第 12章 环与域离 散 数 学哈尔滨理工大学本科生课程计算机系本章内容
12.1 环的定义与性质
12.2 整环与域本章总结作业
12.1 环的定义与性质
环的定义
环的运算性质
环的子代数和环同态环的定义定义 12.1 设 <R,+,· >是代数系统,+和 · 是二元运算。
如果满足以下条件：
(1) <R,+>构成交换群。
(2) <R,· >构成半群。
(3) · 运算关于 +运算适合分配律。
则称 <R,+,· >是一个 环 (ring)。
通常称 +运算为环中的加法,· 运算为环中的乘法。
环 的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为 整数环 Z,有理数 Q,实数环 R
和 复数环 C。
(2)n(n≥2) 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 n阶实矩阵环 。
(3)集合的幂集 P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。
(4)设 Zn＝ {0,1,...,n－ 1},?和?分别表示模 n的加法和乘法，则 <Zn,?,?>构成环,称为 模 n的整数环 。
环的运算约定
加法的单位元 记作 0。
乘法的单位元 记作 1(对于某些环中的乘法不存在单位元 )。
对任何环中的元素 x，称 x的 加法逆元 为 负元,记作 -x。
若 x存在乘法逆元的话，则将它称为 逆元,记作 x-1。
针对环中的加法，
– x-y表示 x+(-y)。
– nx表示 x+x+? +x(n个 x相加 )，即 x的 n次加法幂。
– -xy表示 xy的负元。
环的运算性质定理 12.1 设 <R,+,· >是环，则
(1)?a∈R,a0＝ 0a＝ 0
(2)?a,b∈R,(-a)b＝ a(-b)＝ -ab
(3)?a,b,c∈R,a(b-c)＝ ab-ac,(b-c)a＝ ba-ca
(4)?a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R( n,m≥2)
j
n
i
m
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j
n
i
i baba
1 111
))((
定理 12.1的证明
(1)?a∈R,a0＝ 0a＝ 0
a0 ＝ a(0+0) ＝ a0+a0
由环中加法的消去律得 a0＝ 0。
同理可证 0a＝ 0。
(2)?a,b∈R,(-a)b＝ a(-b)＝ -ab
(-a)b+ab ＝ (-a+a)b ＝ 0b
ab+(-a)b ＝ (a+(-a))b ＝ 0b ＝ 0
因此 (-a)b是 ab的负元。
由负元的唯一性可知 (-a)b＝ -ab。
同理可证 a(-b)＝ -ab。
＝ 0
(3)?a,b,c∈R,a(b-c)＝ ab-ac,(b-c)a＝ ba-ca
a(b-c) ＝ a(b+(-c))＝ ab+a (-c) ＝ ab- ac
定理 12.1(4)的证明
j
n
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ij
n
i
i baba
11
)(
(4)?a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R( n,m≥2)
先证明?a1,a2,...,an 有对 n进行归纳。
当 n＝ 2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。
假设 jn
i
ij
n
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i baba
11
)(,则有
j
n
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1
1
j
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由归纳法命题得证。
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j
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定理 12.1(4)的证明同理可证,?b1,b2,...,bm 有于是
j
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)(
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1 1
例 12.2
例 12.2 在环中计算 (a+b)3,(a-b)2
解答 (a+b)3
＝ (a+b)(a+b)(a+b)
＝ (a2+ba+ab+b2)(a+b)
＝ a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
(a-b)2
＝ (a-b)(a-b)
＝ a2-ba-ab+b2
子环定义 12.2 设 R是环,S是 R的非空子集。若 S关于环 R的加法和乘法也构成一个环，则称 S为 R的 子环 (subring) 。
若 S是 R的子环，且 S?R，则称 S是 R的 真子环 。
举例：
整数环 Z，有理数环 Q都是实数环 R的真子环。
{0}和 R也是实数环 R的子环，称为 平凡子环 。
子环判定定理定理 12.2 设 R是环,S是 R的非空子集，若
(1)?a,b∈ S,a-b∈ S
(2)?a,b∈ S,ab∈ S
则 S是 R的子环。
证明,由 (1)S关于环 R中的加法构成群。
由 (2)S关于环 R中的乘法构成半群。
显然 R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在 S中也是成立的。
因此,S是 R的子环。
例 12.3
(1)考虑整数环 <Z,+,· >，对于任意给定的自然数 n，
nZ＝ {nz|z∈ Z}是 Z的非空子集，且?nk1,nk2∈nZ 有
nk1-nk2＝ n(k1-k2)∈ nZ
nk1· nk2＝ n(k1nk2)∈ nZ
根据判定定理,nZ
(2)考虑模 6整数环 <Z6,?,?>，不难验证
{0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。
其中 {0}和 Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。
环的同态定义 12.3 设 R1和 R2是环。,R1→ R2，若对于任意的 x,y∈ R1有
(x+y)＝?(x)+?(y),?(xy)＝?(x)?(y)
成立，则称?是环 R1到 R2的 同态映射,简称 环同态 。
说明 类似于群同态，可以定义环的单同态，满同态和同构等。
例 12.4
设 R1＝ <Z,+,· >是整数环,R2＝ <Zn,?,?>是模 n的整数环。
,Z→Z n,?(x)＝ (x)mod n
则?x,y∈Z 有
(x+y)＝ (x+y)mod n
＝?(x)mod n(y)mod n
＝?(x)(y)
(xy)＝ (xy)mod n
＝ (x)mod n? (y)mod n
＝?(x)(y)
所以?是 R1到 R2的同态,不难看出是满同态。
12.2 整环与域定义 12.4 设 <R,+,· >是环，
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称 R是 交换环 。
(2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称 R是 含幺环 。
(3) 若?a,b∈R,ab＝ 0? a＝ 0∨b ＝ 0，
则称 R是 无零因子环 。
(4) 若 R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，
则称 R是 整环 。
实例
(1)整数环 Z，有理数环 Q，实数环 R，复数环 C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。
(2)令 2Z＝ {2z|z∈Z},则 2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为 1?2Z。
(3)设 n是大于或等于 2的正整数，则 n阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。
实例
(4)Z6关于模 6加法和乘法构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。
2?3＝ 0，但 2和 3都不是 0。称 2为 Z6中的 左零因子,3为 右零因子 。类似地,又有 3?2＝ 0,所以 3也是左零因子,2也是右零因子，它们都是 零因子 。
一般说来，对于模 n整数环 Zn，若 n不是素数，则存在正整数
s,t(s,t≥2),使得 s?t＝ n。这样就得到 st＝ 0,s,t是 Zn中的零因子，因此 Zn不是整环。
反之,若 Zn不是整环，则 Zn一定不是无零因子环。
这就意味着存在 a,b∈Z n，使得 a?b＝ 0，但 a≠0 且 b≠0 。根据模 n乘法定义得 n整除 ab，从而推出 n不是素数。
若不然必有 n整除 a或 n整除 b，与 a≠0 且 b≠0 矛盾。通过上面的分析可以得到下面的结论,Zn是整环当且仅当 n是素数。
环是无零因子环的充分必要条件定理 12.3 设 R是环,R是无零因子环当且仅当 R中的乘法适合消去律，即?a,b,c∈R,a≠0,有
ab＝ ac? b＝ c ba＝ ca? b＝ c
证明 充分性。 任取 a,b∈R,ab＝ 0且 a≠0,
则由 ab＝ 0＝ a0和消去律得 b＝ 0。
这就证明了 R是无零因子环。
必要性。 任取 a,b,c∈R,a≠0,由 ab＝ ac得 a(b-c)＝ 0，
由于 R是无零因子环,a≠0,必有 b-c＝ 0，即 b＝ c。
这就证明了左消去律成立。
同理可证右消去律也成立。
环的直积例 12.6 设 R1,R2是环,?<a,b>,<c,d>∈R 1× R2,令
<a,b>+<c,d>＝ <a+c,b+d>
<a,b>· <c,d>＝ <ac,bd>
不难验证 R1× R2关于 +和 · 运算构成一个环，称为环 R1和 R2的 直积
，记作 R1× R2。
若 R1和 R2是交换环和含幺环，则 R1× R2也是交换环和含幺环。
若 R1和 R2是无零因子环，那么 R1× R2不一定是无零因子环。
例如 Z3和 Z2是无零因子环，因为消去律在 Z3和 Z2中都是成立的。
但是 Z3× Z2就不是无零因子环。
<2,0>· <0,1>＝ <0,0>＝ <2,0>· <0,0>
和 <2,0>≠<0,0>,根据消去律就可得到 <0,1>＝ <0,0>。错误。
因此我们可以说 整环的直积不一定是整环 。
域的定义与实例定义 12.5 设 R是整环，且 R中至少含有两个元素。若?a∈R *
＝ R-{0}，都有 a－ 1∈R,则称 R是 域 。
例如,有理数集 Q、实数集 R、复数集 C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为 有理数域,实数域 和 复数域 。
整数环只能构成整环 Z，而不是域，因为并不是对于任意的非零整数 z∈Z 都有 1/z∈Z 。
对于模 n的整数环 Zn，若 n是素数，可以证明 Zn是域。
例 12.7
例 12.7 设 p为素数，证明 Zp是域。
证明 p为素数,p≥2,所以 |Zp|≥2 。
易见 Zp关于模 p乘法可交换，单位元是 1，且对于任意的
i,j∈ Zp,i≠0 有
i?j＝ 0? p整除 ij? p|j? j＝ 0
所以 Zp中无零因子,Zp为整环。
Zp关于乘法?构成有限半群，且 Zp关于?适合消去律。
下面证明每个非零元素都有逆元。
任取 i∈ Zp,i≠0,i?Zp={i?j|j∈ Zp}则 i?Zp=Zp，
否则必存在 j,k∈ Zp，使得 i?j=i?k，由消去律得 j＝ k。这是矛盾的。
由于 1∈ Zp，这就推出，存在 i＇ ∈ Zp，使得 i?i＇ =1。由于?
运算的交换性可知 i＇就是 i的逆元。从而证明了 Zp是域。
例 12.8
判断下述集合关于给定的运算是否构成环、整环和域，如果不能构成，请说明理由。
(1)A＝ {a+b |a,b∈Z},关于数的加法和乘法。2
是环和整环，但不是域,例如 ∈ A，但 没有逆元。2 2
(2)A＝ {a+b |a,b∈Q},关于数的加法和乘法。3
是环,整环和域。
(3)A＝ {a+b |a,b∈Z},关于数的加法和乘法。32
不是环，不是整环，也不是域。因为 A关于数的乘法不封闭。
(4)A＝ {a+bi|a,b∈Z ∧ i2＝ -1}，关于复数的加法和乘法。
是环和整环，但不是域，例如 2i∈A,但 2i没有逆元。
例 12.8
(5)A＝ { |a,b∈Z},关于矩阵的加法和乘法。
ab
ba
00
00
11
11
11-
1-1
是环，但不是整环和域。
考虑矩阵 和 。
它们都是 A中的矩阵，且满足
11- 1-1 11 11
因此
11-
1-1 是左零因子，
11 11 是右零因子。
A不是无零因子环。也不是整环和域。
主要内容
代数系统 <R,+,·>构成环的条件,<R,+>构成 Abel群； <R,·>构成半群； ·对于 +满足分配律 。
环中运算性质,a0=0a=0； a(-b)=(-a)b=-(ab)；乘法对加法的广义分配律 。
环 R的非空子集 S构成 R的子环的条件：任取 a,b属于 S,有 a-b属于 S； ab属于 S。
环同态映射的定义,判别法及其实例 。
根据环中乘法的性质定义交换环 （ 交换律 ）,含幺环 （ 单位元
）,无零因子环 （ 消去律 ）,整环 （ 交换,含幺,消去律 ） 。
整环构成域的条件：元素数大于 1,每个非零元素有逆元 。
环的直积仍旧是环,交换 （ 含幺 ） 环的直积仍是交换 （ 含幺 ）
环,无零因子环 （ 整环,域 ） 的直积不一定是无零因子环 （ 整环,域 ） 。
学习要求
能判别给定代数系统是环 。
了解环的运算性质,能进行环中的运算 。
能判别环的子集是子环 。
能判别映射是环 R1到 R2的同态映射 。
能判断给定的环是交换环,含幺环,无零因子环与整环
。
能判断给定的环是域 。
作业习题十二
1,2,3,4,7
12.1 环的定义与性质
12.2 整环与域本章总结作业
12.1 环的定义与性质
环的定义
环的运算性质
环的子代数和环同态环的定义定义 12.1 设 <R,+,· >是代数系统,+和 · 是二元运算。
如果满足以下条件：
(1) <R,+>构成交换群。
(2) <R,· >构成半群。
(3) · 运算关于 +运算适合分配律。
则称 <R,+,· >是一个 环 (ring)。
通常称 +运算为环中的加法,· 运算为环中的乘法。
环 的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为 整数环 Z,有理数 Q,实数环 R
和 复数环 C。
(2)n(n≥2) 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 n阶实矩阵环 。
(3)集合的幂集 P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。
(4)设 Zn＝ {0,1,...,n－ 1},?和?分别表示模 n的加法和乘法，则 <Zn,?,?>构成环,称为 模 n的整数环 。
环的运算约定
加法的单位元 记作 0。
乘法的单位元 记作 1(对于某些环中的乘法不存在单位元 )。
对任何环中的元素 x，称 x的 加法逆元 为 负元,记作 -x。
若 x存在乘法逆元的话，则将它称为 逆元,记作 x-1。
针对环中的加法，
– x-y表示 x+(-y)。
– nx表示 x+x+? +x(n个 x相加 )，即 x的 n次加法幂。
– -xy表示 xy的负元。
环的运算性质定理 12.1 设 <R,+,· >是环，则
(1)?a∈R,a0＝ 0a＝ 0
(2)?a,b∈R,(-a)b＝ a(-b)＝ -ab
(3)?a,b,c∈R,a(b-c)＝ ab-ac,(b-c)a＝ ba-ca
(4)?a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R( n,m≥2)
j
n
i
m
j
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i baba
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))((
定理 12.1的证明
(1)?a∈R,a0＝ 0a＝ 0
a0 ＝ a(0+0) ＝ a0+a0
由环中加法的消去律得 a0＝ 0。
同理可证 0a＝ 0。
(2)?a,b∈R,(-a)b＝ a(-b)＝ -ab
(-a)b+ab ＝ (-a+a)b ＝ 0b
ab+(-a)b ＝ (a+(-a))b ＝ 0b ＝ 0
因此 (-a)b是 ab的负元。
由负元的唯一性可知 (-a)b＝ -ab。
同理可证 a(-b)＝ -ab。
＝ 0
(3)?a,b,c∈R,a(b-c)＝ ab-ac,(b-c)a＝ ba-ca
a(b-c) ＝ a(b+(-c))＝ ab+a (-c) ＝ ab- ac
定理 12.1(4)的证明
j
n
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n
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i baba
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)(
(4)?a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R( n,m≥2)
先证明?a1,a2,...,an 有对 n进行归纳。
当 n＝ 2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。
假设 jn
i
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)(,则有
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由归纳法命题得证。
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定理 12.1(4)的证明同理可证,?b1,b2,...,bm 有于是
j
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例 12.2
例 12.2 在环中计算 (a+b)3,(a-b)2
解答 (a+b)3
＝ (a+b)(a+b)(a+b)
＝ (a2+ba+ab+b2)(a+b)
＝ a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
(a-b)2
＝ (a-b)(a-b)
＝ a2-ba-ab+b2
子环定义 12.2 设 R是环,S是 R的非空子集。若 S关于环 R的加法和乘法也构成一个环，则称 S为 R的 子环 (subring) 。
若 S是 R的子环，且 S?R，则称 S是 R的 真子环 。
举例：
整数环 Z，有理数环 Q都是实数环 R的真子环。
{0}和 R也是实数环 R的子环，称为 平凡子环 。
子环判定定理定理 12.2 设 R是环,S是 R的非空子集，若
(1)?a,b∈ S,a-b∈ S
(2)?a,b∈ S,ab∈ S
则 S是 R的子环。
证明,由 (1)S关于环 R中的加法构成群。
由 (2)S关于环 R中的乘法构成半群。
显然 R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在 S中也是成立的。
因此,S是 R的子环。
例 12.3
(1)考虑整数环 <Z,+,· >，对于任意给定的自然数 n，
nZ＝ {nz|z∈ Z}是 Z的非空子集，且?nk1,nk2∈nZ 有
nk1-nk2＝ n(k1-k2)∈ nZ
nk1· nk2＝ n(k1nk2)∈ nZ
根据判定定理,nZ
(2)考虑模 6整数环 <Z6,?,?>，不难验证
{0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。
其中 {0}和 Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。
环的同态定义 12.3 设 R1和 R2是环。,R1→ R2，若对于任意的 x,y∈ R1有
(x+y)＝?(x)+?(y),?(xy)＝?(x)?(y)
成立，则称?是环 R1到 R2的 同态映射,简称 环同态 。
说明 类似于群同态，可以定义环的单同态，满同态和同构等。
例 12.4
设 R1＝ <Z,+,· >是整数环,R2＝ <Zn,?,?>是模 n的整数环。
,Z→Z n,?(x)＝ (x)mod n
则?x,y∈Z 有
(x+y)＝ (x+y)mod n
＝?(x)mod n(y)mod n
＝?(x)(y)
(xy)＝ (xy)mod n
＝ (x)mod n? (y)mod n
＝?(x)(y)
所以?是 R1到 R2的同态,不难看出是满同态。
12.2 整环与域定义 12.4 设 <R,+,· >是环，
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称 R是 交换环 。
(2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称 R是 含幺环 。
(3) 若?a,b∈R,ab＝ 0? a＝ 0∨b ＝ 0，
则称 R是 无零因子环 。
(4) 若 R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，
则称 R是 整环 。
实例
(1)整数环 Z，有理数环 Q，实数环 R，复数环 C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。
(2)令 2Z＝ {2z|z∈Z},则 2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为 1?2Z。
(3)设 n是大于或等于 2的正整数，则 n阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。
实例
(4)Z6关于模 6加法和乘法构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。
2?3＝ 0，但 2和 3都不是 0。称 2为 Z6中的 左零因子,3为 右零因子 。类似地,又有 3?2＝ 0,所以 3也是左零因子,2也是右零因子，它们都是 零因子 。
一般说来，对于模 n整数环 Zn，若 n不是素数，则存在正整数
s,t(s,t≥2),使得 s?t＝ n。这样就得到 st＝ 0,s,t是 Zn中的零因子，因此 Zn不是整环。
反之,若 Zn不是整环，则 Zn一定不是无零因子环。
这就意味着存在 a,b∈Z n，使得 a?b＝ 0，但 a≠0 且 b≠0 。根据模 n乘法定义得 n整除 ab，从而推出 n不是素数。
若不然必有 n整除 a或 n整除 b，与 a≠0 且 b≠0 矛盾。通过上面的分析可以得到下面的结论,Zn是整环当且仅当 n是素数。
环是无零因子环的充分必要条件定理 12.3 设 R是环,R是无零因子环当且仅当 R中的乘法适合消去律，即?a,b,c∈R,a≠0,有
ab＝ ac? b＝ c ba＝ ca? b＝ c
证明 充分性。 任取 a,b∈R,ab＝ 0且 a≠0,
则由 ab＝ 0＝ a0和消去律得 b＝ 0。
这就证明了 R是无零因子环。
必要性。 任取 a,b,c∈R,a≠0,由 ab＝ ac得 a(b-c)＝ 0，
由于 R是无零因子环,a≠0,必有 b-c＝ 0，即 b＝ c。
这就证明了左消去律成立。
同理可证右消去律也成立。
环的直积例 12.6 设 R1,R2是环,?<a,b>,<c,d>∈R 1× R2,令
<a,b>+<c,d>＝ <a+c,b+d>
<a,b>· <c,d>＝ <ac,bd>
不难验证 R1× R2关于 +和 · 运算构成一个环，称为环 R1和 R2的 直积
，记作 R1× R2。
若 R1和 R2是交换环和含幺环，则 R1× R2也是交换环和含幺环。
若 R1和 R2是无零因子环，那么 R1× R2不一定是无零因子环。
例如 Z3和 Z2是无零因子环，因为消去律在 Z3和 Z2中都是成立的。
但是 Z3× Z2就不是无零因子环。
<2,0>· <0,1>＝ <0,0>＝ <2,0>· <0,0>
和 <2,0>≠<0,0>,根据消去律就可得到 <0,1>＝ <0,0>。错误。
因此我们可以说 整环的直积不一定是整环 。
域的定义与实例定义 12.5 设 R是整环，且 R中至少含有两个元素。若?a∈R *
＝ R-{0}，都有 a－ 1∈R,则称 R是 域 。
例如,有理数集 Q、实数集 R、复数集 C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为 有理数域,实数域 和 复数域 。
整数环只能构成整环 Z，而不是域，因为并不是对于任意的非零整数 z∈Z 都有 1/z∈Z 。
对于模 n的整数环 Zn，若 n是素数，可以证明 Zn是域。
例 12.7
例 12.7 设 p为素数，证明 Zp是域。
证明 p为素数,p≥2,所以 |Zp|≥2 。
易见 Zp关于模 p乘法可交换，单位元是 1，且对于任意的
i,j∈ Zp,i≠0 有
i?j＝ 0? p整除 ij? p|j? j＝ 0
所以 Zp中无零因子,Zp为整环。
Zp关于乘法?构成有限半群，且 Zp关于?适合消去律。
下面证明每个非零元素都有逆元。
任取 i∈ Zp,i≠0,i?Zp={i?j|j∈ Zp}则 i?Zp=Zp，
否则必存在 j,k∈ Zp，使得 i?j=i?k，由消去律得 j＝ k。这是矛盾的。
由于 1∈ Zp，这就推出，存在 i＇ ∈ Zp，使得 i?i＇ =1。由于?
运算的交换性可知 i＇就是 i的逆元。从而证明了 Zp是域。
例 12.8
判断下述集合关于给定的运算是否构成环、整环和域，如果不能构成，请说明理由。
(1)A＝ {a+b |a,b∈Z},关于数的加法和乘法。2
是环和整环，但不是域,例如 ∈ A，但 没有逆元。2 2
(2)A＝ {a+b |a,b∈Q},关于数的加法和乘法。3
是环,整环和域。
(3)A＝ {a+b |a,b∈Z},关于数的加法和乘法。32
不是环，不是整环，也不是域。因为 A关于数的乘法不封闭。
(4)A＝ {a+bi|a,b∈Z ∧ i2＝ -1}，关于复数的加法和乘法。
是环和整环，但不是域，例如 2i∈A,但 2i没有逆元。
例 12.8
(5)A＝ { |a,b∈Z},关于矩阵的加法和乘法。
ab
ba
00
00
11
11
11-
1-1
是环，但不是整环和域。
考虑矩阵 和 。
它们都是 A中的矩阵，且满足
11- 1-1 11 11
因此
11-
1-1 是左零因子，
11 11 是右零因子。
A不是无零因子环。也不是整环和域。
主要内容
代数系统 <R,+,·>构成环的条件,<R,+>构成 Abel群； <R,·>构成半群； ·对于 +满足分配律 。
环中运算性质,a0=0a=0； a(-b)=(-a)b=-(ab)；乘法对加法的广义分配律 。
环 R的非空子集 S构成 R的子环的条件：任取 a,b属于 S,有 a-b属于 S； ab属于 S。
环同态映射的定义,判别法及其实例 。
根据环中乘法的性质定义交换环 （ 交换律 ）,含幺环 （ 单位元
）,无零因子环 （ 消去律 ）,整环 （ 交换,含幺,消去律 ） 。
整环构成域的条件：元素数大于 1,每个非零元素有逆元 。
环的直积仍旧是环,交换 （ 含幺 ） 环的直积仍是交换 （ 含幺 ）
环,无零因子环 （ 整环,域 ） 的直积不一定是无零因子环 （ 整环,域 ） 。
学习要求
能判别给定代数系统是环 。
了解环的运算性质,能进行环中的运算 。
能判别环的子集是子环 。
能判别映射是环 R1到 R2的同态映射 。
能判断给定的环是交换环,含幺环,无零因子环与整环
。
能判断给定的环是域 。
作业习题十二
1,2,3,4,7
