第 10章 代数系统离 散 数 学哈尔滨理工大学本科生课程计算机系本章说明
本章的主要内容
– 一元和二元运算定义及其实例
– 二元运算的性质
– 代数系统定义及其实例
– 子代数
与后面各章的关系
– 是后面典型代数系统的基础
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统本章小结作 业本章内容
10.1 二元运算及其性质定义 10.1 设 S为集合，函数 f,S× S→ S 称为 S上的二元运算,简称为 二元运算 。
举例 f:N× N→N,f(<x,y>)＝ x +y
是自然数集合 N上的二元运算
f:N× N→N,f(<x,y>)＝ x - y
不是自然数集合 N上的二元运算称 N对减法 不封闭 。
说明 验证一个运算是否为集合 S上的二元运算主要考虑两点：?S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。
S中任何两个元素的运算结果都属于 S,即 S对该运算是封闭的。
（ 1） 自然数集合 N上的加法和乘法是 N上的二元运算，但减法和除法不是。
（ 2）整数集合 Z上的加法、减法和乘法都是 Z上的二元运算
，而除法不是。
（ 3）非零实数集 R*上的乘法和除法都是 R*上的二元运算，加法、减法不是 。
（ 4）设 S＝ {a1,a2,…,an},ai?aj =ai为 S上二元运算。
例 10.1
例 10.1
（ 5） 设 Mn(R)表示所有 n阶 (n≥2)实矩阵的集合，即
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ),,1,2,.,,,
n
n
n ij
n n n n
a a a
a a a
M R a R i j n
a a a
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算 。
（ 6） S为任意集合，则 ∪,∩、－,?为 P(S)上的二元运算。
（ 7） SS为 S上的所有函数的集合，则合成运算?为 SS上的二元运算。
一元运算定义 10.2 设 S为集合，函数 f,S→ S称为 S上的一元运算,简称为 一元运算 。
例 10.3
（ 1） 求一个数的相反数 是整数集合 Z,有理数集合 Q和实数集合 R上的一元运算。
（ 2） 求一个数的倒数 是非零有理数集合 Q*,非零实数集合 R*
上的一元运算。
（ 3） 求一个复数的共轭复数 是复数集合 C上的一元运算。
（ 4）在幂集 P(S)上，如果规定全集为 S,则 求集合的绝对补运算是 P(S)上的一元运算。
（ 5）设 S为集合，令 A为 S上所有双射函数的集合,A?SS，
求一个双射函数的反函数 为 A上的一元运算。
（ 6）在 n(n≥2)阶实矩阵的集合 Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵 是 Mn(R)上的一元运算。
一元运算举例
可以用?,?,·,?,?,?等符号表示二元或一元运算，称为 算符 。
– 设 f,S× S→S 是 S上的二元运算?,对任意的 x,y∈ S,如果 x与 y的运算结果为 z,即 f(<x,y>)＝ z,可以利用算符?
简记为
x?y = z。
– 对一元运算?,x的运算结果记作?x。
例题 设 R为实数集合，如下定义 R上的二元运算?：
x,y∈ R,x? y = x。
那么 3? 4 = 3,0.5?(?3) = 0.5。
二元与一元运算的算符
函数的解析公式
运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
二元运算的运算表
an?an…an?a2an?a1an
……………
a2?an…a2?a2a2?a1a2
a1?an…a1?a2a1?a1a1
an…a2a1?
一元运算的运算表
anan
……
a2a2
a1a1
aiai
二元与一元运算的表示例 10.4 设 S={1,2},给出 P(S)上的运算?和 ~的运算表,其中全集为 S。
的 运算表
{1}{2}{1,2}{1,2}
{1}?{1,2}{2}{2}
{2}{1,2}?{1}{1}
{1,2}{2}{1}
{1,2}{2}{1}
~的运算表
{1,2}
{1}{2}
{2}{1}
{1,2}?
~ aiai
解答例 10.4
例 10.5 设 S={1,2,3,4},定义 S上的二元运算?如下：
x? y＝ (xy) mod 5,?x,y∈S
求运算?的运算表。
解答例 10.5
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
定义 10.3 设?为 S上的二元运算,如果对于任意的 x,y∈ S都有
x?y=y?x,则称运算?在 S上满足 交换律 。
定义 10.4 设?为 S上的二元运算,如果对于任意的 x,y,z∈ S都有 (x?y)?z=x?(y?z),则称运算?在 S上满足 结合律 。
说明,若 +适合结合律,则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。
定义 10.5 设?为 S上的二元运算,如果对于任意的 x∈ S有
x?x=x,则称运算?在 S上满足 幂等律 。 如果 S中的某些 x满足 x?x=x,则称 x为运算?的 幂等元 。
举例,普通的加法和乘法不适合幂等律 。 但 0是加法的幂等元,0和 1是乘法的幂等元 。
二元运算的性质例题
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n阶实矩阵集合,n?2； P(B)为幂集； AA为从 A到 A的函数集,|A|?2。
集合 运算 交换律 结合律 幂等律
Z,Q,R 普通加法 +普通乘法? 有有 有有 无无
Mn(R) 矩阵加法 +矩阵乘法? 有无 有有 无无
P(B)
并 ∪
交 ∩
相对补?
对称差?
有有无有有有无有有有无无
AA 函数复合? 无 有 无定义 10.6 设?和?为 S上两个二元运算，如果对于任意的 x,y,z∈ S
,有
x?(y?z) ＝ (x?y)?(x?z) （ 左分配律 ）
(y?z)?x＝ (y?x)?(z?x) （ 右分配律 ）
则称运算?对运算?满足 分配律 。
说明,若 *对?运算分配律成立，则 *对?运算广义分配律也成立。
x?(y1?y2?…?yn ) ＝ (x?y1)?(x?y2)?…? (x? yn)
(y1?y2?…?yn )?x ＝ (y1?x)?(y2?x)? …? (yn?x)
定义 10.7 设?和?为 S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的
x,y∈ S,都有
x?(x?y)＝ x
x?(x?y)＝ x
则称运算?和?满足 吸收律 。
二元运算的性质
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n阶实矩阵集合,n?2； P(B)为幂集 ； AA为从 A到 A的函数集,|A|?2 。
集合 运算 分配律 吸收律
Z,Q,R 普通加法 +与乘法对 +可分配+对?不分配 无
Mn(R) 矩阵加法 +与乘法对 +可分配+对?不分配 无
P(B)
并 ∪ 与交 ∩ ∪ 对 ∩可分配∩对 ∪ 可分配 有交 ∩与对称差? ∩对?可分配 无例题定义 10.8 设?为 S上的二元运算，
如果存在元素 el（ 或 er）?S,使得对任意 x∈ S都有
el?x = x (或 x?er = x)
则称 el(或 er)是 S中关于?运算的一个 左单位元 (或 右单位元 )。
若 e∈ S关于?运算既是左单位元又是右单位元,则称 e为 S上关于?运算的 单位元 。 单位元也叫做 幺元 。
运算可以没有左单位元和右单位元。
运算可以只有左单位元。
运算可以只有右单位元。
运算可以既有左单位元，又有右单位元。
说明二元运算中的特异元素 — 单 位元二元运算中的特异元素 — 零 元定义 10.9 设?为 S上的二元运算，
如果存在元素 θl（ 或 θr） ∈ S,使得对任意 x∈ S都有
θl?x = θl (或 x?θr = θr)，
则称 θl (或 θr)是 S上关于?运算的 左零元 (或 右零元 )。
若 θ∈ S关于?运算既是左零元又是右零元，则称 θ为 S上关于运算?的 零元 。
运算可以没有左零元和右零元。
运算可以只有左零元。
运算可以只有右零元。
运算可以既有左零元，又有右零元。
说明二元运算中的特异元素 — 逆元定义 10.10 设?为 S上的二元运算,e?S为?运算的单位元，对于 x∈ S，
如果存在 yl（ 或 yr） ∈ S使得
yl?x＝ e（ 或 x?yr＝ e）
则称 yl（ 或 yr） 是 x的 左逆元 （或 右逆元 ） 。
若 y∈ S既是 x的左逆元又是 x的右逆元，则称 y为 x的 逆元 。
如果 x的逆元存在，则称 x是 可逆的 。
运算可以没有左逆元和右逆元。
运算可以只有左逆元。
运算可以只有右逆元。
运算可以既有左逆元，又有右逆元。
说明特异元素的实例集合 运算 单位元 零元 逆元
Z,Q,R 普通加法普通乘法 01 无 0 x的逆元?xx的逆元 x?1
Mn(R) 矩阵加法矩阵乘法 n阶全 0矩阵n阶单位矩阵 无n阶全 0矩阵
x逆元?x
x的逆元 x?1
（ x可逆 ）
P(B) 并 ∪交 ∩?B B的逆元为?B的逆元为 B
定理 10.1
定理 10.1设?为 S上 的二元运算,el,er分别为?运算的左单位元和右单位元，则有
el = er = e
且 e 为 S上关于?运算的唯一的单位元。
el＝ el?er (er为右单位元 )
el?er＝ er (el为左单位元 )
所以 el = er,将这个单位元记作 e。
假设 e?也是 S中的单位元，则有
e? = e?e?= e
所以,e是 S中关于?运算的唯一的单位元 。
证明定理 10.2
定理 10.2 设?为 S上的二元运算,?l和?r分别为?运算的左零元和右零元，则有
l =?r =?
且?为 S上关于?运算的唯一的零元。
l＝?lr (?r为左零元 )
lr＝?r (?l为右零元 )
所以?l =?r,将这个零元记作?。
假设也是 S中的零元，则有
==?
所以,?是 S中关于?运算的唯一的零元。
证明定理 10.3
定理 10.3 设?为 S上的二元运算,e和?分别为?运算的单位元和零元，如果 S至少有两个元素，则 e。
用反证法。
假设 e =?,则?x∈ S有
x ＝ x?e ＝ x＝?
这与 S中至少含有两个元素矛盾。
所以，假设不 成立，即 e。
证明定理 10.4
定理 10.4 设?为 S上 可结合的 二元运算,e为该运算的单位元，对于 x∈ S,如果存在左逆元 yl和右逆元 yr,则有
yl = yr= y
且 y是 x的唯一的逆元。
由 yl?x = e 和 x?yr = e,得证明
yl = yl?e
令 yl = yr = y,则 y是 x的逆元。
= yl? (x?yr) = (yl?x)?yr = e?yr = yr
假若 yS也是 x的逆元，则
y?= ye = y(x?y) = (yx)?y = e?y = y
所以 y是 x唯一的逆元，记作 x?1。
消去律定义 10.11设?为 S上的二元运算，如果对于任意的 x,y,z∈ S，
满足以下条件：
（ 1） 若 x?y＝ x?z且 x,则 y ＝ z （ 左消去律 ）
（ 2）若 y?x＝ z?x且 x,则 y＝ z （ 右消去律 ）
则称?运算满足 消去律 。
例如：
整数集合上的加法和乘法都满足消去律。
幂集 P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。
例 10.6
例 10.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
（ 1） Z+,?x,y∈ Z+,x?y＝ lcm(x,y),即求 x和 y的最小公倍数。
（ 2） Q,?x,y?Q,x?y=x+y-xy
解答
（ 1）?运算可交换、可结合、是幂等的。
x?Z+,x?1=x,1?x=x,1为单位元。
不存在零元。
只有 1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。
例 10.6
（ 2） Q,?x,y?Q,x?y=x+y-xy
运算满足交换律，因为?x,y?Q,有
x?y =x+y-xy = y+x-yx = y?x
运算满足结合律，因为?x,y,z?Q,有
(x?y)?z=(x+y-xy)?z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz
x?(y?z)=x?(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz
运算不满足幂等律，因为 2?Q,但
2?2 =2+2-2?2＝ 0?2
运算满足消去律，因为?x,y,z?Q,x?1(1为零元 ),有
x?y = x?z? x+y-xy=x+z-xz? y-z = x(y-z)? y=z
由于?是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。
例 10.6
0是?运算的单位元，因为?x?Q,有
x?0=x+0-x?0=x=0?x
1是?运算的零元，因为?x?Q,有
x?1=x+1-x?1=1=1?x
x?Q,欲使 x?y=0和 y?x=0成立，即
x+y-xy = 0
得 ( 1)xyx
x?= -1
所以,1 ( 1 )xxx
x
=
-1
例 10.7
例 10.7设 A={a,b,c},A上的二元运算?,?,?如表所示。
(1)说明?,?,?运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。
(2)求出关于?,?,?运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是 a,没有零元，且 a-1=a,b-1=c,c-1=b。
运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是 a,零元是 b,只有 a有逆元,a-1=a。
运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元,没有零元，没有可逆元 。
解答
a b c
a a b c
b b b b
c c b c
a b c
a a b c
b a b c
c a b c
复习分析
10.2 代数系统定义 10.12 非空集合 S和 S上 k个一元或二元运算 f1,f2,…,fk组成的系统称为一个 代数系统,简称 代数,记做 <S,f1,f2,…,fk>。
实例：
<N,＋ >,<Z,＋,? >,<R,＋,?>都是代数系统，其中 +和?分别表示普通加法和乘法。
<Mn(R),＋,?>是代数系统，其中＋和?分别表示 n阶 (n≥2)实矩阵的加法和乘法。
<P(S),∪,∩,~>是代数系统，其中 ∪ 和 ∩为并和交,~为绝对补。
<Zn,?,?>是代数系统，其中
Zn＝ {0,1,2,…,n-1}
和?分别表示模 n的加法和乘法。
集合 （规定了参与运算的元素）
运算 （只讨论有限个二元和一元运算）
代数常数
– 在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的 特异元素 或代数常数 。
– 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，
也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。
例如：代数系统 <Z,+,0>。
代数系统的成分
列出所有的成分,集合、运算、代数常数（如果存在）
例如 <Z,+,0>,<P(S),∪,∩,?,S>
列出集合和运算,在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）
例如 <Z,+>,<P(S),∪,∩>
用集合名称简单标记代数系统例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为 Z,P(S)
代数系统的表示定义 10.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这 两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是 同类型的代数系统 。
例如 V1=<R,+,·,0,1> V2=<P(B),∪,∩,?,B>
V1,V2是同类型的代数系统，因为它们都含有 2个二元运算，
1个一元运算,2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。
同类型的代数系统
V1=<R,+,·,0,1> V2=<P(B),∪,∩,?,B>
+ 和 ·可交换、可结合
· 对 + 可分配
+ 和 ·不满足幂等律
+ 与 · 没有吸收律
+ 和 ·满足消去律
∪ 和 ∩可交换、可结合
∪ 和 ∩互相可分配
∪ 和 ∩都有幂等律
∪ 和 ∩满足吸收律
∪ 和 ∩一般不满足消去律
在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，
那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。
例如：代数系统 V＝ <S,*>,如果 *是可结合的，则称 V为半群。如 <Z,+>,<P(B),∪ >等都是半群。
从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。 (抽象代数的基本方法 )
以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。
代数系统地说明定义 10.14 设 V＝ <S,f1,f2,…,fk>是代数系统,B?S,如果 B对
f1,f2,…,fk 都是 封闭 的，且 B和 S含有相同的代数常数,则称
<B,f1,f2,…,fk>是 V的 子代数系统,简称 子代数 。简记为 B。
例如：
N是 <Z,＋ >的子代数,N也是 <Z,＋,0>的子代数。
N?{0}是 <Z,＋ >的子代数，但不是 <Z,＋,0>的子代数。
子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。
对于任何代数系统,其子代数一定存在。
说明子代数
最大的子代数,就是 V本身 。
最小的子代数,如果令 V中所有代数常数构成的集合是 B，
且 B对 V中所有的运算都是封闭的，则 B就构成了 V的最小的子代数。
平凡的子代数,最大和最小的子代数称为 V的平凡的子代数
。
真子代数,若 B是 S的真子集,则 B构成的子代数称为 V的真子代数。
子代数的相关概念例 10.8设 V=<Z,+,0>,令
nZ={nz | z?Z},n为自然数，
则 nZ是 V的子代数。
任取 nZ中的两个元素 nz1和 nz2(z1,z2?Z ),则有
nz1+nz2＝ n(z1+z2 )?nZ
即 nZ对 +运算是封闭的。又
0=n?0?nZ
所以,nZ是 V的子代数。
证明
当 n=1和 0时,nZ是 V的平凡子代数，其他的都是 V的非平凡的真子代数 。
说明例 10.8
本章主 要内容
构成代数系统的基本成分非空集合集合上若干个封闭的二元和一元运算代数常数
二元运算性质和特异元素
同类型的与同种的代数系统
子代数的定义与实例本章学习要求
判断给定集合和运算能否构成代数系统。
判断给定二元运算的性质和特异元素。
了解同类型和同种代数系统的概念。
了解子代数的基本概念 。
作业习题十,
1,4,5,8,9,10,11,15,16,17
运算的性质与特异元素二元运算 f,S× S→ S
一元运算 f,S→ S
交换律?x,y∈S,x?y ＝ y?x
结合律?x,y,z ∈S,(x?y)?z ＝ x?(y?z)
幂等律?x∈S,x? x ＝ x
消去律?x,y∈S,x?y ＝ x?z且 xy ＝ z
y?x＝ z?x且 x y ＝ z
分配律?x,y,z ∈S,x?(y?z) ＝ (x?y)?(x?z)，
(y?z)?x＝ (y?x)?(z?x)
吸收律?x,y∈S,x?(x?y)＝ x,x?(x?y)＝ x
单位元 e?x∈S,x? e ＝ e?x＝ x
零元x∈S,x＝x＝?
幂等元 x? x ＝ x
可逆元 x? y ＝ y?x ＝ e
通过运算表判别运算性质的方法
交换律 的表沿主对角线对称。
幂等律 的表主对角线与每一行和每一列元素相同。
如果在运算表中的某行或某列 (除了零元所在的行或列之外 )有两个相同的元素，那么运算不满足 消去律 。
有 零元 的表，当且仅当该元素所对应的行和列与该元素相同。
有 单位元 的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。
a与 b互 逆,当且仅当以这两个元素为行和列的交点处为单位元。
如果元素 x在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么该元素是 幂等元 。
本章的主要内容
– 一元和二元运算定义及其实例
– 二元运算的性质
– 代数系统定义及其实例
– 子代数
与后面各章的关系
– 是后面典型代数系统的基础
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统本章小结作 业本章内容
10.1 二元运算及其性质定义 10.1 设 S为集合，函数 f,S× S→ S 称为 S上的二元运算,简称为 二元运算 。
举例 f:N× N→N,f(<x,y>)＝ x +y
是自然数集合 N上的二元运算
f:N× N→N,f(<x,y>)＝ x - y
不是自然数集合 N上的二元运算称 N对减法 不封闭 。
说明 验证一个运算是否为集合 S上的二元运算主要考虑两点：?S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。
S中任何两个元素的运算结果都属于 S,即 S对该运算是封闭的。
（ 1） 自然数集合 N上的加法和乘法是 N上的二元运算，但减法和除法不是。
（ 2）整数集合 Z上的加法、减法和乘法都是 Z上的二元运算
，而除法不是。
（ 3）非零实数集 R*上的乘法和除法都是 R*上的二元运算，加法、减法不是 。
（ 4）设 S＝ {a1,a2,…,an},ai?aj =ai为 S上二元运算。
例 10.1
例 10.1
（ 5） 设 Mn(R)表示所有 n阶 (n≥2)实矩阵的集合，即
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ),,1,2,.,,,
n
n
n ij
n n n n
a a a
a a a
M R a R i j n
a a a
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算 。
（ 6） S为任意集合，则 ∪,∩、－,?为 P(S)上的二元运算。
（ 7） SS为 S上的所有函数的集合，则合成运算?为 SS上的二元运算。
一元运算定义 10.2 设 S为集合，函数 f,S→ S称为 S上的一元运算,简称为 一元运算 。
例 10.3
（ 1） 求一个数的相反数 是整数集合 Z,有理数集合 Q和实数集合 R上的一元运算。
（ 2） 求一个数的倒数 是非零有理数集合 Q*,非零实数集合 R*
上的一元运算。
（ 3） 求一个复数的共轭复数 是复数集合 C上的一元运算。
（ 4）在幂集 P(S)上，如果规定全集为 S,则 求集合的绝对补运算是 P(S)上的一元运算。
（ 5）设 S为集合，令 A为 S上所有双射函数的集合,A?SS，
求一个双射函数的反函数 为 A上的一元运算。
（ 6）在 n(n≥2)阶实矩阵的集合 Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵 是 Mn(R)上的一元运算。
一元运算举例
可以用?,?,·,?,?,?等符号表示二元或一元运算，称为 算符 。
– 设 f,S× S→S 是 S上的二元运算?,对任意的 x,y∈ S,如果 x与 y的运算结果为 z,即 f(<x,y>)＝ z,可以利用算符?
简记为
x?y = z。
– 对一元运算?,x的运算结果记作?x。
例题 设 R为实数集合，如下定义 R上的二元运算?：
x,y∈ R,x? y = x。
那么 3? 4 = 3,0.5?(?3) = 0.5。
二元与一元运算的算符
函数的解析公式
运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
二元运算的运算表
an?an…an?a2an?a1an
……………
a2?an…a2?a2a2?a1a2
a1?an…a1?a2a1?a1a1
an…a2a1?
一元运算的运算表
anan
……
a2a2
a1a1
aiai
二元与一元运算的表示例 10.4 设 S={1,2},给出 P(S)上的运算?和 ~的运算表,其中全集为 S。
的 运算表
{1}{2}{1,2}{1,2}
{1}?{1,2}{2}{2}
{2}{1,2}?{1}{1}
{1,2}{2}{1}
{1,2}{2}{1}
~的运算表
{1,2}
{1}{2}
{2}{1}
{1,2}?
~ aiai
解答例 10.4
例 10.5 设 S={1,2,3,4},定义 S上的二元运算?如下：
x? y＝ (xy) mod 5,?x,y∈S
求运算?的运算表。
解答例 10.5
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
定义 10.3 设?为 S上的二元运算,如果对于任意的 x,y∈ S都有
x?y=y?x,则称运算?在 S上满足 交换律 。
定义 10.4 设?为 S上的二元运算,如果对于任意的 x,y,z∈ S都有 (x?y)?z=x?(y?z),则称运算?在 S上满足 结合律 。
说明,若 +适合结合律,则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。
定义 10.5 设?为 S上的二元运算,如果对于任意的 x∈ S有
x?x=x,则称运算?在 S上满足 幂等律 。 如果 S中的某些 x满足 x?x=x,则称 x为运算?的 幂等元 。
举例,普通的加法和乘法不适合幂等律 。 但 0是加法的幂等元,0和 1是乘法的幂等元 。
二元运算的性质例题
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n阶实矩阵集合,n?2； P(B)为幂集； AA为从 A到 A的函数集,|A|?2。
集合 运算 交换律 结合律 幂等律
Z,Q,R 普通加法 +普通乘法? 有有 有有 无无
Mn(R) 矩阵加法 +矩阵乘法? 有无 有有 无无
P(B)
并 ∪
交 ∩
相对补?
对称差?
有有无有有有无有有有无无
AA 函数复合? 无 有 无定义 10.6 设?和?为 S上两个二元运算，如果对于任意的 x,y,z∈ S
,有
x?(y?z) ＝ (x?y)?(x?z) （ 左分配律 ）
(y?z)?x＝ (y?x)?(z?x) （ 右分配律 ）
则称运算?对运算?满足 分配律 。
说明,若 *对?运算分配律成立，则 *对?运算广义分配律也成立。
x?(y1?y2?…?yn ) ＝ (x?y1)?(x?y2)?…? (x? yn)
(y1?y2?…?yn )?x ＝ (y1?x)?(y2?x)? …? (yn?x)
定义 10.7 设?和?为 S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的
x,y∈ S,都有
x?(x?y)＝ x
x?(x?y)＝ x
则称运算?和?满足 吸收律 。
二元运算的性质
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n阶实矩阵集合,n?2； P(B)为幂集 ； AA为从 A到 A的函数集,|A|?2 。
集合 运算 分配律 吸收律
Z,Q,R 普通加法 +与乘法对 +可分配+对?不分配 无
Mn(R) 矩阵加法 +与乘法对 +可分配+对?不分配 无
P(B)
并 ∪ 与交 ∩ ∪ 对 ∩可分配∩对 ∪ 可分配 有交 ∩与对称差? ∩对?可分配 无例题定义 10.8 设?为 S上的二元运算，
如果存在元素 el（ 或 er）?S,使得对任意 x∈ S都有
el?x = x (或 x?er = x)
则称 el(或 er)是 S中关于?运算的一个 左单位元 (或 右单位元 )。
若 e∈ S关于?运算既是左单位元又是右单位元,则称 e为 S上关于?运算的 单位元 。 单位元也叫做 幺元 。
运算可以没有左单位元和右单位元。
运算可以只有左单位元。
运算可以只有右单位元。
运算可以既有左单位元，又有右单位元。
说明二元运算中的特异元素 — 单 位元二元运算中的特异元素 — 零 元定义 10.9 设?为 S上的二元运算，
如果存在元素 θl（ 或 θr） ∈ S,使得对任意 x∈ S都有
θl?x = θl (或 x?θr = θr)，
则称 θl (或 θr)是 S上关于?运算的 左零元 (或 右零元 )。
若 θ∈ S关于?运算既是左零元又是右零元，则称 θ为 S上关于运算?的 零元 。
运算可以没有左零元和右零元。
运算可以只有左零元。
运算可以只有右零元。
运算可以既有左零元，又有右零元。
说明二元运算中的特异元素 — 逆元定义 10.10 设?为 S上的二元运算,e?S为?运算的单位元，对于 x∈ S，
如果存在 yl（ 或 yr） ∈ S使得
yl?x＝ e（ 或 x?yr＝ e）
则称 yl（ 或 yr） 是 x的 左逆元 （或 右逆元 ） 。
若 y∈ S既是 x的左逆元又是 x的右逆元，则称 y为 x的 逆元 。
如果 x的逆元存在，则称 x是 可逆的 。
运算可以没有左逆元和右逆元。
运算可以只有左逆元。
运算可以只有右逆元。
运算可以既有左逆元，又有右逆元。
说明特异元素的实例集合 运算 单位元 零元 逆元
Z,Q,R 普通加法普通乘法 01 无 0 x的逆元?xx的逆元 x?1
Mn(R) 矩阵加法矩阵乘法 n阶全 0矩阵n阶单位矩阵 无n阶全 0矩阵
x逆元?x
x的逆元 x?1
（ x可逆 ）
P(B) 并 ∪交 ∩?B B的逆元为?B的逆元为 B
定理 10.1
定理 10.1设?为 S上 的二元运算,el,er分别为?运算的左单位元和右单位元，则有
el = er = e
且 e 为 S上关于?运算的唯一的单位元。
el＝ el?er (er为右单位元 )
el?er＝ er (el为左单位元 )
所以 el = er,将这个单位元记作 e。
假设 e?也是 S中的单位元，则有
e? = e?e?= e
所以,e是 S中关于?运算的唯一的单位元 。
证明定理 10.2
定理 10.2 设?为 S上的二元运算,?l和?r分别为?运算的左零元和右零元，则有
l =?r =?
且?为 S上关于?运算的唯一的零元。
l＝?lr (?r为左零元 )
lr＝?r (?l为右零元 )
所以?l =?r,将这个零元记作?。
假设也是 S中的零元，则有
==?
所以,?是 S中关于?运算的唯一的零元。
证明定理 10.3
定理 10.3 设?为 S上的二元运算,e和?分别为?运算的单位元和零元，如果 S至少有两个元素，则 e。
用反证法。
假设 e =?,则?x∈ S有
x ＝ x?e ＝ x＝?
这与 S中至少含有两个元素矛盾。
所以，假设不 成立，即 e。
证明定理 10.4
定理 10.4 设?为 S上 可结合的 二元运算,e为该运算的单位元，对于 x∈ S,如果存在左逆元 yl和右逆元 yr,则有
yl = yr= y
且 y是 x的唯一的逆元。
由 yl?x = e 和 x?yr = e,得证明
yl = yl?e
令 yl = yr = y,则 y是 x的逆元。
= yl? (x?yr) = (yl?x)?yr = e?yr = yr
假若 yS也是 x的逆元，则
y?= ye = y(x?y) = (yx)?y = e?y = y
所以 y是 x唯一的逆元，记作 x?1。
消去律定义 10.11设?为 S上的二元运算，如果对于任意的 x,y,z∈ S，
满足以下条件：
（ 1） 若 x?y＝ x?z且 x,则 y ＝ z （ 左消去律 ）
（ 2）若 y?x＝ z?x且 x,则 y＝ z （ 右消去律 ）
则称?运算满足 消去律 。
例如：
整数集合上的加法和乘法都满足消去律。
幂集 P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。
例 10.6
例 10.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
（ 1） Z+,?x,y∈ Z+,x?y＝ lcm(x,y),即求 x和 y的最小公倍数。
（ 2） Q,?x,y?Q,x?y=x+y-xy
解答
（ 1）?运算可交换、可结合、是幂等的。
x?Z+,x?1=x,1?x=x,1为单位元。
不存在零元。
只有 1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。
例 10.6
（ 2） Q,?x,y?Q,x?y=x+y-xy
运算满足交换律，因为?x,y?Q,有
x?y =x+y-xy = y+x-yx = y?x
运算满足结合律，因为?x,y,z?Q,有
(x?y)?z=(x+y-xy)?z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz
x?(y?z)=x?(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz
运算不满足幂等律，因为 2?Q,但
2?2 =2+2-2?2＝ 0?2
运算满足消去律，因为?x,y,z?Q,x?1(1为零元 ),有
x?y = x?z? x+y-xy=x+z-xz? y-z = x(y-z)? y=z
由于?是可交换的，所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立，所以消去律成立。
例 10.6
0是?运算的单位元，因为?x?Q,有
x?0=x+0-x?0=x=0?x
1是?运算的零元，因为?x?Q,有
x?1=x+1-x?1=1=1?x
x?Q,欲使 x?y=0和 y?x=0成立，即
x+y-xy = 0
得 ( 1)xyx
x?= -1
所以,1 ( 1 )xxx
x
=
-1
例 10.7
例 10.7设 A={a,b,c},A上的二元运算?,?,?如表所示。
(1)说明?,?,?运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。
(2)求出关于?,?,?运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是 a,没有零元，且 a-1=a,b-1=c,c-1=b。
运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是 a,零元是 b,只有 a有逆元,a-1=a。
运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元,没有零元，没有可逆元 。
解答
a b c
a a b c
b b b b
c c b c
a b c
a a b c
b a b c
c a b c
复习分析
10.2 代数系统定义 10.12 非空集合 S和 S上 k个一元或二元运算 f1,f2,…,fk组成的系统称为一个 代数系统,简称 代数,记做 <S,f1,f2,…,fk>。
实例：
<N,＋ >,<Z,＋,? >,<R,＋,?>都是代数系统，其中 +和?分别表示普通加法和乘法。
<Mn(R),＋,?>是代数系统，其中＋和?分别表示 n阶 (n≥2)实矩阵的加法和乘法。
<P(S),∪,∩,~>是代数系统，其中 ∪ 和 ∩为并和交,~为绝对补。
<Zn,?,?>是代数系统，其中
Zn＝ {0,1,2,…,n-1}
和?分别表示模 n的加法和乘法。
集合 （规定了参与运算的元素）
运算 （只讨论有限个二元和一元运算）
代数常数
– 在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的 特异元素 或代数常数 。
– 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，
也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。
例如：代数系统 <Z,+,0>。
代数系统的成分
列出所有的成分,集合、运算、代数常数（如果存在）
例如 <Z,+,0>,<P(S),∪,∩,?,S>
列出集合和运算,在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）
例如 <Z,+>,<P(S),∪,∩>
用集合名称简单标记代数系统例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为 Z,P(S)
代数系统的表示定义 10.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这 两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是 同类型的代数系统 。
例如 V1=<R,+,·,0,1> V2=<P(B),∪,∩,?,B>
V1,V2是同类型的代数系统，因为它们都含有 2个二元运算，
1个一元运算,2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。
同类型的代数系统
V1=<R,+,·,0,1> V2=<P(B),∪,∩,?,B>
+ 和 ·可交换、可结合
· 对 + 可分配
+ 和 ·不满足幂等律
+ 与 · 没有吸收律
+ 和 ·满足消去律
∪ 和 ∩可交换、可结合
∪ 和 ∩互相可分配
∪ 和 ∩都有幂等律
∪ 和 ∩满足吸收律
∪ 和 ∩一般不满足消去律
在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果在对这些性质所遵从的算律加以限制，
那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。
例如：代数系统 V＝ <S,*>,如果 *是可结合的，则称 V为半群。如 <Z,+>,<P(B),∪ >等都是半群。
从代数系统的构成成分和遵从的算律出发，将代数系统分类，然后研究每一类代数系统的共同性质，并将研究的结果运用到具体的代数系统中去。 (抽象代数的基本方法 )
以后各章分别就几类重要的代数系统进行分析。
代数系统地说明定义 10.14 设 V＝ <S,f1,f2,…,fk>是代数系统,B?S,如果 B对
f1,f2,…,fk 都是 封闭 的，且 B和 S含有相同的代数常数,则称
<B,f1,f2,…,fk>是 V的 子代数系统,简称 子代数 。简记为 B。
例如：
N是 <Z,＋ >的子代数,N也是 <Z,＋,0>的子代数。
N?{0}是 <Z,＋ >的子代数，但不是 <Z,＋,0>的子代数。
子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。
对于任何代数系统,其子代数一定存在。
说明子代数
最大的子代数,就是 V本身 。
最小的子代数,如果令 V中所有代数常数构成的集合是 B，
且 B对 V中所有的运算都是封闭的，则 B就构成了 V的最小的子代数。
平凡的子代数,最大和最小的子代数称为 V的平凡的子代数
。
真子代数,若 B是 S的真子集,则 B构成的子代数称为 V的真子代数。
子代数的相关概念例 10.8设 V=<Z,+,0>,令
nZ={nz | z?Z},n为自然数，
则 nZ是 V的子代数。
任取 nZ中的两个元素 nz1和 nz2(z1,z2?Z ),则有
nz1+nz2＝ n(z1+z2 )?nZ
即 nZ对 +运算是封闭的。又
0=n?0?nZ
所以,nZ是 V的子代数。
证明
当 n=1和 0时,nZ是 V的平凡子代数，其他的都是 V的非平凡的真子代数 。
说明例 10.8
本章主 要内容
构成代数系统的基本成分非空集合集合上若干个封闭的二元和一元运算代数常数
二元运算性质和特异元素
同类型的与同种的代数系统
子代数的定义与实例本章学习要求
判断给定集合和运算能否构成代数系统。
判断给定二元运算的性质和特异元素。
了解同类型和同种代数系统的概念。
了解子代数的基本概念 。
作业习题十,
1,4,5,8,9,10,11,15,16,17
运算的性质与特异元素二元运算 f,S× S→ S
一元运算 f,S→ S
交换律?x,y∈S,x?y ＝ y?x
结合律?x,y,z ∈S,(x?y)?z ＝ x?(y?z)
幂等律?x∈S,x? x ＝ x
消去律?x,y∈S,x?y ＝ x?z且 xy ＝ z
y?x＝ z?x且 x y ＝ z
分配律?x,y,z ∈S,x?(y?z) ＝ (x?y)?(x?z)，
(y?z)?x＝ (y?x)?(z?x)
吸收律?x,y∈S,x?(x?y)＝ x,x?(x?y)＝ x
单位元 e?x∈S,x? e ＝ e?x＝ x
零元x∈S,x＝x＝?
幂等元 x? x ＝ x
可逆元 x? y ＝ y?x ＝ e
通过运算表判别运算性质的方法
交换律 的表沿主对角线对称。
幂等律 的表主对角线与每一行和每一列元素相同。
如果在运算表中的某行或某列 (除了零元所在的行或列之外 )有两个相同的元素，那么运算不满足 消去律 。
有 零元 的表，当且仅当该元素所对应的行和列与该元素相同。
有 单位元 的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。
a与 b互 逆,当且仅当以这两个元素为行和列的交点处为单位元。
如果元素 x在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么该元素是 幂等元 。
