG
xEG
T T
d?A
D
G'
ρ
ρ
D'
G
E
(Torsion)
同一圆周上各点切应力?r均相同,且其值与 r成正比,?r 与半径垂直,
二,物理关系 (Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G?
xGG d
d?r
rr
a
a
b
A T T
dx
D
b
d?
DO1 O2
G
G'
ρ
ρ
(Torsion)
r
O
dA
dA
ρ
ρ
T
三、静力关系 (Static Relationship)
1.公式的建立 (Establish the formula)
TAA drr?
TAxφρGρA ddd
TAxG A ddd 2r? p2 d IAρA
结论
pd
d
GI
T
x?
ρ
ρ
代入物理关系中得到
PI
Tr?
r?
式中,T — 横截面上的扭矩
r — 求应力的点到圆心的距离
Ip — 横截面对圆心的 极惯性矩
(Torsion)
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
2,的计算 (Calculation of?max)max?
t
ma x
pp
ma x
ma x W
T
I
T
I
T
r
r
m a x
p
t r
IW? r
O
TdA
dA
ρ
ρ
ρ
max
(Torsion)
（ 1）实心圆截面
d O
3.极惯性矩和 抗扭截面系数的计算 (calculating the polar
moment of inertia §ion modulus under torsion)
)d(π2d rr?A
32
πdπ2d 42
0
32
p
dAI d
A rrr
16
π
2/
32/π 34
ma x
p
t
d
d
dIW
r
ρ dρ
OD d
ρ
dρ
（ 2）空心圆截面
32
)1(π 44
p
DI
)1(16π 4
3
t
DW 其中 D
d
(Torsion)
例题 2 图示空心圆轴外径 D=100mm,内径 d=80mm,M1=6kN·m,
M2=4kN·m,材料的切变模量 G=80GPa.
（ 1） 画轴的扭矩图；
（ 2） 求轴的最大切应力,并指出其位置,
M1 M2
A B C
l l
(Torsion)
解,（ 1）画轴的扭矩图 M
e1 Me2
A B C
l l
BC段
1
Me2
C
T1
T1+Me2=0
2
Me2
C
Me1
B
T2
T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m
AB段
（ +）
（ -）T1 = -4kN·m
最大扭矩发生在 BC段
Tmax=4kN·m
4kN·m
2kN·m
+
_
(Torsion)
T
（ 2）求轴的最大切应力,
并指出其位置
max
最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径,
t
m a x
m a x W
T
M1 M2
A B C
l l
M Pa5.34
)1(
16
π 43
ma x?
D
T
max
(Torsion)
1,数学表达式
(Mathematical formula)
四、强度条件 (Strength Condition)
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
强度校核
(Check the intensity)
设计截面
(Determine the required
dimensions)
确定许可载荷
(Determine the allowable load)
][
t
m a x
m a x W
T
][
t
m a x
W
T
][
ma x
t?
TW?
][tma x?WT?
(Torsion)
A B C
解,作轴的扭矩图
MeA MeB M
eC
22 kN·m
14 kN·m
+
_
分别校核两段轴的强度例题 3 图示阶梯圆轴,AB段的直径 d1=120mm,BC 段的直径
d2=100mm.扭转力偶矩为 MA = 22 kN·m,MB = 36 kN·m,MC =14
kN·m,已知材料的许用切应力 [?] = 80MPa,试 校核该轴的强度,
][M Pa84.64
16/)12.0(π
1022
16/π 3
3
3
1
1
t1
1
ma x1
d
T
W
T
][M Pa3.71
16/)1.0(π
1014
16/π 3
3
3
2
2
2t
2
ma x2
d
T
W
T
因此,该轴满足强度要求,
(Torsion)
例题 4 实心圆轴 1和空心圆轴 2（图 a,b）材料,扭转力偶矩 M
和长度 l均相等,最大切应力也相等,若空心圆轴的内外径之比
= 0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比,
2ma x1ma x
l
l
(a)
(b)
分析：设实心圆截面直径为 d1,空心圆截面的内、外径分别为 d2,D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，
设为 T,
已知：
2t
2ma x
1t
1ma x W
T
W
T
d
d2 D2
(Torsion)
2t1t W
T
W
T?
16
)1(π
16
π 43231
2t1t
DdWW
因此 ()3 3 412 1
1 6 1 6
dD
解得 194.18.01
13
4
1
2?
d
D
两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比
512.0)8.01(194.1
)1(
4
π
)(
4
π
22
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2
d
D
d
dD
A
A?
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料,
(Torsion)
1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角?来度量的
§ 3-5 杆在扭转时的变形 ·刚度条件
(Torsional deformation of circular bars &
stiffness condition)
一、扭转变形 (Torsional deformation)
其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角,
长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角? 可按下式计算
pd
d
GI
T
x?
xGIT
ll
dd
p
(Torsion)
3.刚度条件 （ Stiffness condition)
2.单位长度扭转角 (Angle of twist per unit length)
— 扭转角
GIp 称作抗扭刚度? p
Tl
GI?
()
p
r a d mTl G I
][ma x
[ ] ( )maxmax
p
r a d mTGI
称作许可 单位长度扭转角
(Allowable angle of twist per unit length)
][
(Torsion)
例题 5 图示等直杆,已知直径 d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量 G=80GPa,?DB=1°,试求：
（ 1） AD杆的最大切应力 ;
（ 2）扭转角?CA
a a 2a
Me 2Me 3Me
ABCD
+Me
2Me
3Me
解：画扭矩图计算外力偶矩 Me
DB=? CB+? DC=1°
Tmax= 3Me
1π180)2(
p
e
p
e
GI
aM
GI
aM
(Torsion)
（ 1） AD杆的最大 切 应力
M Pa7.69
t
ma x
ma x W
T?
mkN2 9 2eM
（ 2）扭转角?CA
33.2
π
1 8 0
)
23
(
p
e
p
e
GI
aM
GI
aM
CBBACA a a 2a
Me 2Me 3Me
ABCD
+Me
2Me
3Me
(Torsion)
例题 6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成,钢管外径 D=76mm,壁厚2.5mm,轴传递的转矩 Me=1.98kN·m,
材料的许用切应力 [?] = 100MPa,切变模量为 G = 80GPa,
轴的 许可 扭角 [?′] = 2?/m,试校核轴的 强度和刚度,
Dd
Me Me
(Torsion)
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比由强度条件由刚度条件
.2 0 9 3 4 dDDD
34p
t mm1006.22/ D
IW
][M Pa1.96
t
ma x
ma x W
T
(),44 54
p
π1 7 8 3 1 0 m m
32
DI?
,/ [ ]maxmax
p
180 1 8 1 m
π
T
GI
mkN98.1e MT
Dd
Me Me
(Torsion)
将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使?max=96.1MPa
d=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比,
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料,
M Pa1.9616/π 3ma xma x dT?
其截面面积为
2
2
mm1 7 4 94π dA 实空心轴的截面面积为
2
22
mm5 7 74 )7176(π空A
3 2 9.01 7 4 95 7 7
1
2
A
A
(Torsion)
例题 7 两端固定的圆截面杆 AB,在截面 C处受一个扭转力偶矩 Me
的作用,如图所示,已知杆的抗扭刚度 GIp,试求杆两端的支反力偶矩,
C
Me
a b
A B
l
(Torsion)
解,去掉约束,代之以约束反力偶矩这是一次超静定问题,
须建立一个 补充方程
A C B
MeMeA MeBC截面相对于两固定端
A和 B的相对扭转角相等,
杆的变形相容条件是
0
0
eee
MMM
M
BA
x
C
Me
a b
A B
l
(Torsion)
C
Me
a b
A B
l
（ 1）变形几何方程
（ 2）由物理关系建立补充方程解得
BCAC
1
pp
AC
T a M a
G I G I
e A
P
e
P
2
GI
bM
GI
bT B
BC
b
aMM A
B
e
e?
0eee MMM BA
lMaM
lMbM
B
A
/
/
e
e
A C B
MeMeA MeB
AC=?BC
(Torsion)
例题 8 图 示一长为 l 的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度
GaIpa,GbIpb,当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为 Me 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩,
Me Me
l
A B
(Torsion)
解：列平衡方程这是一次超静定问题,
变形相容条件是内、外杆的扭转变形应相同,
变形几何方程是
e
0x
ab
M
M M M
BA
物理关系是
pp
ab
AB
a a b b
M l M l
G I G I
Me
Me Me
l
A B
MaMb
(Torsion)
代入变形几何方程,得补充方程
p
p
aa
ab
bb
GI
MM
GI
p
pp
aa
a
a a b b
GI
M
G I G I
p
pp
bb
b
a a b b
GI
M
G I G I
Mb
MaMe
BA
Me Me
l
A B
(Torsion)
弹簧的螺旋角5°,且 D>>d,
这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧,推导这种弹簧的应力与变形的计算公式,
§ 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形
(Calculation of the stress and deformation in
close-coiled helical springs)
一、弹簧丝横截面上的应力
1.内力的计算
(Calculation of internal force)
( a ) P
R
d
F(Calculation of the stress on
spring wire cross section)
(Torsion)
簧丝的横截面上有两个内力分量即
( a )
R
d
P P
Q
T
( b )
FS T
F PF
作为近似计算,通常可略去与剪力 FS相应的?,且 D/d 很大时,
还可略去 簧圈曲率的影响,所以簧杆横截面上最大切应力为
33
t
ma x π
8
16/π
2/
d
FD
d
FD
W
T
2.应力的计算
(Calculation of stress)
2S
FDTFF
为便于分析,将杆的斜度视为 0°
截面法
(Torsion)
公式修正的原因,（ 1）当 D/d 较小,会引起很大的误差 ;
（ 2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的,
33ma x π
8
π
8)615.0
44
14(
d
FDk
d
FD
cc
c
式中 cc
ck
d
Dc 615.0
44
14,?
c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表 3.1
3.强度条件 (Strength condition)
][ma x
(Torsion)
( a )
R
d
P P
Q
T
( b )
FS T
F PF
若只考虑簧杆扭转的影响，
可得簧杆内的应变能为二、弹簧的变形
(Deformation of the spring)
2
ε
p2
Tl
GI
2
FDT?
Dnl π
23
ε 4
4 F D n
Gd?
1,应变能的计算
(Calculation of strain energy)
(Torsion)
3.功能原理 Vε = W
(Work-energy principle)
当弹簧的变形为 l时，外力所做的功为 F
O l l
2.外力做的功 (Work of the external force)
lFW 21?
4
324
2
1
Gd
nDFF?l
4
3
4
3 648
Gd
nFR
Gd
nFDl
nR
Gd
nD
Gdc
3
4
3
4
648令
c
F?l得
c — 弹簧刚度
(Torsion)
例题 9 某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经 R=59.5 mm,簧丝横截面直径 d=14mm,有效圈数 n=5,材料的 [?] = 350MPa,G=80GPa,弹簧工作时总压缩变形（包括预压 变形） 为 l=55mm
试校核弹簧的强度,
解：求出弹簧所受的压力 F为 N2 5 1 0
)105.59(64
)1014)(1080)(1055(
64 3
4393
3
4
nR
GdF l
由 R及 d求出 5.81014
)105.59(22
3
3
d
R
d
Dc
查表 3.1查处弹簧的曲度系数 k=1.17
][M P a325
Pa10325
)1014(
1025.592 5 1 0(8
17.1
π
8 6
3
3
3ma x
d
FD
k
弹簧满足强度要求,
(Torsion)
§ 3-7 非圆截面杆的扭转
(Torsion of noncircular prismatic
bars)
非圆杆,如矩形截面杆扭转后横截面将发生 翘曲 (warping)
而不再是平面,
一、基本概念 (Basic concepts)
(Torsion)
（ 2）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同,这将在横截面上引起附加的正应力,这一情况称为 约束扭转 (constraint torsion).
（ 1）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲 (warping),但当等直杆在两端受外力偶作用,且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同,横截面上仍然只有切应力而没有正应力,这一情况称为 纯扭转
(pure torsion),或 自由扭转 (free torsion).
(Torsion)
b
h
T
矩形截面扭转时,横截面切应力如图所示,边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流,
整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点,
二、矩形截面 (Rectangular cross section)
3tI βhb?
m ax
短边中点的切应力?是短边上的最大切应力,且 ma x
t
m a x W
T
tGI
Tl
max?
2t hbW
(Torsion)
h
δ
切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等,
三、狭长矩形 （ Long narrow rectangle)
狭长矩形截面的 It 和 Wt
狭长矩形截面上切应力的分布情况见图
3
t 3
1?hI? 2
t 3
1?hW?
表 3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数 α β ν
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.256 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
ν 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
(Torsion)
例题 10 一矩形截面的等直钢杆,其横截面尺寸 h=100mm,b =
50mm,长度 l = 2m,在杆两端作用一对矩 M = 4 kN·m 的扭转力偶,钢的许用切应力 [?] = 100 MPa,切变模量 G = 80GPa,许可 单位长度扭转角 [?′]=1?/m,试 校核该杆的强度和刚度,
解：横截面上的扭矩由表 3-1 查得
mkN4 MT
229.0246.0
4833t m1028605.01.0229.0 hbI?
3622t m106.6105.01.0246.0 hbW?
][M Pa65106.61 4000 6
t
ma xW
T
][/m1r a d / m0 1 7 4 5.0102861080 4000 89
t
GI T
(Torsion)
一、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图 （ a）,
厚度中点处,切应力为零；
§ 3-8 薄壁杆件的自由扭转
（ Free torsion of thin- walled members)
二、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图
（ b）,同一厚度处,切应力均匀分布,
T
图 (a)
T
图 (b)
(Torsion)
r
r 22)d( dsT
mi nma x 2
T?
r? dd21 s为厚度中线所包围面积例 12 图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为,a=50 mm
b=75mm，厚度?=5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000N·m,试求此杆的最大切应力,
b
a解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大切应力
m ax
m in22 π
M P a
TT
ab
-9
5000
42.5
2 π×5 ×5 0 ×7 5 ×1 0
(Torsion)
第三章 扭 转 (Torsion)
§ 3-1 扭转的概念和实例
(Concepts and example problem of torsion)
§ 3-2 扭转内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
§ 3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion in thin— wall circular tube)
§ 3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition)
(Torsion)
§ 3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
(Free torsion of open and closed thin-
walled members)
§ 3-5 圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
(Torsional deformation of circular bars &
stiffness condition)
§ 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形
(Calculation of the stress and deformation
in close-coiled helical springs)
§ 3-7 非圆截面杆的扭转
(Torsion of noncircular prismatic bars)
(Torsion)
§ 3-1 扭转的概念及实例
(Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例 (Example problems)
(Torsion)
(Torsion)
MeMe
二、受力特点 (Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,
三、变形特点 (Character of deformation)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,
(Torsion)
§ 3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
从动轮 主动轮 从动轮一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
Me— 作用在轴上的力偶矩 ( N · m )
P— 轴传递的功率 (kW)
n—轴的转速 ( r/min )
/
kWe Nm
r m i n
9 5 4 9
P
M
n
nMe2
Me1 Me3
(Torsion)
Me
在 n-n 截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算 (Calculation of internal force)
1.求内力 (Calculating internal force)
截面法 (Method of sections)
T
0 xM
eMT?
Me Me
(Torsion)
Me
x
n
n
Me Me
x
T
Me
x
T
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负,
2.扭矩符号的规定
(Sign convention for torque)
3.扭矩图 (Torque diagram)
用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置 ;用垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x
轴下方,T
x
+
_
(Torsion)
Me4
A
B C D
Me1
Me2 Me3 n
例题 1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min,主动轮 A输入的功率为 P1 = 500 kW,若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为 P2 = 150 kW,P3 = 150 kW,P4 = 200 kW,
试做扭矩图,
(Torsion)
解,计算外力偶矩
/
kwe
r min
9 5 4 9
p
M
n
mN6366
mN5.4774
mN15915
4e
3e2e
1e
M
MM
M
Me4
A
B C D
Me1
Me2 Me3 n
(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩,假设 T 2为正值,
结果为负号,说明 T 2 应是负值扭矩由平衡方程
AB C D
Me1Me3Me2
2
2
0
0
23e2e
TMM
M x
mN95 493e2e2 MMT
同理,在 BC 段内
mN5.47742e1 MT
B C
x
Me2 Me3 T
2
Me4
Me2
x1T
(Torsion)
AB C D
同理,在 BC 段内在 AD 段内 1
1 3
3
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同,
Me4Me1Me3Me2
Me2
Me4
mN5.47742e1 MT
mN6 36 64e3 MT T1 T
3
作出扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
6366 N·m
+
_从图可见,最大扭矩在 CA段内,
mN9 54 9m a xT
(Torsion)
§ 3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)
1.实验前
（ 1）画纵向线,圆周线 ;
（ 2）施加一对外力偶,
一、应力分析 (Analysis of stress)
薄壁圆筒：壁厚 （ r0— 圆筒的 平均半径）010
1 r
dx
x
Me Me
2.实验后
（ 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
（ 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度? ；
（ 3） 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形,
(Torsion)
3.推论 (Inference)
（ 1）横截面上无正应力，只有切应力；
（ 2）切应力方向垂直半径或与圆周相切,
dx δ
圆周各点处切应力的方向于圆周相切,
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化,
Me Me
A
B
D
C
(Torsion)
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式,
4.推导公式 (Derivation of formula)
()d d 2 πAAA r r A r r T
2π2 r
T
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致,
T
τ
τ
(Torsion)
xdy
dx
y
z
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
ττ
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行,
两侧面的内力元素? dy dz
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶,
由平衡方程
0 yF
其矩为 (?dy dz) dx
(Torsion)
x
y
dy
z dx
ττ
2,要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得
(? dy dz) dx
00 xz FM
zyx d)dd(
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem)
单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,
都指相（或背离）该两平面的交线,
4.纯剪切单元体 (Element in pure shear)
单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体,
(Torsion)
Me Me
l
式中,r 为薄壁圆筒的外半经,
三、剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与
Me （在数值上等于 T ）成正比,
l
r
(Torsion)
三个弹性常数的关系
T
O?
从 T 与? 之间的线性关系,可推出?与?间的线性关系,
该式称为材料的 剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
G –剪切弹性模量
l
r
r
T
2π2
G?
)1(2
EG
O
(Torsion)
思考题：指出下面图形的切应变
2?切应变为 切应变为 0
(Torsion)
变形几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式
deformation
geometric
relation Distribution regularity
of deformation
Distribution
regularity of stress
Establish the formula
Examine the deformation
then propose the hypothesis
physical
relation
static
relation
§ 3-4 圆杆扭转的应力分析 ·强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition)
(Torsion)
1.变形现象
(Deformation phenomenon)
（ 1） 轴向线仍为直线,且长度不变；
（ 2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；
一、变形几何关系 (Geometrical
Relationship of Deformation)
（ 3） 径向线保持为直线,只是绕轴线旋转,
2.平面假设 (Plane assumption)
变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面,
(Torsion)
a
a
b
b
dx
O1 O2
3.几何关系 (Getrical relationship)
倾角? 是横截面圆周上任一点 A处的切应变,d?是
b-b截面相对于 a-a 截面象刚性平面一样绕杆 的 轴 线 转动的一个角度,
经过半径 O2D 上任一点 G的 纵向线 EG 也倾斜了一个角度
r,也就是横截面半径上任一点 E处的切应变
' dt a n
drr
r GG
xEG
T T
d?A
D
G'
ρ
ρ
D'
G
E
(Torsion)
同一圆周上各点切应力?r均相同,且其值与 r成正比,?r 与半径垂直,
二,物理关系 (Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G?
xGG d
d?r
rr
a
a
b
A T T
dx
D
b
d?
DO1 O2
G
G'
ρ
ρ
(Torsion)
r
O
dA
dA
ρ
ρ
T
三、静力关系 (Static Relationship)
1.公式的建立 (Establish the formula)
TAA drr?
TAxφρGρA ddd
TAxG A ddd 2r? p2 d IAρA
结论
pd
d
GI
T
x?
ρ
ρ
代入物理关系中得到
PI
Tr?
r?
式中,T — 横截面上的扭矩
r — 求应力的点到圆心的距离
Ip — 横截面对圆心的 极惯性矩
(Torsion)
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
2,的计算 (Calculation of?max)max?
t
ma x
pp
ma x
ma x W
T
I
T
I
T
r
r
m a x
p
t r
IW? r
O
TdA
dA
ρ
ρ
ρ
max
(Torsion)
（ 1）实心圆截面
d O
3.极惯性矩和 抗扭截面系数的计算 (calculating the polar
moment of inertia §ion modulus under torsion)
)d(π2d rr?A
32
πdπ2d 42
0
32
p
dAI d
A rrr
16
π
2/
32/π 34
ma x
p
t
d
d
dIW
r
ρ dρ
OD d
ρ
dρ
（ 2）空心圆截面
32
)1(π 44
p
DI
)1(16π 4
3
t
DW 其中 D
d
(Torsion)
例题 2 图示空心圆轴外径 D=100mm,内径 d=80mm,M1=6kN·m,
M2=4kN·m,材料的切变模量 G=80GPa.
（ 1） 画轴的扭矩图；
（ 2） 求轴的最大切应力,并指出其位置,
M1 M2
A B C
l l
(Torsion)
解,（ 1）画轴的扭矩图 M
e1 Me2
A B C
l l
BC段
1
Me2
C
T1
T1+Me2=0
2
Me2
C
Me1
B
T2
T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m
AB段
（ +）
（ -）T1 = -4kN·m
最大扭矩发生在 BC段
Tmax=4kN·m
4kN·m
2kN·m
+
_
(Torsion)
T
（ 2）求轴的最大切应力,
并指出其位置
max
最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径,
t
m a x
m a x W
T
M1 M2
A B C
l l
M Pa5.34
)1(
16
π 43
ma x?
D
T
max
(Torsion)
1,数学表达式
(Mathematical formula)
四、强度条件 (Strength Condition)
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
强度校核
(Check the intensity)
设计截面
(Determine the required
dimensions)
确定许可载荷
(Determine the allowable load)
][
t
m a x
m a x W
T
][
t
m a x
W
T
][
ma x
t?
TW?
][tma x?WT?
(Torsion)
A B C
解,作轴的扭矩图
MeA MeB M
eC
22 kN·m
14 kN·m
+
_
分别校核两段轴的强度例题 3 图示阶梯圆轴,AB段的直径 d1=120mm,BC 段的直径
d2=100mm.扭转力偶矩为 MA = 22 kN·m,MB = 36 kN·m,MC =14
kN·m,已知材料的许用切应力 [?] = 80MPa,试 校核该轴的强度,
][M Pa84.64
16/)12.0(π
1022
16/π 3
3
3
1
1
t1
1
ma x1
d
T
W
T
][M Pa3.71
16/)1.0(π
1014
16/π 3
3
3
2
2
2t
2
ma x2
d
T
W
T
因此,该轴满足强度要求,
(Torsion)
例题 4 实心圆轴 1和空心圆轴 2（图 a,b）材料,扭转力偶矩 M
和长度 l均相等,最大切应力也相等,若空心圆轴的内外径之比
= 0.8,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比,
2ma x1ma x
l
l
(a)
(b)
分析：设实心圆截面直径为 d1,空心圆截面的内、外径分别为 d2,D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，
设为 T,
已知：
2t
2ma x
1t
1ma x W
T
W
T
d
d2 D2
(Torsion)
2t1t W
T
W
T?
16
)1(π
16
π 43231
2t1t
DdWW
因此 ()3 3 412 1
1 6 1 6
dD
解得 194.18.01
13
4
1
2?
d
D
两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比
512.0)8.01(194.1
)1(
4
π
)(
4
π
22
2
1
22
2
2
1
2
2
2
2
1
2
d
D
d
dD
A
A?
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料,
(Torsion)
1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角?来度量的
§ 3-5 杆在扭转时的变形 ·刚度条件
(Torsional deformation of circular bars &
stiffness condition)
一、扭转变形 (Torsional deformation)
其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角,
长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角? 可按下式计算
pd
d
GI
T
x?
xGIT
ll
dd
p
(Torsion)
3.刚度条件 （ Stiffness condition)
2.单位长度扭转角 (Angle of twist per unit length)
— 扭转角
GIp 称作抗扭刚度? p
Tl
GI?
()
p
r a d mTl G I
][ma x
[ ] ( )maxmax
p
r a d mTGI
称作许可 单位长度扭转角
(Allowable angle of twist per unit length)
][
(Torsion)
例题 5 图示等直杆,已知直径 d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量 G=80GPa,?DB=1°,试求：
（ 1） AD杆的最大切应力 ;
（ 2）扭转角?CA
a a 2a
Me 2Me 3Me
ABCD
+Me
2Me
3Me
解：画扭矩图计算外力偶矩 Me
DB=? CB+? DC=1°
Tmax= 3Me
1π180)2(
p
e
p
e
GI
aM
GI
aM
(Torsion)
（ 1） AD杆的最大 切 应力
M Pa7.69
t
ma x
ma x W
T?
mkN2 9 2eM
（ 2）扭转角?CA
33.2
π
1 8 0
)
23
(
p
e
p
e
GI
aM
GI
aM
CBBACA a a 2a
Me 2Me 3Me
ABCD
+Me
2Me
3Me
(Torsion)
例题 6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成,钢管外径 D=76mm,壁厚2.5mm,轴传递的转矩 Me=1.98kN·m,
材料的许用切应力 [?] = 100MPa,切变模量为 G = 80GPa,
轴的 许可 扭角 [?′] = 2?/m,试校核轴的 强度和刚度,
Dd
Me Me
(Torsion)
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比由强度条件由刚度条件
.2 0 9 3 4 dDDD
34p
t mm1006.22/ D
IW
][M Pa1.96
t
ma x
ma x W
T
(),44 54
p
π1 7 8 3 1 0 m m
32
DI?
,/ [ ]maxmax
p
180 1 8 1 m
π
T
GI
mkN98.1e MT
Dd
Me Me
(Torsion)
将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使?max=96.1MPa
d=47.2mm实心轴的直径为两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比,
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料,
M Pa1.9616/π 3ma xma x dT?
其截面面积为
2
2
mm1 7 4 94π dA 实空心轴的截面面积为
2
22
mm5 7 74 )7176(π空A
3 2 9.01 7 4 95 7 7
1
2
A
A
(Torsion)
例题 7 两端固定的圆截面杆 AB,在截面 C处受一个扭转力偶矩 Me
的作用,如图所示,已知杆的抗扭刚度 GIp,试求杆两端的支反力偶矩,
C
Me
a b
A B
l
(Torsion)
解,去掉约束,代之以约束反力偶矩这是一次超静定问题,
须建立一个 补充方程
A C B
MeMeA MeBC截面相对于两固定端
A和 B的相对扭转角相等,
杆的变形相容条件是
0
0
eee
MMM
M
BA
x
C
Me
a b
A B
l
(Torsion)
C
Me
a b
A B
l
（ 1）变形几何方程
（ 2）由物理关系建立补充方程解得
BCAC
1
pp
AC
T a M a
G I G I
e A
P
e
P
2
GI
bM
GI
bT B
BC
b
aMM A
B
e
e?
0eee MMM BA
lMaM
lMbM
B
A
/
/
e
e
A C B
MeMeA MeB
AC=?BC
(Torsion)
例题 8 图 示一长为 l 的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度
GaIpa,GbIpb,当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为 Me 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩,
Me Me
l
A B
(Torsion)
解：列平衡方程这是一次超静定问题,
变形相容条件是内、外杆的扭转变形应相同,
变形几何方程是
e
0x
ab
M
M M M
BA
物理关系是
pp
ab
AB
a a b b
M l M l
G I G I
Me
Me Me
l
A B
MaMb
(Torsion)
代入变形几何方程,得补充方程
p
p
aa
ab
bb
GI
MM
GI
p
pp
aa
a
a a b b
GI
M
G I G I
p
pp
bb
b
a a b b
GI
M
G I G I
Mb
MaMe
BA
Me Me
l
A B
(Torsion)
弹簧的螺旋角5°,且 D>>d,
这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧,推导这种弹簧的应力与变形的计算公式,
§ 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形
(Calculation of the stress and deformation in
close-coiled helical springs)
一、弹簧丝横截面上的应力
1.内力的计算
(Calculation of internal force)
( a ) P
R
d
F(Calculation of the stress on
spring wire cross section)
(Torsion)
簧丝的横截面上有两个内力分量即
( a )
R
d
P P
Q
T
( b )
FS T
F PF
作为近似计算,通常可略去与剪力 FS相应的?,且 D/d 很大时,
还可略去 簧圈曲率的影响,所以簧杆横截面上最大切应力为
33
t
ma x π
8
16/π
2/
d
FD
d
FD
W
T
2.应力的计算
(Calculation of stress)
2S
FDTFF
为便于分析,将杆的斜度视为 0°
截面法
(Torsion)
公式修正的原因,（ 1）当 D/d 较小,会引起很大的误差 ;
（ 2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的,
33ma x π
8
π
8)615.0
44
14(
d
FDk
d
FD
cc
c
式中 cc
ck
d
Dc 615.0
44
14,?
c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表 3.1
3.强度条件 (Strength condition)
][ma x
(Torsion)
( a )
R
d
P P
Q
T
( b )
FS T
F PF
若只考虑簧杆扭转的影响，
可得簧杆内的应变能为二、弹簧的变形
(Deformation of the spring)
2
ε
p2
Tl
GI
2
FDT?
Dnl π
23
ε 4
4 F D n
Gd?
1,应变能的计算
(Calculation of strain energy)
(Torsion)
3.功能原理 Vε = W
(Work-energy principle)
当弹簧的变形为 l时，外力所做的功为 F
O l l
2.外力做的功 (Work of the external force)
lFW 21?
4
324
2
1
Gd
nDFF?l
4
3
4
3 648
Gd
nFR
Gd
nFDl
nR
Gd
nD
Gdc
3
4
3
4
648令
c
F?l得
c — 弹簧刚度
(Torsion)
例题 9 某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经 R=59.5 mm,簧丝横截面直径 d=14mm,有效圈数 n=5,材料的 [?] = 350MPa,G=80GPa,弹簧工作时总压缩变形（包括预压 变形） 为 l=55mm
试校核弹簧的强度,
解：求出弹簧所受的压力 F为 N2 5 1 0
)105.59(64
)1014)(1080)(1055(
64 3
4393
3
4
nR
GdF l
由 R及 d求出 5.81014
)105.59(22
3
3
d
R
d
Dc
查表 3.1查处弹簧的曲度系数 k=1.17
][M P a325
Pa10325
)1014(
1025.592 5 1 0(8
17.1
π
8 6
3
3
3ma x
d
FD
k
弹簧满足强度要求,
(Torsion)
§ 3-7 非圆截面杆的扭转
(Torsion of noncircular prismatic
bars)
非圆杆,如矩形截面杆扭转后横截面将发生 翘曲 (warping)
而不再是平面,
一、基本概念 (Basic concepts)
(Torsion)
（ 2）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同,这将在横截面上引起附加的正应力,这一情况称为 约束扭转 (constraint torsion).
（ 1）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲 (warping),但当等直杆在两端受外力偶作用,且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同,横截面上仍然只有切应力而没有正应力,这一情况称为 纯扭转
(pure torsion),或 自由扭转 (free torsion).
(Torsion)
b
h
T
矩形截面扭转时,横截面切应力如图所示,边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流,
整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点,
二、矩形截面 (Rectangular cross section)
3tI βhb?
m ax
短边中点的切应力?是短边上的最大切应力,且 ma x
t
m a x W
T
tGI
Tl
max?
2t hbW
(Torsion)
h
δ
切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等,
三、狭长矩形 （ Long narrow rectangle)
狭长矩形截面的 It 和 Wt
狭长矩形截面上切应力的分布情况见图
3
t 3
1?hI? 2
t 3
1?hW?
表 3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数 α β ν
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.256 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
ν 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
(Torsion)
例题 10 一矩形截面的等直钢杆,其横截面尺寸 h=100mm,b =
50mm,长度 l = 2m,在杆两端作用一对矩 M = 4 kN·m 的扭转力偶,钢的许用切应力 [?] = 100 MPa,切变模量 G = 80GPa,许可 单位长度扭转角 [?′]=1?/m,试 校核该杆的强度和刚度,
解：横截面上的扭矩由表 3-1 查得
mkN4 MT
229.0246.0
4833t m1028605.01.0229.0 hbI?
3622t m106.6105.01.0246.0 hbW?
][M Pa65106.61 4000 6
t
ma xW
T
][/m1r a d / m0 1 7 4 5.0102861080 4000 89
t
GI T
(Torsion)
一、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图 （ a）,
厚度中点处,切应力为零；
§ 3-8 薄壁杆件的自由扭转
（ Free torsion of thin- walled members)
二、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图
（ b）,同一厚度处,切应力均匀分布,
T
图 (a)
T
图 (b)
(Torsion)
r
r 22)d( dsT
mi nma x 2
T?
r? dd21 s为厚度中线所包围面积例 12 图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为,a=50 mm
b=75mm，厚度?=5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000N·m,试求此杆的最大切应力,
b
a解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大切应力
m ax
m in22 π
M P a
TT
ab
-9
5000
42.5
2 π×5 ×5 0 ×7 5 ×1 0
