1
第二章 波动
（ wave）
2
前言
1.振动在空间的传播过程叫做波动
2,常见的波有两大类,
此外,在微观领域中还有物质波 。
3,各种波的本质不同,
但其基本传播规律有许多相同之处,
(1) 机械波 (机械振动的传播 )
(2)电磁波 （ 交变电场,磁场的传播 ）
3
§ 2,1 机械波的产生,形成和和传播一,机械波 (mechanical wave)的产生
1,产生条件,(1)振动源 (2)媒 质
2,弹性波,机械振动在 弹性媒质 中的传播
质元之间以弹性力相联系3,简谐波 (S.H.W):波源作简谐振动,在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动,
§ 2,2 波的周期性和波速
4
★ 水波是横波吗?
横波,质元振动方向? 波的传播方向纵波,质元振动方向 ‖ 波的传播方向
★ 质元并未,随波逐流,,
“上游,的质元依次带动
,下游,的质元振动 。
5
x
传播方向
· ·A B
x
u
图中 B点比 A点的位 相落后：
二,波是 振动状态 \位相的传播沿波的传播方向,
各质元的位相依次落后 。
x
2
不同的振动状态相应不同的 位相 。
某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于
,下游,某处出现 。
6
三,波形曲线 (波形图 )
每过一个周期,波形向前传播一个波长的距离,
1,波形曲线 ( ｘ曲线 )
o? x
u
t?
波形曲线即能反映横波,也能反映纵波的质点位移情况
不同时刻对应有不同的波形曲线
7
2.注意区别波形曲线和振动曲线波形曲线 x,振动曲线 t
振动曲线上应标明 哪个质元波形曲线上应标明 时刻 t,传播方向
3.要求掌握
1)由某时刻的波形曲线
画出另一时刻的波形曲线
2)由某时刻的波形曲线
确定某些质元的振动趋势
画出这些质元的振动曲线
3)由某质元的振动曲线
画出某时刻的波形曲线
8
四,波的特征量
1.波长?,两相邻同相点间的距离,
2,波的频率?,媒质质点 (元 )的振动频率,
即单位时间传过媒质中某点的波的个数,
通常 波的频率? = 波源的振动频率?s
3,波速 u,单位时间波所传过的距离,
uT
波速ｕ又称相速度 (位相传播速度 )。
周期 T 代表了时间周期性 。
波长? 代表了空间周期性 。
9
波速取决于,
媒质的性质
波的类型五,波速与弹性媒质的性质 \波的类型 的关系
(1)长变
0?
Y
S
F
Y-杨氏弹性模量
(长变 应力 ) (长变 应变 )
l0
l0 +?l
F Fs
10
d
F切
F切
Ds
(2)切变
D
dN
S
F
(切变应力 ) (切变应变 )
N-切变 弹性模量
D
dN
S
F
P+?P
容变
P+?P
P+?P
P+?P
V+?V
(3) 容变
V
VBP
(容 变应力 ) (容 变应变 )
B-容 变 弹性模量
11
(1) 弹性绳上的横波
( T-绳的初始张力,?-绳的线密度 )
Tu?波速
几种具体的波速,
(2) 固体中的纵波波速
Yu?
(Y- 杨氏弹性模量,?----媒质的密度 )
12
(3) 固体中的横波
∵N < Y,固体中 ｕ 横波 <ｕ 纵波
* 震中
(4) 流体中的纵波 (只能传播纵波 )
0?
Bu?波速 B- 容变弹性模量,
0-无纵波时的流体密度
Nu?波速
( N- 切变 弹性模量,
----媒质的密度 )
13
例,声波在空气中的传播速度由于声振动的频率较高 (20--20000Hz),可以将空气的疏密过程看成 绝热过程,把空气当作理想气体,
求微分得
V
dV
PdP
dVVPd P V
01
对比可得 PB
smPu /332
29.1
10013.140.1 5
.c o n s tPV利用
14
§ 2.3 简谐波的波函数 (表达式 )
一,一维简谐波的表达式讨论,沿 +ｘ方向传播的一维简谐波
(无限长 !) 波速 u,振动圆频率为?
假设媒质无吸收 (质元振幅均为 A)
波速ｕ
x
·
d
xo
任一点ｐ参考点ａ
·
15
要写出平面 \一维简谐波的波函数,须知：
1.某参考点的振动方程 (知 A,?,? )
2.波的传播方向
3.波长?(或 k,或 u)
16
P 点的振动表达式为任意的 P点的振动,A和?均 与 a点 的相同,
沿 +ｘ方向传播,所以位相比 a点落后
(2?/?)(x - d).
称为沿 +ｘ方向的一维简谐波的波函数
a(t)=Acos(?ta)
设已知参考点 a 的振动表达式为
(对任意的 x 值都成立 !)
(记 !)
)(2 A co s dxt
a?
17
如果波沿 - x方向传播,如何写表达式?
k = 2?/? =?/u 称作角波数或?(x,t)= A cos[?t- kx]
(x,t)=Acos[?t - (2?x/?)]
若原点为参考点,初相为零,则
(x,t)=Acos[?t + (2?x/?)]
(X值越大的点,位相越领先 !)
或?(x,t)= A cos?[t- x/u]
(记 !)
18
二,一维简谐波表达式的物理意义由?(x,t)cos(?t-kx) 从几方面讨论,
1,固定 x,如 令 x=x0 则波的表达式变为
(x0,t)=Acos(?t? kx0) (振动方程 )
2,固定 t,如 令 t=t0 则波的表达式变为
(x,t0)cos(?t0?kx) (波形方程 )
3,如 看定某一位相,即令 (?t-kx)=常数
(x,t 均为变量 )
相速度为 dx/dt =?/k = u
19
三,平面波和球面波
1,波的几何描述波线 波面 (波阵面 ) 平面波 球面波球面波平面波波线波面
20
2,平面简谐波的表达式若平面简谐波沿 +ｘ向传播,空间任一点 p(x,y,z)
的振动位相只与 x,t有关,与其它空间坐标无关
(x,t) = Acos(?t -kx)
3,球面简谐波的表达式点波源,各向同性媒 质中
(r,t)=(A’/r)cos(?t-kr)
(即 一维或平面简谐波表达式 )
(A’的意义?)
21
§ 2.4 波所传播的能量一,弹性波的能量 能量密度波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动随着波的传播,能量也在传播,
振动动能 形变势能+ = 波的能量
1.弹性波的能量密度动能?Wk = (1/2)? mV2 =(1/2)?S?x(/?t)2
动能密度,wk =?Wk/S?x = (1/2)?(/?t)2
考虑细长棒上一段质元?x
动能密度
ms
x
22
势能密度考虑细棒上一段质元的长变若两端拉力由 0?F,
作功 (1/2)F = 弹性势能,
棒中有纵波时 wp= (1/2)Y(/?x)2
F
0
F= k
wp = (1/2)(F ) / S? x
= (1/2)(F/S)( /? x )
势能密度,
x X+?x
+
S
因 F/S=Y ( /? x)
23
能量密度
w能 = wk + wp
= (1/2)?(/?t)2+ (1/2)Y(/?x)2
对沿 x轴传播的平面简谐波?(x,t)=Acos(?t-kx)
其能量密度,
w能 = wk+wp =2A2sin2(?t-kx)
wk = (1/2)2A2sin2(?t-kx)
wp = (1/2)2A2sin2(?t-kx)k2=?2/u2:Y=?u2;
wk,wp均随 t周期性变化,两者 同相同大,
无动能和势能的相互转化,
24
w能 = wk+wp =2A2sin2?(t-x/u)
o T t
(1/2)2A2
w能 的圆频率为 2?;W能
uxtAA
uxt
A
/2c o s
2
1
2
1
2
/2c o s1
2222
22
W能 随 t 而变,并不守恒 ;
随着波形的传播,
能量也向前传播,
其传播速度也是ｕ
(波速 ).
25
平衡位置时速度最大?wk最大变形最大?wp最大
w 能 = 0
w能 最大某时刻弹性棒中各质元能量分布情况所以 W能 最大 。
位移最大时速度为 0? wk=0
变形为 0? wp=0
所以 W能 最小 。
t
(1/2)2A2
T
w能
0
26
二,平均能流密度 (波的强度 )
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量,称为 平均能流密度,
又称为 波的强度 I.
按周期平均的平均能量密度为
= (1/2)2A2能w
w能 = wk+wp =2A2sin2(?t-kx)因为
27
媒质的特性阻抗,Z =?u
单位,W/m2
u
S
u
x
I? A2
I2
平均能流密度 (波的强度 )即
I= us = u=(1/2)?u?2 A2.
能w 能
w
对球面波的 S1S2两个球面
（ 超声波比声波的强度大得多 ）
I = (1/2)?u A2?2 (记 !)
(1/2)?u A12?2S1T= (1/2)?u A22?2S2T
A124?r12= A224?r22?A1 r1=A2 r2
第二章 波动
（ wave）
2
前言
1.振动在空间的传播过程叫做波动
2,常见的波有两大类,
此外,在微观领域中还有物质波 。
3,各种波的本质不同,
但其基本传播规律有许多相同之处,
(1) 机械波 (机械振动的传播 )
(2)电磁波 （ 交变电场,磁场的传播 ）
3
§ 2,1 机械波的产生,形成和和传播一,机械波 (mechanical wave)的产生
1,产生条件,(1)振动源 (2)媒 质
2,弹性波,机械振动在 弹性媒质 中的传播
质元之间以弹性力相联系3,简谐波 (S.H.W):波源作简谐振动,在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动,
§ 2,2 波的周期性和波速
4
★ 水波是横波吗?
横波,质元振动方向? 波的传播方向纵波,质元振动方向 ‖ 波的传播方向
★ 质元并未,随波逐流,,
“上游,的质元依次带动
,下游,的质元振动 。
5
x
传播方向
· ·A B
x
u
图中 B点比 A点的位 相落后：
二,波是 振动状态 \位相的传播沿波的传播方向,
各质元的位相依次落后 。
x
2
不同的振动状态相应不同的 位相 。
某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于
,下游,某处出现 。
6
三,波形曲线 (波形图 )
每过一个周期,波形向前传播一个波长的距离,
1,波形曲线 ( ｘ曲线 )
o? x
u
t?
波形曲线即能反映横波,也能反映纵波的质点位移情况
不同时刻对应有不同的波形曲线
7
2.注意区别波形曲线和振动曲线波形曲线 x,振动曲线 t
振动曲线上应标明 哪个质元波形曲线上应标明 时刻 t,传播方向
3.要求掌握
1)由某时刻的波形曲线
画出另一时刻的波形曲线
2)由某时刻的波形曲线
确定某些质元的振动趋势
画出这些质元的振动曲线
3)由某质元的振动曲线
画出某时刻的波形曲线
8
四,波的特征量
1.波长?,两相邻同相点间的距离,
2,波的频率?,媒质质点 (元 )的振动频率,
即单位时间传过媒质中某点的波的个数,
通常 波的频率? = 波源的振动频率?s
3,波速 u,单位时间波所传过的距离,
uT
波速ｕ又称相速度 (位相传播速度 )。
周期 T 代表了时间周期性 。
波长? 代表了空间周期性 。
9
波速取决于,
媒质的性质
波的类型五,波速与弹性媒质的性质 \波的类型 的关系
(1)长变
0?
Y
S
F
Y-杨氏弹性模量
(长变 应力 ) (长变 应变 )
l0
l0 +?l
F Fs
10
d
F切
F切
Ds
(2)切变
D
dN
S
F
(切变应力 ) (切变应变 )
N-切变 弹性模量
D
dN
S
F
P+?P
容变
P+?P
P+?P
P+?P
V+?V
(3) 容变
V
VBP
(容 变应力 ) (容 变应变 )
B-容 变 弹性模量
11
(1) 弹性绳上的横波
( T-绳的初始张力,?-绳的线密度 )
Tu?波速
几种具体的波速,
(2) 固体中的纵波波速
Yu?
(Y- 杨氏弹性模量,?----媒质的密度 )
12
(3) 固体中的横波
∵N < Y,固体中 ｕ 横波 <ｕ 纵波
* 震中
(4) 流体中的纵波 (只能传播纵波 )
0?
Bu?波速 B- 容变弹性模量,
0-无纵波时的流体密度
Nu?波速
( N- 切变 弹性模量,
----媒质的密度 )
13
例,声波在空气中的传播速度由于声振动的频率较高 (20--20000Hz),可以将空气的疏密过程看成 绝热过程,把空气当作理想气体,
求微分得
V
dV
PdP
dVVPd P V
01
对比可得 PB
smPu /332
29.1
10013.140.1 5
.c o n s tPV利用
14
§ 2.3 简谐波的波函数 (表达式 )
一,一维简谐波的表达式讨论,沿 +ｘ方向传播的一维简谐波
(无限长 !) 波速 u,振动圆频率为?
假设媒质无吸收 (质元振幅均为 A)
波速ｕ
x
·
d
xo
任一点ｐ参考点ａ
·
15
要写出平面 \一维简谐波的波函数,须知：
1.某参考点的振动方程 (知 A,?,? )
2.波的传播方向
3.波长?(或 k,或 u)
16
P 点的振动表达式为任意的 P点的振动,A和?均 与 a点 的相同,
沿 +ｘ方向传播,所以位相比 a点落后
(2?/?)(x - d).
称为沿 +ｘ方向的一维简谐波的波函数
a(t)=Acos(?ta)
设已知参考点 a 的振动表达式为
(对任意的 x 值都成立 !)
(记 !)
)(2 A co s dxt
a?
17
如果波沿 - x方向传播,如何写表达式?
k = 2?/? =?/u 称作角波数或?(x,t)= A cos[?t- kx]
(x,t)=Acos[?t - (2?x/?)]
若原点为参考点,初相为零,则
(x,t)=Acos[?t + (2?x/?)]
(X值越大的点,位相越领先 !)
或?(x,t)= A cos?[t- x/u]
(记 !)
18
二,一维简谐波表达式的物理意义由?(x,t)cos(?t-kx) 从几方面讨论,
1,固定 x,如 令 x=x0 则波的表达式变为
(x0,t)=Acos(?t? kx0) (振动方程 )
2,固定 t,如 令 t=t0 则波的表达式变为
(x,t0)cos(?t0?kx) (波形方程 )
3,如 看定某一位相,即令 (?t-kx)=常数
(x,t 均为变量 )
相速度为 dx/dt =?/k = u
19
三,平面波和球面波
1,波的几何描述波线 波面 (波阵面 ) 平面波 球面波球面波平面波波线波面
20
2,平面简谐波的表达式若平面简谐波沿 +ｘ向传播,空间任一点 p(x,y,z)
的振动位相只与 x,t有关,与其它空间坐标无关
(x,t) = Acos(?t -kx)
3,球面简谐波的表达式点波源,各向同性媒 质中
(r,t)=(A’/r)cos(?t-kr)
(即 一维或平面简谐波表达式 )
(A’的意义?)
21
§ 2.4 波所传播的能量一,弹性波的能量 能量密度波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动随着波的传播,能量也在传播,
振动动能 形变势能+ = 波的能量
1.弹性波的能量密度动能?Wk = (1/2)? mV2 =(1/2)?S?x(/?t)2
动能密度,wk =?Wk/S?x = (1/2)?(/?t)2
考虑细长棒上一段质元?x
动能密度
ms
x
22
势能密度考虑细棒上一段质元的长变若两端拉力由 0?F,
作功 (1/2)F = 弹性势能,
棒中有纵波时 wp= (1/2)Y(/?x)2
F
0
F= k
wp = (1/2)(F ) / S? x
= (1/2)(F/S)( /? x )
势能密度,
x X+?x
+
S
因 F/S=Y ( /? x)
23
能量密度
w能 = wk + wp
= (1/2)?(/?t)2+ (1/2)Y(/?x)2
对沿 x轴传播的平面简谐波?(x,t)=Acos(?t-kx)
其能量密度,
w能 = wk+wp =2A2sin2(?t-kx)
wk = (1/2)2A2sin2(?t-kx)
wp = (1/2)2A2sin2(?t-kx)k2=?2/u2:Y=?u2;
wk,wp均随 t周期性变化,两者 同相同大,
无动能和势能的相互转化,
24
w能 = wk+wp =2A2sin2?(t-x/u)
o T t
(1/2)2A2
w能 的圆频率为 2?;W能
uxtAA
uxt
A
/2c o s
2
1
2
1
2
/2c o s1
2222
22
W能 随 t 而变,并不守恒 ;
随着波形的传播,
能量也向前传播,
其传播速度也是ｕ
(波速 ).
25
平衡位置时速度最大?wk最大变形最大?wp最大
w 能 = 0
w能 最大某时刻弹性棒中各质元能量分布情况所以 W能 最大 。
位移最大时速度为 0? wk=0
变形为 0? wp=0
所以 W能 最小 。
t
(1/2)2A2
T
w能
0
26
二,平均能流密度 (波的强度 )
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量,称为 平均能流密度,
又称为 波的强度 I.
按周期平均的平均能量密度为
= (1/2)2A2能w
w能 = wk+wp =2A2sin2(?t-kx)因为
27
媒质的特性阻抗,Z =?u
单位,W/m2
u
S
u
x
I? A2
I2
平均能流密度 (波的强度 )即
I= us = u=(1/2)?u?2 A2.
能w 能
w
对球面波的 S1S2两个球面
（ 超声波比声波的强度大得多 ）
I = (1/2)?u A2?2 (记 !)
(1/2)?u A12?2S1T= (1/2)?u A22?2S2T
A124?r12= A224?r22?A1 r1=A2 r2
