一、有界格在介绍有补格之前，先介绍有界格。
定义 6-3.1 设 <A,≤>是一个格，如果存在元素 a?A,
对于任意的 x?A,都有 a ≤ x,则为格的全下界,记为,0”。
定理 6-3.1 格 <A,≤>若有全下界,则全下界是唯一的。
证明,用反证法如果有两个不相等的全下界 a和 b,a,b?A 且 b≠ a
因为 a 是全下界,b?A,所以 a ≤ b
又因为 b 是全下界,a?A,所以 b ≤ a
由此得 a=b
与有两个不相等的全下界 a和 b 矛盾。
6-3 有补格定义 6-3.2 设 <A,≤>是一个格，如果存在元素 b?A,
对于任意的 x?A,都有 x≤b,则为格的全上界,记为,1”。
证明,用反证法如果有两个不相等的全上界 a和 b,a,b?A 且
b≠ a
因为 a 是全上界,b?A,所以 b ≤ a
又因为 b 是全上界,a?A,所以 a ≤ b
由此得 a=b
与有两个不相等的全上界 a和 b 矛盾。
例 2 在图 6-3.1所示的格中,h是全下界,a是全上界。
例 1 设有限集合 S，那么在格 <?(S),?>中，空集就是该格的全下界，集合 S就是该格的全上界。
定义 6-3.3 设 <A,≤>是一个格，如果存在全下界和全上界，则称该格为有界格。
定理 6-3.3 设 <A,≤>是一个有界格，则对于任意的 a?A,都有
a∨ 1=1 a∧ 1=a (1是 ∨ 运算的零元,∧ 运算的幺元 )
a∨ 0=a a∧ 0=0 (0是 ∨ 运算的幺元,∧ 运算的零元 )
证明,(1) 证 a∨ 1=1
因为 a∨ 1?A且 1是全上界，所以 a∨ 1 ≤ 1
又因为 1 ≤ a∨ 1，所以 a∨ 1=1
(2) 证 a∧ 1=a
因为 a ≤ a,a ≤ 1,所以 a ≤ a∧ 1
又因为 a∧ 1 ≤ a,所以 a∧ 1=a
(3) 证 a∨ 0=a (略 )
(4) 证 a∧ 0=0 (略 )?
由 a∨ 0=0∨ a=a和 a∧ 1=1∧ a=a说明 0和 1分别是关于运算 ∨ 和 ∧ 的幺元。另外,0和 1分别是关于运算
∧ 和 ∨ 的零元。
二、有补格定义 6-3.4 设 <A,≤>是一个有界格，对于 A中任意的 a,如果存在 b?A，使得 a∨ b=1和 a∧ b=0，则称元素 b是元素 a的 补元 。此时称 a和 b是 互补的 。
显然，上述定义中,a和 b是对称的，即如果 a是 b
的补元，则 b也是 a的补元，因此，可以说,a和 b这两个元素是互补的。
必须注意的是：对于元素 a?A，可以存在多个补元，也可以不存在补元。
例 3 在图 6-3.2所示的有界格中，因为 d∨ c=1和
d∧ c=0，所以,d和 c是互补的。但是 b是没有补元的。此外,a和 d都是 e的补元； c和 e都是 d的补元。
显然，在有界格中,0是 1的唯一补元,1是 0的唯一补元。
定义 6-3.5 在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补元素，则称此格为 有补格 。
定理 6-3.4 在一个有界分配格中，如果有一个元素有补元素，则必是唯一的。
证明,设 a有两个补元素 b和 c，即有
a∨ b=1 和 a∧ b=0
a∨ c=1 和 a∧ c=0
由定理 6-2.3即得 b=c?
定义 6-3.6 一个格如果如果它即是有补格，又是分配格，则称此格为 有补分配格 。一般把任一元素 a
的唯一补元记为 a (或 a- )。
练习,P252 (1)
定义 6-3.1 设 <A,≤>是一个格，如果存在元素 a?A,
对于任意的 x?A,都有 a ≤ x,则为格的全下界,记为,0”。
定理 6-3.1 格 <A,≤>若有全下界,则全下界是唯一的。
证明,用反证法如果有两个不相等的全下界 a和 b,a,b?A 且 b≠ a
因为 a 是全下界,b?A,所以 a ≤ b
又因为 b 是全下界,a?A,所以 b ≤ a
由此得 a=b
与有两个不相等的全下界 a和 b 矛盾。
6-3 有补格定义 6-3.2 设 <A,≤>是一个格，如果存在元素 b?A,
对于任意的 x?A,都有 x≤b,则为格的全上界,记为,1”。
证明,用反证法如果有两个不相等的全上界 a和 b,a,b?A 且
b≠ a
因为 a 是全上界,b?A,所以 b ≤ a
又因为 b 是全上界,a?A,所以 a ≤ b
由此得 a=b
与有两个不相等的全上界 a和 b 矛盾。
例 2 在图 6-3.1所示的格中,h是全下界,a是全上界。
例 1 设有限集合 S，那么在格 <?(S),?>中，空集就是该格的全下界，集合 S就是该格的全上界。
定义 6-3.3 设 <A,≤>是一个格，如果存在全下界和全上界，则称该格为有界格。
定理 6-3.3 设 <A,≤>是一个有界格，则对于任意的 a?A,都有
a∨ 1=1 a∧ 1=a (1是 ∨ 运算的零元,∧ 运算的幺元 )
a∨ 0=a a∧ 0=0 (0是 ∨ 运算的幺元,∧ 运算的零元 )
证明,(1) 证 a∨ 1=1
因为 a∨ 1?A且 1是全上界，所以 a∨ 1 ≤ 1
又因为 1 ≤ a∨ 1，所以 a∨ 1=1
(2) 证 a∧ 1=a
因为 a ≤ a,a ≤ 1,所以 a ≤ a∧ 1
又因为 a∧ 1 ≤ a,所以 a∧ 1=a
(3) 证 a∨ 0=a (略 )
(4) 证 a∧ 0=0 (略 )?
由 a∨ 0=0∨ a=a和 a∧ 1=1∧ a=a说明 0和 1分别是关于运算 ∨ 和 ∧ 的幺元。另外,0和 1分别是关于运算
∧ 和 ∨ 的零元。
二、有补格定义 6-3.4 设 <A,≤>是一个有界格，对于 A中任意的 a,如果存在 b?A，使得 a∨ b=1和 a∧ b=0，则称元素 b是元素 a的 补元 。此时称 a和 b是 互补的 。
显然，上述定义中,a和 b是对称的，即如果 a是 b
的补元，则 b也是 a的补元，因此，可以说,a和 b这两个元素是互补的。
必须注意的是：对于元素 a?A，可以存在多个补元，也可以不存在补元。
例 3 在图 6-3.2所示的有界格中，因为 d∨ c=1和
d∧ c=0，所以,d和 c是互补的。但是 b是没有补元的。此外,a和 d都是 e的补元； c和 e都是 d的补元。
显然，在有界格中,0是 1的唯一补元,1是 0的唯一补元。
定义 6-3.5 在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补元素，则称此格为 有补格 。
定理 6-3.4 在一个有界分配格中，如果有一个元素有补元素，则必是唯一的。
证明,设 a有两个补元素 b和 c，即有
a∨ b=1 和 a∧ b=0
a∨ c=1 和 a∧ c=0
由定理 6-2.3即得 b=c?
定义 6-3.6 一个格如果如果它即是有补格，又是分配格，则称此格为 有补分配格 。一般把任一元素 a
的唯一补元记为 a (或 a- )。
练习,P252 (1)
