第三章 线性系统的时域分析
§ 1 典型输入信号
0 t0
0 t)(
Rtr
t
r(t)
R
t
r(t)
Rt
r(t)
t0
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
3
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
一．阶跃函数二．斜坡函数（匀速函数）
三．抛物线函数（匀加速函数）
R=1时，称为单位阶跃函数，记为 l(t) 。 R(S)=1/S。
R=1时，称为单位斜坡函数。
R=1/2时，称为单位抛物线函数。
ht
h t 0 t0
)(
h
Atr
及
t
r(t)
1R ( s )
0 t0
0 t( t )
h
0
s
A
R ( S )
)-tA s i n (r ( t )
22
h
1/h
t
r(t)
r(t)
t
四．脉冲函数五．正弦函数当 时，则称为单位脉冲函数。
2.一阶系统的时域分析
1
1
TS
1
1
)(
)s(
)(
)()(
)(
TssR
C
s
trtc
dt
tdc
T
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。
T
t
etc
Ts
T
ssTs
sRssC
s
ttr
1)(
1
11
1
1
)()()(
1
R( s ) )(1)( 一,单位阶跃响应标准形式传递函数
0,0 2 4
0,0 5 3
%9898.0)(,4
%9595.0)(,3
%2.636 3 2.01)(,
1.
:
1
T
T
t
tcTt
tcTt
etcTt
s
可得调整时间时时时系统输出量的数值可以用时间常数去度量说明
T
T
e
Tdt
tdc
T
t
T
t
t
数响应曲线上确定时间常可用此方法在单位阶跃相应曲线的初始斜率为
11)(
1
.2
00
1
A
T
0.632
斜率 1/T
1/T
T1368.0
T t
r(t)
T
T t
r(t)
当输入信号为理想单位脉冲函数,系统的输出称为单位脉冲响应 。
1
]
1
1
[L)(
1
1
)(
1
1
)(
1)]([)(
1 T
t
e
TTs
tc
Ts
sR
Ts
sC
tLsR
二,单位脉冲响应
,)(
t
)e-T ( 1c ( t )-r ( t )e( t )
TeT-tc ( t )
1
11
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )t r ( t )
T
t
-
T
t
-
2
22
2
Te
Ts
T
s
T
ss
时，
三,单位斜坡响应跟踪误差为 T。
1s
1
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )
2
1
r ( t )
43
2
2
3
1
3
3
2
Ts
a
s
a
s
a
s
a
t
3
134
2
03
2
02
2
3
0202
0
3
31
1
1
1Ts
1
a
)1(
2
2
1
1Ts
1
!2
1
a
)1(1Ts
1
a
1
s
1
1Ts
1
a
TTs
s
T
Ts
T
ds
d
T
Ts
T
ds
d
s
T
s
ss
ss
s
)1(
2
1
2
1
)(
1
1
C ( s )
22222
32
23
T
t
eTTtteTTTtttc
Ts
T
s
T
s
T
s
T
t?
四．单位抛物线响应
)()()()(
3
3
2
2
tr
dt
dtr
dt
dtr
dt
dtr
抛物线斜坡阶跃脉冲
)1(21)( 22 T
t
eTTtttc
T
t
etc 1)(
T
t
eTtc 1)(
T
t-
TeT-tc( t )
)()()()(
3
3
2
2
tc
dt
d
tc
dt
d
tc
dt
d
tc 抛物线斜坡阶跃脉冲
五．结果分析输入信号的关系为：
而时间响应间的关系为：
§ 3 二阶系统的时域分析
)()()(2)(d 222
2
trtc
dt
tdc
dt
tc
nnn
s 2 n 2
2
2 nn s
R(s) C(s)
)s (s n
n
2
2
R(s) C(s)
2sR ( s )
C ( s )
22
2
n
nn s
R ( s ) ]
2s
[Lc ( t )
)2s ( s
G( S )
22
n1-
2
n
nn
n
s
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。
微分方程的标准形式：
—阻尼比，? n? —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图等效的开环传函及方框图
02s
22
nn
s
1
2
2,1
nn
js
s1
s2
21n
n
一．单位阶跃响应
1.闭环极点的分布二阶系统的特征方程为两根为位于平面的左半部的取值不同,特征根不同。
1s 21,2 nn
（ 1） （欠阻尼）有一对共轭复根10
s 1 1,2 n
s2
s1
s1 s2
s2
s1
s1
s2
1s 1 21,2 nn
nj 1,2s 0
1s 01- 21,2 nn j
（ 2） （临界阻尼），,两相等实根
（ 3） （过阻尼），,两不等实根
（ 4） （无阻尼），,一对纯虚根
（ 5）,位于右半平面
)(
1
1)(
1
))((
21
1
2
C ( s )
10 ( 1 )
22
2
2
22
2
n
2
2
n
dn
n
dn
n
dndn
n
n
ss
s
s
jsjs
s
s
sss
时
2.二阶系统的单位阶跃响应
2
2
2
-
-
2
-
1
a r c t g c o s 1s i n
)s i n (
1
e-1
s i ne
1
c o se-1c ( t )
t
tt
d
t
d
t
d
t
n
nn
t)dc o s (-1)090tds i n (-1c(t) 0)2( 时
t
n
nn
n
n
n
nn
n
n
ettc
sss
sssss
sC
)1(1)(
1
)(
1
1
)(
1
2
)( 1( 3 )
2
2
2
2
22
2
时
)1(12
1
a,
)1(12
1
a
1
1
1
1
2
C ( s )
1s 1)4(
22
2
22
1
2
2
2
1
22
2
2
2,1
nnnn
nn
n
nn
s
a
s
a
s
sss
一对实根
e
)1(12
1
e
)1(12
1
-1c ( t )
)1(-
22
)1(-
22
2
2
t
t
n
n
2
2
d
d
2
-
1
a r c t g 1
)ts i n (
1
e
-1c ( t )
01- ( 5 )
n
t
n
时
一般 在 0.4—0.8间响应曲线较好
10 0 %)c( )c(-)c ( t ppp
)c(|)c(-c ( t )|
t
c(t)
2
tr tp ts
c(?)
二,二阶系统的性能指标
1.定义超调量,
t r
上升时间,
pt峰值时间,单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
)C( N?
振荡次数,在调整时间内响应过程穿越其稳态值次数的一半定义为振荡次数。
调整时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。
，一般取 05.002.0
单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。
1
a r c t g
1
)
1
(
1
t
1
tg,
1 )s i n
1
( c o s1)c ( t
,1)( tt
2
d
2
2
r
2
2
r
r
n
d
rd
rdrd
t
r
a r c t g
t
tte
tc
rn
得由此得即时当
2.性能指标的计算
(1)上升时间 rt
2
2
pd
2
pdn
2
pdd
-
2
pd
-
n
2
-
1
,,
.,,,,,,3,2,,0,0s i n
0)co s
1
t( - s i n
)s i n
1
t( c o s-
0)co s
1
ts i n(-e
)s i n
1
t( c o se-
,0
dt
d c( t )
)s i n
1
( c o se-1c( t )
n
n
n
ppd
pdpd
pd
d
d
d
pd
d
t
d
t
tt
dd
t
tt
tt
t
t
t
t
tt
p
p
p
n
则取因为第一个峰值时间有由
（ 2）峰值时间 t
p
1 0 0 %e
1s i n
1
co s
s i n
1
co s
%1 0 0)s i n
1
( co se
1 0 0 %
)c(
)c(-)c( t
2
n
1
-
p
2
2
2
-
p
p
d
d
d
d
pdpd
pdpd
t
tt
tt
p
（ 3）超调量
p?
1
1
ln3
t0,0 5,
1
1
ln4
t0,0 2,
1
1
ln
1
t,
0| 1)
1
s i n (
1
e-1|
tt )c(|)c(-c( t )|
2
s
2
s
2
n
s
2
2
-
s
n
n
n
d
t
a r ct gt
取取解得根据
1
tn-
2 e1
11
tn-
2 e1
1-1
t 0,90
02.0 4
0,0 5 3s
n
n
时
（ 4）调整时间
)(
1
1
0)
1
s i n (
0)
1
s i n (
1
1
)()(
.
0)()(,)()(
0,
2
2
2
2
2
ma r ct gttt
na r ct gt
a r ct gt
a r ct gtectc
ctcNctc
ttN
sds
d
d
d
t
s
n
代入得将来计算可由的次数之半穿越稳态值应时间内系统响等于在振荡次数根据定义
（ 5） 振荡次数 N
表示取整数并取整数得代入将得令好等于并不一定刚时因为当为小数为整数式中
(,)
)
2
-1
a rc t g
-1
1
ln
2
-1
N(N
,
-1
1
ln
1
2
1
1
,
2
,)(
c( t ),,,
2
2
2
2
n
2
2
N
t
a r ct gt
N
m
Nc
ttm
s
sn
s
阻尼振荡周期
2
T
d
d
d
s
T
t
N
:
,
,
)/(40,5,
,1.
n
解性能指标试求系统的动态信号时入信号为单位阶跃当输秒弧度其中二阶系统如图所示例
%3.16%1 0 0%1 0 0
)(91.0t
)(60.0t
46.35.0141
)(05.160
2
5.01
5.0
2
1
2
2
2
2
p
46.3
1
p
46.3
05.1
1
r
22
d
5.0
5.01
1
ee
a r ct ga r ct g
n
n
n
秒秒弧度
)2(
2
n
nss
三．计算举例
0,0 2 )(118.1
14.32
46.314.2
2
t
N
0,0 5 )(18 6 5.0
14.32
46.357.1
2
t
N
0,0 2 )(14.2
45.0
ln4ln4
t
0,0 5 )(57.1
45.0
ln3ln3
t
s
s
5.01
1
1
1
s
5.01
1
1
1
s
2
2
2
2
次次秒秒
d
d
n
n
.K
,1
%3.16
c( t )
,2
p
之值及内反馈系数益试确定前置放大器的增秒峰值时间和调量有超具阶跃响应要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例
p
t
)1(10?ssK
s?
C(s)R(s)
ra d / s 3,6 3
n
2
1
p
t
0,5
%3.16%100
2
1/
p
p
)1(:
得又得由及参数计算出二阶系统和由已知解
n
e
n
p
t
0,2 6 3 32.1
10
2
101
n
2
2
2
2
s
2
R ( s )
C ( s )
( 3 )
10)101(
2
s
1 0 K
R ( s )
C ( s )
,( 2 )
K
K
n
n
s
n
n
Ks
解得与标准形式比较并化成标准形式求闭环传递函数
t 1s i ne
1
]
)1)(1(
[Lk ( t )
1)(0
s i n][Lk ( t )
0)(
2
c ( s )
2-
2
n
22
2
n1-
n
2
n
2
2
n1-
22
2
n
n
n
t
nnnn
n
nn
jsjs
t
s
ss
四．二阶系统的脉冲响应
（ 1）无阻尼 脉冲响应
（ 2）欠阻尼 脉冲响应
][
12
]
)1(
)1(
[Lk ( t )
1)(
]
)(
[Lk ( t )
1)(
)1()1(
2
n
2
12
2
12
1-
2
2
n
2
n1-
22
2
n
2
n
tt
nn
nn
t
n
nn
n
ee
s
s
te
s
（ 3）临界阻尼 脉冲响应
（ 4）过阻尼 脉冲响应
1
e1
1s i n
1
)(
0)(
0
1
1s i n
1
)k ( t
tt,
)1(0
p
1
-
0
2
20
2
2
2
p
p
2
p
pn
p
pn
t
n
t
n
t
p
n
n
t
n
t d tedttk
ttk
e
积分有至从对则令在欠阻尼下
ttp
kmax
0
1+tp
脉冲响应与阶跃响应的关系
1
1
a r c t g
)1s i n (
-1z
)1()-(z
-1C ( t )
10
1
)(
)2(
)(
R ( s )
C ( s )
2
2
2
2
222
n
22
2
n
n
n
n
nn
n
z
a r ct g
t
s
SR
ssz
zs
五．具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的闭环传函具有如下标准形式当 时，对欠阻尼情况
222n
s
s
222
1
p
2
p
2
r
)1()(
z
0,0 2
ln4
t
0,0 5
ln3
t
%1 0 02
1
t
1
t
2
1
)(
nn
n
z
l
n
z
l
n
n
zl
e
这里对应的性能指标为
5)~(2z n
说明：
1.闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应过程 (起始段 )；
2.削弱系统阻尼，超调量大；
3.合理的取值范围为 。
(t)c(t)cc ( t )
2
)0()2)(0(
)(
2
c ( s )
)()()]0()([2)0()0()(s
21
2
n
2
.
2
n
2
2
n
22
.
2
ss
csc
sR
ss
sRsccssccscsc
n
n
n
nnn
零状态响应零输入响应六 初始条件不为零的二阶系统的响应过程当初始条件不为零时，求拉氏变换得
)()()(2)(d 222
2
trtcdt tdcdt tc nnn
可见,具有相同的衰减振荡特性(t)c(t),c
21
)s i n (]
1
)0()0(
[)]0([)(c
)s i n (e-1( t )c
/1)( 1,0
n-
2
n
2
2
.
2
2
1
1-
1
te
cc
ct
t
SSR
d
n
n
d
t
t
时当取
。试求取系统的传递函数响应已知某系统的单位阶跃例
tt ee 21c( t )
1.
23
2
R ( s )
C ( s )
23
4s
s
1
23
2
)(
4)0()0(2)0(
431)0(2( 0 )c
2 32
)23(
24
2
1
1
11
)(
1)( 1)0(
2
22
2
2
2
ss
ssss
sc
sccsc
c
sss
ss
sss
sc
occ
n
n
nn
则
:解
§ 4 高阶系统的时域分析
)1co s (1)(
2
1)(1
1
)2()(
)z-(sK
C ( s )
2
1 1
1
22
2
1
22
11
j
1j
kknk
q
i
r
k
ts
k
ts
i
r
k nknkk
k
nkknkkk
q
i i
i
nknk
k
i
q
j
m
teDeAtc
s
CsB
ss
A
s
s
ssss
nkii
Res1
s2
s3
n5 n
Im
在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。
一．闭环主导极点的概念二．高阶系统单位阶跃响应的近似分析 ndj
S
5|R e S|
1,2
3
2
1
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
knknkkk
SS
kn
i
i
m
j
j
k
ss
kn
i
k
m
j
j
k
ssin
i
i
m
j
j
i
js
ss
sss
zs
K
ss
sss
zs
KD
ss
sss
zs
KA
k
k
i
由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。
暂态响应分量的合成则有如下结论：
（ 1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决定。系统的极点在 S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。
iS nkk
（ 2）系数 和 不仅与 S平面中的极点位置有关，
并且与零点有关。
a.零极点相互靠近，且离虚轴较远,越小，对 影响越小；
b.零极点很靠近，对 几乎没影响；
c.零极点重合（偶极子）,对 无任何影响；
d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影响大。
iA kD
iA )(tc
)(tc
)(tc
iS )(tc
5|R e S| 3?（ 3）若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。
§ 5 线性系统的稳定性与稳定判据
0,F ( S )0,R ( S )
)()(C ( S )
)()(MM ( P ) R ( t )D ( P ) C ( t )
)(
)(
)(
)(
D ( S )
M ( S )
f
0
则令取拉式变换后有设系统的运动方程为
SD
SM
SD
SM
SFSR
tfP
f
一．稳定的概念与定义定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，
简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
)(lim 0R eS
0)(lim 0R eS
)(A
)(
,0D ( S ) )1,2,3,.,,n(i S
C ( S )
t
i
t
i
)(
)(
i
1
i
1
D ( S )
( S )M
0
0
tc
tc
SS
eAtC
i
i
i
i
SSi
SD
SM
n
i
tS
i
n
i
SS
A
则若则若则的根为线性系统稳定的充要条件：
其特征根全部位于 S平面的左半部。
,
254
1
R( S )
C( S )
,
23
解的稳定性。
试判断系统例
SSS
,
-2
3
S -1,
2
S -1,
1
S
02)(S
2
1)(S2)3S
2
1 )(S(S
025S
2
4S
3
S
故系统稳定。
负实部由于三个特征根都具有
0asa...sasaD ( s ) 01
1-n
1-n
n
n
三．稳定判据
1.Routh稳定判据系统的特征方程为必要条件
（ 1）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 都不为零；
（ 2）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 具有相同的符号。
充分条件：
劳斯阵列第一列所有元素为正。
c c
b
b b
,,,,,,,,,,,,
.,,,,,cc s
.,,,,,,b b b s
.,,,,,a a a a s
.,,,,,a a a a s
1
3151
2
1
2131
1
1
761
3
1
541
2
1
321
1
2 1
3-n
321
2-n
7-n5-n3-n1-n
1-n
6-n4-n2-nn
n
b
baab
b
baab
a
aaaa
a
aaaa
a
aaaa
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
劳斯阵列的个数。别该特征方程正实部根试用R o u t h 判据判
054s3s2ss
设有下列特征方程 例1,
234
5 s
0 6 s
5 1s
0 4 2 s
5 3 1 s
,,
0
1
52-411
2
4-32 2
3
4
列写劳斯阵列解符号改变一次符号改变一次
。故有两个实部为正的根次阵列第一列符号改变二
Routh,?
,
023s-s
,
3
解正的特征根的个数。试应用判据判别实部为设系统的特征方程为例
2 s
0 s
2 0 s
3- 1 s
0
2-3-
2
3
改变一次改变一次
2.Routh判据的特殊情况
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
方法一,
有两实部为正的根。
有两个实部为正的根。
则取得新方程乘以原方程以
6
0
s
0 20
1
s
0 6 2 / 3-
2
s
0 7- 3
3
s
6 3- 1
4
s
067s-
2
3s-
3
3s
4
2)3s-
3
a)( s(s
,3,,)(
s
aas
改变一次改变一次方法二,
,
04-4s-7s-3s-2s-s
::
23456
解
。试确定正实部根的个数已知系统特征方程为例
s
0 0 0 s
4- 3- 1 s
0 4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
3
4
5
6
06s-4s
ds
d F ( s )
04-3s-F ( s ):
3
24
s辅助方程
4- s
0 1 6,7- s
4- 1,5- s
0 6- 4 s
4- 3- 1 s
4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
0
1
2
3
4
5
6
b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
。另外二根为再由原特征方程得
。得出产生全零行的根为求解辅助方程有一个实部为正的根。
符号改变一次
2
3
2
1
-,
0)1)(4)(1(s
:
,2
0)1)(4(43)(
,
222
2224
j
sss
j
sssssF
,
K,-1S
K
R o u t h,:
解至范围应取多大问垂线之左部位于闭环极点全的取值范围。如果要求的开环增益判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例
)125.0)(11.0( SSS K
C(S)R(S)
-
s
14
-5 6 0
s
14 s
40 1 s
,
04014s
:4 0,K,
)10)(4(
)(
:
0
1
2
3
23
K
K
K
Kss
Ksss
K
s
相应的劳斯表为程由上式得系统的特征方式中系统闭环传递函为
14K0 5 6 0K0
0
14
K-5 6 0
0K
,
*
*
*
即应有为使系统稳定
3.Routh判据的应用
4,8K0,6 7 5
19227
27-K s
11
27)-(K-165
s
27-K 11 s
15 1 s
0)27(1511s
,,1s
,1
*
*
0
1
*
1
1
*
2
1
3
1
*
1
2
1
3
1
1
K
R o u t h
Kss
s
ss
则解得表为相应的得代入原特征方程则令垂线之左平面上全部位于若要求闭环极点在
0
a a 0
a a a
a a a
0
a a
a a
0
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n -1n
3
2-nn
3-n-1n
2
11
n
a
0
a a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a a
0 0 a a a a
02
1
0
2-nn
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n-1n
6-n4-n2-nn
7-n5-n3-n-1n
n
4.Hurwitz判据设系统的特征方程为：
则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数 ai(i=1,2,…,n)
构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即
0a 0asasasa n01-1n-1nnn
,
0105s3ss2s
.
234
解该系统的稳定性。试用霍尔维兹判据判断设系统的特征方程式为例
系统是不稳定的?
04 5 0
5 1 0
10 3 2
0 5 1
10
0451051015
5 1 0
10 3 2
0 5 1
07103
3 2
5 1
01
10 3 2 0
0 5 1 0
0 10 3 2
0 0 5 1
4
3
214
§ 6 反馈系统的误差与偏差
)()()(c
)()()(
r trpt
tctcte r
1.误差的定义一．误差期望输出 cr(t)与实际输出 c(t)之差定义为反馈系统响应
r(t)的误差信号，即算子,反映 cr(t)与 r(t)之间的比例微分或积分等基本函数关系，当系统所要完成的控制任务已确定时，
便是已知的。
dt
dp? )(p?
2.反馈系统 的确定一非单位反馈系统如图 (a)所示，其等效方框图为图 (b)。
)(p?
)(p?
1( p )
1,H ( s )
1 / H ( s )( s )
)(/)()( )(
故对单位反馈系统图知由 sHsRsCb r
R(s)
F(s)
C(s)G
2(s)G1(s)H(s)1/H(s)
Cr(s) E(s) +
-
(b)图
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
Y(s)
R(s) )(s?
-
+ C(s)
(a)图差与偏差的关系也可以用下图来表示误或而由偏差定义有即
)(E ( s ) H ( s ) E ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )H ( s ) E ( s )
)()(C ( s )-( s ) R ( s )
C ( s )-( s )CE ( s )
)()(( t )
H ( S )
1
H ( s)
1
r
s
sCsR
tytr
G1(S) G2(S)
H(S)
Y(S)
C(S)
E(S)
R(S) )(S?
)(S?
-
F(S)
3.偏差的定义说明：
1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。
2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。
3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。
4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定义，但在本书是加以区分的。
( t )-c( t )e
)()()(e
ff
f
tctct
frf4.系统响应扰动信号的误差
crf(t)为系统响应扰动信号 f(t)的期望输出，
考虑到实际系统应不受扰动信号的影响，故应有 crf(t) = 0，这样
§ 7 反馈系统的稳态误差及计算
G ( s )1
R ( s )
( s ) H ( s )( s ) GG1
R ( s )
( s )
21
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
稳态误差：反馈系统误差信号 e(t)的稳态分量，记作 ess(t)。
动态误差：反馈系统误差信号 e(t)的暂态分量，记作 ets(t)。
一．响应控制信号 r(t)的稳态误差
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
E ( s )
)(
)(
G ( s )1
1
)(
1
)(
)(
( s )
2
1
sR
sR
sD
sM
sR
sD
sM
sD
sM
sHsR
sE
ee
e
e
),()()( tetete ssts
对稳定系统,0)( tet ts
0t (t)e( s )e
e ( t )
)(
)(
)(
)(
b
)(
)(
)(
)(
a
-s
b
s-s
a
E ( s )
ssts
l
1
n
1
'
2
1
i
2
1
'i
l
1 i
i
n
1 i
i
i
t
i
i
ts
i
i
i
i
ie
i
i
i
ie
ii
ii
ebea
R
R
D
M
sR
sR
sD
sM
（ 1） R(s)仅有单极点时
)(se? i?设 si为的 极点,为 R(s)的极点，则
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
'
2
1
'
2
1
t
i
ii
l
i
ie
t
i
ii
l
i i
ie
ss
i
i
e
R
R
e
R
R
D
M
te
一般认为在 t > ts 之后动态误差 ets(t)基本消失，这时只含有稳态误差 ess(t),即对于稳定系统的闭环极点都具有负实部，所以有由此可看出,ess(t)不仅和描述系统特性的闭环传函 有关，而且还取决于控制输入的极点 。
)(se? i?
0)( li m
t
te ts
t
s
'
21
t
1-i-r
2
1
1
0
ss
e
)(
)(
)(
e
1 ) !-i-(r
t
])(
)(
)(
)([
!
1
( t )e
i
i
sR
sR
s
s
sR
sR
s
ds
d
i
i
rl
i
e
s
r
r
i
e
i
i
（ 2） R(s)含有重极点时当控制输入 r(t)的拉氏变换 R(s)含有 r重的极点，而其余 l–r个极点各不相同时。
s
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
)(
)(
)(
)(
)(E
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(1
)(
)(E
)(
)()()(1
)(
)(c
)()(e
2
1
f
2
ef
2
f
21
2
f
f
sF
sF
sD
sN
s
sD
sN
sG
sG
s
sF
sG
sG
s
sF
sHsGsG
sG
s
tct
f
二．反馈系统响应扰动信号 f(t)的稳态误差
rk
t
t
irr
i
i
s
e
ir
t
sF
s
ds
d
i
1i
s'
2
1
ef
1
s
r
2
1
ef
1
0i
ss
i
i
e
( s )F
)(F
( s )
)!1(
])-(s
)(
)(F
( s )[
!
1
( t )e
k
i
t
i
i
iefss
k
i
t
i
n
i
ts
if
i
ii
e
F
F
te
ebeate
1 2
1
11
)(
)(
)()(
)(
（ 1） F(s)只含有单根时
（ 2）当 F(s)含有重根时
s
设 F(s)含有 r 重 的极点，其余 k–r 重极点个不相同。
)()0()()0(( 0 ) s R ( s )( 0 ) R ( s ) E ( s )
)0(( 0 ) s( 0 )( s )
)(
L!
12
2!
1
2
..
2!
1'
sRssRs
s
ll
eeee
eeee
三．误差系数误差传递函数为这是一个无穷级数，它的收敛域是 s = 0 邻域，这相当于在时间域内 时成立的误差级数。因此在所有初始条件为零的条件下，对上式进行拉氏变换，就得到稳态误差表达,
t
将 在 s = 0 的邻域内展开成 Taylor级数，有)(s
e?
)(
1
)(1
1
)(
)(( s )
sHsGsR
sE
e
( s ) R ( s )E ( s ) e
1.一般方法
)(
)()()()(
0
)(
)(
.
10
i
i
i
l
lss
trc
trctrctrcte
同理可得则稳态误差可以写成
)()0(
)()0(( t )r( 0 )( 0 ) r ( t )e ( t )
)()(
l!
1
....
2!
1
..
tr
tr
ll
e
eee
0
)(
f s s )(( t )e
i
i
fi tfc
这里 ci,cfi称为误差系数。
)0( )(i!1 ieic 令
)(
)(
1
1
G ( s ) H ( s )
1
1
sN
sM
sasa
sbsb
s
K
vn
vn
m
m
2.系统阶次较高时（这里介绍一种简便算法）
（ 1）将已知的开环传函按升幂排列成如下形式
（ 2）写出多项式比值形式的误差传递函数
（ 3）对上式用长除法得
（ 4）求 E(s)
)()()()()(E ( s )
10e sRscssRcsRcsRs
i
i
)()(
)(
)()(1
1)(
e sNsM
sM
sHsGs
ii scsccs 10e )(
1)s ( s
2
( s )G
10,2 s
5
( s )G
,1 ( t ),f(t)
t,r ( t ),
21
试计算系统的稳态误差信号扰动其中输入信号设控制系统如图所示例
0,1( t )rcr( t )c( t )e
1( t )r,)(
- 0,0 0 3C 0,1 1C 0,1C 0C
0 0 3.011.01.0
2.02.110
0,2 s1,2 ss
1
1
)(
)(
)(
,0)(( 1 ):
.
10ssr
.
3210
32
32
32
)1(
2
12.0
5
e
故又误差系数得误差传函令解
ttr
sss
sss
sR
sE
s
sF
SSS
C(s)R(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)- +)(s?
3.0|||e|e
,
1.0)2.0(1.0e
- 0,2f ( t )c( t ) 1 ( t )f ( t )
026.002.02.0
1)(
)(
)(
,0)(( 2 )
ssrss
ssrss
0
2
)1(
2
12.0
5
)1(
2
ef
ssf
ssf
ssf
SSS
SSf
e
ee
e
ss
sF
sE
s
sR
取此在随动系统设计中常因方向是变化的有时作用到系统的扰动得扰动误差传函令
)1()1)(1(
)1()1)(K ( 1
G ( S ) H ( S )
21
21
sTsTsTs
sss
vn
v
m
（ 1）系统型别四．稳态误差终值的计算设系统的开环传函为称为零型系统称为 I 型系统称为 II 型系统系统的型别以 来划分?
0
1
2
优点,1．可以根据已知的输入信号形式，迅速判断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。
2．系统阶数 m,n的大小与系统型别无关，且不影响稳态误差的数值。
)()(lim)(s lime
0s0s
ss sRsssE e
。控制系统的稳态误差值时和试求当输入信号分别为传递函数为设单位反馈系统的开环例
,s i n)(
2
1
)(
,
1
G ( s )
,
2
wttrttr
Ts
2.利用终值定理计算应用终值定理的条件是 sE(s)在 s右半平面及虚轴上解析，或者说 sE(s)的极点位于左半平面（包括坐标原点）。
因而是允许的。际所求一致但与实在坐标原点不解析尽管在数学上由终值定理时时当解
,
,)(
lims E ( s )lime
( 2 )
e t
T)-T ( teTe( t )
-( s ) R( s )E ( s ) ( 1 )
R( s ) tr ( t )
( s ):
1 / T )s ( s
1
0s0s
ss
ss
-2
1 / TS
T
S
T
S
T
1 / T )(SS
1
S
12
2
1
/1
S
( S )1
1
e
T
t
22
22
3
ssE
TSG
.
0
)s()1(
lim)(lim)(e
,
,,0)(e,
s i n
1
c o s
1
)(e
s i n
1
c o s
11
e ( t )
s
1
1
s1
1
1
1
)s()1(
)()(E ( s )
s
R ( s ) )3(
22
2
00
ss
ss
22
22
22
ss
22
22
2222
2222
32
222222
22
e
22
的错误结论否则得出算稳态误差值不能采用终值定理来计所以此时轴上不解析应当注意正弦函数在虚这里
Ts
s
ssE
t
T
T
t
T
T
t
t
T
T
t
T
T
e
T
T
T
Ts
T
T
Ts
T
T
Ts
s
sRs
ss
Tt
1
1
)(1
1
l i m)(
)(1
1
l i me
00
ss
p
ss ksG
sR
sG
s
3．静态误差系数已知定义 速度误差系数
)(limk 0v ssGs
v
s
s kssGssG
s 1)(l i m 11)(1 1l i me
0
20ss
)()(1 1l i m)(l i me
00ss
sRsGsssE
ss?
1R ( s ) 1( t )r ( t ) ( a ) s
定义 位置误差系数
)(limk 0p sGs
1R ( s )t r ( t ) )( 2sb
1
)(l i m
11
)(1
1
l i me 2
0
30ss
as
s ksGsssG
s
定义 加速度误差系数
)(l i mk 20a sGss
1R ( s ) t21r ( t ) )( 32 sc
k
1
t
2
1
0
k
1
t
0 0
k1
1
1 ( t )
II I 0
a
2
v
p
输入型型型差型别误
,
)(2,
1.,
,G ( S ) 0:1
2
210
1S
K
2
解时的误差系数当输入定误差及误差级数。
的给定稳在三种典型输入下系统试计算是型系统的开环传递函数设例
ttRRtr
R
1
e tr( t )
1
e tr( t )
1
1
1
1
e 1 ( t )r( t )
0k,0k k,k
,0
SS
2
2
1
SS
SS
avp
a
v
p
k
k
kk
时时时所以型由于系统为
32
1)(K
2K-
e
..
1)(K
K
e
.
K1
1
e
1s
ke
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
1
1
1
( s )
ks
s
)(
)1(
)(
)1(
)(
1
1
)(e
)0(C )0(C )0(C
..
3
.
2ssr
..
2
1
2
.
10
tr
K
k
tr
K
k
tr
k
t
eee
23212
2
2101
1
ssr
2
..
21
.
2
210
322ssr
2
2
1
2ssr
ssr
)1(
)(
)1(
)
2
1
()(e
)( (t)r
2
1
)(
)1()1(1
1
)(e )(
)1(1
1
)(e )(
1
1
)(e 1)(
2
R
K
k
tRR
K
k
tRtRRt
RtrtRR
tRtRRtr
K
k
t
K
k
k
tttr
K
k
t
k
tttr
k
ttr
K
t
时当时当时当时当
§ 8 顺馈控制的误差分析
)()(
)(
)(
)()(
,0)()()()(
( s ) ] F ( s )G( s )( s ) G ( s ) G[GC ( s ) ]-s)( s ) G ( s ) [ R (G
( s ) F ( s ) ]GC ( s )-s)( s ) G ( s ) [ R (G( s ) F ( s )Gc ( s )
( s )G
1
1
f1cc
1cf
1
SGSG
SG
SG
tctf
sGsGsGsG
c
f
fc
这时的影响。对则可消除扰动信号若取为顺馈通道传递函数
R(s) C(s)
G1(s) Gf(s)
Gc(s) G(s)
F(s)
+
一．应用顺馈补偿扰动信号对系统输出的影响说明：
1.顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特性（如稳定性）。
2.对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否则削弱补偿效果。
3.由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。
力矩为可测。设作为扰动信号的负载对系统输出的影响矩以补偿负载力偿传递函数试确定顺馈通道中的补函数为综合放大器传递为滤波传递函数对象传递函数为被控其中其方框图如下设有一位臵随动系统例
,
),(.
( s )G,( s ),
)(,,15.
1
C2
LM
sG
G
sG
C(S)
Kf/KD
G1(S)
K
Gc(S) G
2(S) G(S)
Gf(S)
F(S)=-ML(S)
R(S)
)1(?STS
K
M
D
11?STB
T)(T
1
)1(
-G ( S )
,)(
)1(
( S )( S ) GG
( s )G
-( S )G
0( S )( S ) G( S ) GG( S )G
,
( S ) ] F ( S )( S ) G( S ) GG( S )G ( S ) [ G
)( S ) G ( S ) F ( S( S ) G( S ) GG( S ) F ( S )G ( S ) GC ( S )
)()(:
B
1
1
1
2c
f
1
2c1f
2c1f
2c1f
Ts
ST
KK
K
SG
ST
KK
K
K
tctf
B
D
f
B
D
f
ST
K
K
B
D
f
取物理可实现为保证由此得在上式中需有出无影响如果要求负载力矩对输的影响对输出扰动信号解
G1(S) G2(S)
Gbc(S)
R(S) C(S))(s?
1)(,)(
( s )( s ) GG1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
)(1
)(
( s )G
])([
)()(1
( s )( s ) GG( s )( s ) GG
)(
)(
)(
( s ) R ( s )( s ) GGC ( s ) ]-( s ) [ R ( s )( s ) GG
( s ) R ( s )( s ) GG( s )( s )( s ) GGC ( s )
eq)(
1
bc2
bc12
eq
eq
eq
)(1
G ( S )
21
2bc21
eq
2bc21
2bc21
2
sSG
s
s
s
sGsGsR
sC
s
SGbc
SG
则时取环传函为其等效开
1.原理：
二．应用顺馈减小系统控制信号的误差在反馈基础上引入控制信号的微分作为系统的附加输入从而减小 号的误差。系统响应控制信
)1s(as)1s( 1 / kkG
,/1
])1ss [ a)sk(G
S,( S )G
( S ) ]( S ) GG-[11]( S )( S ) [ GGG
G ( s )( s )G 1,)(
1)sasass ( aG ( S )
1
1
1
n
n
2
vveq
1
11
1
1
n
nvv1eq
1bc
bc2bc2eq
21
1
-1n
-1n
n
n
sasa
k
ksasak
sG
k
n
n
v
v
n
n
v
则取则取则又设引入顺馈后开环传递函数为设系统无顺馈通道时的
2.对误差和稳定性的影响
a.误差由上式可见系统型别由 I型提高到 II型。
)1(
)1(
/,/1
s,s( s )G 1)(
1
1
1
3
12
121
1
2
2bc1
1
sasasas
ssk
G
kak
sG
n
n
n
n
kk
a
v
eq
vv
vv
则并且若取
系统由 I型变为 III型，从而使稳定性能大为提高。
b.稳定影响。因而对系统稳定性没有系统的特征方程为
0kssasasa( s )1( s )1
v
2
1
3
2
1n
n
GG
eq
。求顺馈传函完全复现型及实现对到型反馈系统的型别提高原要求图如图所示设位臵随动系统的方框例
)(,)(
,.
sGtr
III
bc
R(s) C(s)
Gbc(s)
-
+
)1( 2 2?sTs
k
11 1?sT
k
22221
1
2
2
2
2
2
2
bc
1
2
2
21
2
1
)1(
K
1
1
k
1
)1(
k
eq
211bc
2bc
1bc2
eq
21
21
/ /1
)(
1
( s )G
,)()2(
)1(1
][
( s )G
/1 ( s )G
( s )( s ) GG-1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
( s )G
)1)(1(
kk
G ( s ) ( 1 ),
2
2
2
1
1
22
2
kTk
ss
k
ssT
sG
tr
sTsT
kkssT
s
s
ks
sTsTs
STSK
STKSTS
则则的完全复现若实现对取引入反馈后无反馈解
§ 1 典型输入信号
0 t0
0 t)(
Rtr
t
r(t)
R
t
r(t)
Rt
r(t)
t0
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
3
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
一．阶跃函数二．斜坡函数（匀速函数）
三．抛物线函数（匀加速函数）
R=1时，称为单位阶跃函数，记为 l(t) 。 R(S)=1/S。
R=1时，称为单位斜坡函数。
R=1/2时，称为单位抛物线函数。
ht
h t 0 t0
)(
h
Atr
及
t
r(t)
1R ( s )
0 t0
0 t( t )
h
0
s
A
R ( S )
)-tA s i n (r ( t )
22
h
1/h
t
r(t)
r(t)
t
四．脉冲函数五．正弦函数当 时，则称为单位脉冲函数。
2.一阶系统的时域分析
1
1
TS
1
1
)(
)s(
)(
)()(
)(
TssR
C
s
trtc
dt
tdc
T
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。
T
t
etc
Ts
T
ssTs
sRssC
s
ttr
1)(
1
11
1
1
)()()(
1
R( s ) )(1)( 一,单位阶跃响应标准形式传递函数
0,0 2 4
0,0 5 3
%9898.0)(,4
%9595.0)(,3
%2.636 3 2.01)(,
1.
:
1
T
T
t
tcTt
tcTt
etcTt
s
可得调整时间时时时系统输出量的数值可以用时间常数去度量说明
T
T
e
Tdt
tdc
T
t
T
t
t
数响应曲线上确定时间常可用此方法在单位阶跃相应曲线的初始斜率为
11)(
1
.2
00
1
A
T
0.632
斜率 1/T
1/T
T1368.0
T t
r(t)
T
T t
r(t)
当输入信号为理想单位脉冲函数,系统的输出称为单位脉冲响应 。
1
]
1
1
[L)(
1
1
)(
1
1
)(
1)]([)(
1 T
t
e
TTs
tc
Ts
sR
Ts
sC
tLsR
二,单位脉冲响应
,)(
t
)e-T ( 1c ( t )-r ( t )e( t )
TeT-tc ( t )
1
11
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )t r ( t )
T
t
-
T
t
-
2
22
2
Te
Ts
T
s
T
ss
时，
三,单位斜坡响应跟踪误差为 T。
1s
1
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )
2
1
r ( t )
43
2
2
3
1
3
3
2
Ts
a
s
a
s
a
s
a
t
3
134
2
03
2
02
2
3
0202
0
3
31
1
1
1Ts
1
a
)1(
2
2
1
1Ts
1
!2
1
a
)1(1Ts
1
a
1
s
1
1Ts
1
a
TTs
s
T
Ts
T
ds
d
T
Ts
T
ds
d
s
T
s
ss
ss
s
)1(
2
1
2
1
)(
1
1
C ( s )
22222
32
23
T
t
eTTtteTTTtttc
Ts
T
s
T
s
T
s
T
t?
四．单位抛物线响应
)()()()(
3
3
2
2
tr
dt
dtr
dt
dtr
dt
dtr
抛物线斜坡阶跃脉冲
)1(21)( 22 T
t
eTTtttc
T
t
etc 1)(
T
t
eTtc 1)(
T
t-
TeT-tc( t )
)()()()(
3
3
2
2
tc
dt
d
tc
dt
d
tc
dt
d
tc 抛物线斜坡阶跃脉冲
五．结果分析输入信号的关系为：
而时间响应间的关系为：
§ 3 二阶系统的时域分析
)()()(2)(d 222
2
trtc
dt
tdc
dt
tc
nnn
s 2 n 2
2
2 nn s
R(s) C(s)
)s (s n
n
2
2
R(s) C(s)
2sR ( s )
C ( s )
22
2
n
nn s
R ( s ) ]
2s
[Lc ( t )
)2s ( s
G( S )
22
n1-
2
n
nn
n
s
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。
微分方程的标准形式：
—阻尼比，? n? —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图等效的开环传函及方框图
02s
22
nn
s
1
2
2,1
nn
js
s1
s2
21n
n
一．单位阶跃响应
1.闭环极点的分布二阶系统的特征方程为两根为位于平面的左半部的取值不同,特征根不同。
1s 21,2 nn
（ 1） （欠阻尼）有一对共轭复根10
s 1 1,2 n
s2
s1
s1 s2
s2
s1
s1
s2
1s 1 21,2 nn
nj 1,2s 0
1s 01- 21,2 nn j
（ 2） （临界阻尼），,两相等实根
（ 3） （过阻尼），,两不等实根
（ 4） （无阻尼），,一对纯虚根
（ 5）,位于右半平面
)(
1
1)(
1
))((
21
1
2
C ( s )
10 ( 1 )
22
2
2
22
2
n
2
2
n
dn
n
dn
n
dndn
n
n
ss
s
s
jsjs
s
s
sss
时
2.二阶系统的单位阶跃响应
2
2
2
-
-
2
-
1
a r c t g c o s 1s i n
)s i n (
1
e-1
s i ne
1
c o se-1c ( t )
t
tt
d
t
d
t
d
t
n
nn
t)dc o s (-1)090tds i n (-1c(t) 0)2( 时
t
n
nn
n
n
n
nn
n
n
ettc
sss
sssss
sC
)1(1)(
1
)(
1
1
)(
1
2
)( 1( 3 )
2
2
2
2
22
2
时
)1(12
1
a,
)1(12
1
a
1
1
1
1
2
C ( s )
1s 1)4(
22
2
22
1
2
2
2
1
22
2
2
2,1
nnnn
nn
n
nn
s
a
s
a
s
sss
一对实根
e
)1(12
1
e
)1(12
1
-1c ( t )
)1(-
22
)1(-
22
2
2
t
t
n
n
2
2
d
d
2
-
1
a r c t g 1
)ts i n (
1
e
-1c ( t )
01- ( 5 )
n
t
n
时
一般 在 0.4—0.8间响应曲线较好
10 0 %)c( )c(-)c ( t ppp
)c(|)c(-c ( t )|
t
c(t)
2
tr tp ts
c(?)
二,二阶系统的性能指标
1.定义超调量,
t r
上升时间,
pt峰值时间,单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
)C( N?
振荡次数,在调整时间内响应过程穿越其稳态值次数的一半定义为振荡次数。
调整时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。
，一般取 05.002.0
单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。
1
a r c t g
1
)
1
(
1
t
1
tg,
1 )s i n
1
( c o s1)c ( t
,1)( tt
2
d
2
2
r
2
2
r
r
n
d
rd
rdrd
t
r
a r c t g
t
tte
tc
rn
得由此得即时当
2.性能指标的计算
(1)上升时间 rt
2
2
pd
2
pdn
2
pdd
-
2
pd
-
n
2
-
1
,,
.,,,,,,3,2,,0,0s i n
0)co s
1
t( - s i n
)s i n
1
t( c o s-
0)co s
1
ts i n(-e
)s i n
1
t( c o se-
,0
dt
d c( t )
)s i n
1
( c o se-1c( t )
n
n
n
ppd
pdpd
pd
d
d
d
pd
d
t
d
t
tt
dd
t
tt
tt
t
t
t
t
tt
p
p
p
n
则取因为第一个峰值时间有由
（ 2）峰值时间 t
p
1 0 0 %e
1s i n
1
co s
s i n
1
co s
%1 0 0)s i n
1
( co se
1 0 0 %
)c(
)c(-)c( t
2
n
1
-
p
2
2
2
-
p
p
d
d
d
d
pdpd
pdpd
t
tt
tt
p
（ 3）超调量
p?
1
1
ln3
t0,0 5,
1
1
ln4
t0,0 2,
1
1
ln
1
t,
0| 1)
1
s i n (
1
e-1|
tt )c(|)c(-c( t )|
2
s
2
s
2
n
s
2
2
-
s
n
n
n
d
t
a r ct gt
取取解得根据
1
tn-
2 e1
11
tn-
2 e1
1-1
t 0,90
02.0 4
0,0 5 3s
n
n
时
（ 4）调整时间
)(
1
1
0)
1
s i n (
0)
1
s i n (
1
1
)()(
.
0)()(,)()(
0,
2
2
2
2
2
ma r ct gttt
na r ct gt
a r ct gt
a r ct gtectc
ctcNctc
ttN
sds
d
d
d
t
s
n
代入得将来计算可由的次数之半穿越稳态值应时间内系统响等于在振荡次数根据定义
（ 5） 振荡次数 N
表示取整数并取整数得代入将得令好等于并不一定刚时因为当为小数为整数式中
(,)
)
2
-1
a rc t g
-1
1
ln
2
-1
N(N
,
-1
1
ln
1
2
1
1
,
2
,)(
c( t ),,,
2
2
2
2
n
2
2
N
t
a r ct gt
N
m
Nc
ttm
s
sn
s
阻尼振荡周期
2
T
d
d
d
s
T
t
N
:
,
,
)/(40,5,
,1.
n
解性能指标试求系统的动态信号时入信号为单位阶跃当输秒弧度其中二阶系统如图所示例
%3.16%1 0 0%1 0 0
)(91.0t
)(60.0t
46.35.0141
)(05.160
2
5.01
5.0
2
1
2
2
2
2
p
46.3
1
p
46.3
05.1
1
r
22
d
5.0
5.01
1
ee
a r ct ga r ct g
n
n
n
秒秒弧度
)2(
2
n
nss
三．计算举例
0,0 2 )(118.1
14.32
46.314.2
2
t
N
0,0 5 )(18 6 5.0
14.32
46.357.1
2
t
N
0,0 2 )(14.2
45.0
ln4ln4
t
0,0 5 )(57.1
45.0
ln3ln3
t
s
s
5.01
1
1
1
s
5.01
1
1
1
s
2
2
2
2
次次秒秒
d
d
n
n
.K
,1
%3.16
c( t )
,2
p
之值及内反馈系数益试确定前置放大器的增秒峰值时间和调量有超具阶跃响应要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例
p
t
)1(10?ssK
s?
C(s)R(s)
ra d / s 3,6 3
n
2
1
p
t
0,5
%3.16%100
2
1/
p
p
)1(:
得又得由及参数计算出二阶系统和由已知解
n
e
n
p
t
0,2 6 3 32.1
10
2
101
n
2
2
2
2
s
2
R ( s )
C ( s )
( 3 )
10)101(
2
s
1 0 K
R ( s )
C ( s )
,( 2 )
K
K
n
n
s
n
n
Ks
解得与标准形式比较并化成标准形式求闭环传递函数
t 1s i ne
1
]
)1)(1(
[Lk ( t )
1)(0
s i n][Lk ( t )
0)(
2
c ( s )
2-
2
n
22
2
n1-
n
2
n
2
2
n1-
22
2
n
n
n
t
nnnn
n
nn
jsjs
t
s
ss
四．二阶系统的脉冲响应
（ 1）无阻尼 脉冲响应
（ 2）欠阻尼 脉冲响应
][
12
]
)1(
)1(
[Lk ( t )
1)(
]
)(
[Lk ( t )
1)(
)1()1(
2
n
2
12
2
12
1-
2
2
n
2
n1-
22
2
n
2
n
tt
nn
nn
t
n
nn
n
ee
s
s
te
s
（ 3）临界阻尼 脉冲响应
（ 4）过阻尼 脉冲响应
1
e1
1s i n
1
)(
0)(
0
1
1s i n
1
)k ( t
tt,
)1(0
p
1
-
0
2
20
2
2
2
p
p
2
p
pn
p
pn
t
n
t
n
t
p
n
n
t
n
t d tedttk
ttk
e
积分有至从对则令在欠阻尼下
ttp
kmax
0
1+tp
脉冲响应与阶跃响应的关系
1
1
a r c t g
)1s i n (
-1z
)1()-(z
-1C ( t )
10
1
)(
)2(
)(
R ( s )
C ( s )
2
2
2
2
222
n
22
2
n
n
n
n
nn
n
z
a r ct g
t
s
SR
ssz
zs
五．具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的闭环传函具有如下标准形式当 时，对欠阻尼情况
222n
s
s
222
1
p
2
p
2
r
)1()(
z
0,0 2
ln4
t
0,0 5
ln3
t
%1 0 02
1
t
1
t
2
1
)(
nn
n
z
l
n
z
l
n
n
zl
e
这里对应的性能指标为
5)~(2z n
说明：
1.闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应过程 (起始段 )；
2.削弱系统阻尼，超调量大；
3.合理的取值范围为 。
(t)c(t)cc ( t )
2
)0()2)(0(
)(
2
c ( s )
)()()]0()([2)0()0()(s
21
2
n
2
.
2
n
2
2
n
22
.
2
ss
csc
sR
ss
sRsccssccscsc
n
n
n
nnn
零状态响应零输入响应六 初始条件不为零的二阶系统的响应过程当初始条件不为零时，求拉氏变换得
)()()(2)(d 222
2
trtcdt tdcdt tc nnn
可见,具有相同的衰减振荡特性(t)c(t),c
21
)s i n (]
1
)0()0(
[)]0([)(c
)s i n (e-1( t )c
/1)( 1,0
n-
2
n
2
2
.
2
2
1
1-
1
te
cc
ct
t
SSR
d
n
n
d
t
t
时当取
。试求取系统的传递函数响应已知某系统的单位阶跃例
tt ee 21c( t )
1.
23
2
R ( s )
C ( s )
23
4s
s
1
23
2
)(
4)0()0(2)0(
431)0(2( 0 )c
2 32
)23(
24
2
1
1
11
)(
1)( 1)0(
2
22
2
2
2
ss
ssss
sc
sccsc
c
sss
ss
sss
sc
occ
n
n
nn
则
:解
§ 4 高阶系统的时域分析
)1co s (1)(
2
1)(1
1
)2()(
)z-(sK
C ( s )
2
1 1
1
22
2
1
22
11
j
1j
kknk
q
i
r
k
ts
k
ts
i
r
k nknkk
k
nkknkkk
q
i i
i
nknk
k
i
q
j
m
teDeAtc
s
CsB
ss
A
s
s
ssss
nkii
Res1
s2
s3
n5 n
Im
在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。
一．闭环主导极点的概念二．高阶系统单位阶跃响应的近似分析 ndj
S
5|R e S|
1,2
3
2
1
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
knknkkk
SS
kn
i
i
m
j
j
k
ss
kn
i
k
m
j
j
k
ssin
i
i
m
j
j
i
js
ss
sss
zs
K
ss
sss
zs
KD
ss
sss
zs
KA
k
k
i
由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。
暂态响应分量的合成则有如下结论：
（ 1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决定。系统的极点在 S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。
iS nkk
（ 2）系数 和 不仅与 S平面中的极点位置有关，
并且与零点有关。
a.零极点相互靠近，且离虚轴较远,越小，对 影响越小；
b.零极点很靠近，对 几乎没影响；
c.零极点重合（偶极子）,对 无任何影响；
d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影响大。
iA kD
iA )(tc
)(tc
)(tc
iS )(tc
5|R e S| 3?（ 3）若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。
§ 5 线性系统的稳定性与稳定判据
0,F ( S )0,R ( S )
)()(C ( S )
)()(MM ( P ) R ( t )D ( P ) C ( t )
)(
)(
)(
)(
D ( S )
M ( S )
f
0
则令取拉式变换后有设系统的运动方程为
SD
SM
SD
SM
SFSR
tfP
f
一．稳定的概念与定义定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，
简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
)(lim 0R eS
0)(lim 0R eS
)(A
)(
,0D ( S ) )1,2,3,.,,n(i S
C ( S )
t
i
t
i
)(
)(
i
1
i
1
D ( S )
( S )M
0
0
tc
tc
SS
eAtC
i
i
i
i
SSi
SD
SM
n
i
tS
i
n
i
SS
A
则若则若则的根为线性系统稳定的充要条件：
其特征根全部位于 S平面的左半部。
,
254
1
R( S )
C( S )
,
23
解的稳定性。
试判断系统例
SSS
,
-2
3
S -1,
2
S -1,
1
S
02)(S
2
1)(S2)3S
2
1 )(S(S
025S
2
4S
3
S
故系统稳定。
负实部由于三个特征根都具有
0asa...sasaD ( s ) 01
1-n
1-n
n
n
三．稳定判据
1.Routh稳定判据系统的特征方程为必要条件
（ 1）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 都不为零；
（ 2）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 具有相同的符号。
充分条件：
劳斯阵列第一列所有元素为正。
c c
b
b b
,,,,,,,,,,,,
.,,,,,cc s
.,,,,,,b b b s
.,,,,,a a a a s
.,,,,,a a a a s
1
3151
2
1
2131
1
1
761
3
1
541
2
1
321
1
2 1
3-n
321
2-n
7-n5-n3-n1-n
1-n
6-n4-n2-nn
n
b
baab
b
baab
a
aaaa
a
aaaa
a
aaaa
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
劳斯阵列的个数。别该特征方程正实部根试用R o u t h 判据判
054s3s2ss
设有下列特征方程 例1,
234
5 s
0 6 s
5 1s
0 4 2 s
5 3 1 s
,,
0
1
52-411
2
4-32 2
3
4
列写劳斯阵列解符号改变一次符号改变一次
。故有两个实部为正的根次阵列第一列符号改变二
Routh,?
,
023s-s
,
3
解正的特征根的个数。试应用判据判别实部为设系统的特征方程为例
2 s
0 s
2 0 s
3- 1 s
0
2-3-
2
3
改变一次改变一次
2.Routh判据的特殊情况
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
方法一,
有两实部为正的根。
有两个实部为正的根。
则取得新方程乘以原方程以
6
0
s
0 20
1
s
0 6 2 / 3-
2
s
0 7- 3
3
s
6 3- 1
4
s
067s-
2
3s-
3
3s
4
2)3s-
3
a)( s(s
,3,,)(
s
aas
改变一次改变一次方法二,
,
04-4s-7s-3s-2s-s
::
23456
解
。试确定正实部根的个数已知系统特征方程为例
s
0 0 0 s
4- 3- 1 s
0 4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
3
4
5
6
06s-4s
ds
d F ( s )
04-3s-F ( s ):
3
24
s辅助方程
4- s
0 1 6,7- s
4- 1,5- s
0 6- 4 s
4- 3- 1 s
4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
0
1
2
3
4
5
6
b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
。另外二根为再由原特征方程得
。得出产生全零行的根为求解辅助方程有一个实部为正的根。
符号改变一次
2
3
2
1
-,
0)1)(4)(1(s
:
,2
0)1)(4(43)(
,
222
2224
j
sss
j
sssssF
,
K,-1S
K
R o u t h,:
解至范围应取多大问垂线之左部位于闭环极点全的取值范围。如果要求的开环增益判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例
)125.0)(11.0( SSS K
C(S)R(S)
-
s
14
-5 6 0
s
14 s
40 1 s
,
04014s
:4 0,K,
)10)(4(
)(
:
0
1
2
3
23
K
K
K
Kss
Ksss
K
s
相应的劳斯表为程由上式得系统的特征方式中系统闭环传递函为
14K0 5 6 0K0
0
14
K-5 6 0
0K
,
*
*
*
即应有为使系统稳定
3.Routh判据的应用
4,8K0,6 7 5
19227
27-K s
11
27)-(K-165
s
27-K 11 s
15 1 s
0)27(1511s
,,1s
,1
*
*
0
1
*
1
1
*
2
1
3
1
*
1
2
1
3
1
1
K
R o u t h
Kss
s
ss
则解得表为相应的得代入原特征方程则令垂线之左平面上全部位于若要求闭环极点在
0
a a 0
a a a
a a a
0
a a
a a
0
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n -1n
3
2-nn
3-n-1n
2
11
n
a
0
a a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a a
0 0 a a a a
02
1
0
2-nn
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n-1n
6-n4-n2-nn
7-n5-n3-n-1n
n
4.Hurwitz判据设系统的特征方程为：
则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数 ai(i=1,2,…,n)
构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即
0a 0asasasa n01-1n-1nnn
,
0105s3ss2s
.
234
解该系统的稳定性。试用霍尔维兹判据判断设系统的特征方程式为例
系统是不稳定的?
04 5 0
5 1 0
10 3 2
0 5 1
10
0451051015
5 1 0
10 3 2
0 5 1
07103
3 2
5 1
01
10 3 2 0
0 5 1 0
0 10 3 2
0 0 5 1
4
3
214
§ 6 反馈系统的误差与偏差
)()()(c
)()()(
r trpt
tctcte r
1.误差的定义一．误差期望输出 cr(t)与实际输出 c(t)之差定义为反馈系统响应
r(t)的误差信号，即算子,反映 cr(t)与 r(t)之间的比例微分或积分等基本函数关系，当系统所要完成的控制任务已确定时，
便是已知的。
dt
dp? )(p?
2.反馈系统 的确定一非单位反馈系统如图 (a)所示，其等效方框图为图 (b)。
)(p?
)(p?
1( p )
1,H ( s )
1 / H ( s )( s )
)(/)()( )(
故对单位反馈系统图知由 sHsRsCb r
R(s)
F(s)
C(s)G
2(s)G1(s)H(s)1/H(s)
Cr(s) E(s) +
-
(b)图
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
Y(s)
R(s) )(s?
-
+ C(s)
(a)图差与偏差的关系也可以用下图来表示误或而由偏差定义有即
)(E ( s ) H ( s ) E ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )H ( s ) E ( s )
)()(C ( s )-( s ) R ( s )
C ( s )-( s )CE ( s )
)()(( t )
H ( S )
1
H ( s)
1
r
s
sCsR
tytr
G1(S) G2(S)
H(S)
Y(S)
C(S)
E(S)
R(S) )(S?
)(S?
-
F(S)
3.偏差的定义说明：
1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。
2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。
3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。
4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定义，但在本书是加以区分的。
( t )-c( t )e
)()()(e
ff
f
tctct
frf4.系统响应扰动信号的误差
crf(t)为系统响应扰动信号 f(t)的期望输出，
考虑到实际系统应不受扰动信号的影响，故应有 crf(t) = 0，这样
§ 7 反馈系统的稳态误差及计算
G ( s )1
R ( s )
( s ) H ( s )( s ) GG1
R ( s )
( s )
21
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
稳态误差：反馈系统误差信号 e(t)的稳态分量，记作 ess(t)。
动态误差：反馈系统误差信号 e(t)的暂态分量，记作 ets(t)。
一．响应控制信号 r(t)的稳态误差
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
E ( s )
)(
)(
G ( s )1
1
)(
1
)(
)(
( s )
2
1
sR
sR
sD
sM
sR
sD
sM
sD
sM
sHsR
sE
ee
e
e
),()()( tetete ssts
对稳定系统,0)( tet ts
0t (t)e( s )e
e ( t )
)(
)(
)(
)(
b
)(
)(
)(
)(
a
-s
b
s-s
a
E ( s )
ssts
l
1
n
1
'
2
1
i
2
1
'i
l
1 i
i
n
1 i
i
i
t
i
i
ts
i
i
i
i
ie
i
i
i
ie
ii
ii
ebea
R
R
D
M
sR
sR
sD
sM
（ 1） R(s)仅有单极点时
)(se? i?设 si为的 极点,为 R(s)的极点，则
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
'
2
1
'
2
1
t
i
ii
l
i
ie
t
i
ii
l
i i
ie
ss
i
i
e
R
R
e
R
R
D
M
te
一般认为在 t > ts 之后动态误差 ets(t)基本消失，这时只含有稳态误差 ess(t),即对于稳定系统的闭环极点都具有负实部，所以有由此可看出,ess(t)不仅和描述系统特性的闭环传函 有关，而且还取决于控制输入的极点 。
)(se? i?
0)( li m
t
te ts
t
s
'
21
t
1-i-r
2
1
1
0
ss
e
)(
)(
)(
e
1 ) !-i-(r
t
])(
)(
)(
)([
!
1
( t )e
i
i
sR
sR
s
s
sR
sR
s
ds
d
i
i
rl
i
e
s
r
r
i
e
i
i
（ 2） R(s)含有重极点时当控制输入 r(t)的拉氏变换 R(s)含有 r重的极点，而其余 l–r个极点各不相同时。
s
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
)(
)(
)(
)(
)(E
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(1
)(
)(E
)(
)()()(1
)(
)(c
)()(e
2
1
f
2
ef
2
f
21
2
f
f
sF
sF
sD
sN
s
sD
sN
sG
sG
s
sF
sG
sG
s
sF
sHsGsG
sG
s
tct
f
二．反馈系统响应扰动信号 f(t)的稳态误差
rk
t
t
irr
i
i
s
e
ir
t
sF
s
ds
d
i
1i
s'
2
1
ef
1
s
r
2
1
ef
1
0i
ss
i
i
e
( s )F
)(F
( s )
)!1(
])-(s
)(
)(F
( s )[
!
1
( t )e
k
i
t
i
i
iefss
k
i
t
i
n
i
ts
if
i
ii
e
F
F
te
ebeate
1 2
1
11
)(
)(
)()(
)(
（ 1） F(s)只含有单根时
（ 2）当 F(s)含有重根时
s
设 F(s)含有 r 重 的极点，其余 k–r 重极点个不相同。
)()0()()0(( 0 ) s R ( s )( 0 ) R ( s ) E ( s )
)0(( 0 ) s( 0 )( s )
)(
L!
12
2!
1
2
..
2!
1'
sRssRs
s
ll
eeee
eeee
三．误差系数误差传递函数为这是一个无穷级数，它的收敛域是 s = 0 邻域，这相当于在时间域内 时成立的误差级数。因此在所有初始条件为零的条件下，对上式进行拉氏变换，就得到稳态误差表达,
t
将 在 s = 0 的邻域内展开成 Taylor级数，有)(s
e?
)(
1
)(1
1
)(
)(( s )
sHsGsR
sE
e
( s ) R ( s )E ( s ) e
1.一般方法
)(
)()()()(
0
)(
)(
.
10
i
i
i
l
lss
trc
trctrctrcte
同理可得则稳态误差可以写成
)()0(
)()0(( t )r( 0 )( 0 ) r ( t )e ( t )
)()(
l!
1
....
2!
1
..
tr
tr
ll
e
eee
0
)(
f s s )(( t )e
i
i
fi tfc
这里 ci,cfi称为误差系数。
)0( )(i!1 ieic 令
)(
)(
1
1
G ( s ) H ( s )
1
1
sN
sM
sasa
sbsb
s
K
vn
vn
m
m
2.系统阶次较高时（这里介绍一种简便算法）
（ 1）将已知的开环传函按升幂排列成如下形式
（ 2）写出多项式比值形式的误差传递函数
（ 3）对上式用长除法得
（ 4）求 E(s)
)()()()()(E ( s )
10e sRscssRcsRcsRs
i
i
)()(
)(
)()(1
1)(
e sNsM
sM
sHsGs
ii scsccs 10e )(
1)s ( s
2
( s )G
10,2 s
5
( s )G
,1 ( t ),f(t)
t,r ( t ),
21
试计算系统的稳态误差信号扰动其中输入信号设控制系统如图所示例
0,1( t )rcr( t )c( t )e
1( t )r,)(
- 0,0 0 3C 0,1 1C 0,1C 0C
0 0 3.011.01.0
2.02.110
0,2 s1,2 ss
1
1
)(
)(
)(
,0)(( 1 ):
.
10ssr
.
3210
32
32
32
)1(
2
12.0
5
e
故又误差系数得误差传函令解
ttr
sss
sss
sR
sE
s
sF
SSS
C(s)R(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)- +)(s?
3.0|||e|e
,
1.0)2.0(1.0e
- 0,2f ( t )c( t ) 1 ( t )f ( t )
026.002.02.0
1)(
)(
)(
,0)(( 2 )
ssrss
ssrss
0
2
)1(
2
12.0
5
)1(
2
ef
ssf
ssf
ssf
SSS
SSf
e
ee
e
ss
sF
sE
s
sR
取此在随动系统设计中常因方向是变化的有时作用到系统的扰动得扰动误差传函令
)1()1)(1(
)1()1)(K ( 1
G ( S ) H ( S )
21
21
sTsTsTs
sss
vn
v
m
（ 1）系统型别四．稳态误差终值的计算设系统的开环传函为称为零型系统称为 I 型系统称为 II 型系统系统的型别以 来划分?
0
1
2
优点,1．可以根据已知的输入信号形式，迅速判断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。
2．系统阶数 m,n的大小与系统型别无关，且不影响稳态误差的数值。
)()(lim)(s lime
0s0s
ss sRsssE e
。控制系统的稳态误差值时和试求当输入信号分别为传递函数为设单位反馈系统的开环例
,s i n)(
2
1
)(
,
1
G ( s )
,
2
wttrttr
Ts
2.利用终值定理计算应用终值定理的条件是 sE(s)在 s右半平面及虚轴上解析，或者说 sE(s)的极点位于左半平面（包括坐标原点）。
因而是允许的。际所求一致但与实在坐标原点不解析尽管在数学上由终值定理时时当解
,
,)(
lims E ( s )lime
( 2 )
e t
T)-T ( teTe( t )
-( s ) R( s )E ( s ) ( 1 )
R( s ) tr ( t )
( s ):
1 / T )s ( s
1
0s0s
ss
ss
-2
1 / TS
T
S
T
S
T
1 / T )(SS
1
S
12
2
1
/1
S
( S )1
1
e
T
t
22
22
3
ssE
TSG
.
0
)s()1(
lim)(lim)(e
,
,,0)(e,
s i n
1
c o s
1
)(e
s i n
1
c o s
11
e ( t )
s
1
1
s1
1
1
1
)s()1(
)()(E ( s )
s
R ( s ) )3(
22
2
00
ss
ss
22
22
22
ss
22
22
2222
2222
32
222222
22
e
22
的错误结论否则得出算稳态误差值不能采用终值定理来计所以此时轴上不解析应当注意正弦函数在虚这里
Ts
s
ssE
t
T
T
t
T
T
t
t
T
T
t
T
T
e
T
T
T
Ts
T
T
Ts
T
T
Ts
s
sRs
ss
Tt
1
1
)(1
1
l i m)(
)(1
1
l i me
00
ss
p
ss ksG
sR
sG
s
3．静态误差系数已知定义 速度误差系数
)(limk 0v ssGs
v
s
s kssGssG
s 1)(l i m 11)(1 1l i me
0
20ss
)()(1 1l i m)(l i me
00ss
sRsGsssE
ss?
1R ( s ) 1( t )r ( t ) ( a ) s
定义 位置误差系数
)(limk 0p sGs
1R ( s )t r ( t ) )( 2sb
1
)(l i m
11
)(1
1
l i me 2
0
30ss
as
s ksGsssG
s
定义 加速度误差系数
)(l i mk 20a sGss
1R ( s ) t21r ( t ) )( 32 sc
k
1
t
2
1
0
k
1
t
0 0
k1
1
1 ( t )
II I 0
a
2
v
p
输入型型型差型别误
,
)(2,
1.,
,G ( S ) 0:1
2
210
1S
K
2
解时的误差系数当输入定误差及误差级数。
的给定稳在三种典型输入下系统试计算是型系统的开环传递函数设例
ttRRtr
R
1
e tr( t )
1
e tr( t )
1
1
1
1
e 1 ( t )r( t )
0k,0k k,k
,0
SS
2
2
1
SS
SS
avp
a
v
p
k
k
kk
时时时所以型由于系统为
32
1)(K
2K-
e
..
1)(K
K
e
.
K1
1
e
1s
ke
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
1
1
1
( s )
ks
s
)(
)1(
)(
)1(
)(
1
1
)(e
)0(C )0(C )0(C
..
3
.
2ssr
..
2
1
2
.
10
tr
K
k
tr
K
k
tr
k
t
eee
23212
2
2101
1
ssr
2
..
21
.
2
210
322ssr
2
2
1
2ssr
ssr
)1(
)(
)1(
)
2
1
()(e
)( (t)r
2
1
)(
)1()1(1
1
)(e )(
)1(1
1
)(e )(
1
1
)(e 1)(
2
R
K
k
tRR
K
k
tRtRRt
RtrtRR
tRtRRtr
K
k
t
K
k
k
tttr
K
k
t
k
tttr
k
ttr
K
t
时当时当时当时当
§ 8 顺馈控制的误差分析
)()(
)(
)(
)()(
,0)()()()(
( s ) ] F ( s )G( s )( s ) G ( s ) G[GC ( s ) ]-s)( s ) G ( s ) [ R (G
( s ) F ( s ) ]GC ( s )-s)( s ) G ( s ) [ R (G( s ) F ( s )Gc ( s )
( s )G
1
1
f1cc
1cf
1
SGSG
SG
SG
tctf
sGsGsGsG
c
f
fc
这时的影响。对则可消除扰动信号若取为顺馈通道传递函数
R(s) C(s)
G1(s) Gf(s)
Gc(s) G(s)
F(s)
+
一．应用顺馈补偿扰动信号对系统输出的影响说明：
1.顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特性（如稳定性）。
2.对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否则削弱补偿效果。
3.由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。
力矩为可测。设作为扰动信号的负载对系统输出的影响矩以补偿负载力偿传递函数试确定顺馈通道中的补函数为综合放大器传递为滤波传递函数对象传递函数为被控其中其方框图如下设有一位臵随动系统例
,
),(.
( s )G,( s ),
)(,,15.
1
C2
LM
sG
G
sG
C(S)
Kf/KD
G1(S)
K
Gc(S) G
2(S) G(S)
Gf(S)
F(S)=-ML(S)
R(S)
)1(?STS
K
M
D
11?STB
T)(T
1
)1(
-G ( S )
,)(
)1(
( S )( S ) GG
( s )G
-( S )G
0( S )( S ) G( S ) GG( S )G
,
( S ) ] F ( S )( S ) G( S ) GG( S )G ( S ) [ G
)( S ) G ( S ) F ( S( S ) G( S ) GG( S ) F ( S )G ( S ) GC ( S )
)()(:
B
1
1
1
2c
f
1
2c1f
2c1f
2c1f
Ts
ST
KK
K
SG
ST
KK
K
K
tctf
B
D
f
B
D
f
ST
K
K
B
D
f
取物理可实现为保证由此得在上式中需有出无影响如果要求负载力矩对输的影响对输出扰动信号解
G1(S) G2(S)
Gbc(S)
R(S) C(S))(s?
1)(,)(
( s )( s ) GG1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
)(1
)(
( s )G
])([
)()(1
( s )( s ) GG( s )( s ) GG
)(
)(
)(
( s ) R ( s )( s ) GGC ( s ) ]-( s ) [ R ( s )( s ) GG
( s ) R ( s )( s ) GG( s )( s )( s ) GGC ( s )
eq)(
1
bc2
bc12
eq
eq
eq
)(1
G ( S )
21
2bc21
eq
2bc21
2bc21
2
sSG
s
s
s
sGsGsR
sC
s
SGbc
SG
则时取环传函为其等效开
1.原理：
二．应用顺馈减小系统控制信号的误差在反馈基础上引入控制信号的微分作为系统的附加输入从而减小 号的误差。系统响应控制信
)1s(as)1s( 1 / kkG
,/1
])1ss [ a)sk(G
S,( S )G
( S ) ]( S ) GG-[11]( S )( S ) [ GGG
G ( s )( s )G 1,)(
1)sasass ( aG ( S )
1
1
1
n
n
2
vveq
1
11
1
1
n
nvv1eq
1bc
bc2bc2eq
21
1
-1n
-1n
n
n
sasa
k
ksasak
sG
k
n
n
v
v
n
n
v
则取则取则又设引入顺馈后开环传递函数为设系统无顺馈通道时的
2.对误差和稳定性的影响
a.误差由上式可见系统型别由 I型提高到 II型。
)1(
)1(
/,/1
s,s( s )G 1)(
1
1
1
3
12
121
1
2
2bc1
1
sasasas
ssk
G
kak
sG
n
n
n
n
kk
a
v
eq
vv
vv
则并且若取
系统由 I型变为 III型，从而使稳定性能大为提高。
b.稳定影响。因而对系统稳定性没有系统的特征方程为
0kssasasa( s )1( s )1
v
2
1
3
2
1n
n
GG
eq
。求顺馈传函完全复现型及实现对到型反馈系统的型别提高原要求图如图所示设位臵随动系统的方框例
)(,)(
,.
sGtr
III
bc
R(s) C(s)
Gbc(s)
-
+
)1( 2 2?sTs
k
11 1?sT
k
22221
1
2
2
2
2
2
2
bc
1
2
2
21
2
1
)1(
K
1
1
k
1
)1(
k
eq
211bc
2bc
1bc2
eq
21
21
/ /1
)(
1
( s )G
,)()2(
)1(1
][
( s )G
/1 ( s )G
( s )( s ) GG-1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
( s )G
)1)(1(
kk
G ( s ) ( 1 ),
2
2
2
1
1
22
2
kTk
ss
k
ssT
sG
tr
sTsT
kkssT
s
s
ks
sTsTs
STSK
STKSTS
则则的完全复现若实现对取引入反馈后无反馈解
