西安科技大学：自动控制原理：第八章

第八章 线性离散系统的分析与综合
§ 1 采样过程
C
-
r? A/D 数字计算机 D/A 被控对象T0
m保持器数字 控制器 被控对象-r?
T0
m C保持器一,数字控制系统
1.定义：
2.组成：
(1).框图
(2).工作过程
(3).简化框图数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
,,
*
表示散模拟信号用属离在幅值上是连续的散的离该脉冲序列在时间上是
h
t0 T0 2T03T0
4T05T06T0
)(* th?
二,采样过程
1.基本概念
(1).采样周期,
(2).采样频率,
(3)采样角频率,
(4).采样脉冲序列,
(5).采样过程,
称为采样周期每次闭合时间为重复闭合采样开关经一定时间
00
0
,,
,
TThh
T
01Tsf?采样周期的倒数
r a d /s 02s T
,
称为采样过程序列的过程冲样开关的采样而变成脉将连续时间函数经过采
.,称采样脉冲序列的时间序列周期为关采样后变成重复连续时间函数经采样开
T
1
nT)]hnTt(1)nTt(1[
( 2 ) )]hnTt(1)nTt(1[)nT()t(
)t( Th
( 1 ) ht0 )tnT()t(
( 1 ),
,
000h
1
00
0n
h
1
0
*
h
*
h0
0n
0
*
h
的脉冲）为单位强度脉冲（即面积时刻的—发生在—
可表示为因此在实际中用下式表示所示的脉冲序列可图式到采样过程的数学表达需要得行定量的分析为了对数字控制系统进




2.数学描述
(1)
(2)
来确定时刻的连续函数而脉冲强度则由时刻存在的）的作用在于指出脉冲（
）（
，
，
）（
）（）（
，则可近似时且当
)nT(nT
,nTnTt
1dtnTt
nTt 0
nTt
nTt
nTt)nT(t
0h ThTh
00
00
0
0
0
0
0n
00
*
0








(3)
§ 2 采样周期的选取
,,,;,;
,,
)]n[ j ()(j
)2T(T T
2,2
.
,2,2
s
*
T
1*
0m2
T
0
T
2
T
2
m
m
mm
m
m0
甚至不稳定降低系统的动态性能的误差过长又有较大担将增加不必要的计算负但周期太短效果越好控制了解得越多对系统控制过程的信息采样周期选得越小有对率连续信号频谱的上限频恢复到原连续信号脉冲序列能无失真地再则经采样得到的即等于如果采样角频率大于或






n
s
s




02s m
|)(| j
2s?
n?
一,采样定理 (Shannon)
二,采样周期的选取控制过程 采样周期 (s)
流量 1
压力 5
液面 5
20
成分 20
温度
§ 3 信号保持
000
T
]1 ) T-(n[)(
s
sT-
H
s
0
*
0nTt
)1(nT,nT-t
)()( n T
e-1
( S )G
)()( n T
0,1,2,n )( n T)( n T( t )
s
s
s
0
Tnt
nT
s
nT
s
nT
s
s








t
)(tH?
)(t?
一,零阶保持器 (zero order holder)
二,一阶保持器信号保持是指将离散信号 —— 脉冲序列转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。
§ 4 Z变换

.Z,( 1 )
( 1 ) )()2()X ( TX ( 0 ) X ( Z )
,)ZX ( n T X ( Z )
)]([)]([
)]([)(,)( X ( Z )
)ZX ( n T X ( Z )
,ez
)eX ( n T( S ) X,
)nT-(t)X ( n T(t) X
0
2
0
1
0
0n
n-
0
*
**
0n
n-
0
ST
0n
SnT-
0
*
0n
00
*
0
0
变换则可求得时能写成闭式如果展开有由记为变换的即为脉冲序列则引入变量拉氏变换



n
ZnTXZTXZ
ZXtXZtXZ
tXZZXZtX
一,Z变换 (Z-transforms)
(1) 级数求和
11
1
)(1,1
Z1
1)1 ( n )Z1 ( n T1 ( Z )
1
21-
0
0
n-
0




Z
Z
Z
ZZ
ZZ
T
n
n
则若而

00
00
000
0
1
aT1
221aT-
0
1
1
][,1e 1
e1
][
aTaT
aTaT
nnTaT
n
nan Tat
eZ
Z
Ze
eZZZe
ZeZeZ
ZeeZ







则即若

例 1.试求单位阶跃函数的 Z变换例 2.试求取衰减的指数函数 e-at(a>)的 Z变换。
解,
解,
)(
][,][
)(
)(
)(),()(
1
1
1
0
0




i
TS
i
TS
itStS
iSS
A
i
SS
A
i
i
ii
i
i
i
i
eZ
ZA
ZX
eZ
ZA
AeZeAL
SN
SM
SXSXtX
而而的拉氏变换
(2) 部分分式法
r
ds
d
-as
)!1r(
1
r
r
ds
d
-as
)!13(
1
3
r
ds
d
-as
2
r
-as
1
as
b
)as(
b
)as(
b
s
a
)aS ( S
1
as)as(s
a
2
0s)as(s
a
1
as
a
s
a
)]as(s[
a
)aS)(S(Xl i mb
)aS)(S(Xl i mb
)aS)(S(Xl i mb
)aS)(S(Xl i mb
X ( S )
1)as(a
1sa
)S(X
1r
1r
13
13
r
1r
2
r
11
r
21












部分分式分解公式求得解：
例 3.求取具有拉氏变换为 的连续函数 X(t)
的 Z变换。,
)(3,)(
解变换的的连续函数求取具有拉氏变换为例 ZtXass a?
22
00
1
)(
1
1
1
1
2
1
1
11
ds
d
3
1
2
)(
1
2
1
0
)(
1
1
)()(
1
))(1(
)]1()-Z [ ( 1
X ( Z )
)(
( S ) X
a
)(a
a
)(
0
0000
0
22
0
0
0
2
22
2
2
22
3
2
21
2
aT
aTaTaTaT
Ze
Z
aeZ
ZeT
aZ
Z
a
aaa
a
ass
aas
aSS
a
s
aSS
as
a
as
a
s
a
aSS
eZZa
eaTeZeaTe
asass
as
s
sX
aTaT
aT













例,求 X(s)= 的 Z变换。
,
)( 2)( 1
解变换的求 ZSX aSS
解,
1ZTc o s2Z
TZ s i n
1Z
2
ee
2Z
j2
ee
Z
)e-Z)(e-(Z
ee-
j2
Z
]
e-Z
Z
-
e-Z
Z
[
j2
1
]tinZ [ s
j2
ee
tins
0
2
0
tjtj
2
TjTj
TjTj
TjTj
TjTj
tjtj
00
00
00
00









有由欧拉公式变换的计算 Zt?s in例解：
]X ( S ))s-[ ( sl i m R
r)S(X
]) [ X ( S )s-(sl i mR
R,SS )S(X
R ])re s [ X ( Sx ( z)
),n,,2,1i(SX ( S ),x ( t )
0
ST1-r
1-r
i
0
ST
i
0
T
i
S
e-Z
Zr
i
ds
d
ss
- 1 ) !(r
1
e-Z
Z
i
ss
i
ii
n
1i
i
n
1i
eZ
Z
i
i




重极点时有当为留数时具有一阶极点时当则及全部极点已知?
)1(
T
l i m ][sl i m X ( Z )
1n0,s,2r
)}({)(
2
0
)e-(Z
.Ze-
0e-Z
Z
s
12
ds
d
0
- 1 ) !(2
1
i
1
20ST
0
0ST
0ST2
2




Z
Z
txLsx
T
ss
s
则
(3)留数计算法例 4.试求 x(t)=t的变换。
解,
)()1(a
)]ee1()e1-K Z [ ( a T
)(
)( limR
])0([R
RRX ( Z )
2n 1r -aS
2r 0S
0
000
0
22
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
22
aT-
0
aT-aT-
0
a
k
)1(
)1(
a
k
21
a
k
)(
2
)1(
)1(
a
k
0
)(
2
)!12(
1
1
21
2
1
aT
ez
z
z
zaTz
ez
z
ez
z
ass
k
as
z
zaTz
s
ez
z
ass
k
ds
d
eZZ
aTZ
RRZX
as
s
aT
aT
aT
ST














例 5.试求取 X(s)=k/s2(s+a)的 Z变换。
解：
( Z )X( Z )X( t ) ]X( t ) Z [ X
aX ( Z )( t ) ] Z [ ax
2121

( Z )X( Z )X
Z)( n TXZ)( n TX
}Z)]( n TX)( n T{X( t ) ]X( t )Z [ X
a X ( Z )Z)X ( n TaZ)a X ( n TZ [ a X ( t ) ]
Z)X ( n T X ( Z ):
21
0n 0n
n
02
n
01
0n
n
020121
0n
n
0
0n
n
0
0n
n
0







有由证明
X ( Z )Z)]kT-Z [ X ( t
,Z,)t(X,0t
k-
0?
则变换存在上其为零连续函数时设在二,Z变换的基本定理
(1)线性定理
(2)实数位移定理
(a)迟后定理证毕变换定义由证明
)Z(XZ
]Z)nT(XZ)T(X)0(X[Z
)Z X ( n T)ZX ( TX ( 0 ) Z)]KT-Z [ X [ ( t
0)X ( - T]K ) T-X [ ( 1) X ( - k T
)Z X ( n T
)ZX ( TX ( 0 ) Z)Z- k TX ( T)X ( - k T
Z)kTnT(X)]kT-Z [ X ( t
Z:
k-
n
0
1
0
k-
)n(k-
0
1)(k-
0
k-
0
000
)n(k-
0
1)(k-
0
k--1
000
0n
n
000











说明,(1)迟后定理说明,原函数在时域中延迟 K个采样周期,相当于 Z变换乘以 Z-K。
(2)算子 Z-K的物理意义,Z-K代表迟后环节,它把采样信号延迟 K个采样周期。
])1[(.,,,,,,
)2()()0()()]([ mk
.,,,,,,,,
)()0()()]2([ 2
)0()()]2([ 1
])()([
]}])1[(.,,,,,)()0(
])1[()(])1[(.,,,,,)()0({
.,,,,,]])1[()([
.,,,,,)(.,,,,,,])2[(])1[()(
)()]kTZ [ X ( t:
0
0
2
0
1
0
0
22
0
0
1
0
0
)1(
0
1
0
.,.,,.)1(
00
)1(
0
1
0
!)(
00
00
2
0
1
00
00
0
0
TmZX
TXZTXZXZZXZmTtXZ
TZXXZZXZTtXZk
ZXZZXTtXZk
ZnTXZXZ
ZTkXZTXX
ZTKXZkTXZTkXZTXXZ
ZTkXZkTXZ
ZkTnTXZTkXZTkXkTX
ZkTnTX
mmmm
k
n
nk
k
kkkk
kkk
n
n
n















时当时时证明
])X( n-X( Z )[)]([ T 0
-1K
0n
0 ZZT
nkktXZ?

(b)超前定理
1
1
1
1
1
0
)](1[)]T-Z [ 1 ( t


ZZ
ZZ
tZZ

0- a T
0- a T
0
.
0
e-Z
1
e-Z
Z-1
-1T-t-a
Z
]Z[Z]Z [ e
aTe
例 1:用实数位移定理计算延迟一个采样周期 T的单位阶跃函数的 Z变换。
例 2：计算延迟一个采样周期的指数函数 e-at的变换。
解：
解：
)Z(Xlimx ( 0 )
,)Z(Xlim,)Z(XZ)t(x
)]z(x)1z[(lim)t(xlim
,
,1Z
),Z(XZ)t(X
z
z
1zt




则存在并且变换为的设函数则有无极点在单位圆外的二重以上极点不含变换为的设连续时间函数
(3)终值定理
(4)初值定理
1 1)-l i m ( Z
)()1l i m ()l i m e( n T
)2 0 8.04 1 6.0)(1(
0,7 9 2 Z
0
2
2

ZZZ
ZEZ
例 3:设 Z变换函数为,
使用终值定理确定 e(nT0)的终值。,)(
E ( Z )
::3
0
)208.0416.0)(1(
0,7 9 2 Z
2
2
的终值使用终值定理确定变换函数为设例
nTe
Z
ZZZ
解,







0n
0n
0n
00
*
0n
0n
n-
0
0n
n-
n
n-
n
2-
2
-1
10
1
n
n
1
10
m-
m
-1
10
)nT-(tC
)nT-(t)X ( n T( t )X
)nT(XC )ZX ( n TZ) X (
Z
ZCZCZCZCC X ( Z )
Z,
mn
ZaZaa
ZbZbb
Z) X (
则可求得知变换的定义由的升幂排列得并按用分子除以分母

三,Z反变换 (inverse z-transfirms)
(1)长除法
.
),(
)4T-(t0,9 3 7 5
)3T-(t0,8 7 5)2T-(t0,7 5)T-(t0,5(t) X
(t)X,
0,9 3 7 5) X ( 4 T0,8 7 5)T X ( 3
0,7 5) X ( 2 T0,5) X ( T0( 0 ) X
9 3 7 5.08 7 5.075.00,5 Z X ( Z )
8 7 5.075.00,5 Z
0,3 7 5-0,8 7 5
3 7 5.01 2 5.175.0
25.075.0
25.075.00,5 Z
0,5 Z 0,5 Z1,5 Z-1,
Z) X (
0
0
000
*
*
00
00
4321-
321-
43
432
32
321-
1-2-1-
5.05.11
5.0
)5.05.1(
5.0
21
1
2
难一般表达式往往比较困要写出函数值的时刻上的函数值长除法只能求出各采样可写成由此则有长除法
nTX
ZZZ
ZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
Z
ZZ
Z


















例 6.试求取 的 Z反变换 X
+(t)。
,
)()(6,*)5.0-)(1( 5.0
解反变换的试求取例 tXZZX ZZ Z
解：
)t(X)t(X
)T(x
)z(x
*
转换成采样信号将对应的时间函数查表求出展开式第一项展开成部分分式将
)(( t ) X
) X ( n T
X ( Z )
1-Z1)-(Z-Z
0
0
)-(1
1
-1- 1)(
*
)-(1
1
-1- 1)(0
1)-(1
1
- 1)(Z-1
1
-Z- 1)(
1
)-(1
1
2
-1
1
- 1)(
1
)1()(
1
Z
X ( Z )
22
n
22
n
222
22
2
nTt
n
n
n
Z
ZZZ
ZZ









(2)部分分式法
例,试求 的 Z反变换。
,
)(,
)()(
)(
)(
)2(
2)1)((
*
解反变换的试求例转换成采样信号③将项对应的时间函数②查表求出展开式第一展开成部分分式①将部分分式法
ZZX
tXtX
Tx
zx
ZZ
Z

解：

n
0
0
0
n*
n
0,5-Z
Z1-
0,5-Z
1
1-Z
Z
)5.0)(1(
5.0
5.0
2
)5.0)(1(
5.0
1
1
5.01)5.0)(1(
5.0
Z
X ( Z )
0,5-1)X ( n T
)nT-(t)0,5-(1( t )X
0,5Z -X ( Z )
1)5.0-(lima
1)1-(lima
21







n
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
Z
Z
a
Z
a
ZZ
Z
Z
例,试求 的 Z反变换。
反变换的试求例 Z)(,)5.0)(1( 5.0 ZZ ZZX
解：

)nTt()nT(X( t ) X
Zr,l,Z
Z)Z(X)Z-(Z
dz
d
)!1r(
1
]r e s [ X ( Z ) Z
]r e s [ X ( Z ) Z)( n T X
0n
00
*
iii
ZZ
1nr
i
l
1i
1r
1r
i
-1n
-1n
0
i
i
i
i


则的重复个数为重极点总数为为彼此不相等的极点
(3)留数计算法

)nT-(t
r)-(1
1
-
r-1
n
)1(
r
)nT-(t)(( t )X
r)-(1
1
-
r-1
n
)1(
r
)X ( n T
-
z
dz
d
)1(R
)1(
r)-(ZR
2,2,1,1,)(
0
0n
22
n
0
0
0
*
22
n
0
r)-(1
1
r-1
n
1z
n
1
1
)1)((
2
)!12(
1
2
2
1
1)-r)(Z-(Z
Z
1
2121
22
2






r
nTX
r
rz
zz
r
r
Z
lrrZrZZX
n
z
n
zrz
z
dz
d
n
rZ
n
则的极点为解：
例,试求 的 Z反变换。
:
)(,2
)1)((
解反变换的试求例 ZZX
ZrZ
Z

§ 5 差分方程及其 Z变换法求解
)(])1[(.,,,,,,])1[(])[(
][])1[(.,,,,,,])1[(])[(
110
11
kTrbTkrbTmkrbTmkrb
kTyaTkyaTnkyaTnky
mm
nn


- K
r(t) e(t) y(t)1/S
( 3 ) k T r( k T )1 ) y ( k T )-( k t1 ) T ]y [ ( k
( 1 )( 2 )
.T
( 2 ) |l i m(t)y
,
( 1 ) r( t )kk y ( t )(t)y
k y ( t )-k r( r)k e ( t )t) y(
TT
)kt(y]T)1k[(y
T
)kt(y]t)1k[(y
0t
dt
d y ( t )
.
.





式有式代入将为计算步长或采样周期式中即近似用一阶前向差分方程来即很小一离散系统的差分方程模型例 1.右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t)KZ0H 1/S
r(t)
eh(t)
-
e(t)
( 4 ) k T r( k T )1 ) y ( k T )-( k T1 ) T ][ ( k y
1 ) T(kt
k T )-( t ) ( tke( k T )yy ( t )
,
T)1k(tkt
e ( k T )( t )e OHZ
.
h
h




时当积分器的输出为在两相邻采样时刻之间的输出为在两相邻采样时刻之间例 2.右图所示为采样控制系统采样器的采样周期为 T.试求其差分方程。
解,
说明,(1)例 2图去掉 ZOH和采样起就是例 1
(2)离散系统的差分方程就是系统的近似离散化模型
( 0 )x( z)Xz( z) X
( z)X( 0 )zx-( z)zX
1 ) T ][ ( kx( k T )x
T:
z,,,
s
12
1
1
211
12
-1
-1


是它的输入信号秒或延迟一拍就样周期把输入信号延迟一个采单位延迟器采用单位沿迟器在离散系统中应地相器件方程的主要作为模拟连续系统微分连续系统采用积分器
r(kt)
KT
KT-1
y(kt)y(k+1)t
1?z
1?z
x1(kT)x2(kT)
x2(z) x1(z)
x1(0)
11?z
k T r ( k T ) )1 ) y ( k T )-- ( k T1 ) T ]y [ ( k
k T ( k T )1 ) y ( k T )-( k T1 ) T ]y [ ( k


二,离散系统差分方程的模拟图例 3.画出例 2所示离散系统的模拟图
.
,z,z
,z
各采样时刻的响应求出反变换然后进行为变量的代数方程化为以将差分方程变换的实数位移定理实质是应用三 差分方程的解例 4.用 Z变换法解二阶差分方程
y[(k+2)T]+3y[(k+1)T]+2y(kT)=1(kT)初始条件为 y(0)=0,y(T)=1
kk
zyzkTy
zz
zzz
z
zY
z
z
z
z
z
zYzz
z
z
)2(3/2)1(2/16/1)](()(
]
2
3/2
1
2/1
1-z
1 / 6
z[]
1)-2 ) ( z3z(z
z
z[
)1)(23(
)(
11
)()23(
1
2 Y ( z)zy ( 0 ) ]-3 [ Y ( z)zy ( T ) ]-y ( 0 )z-Y ( z)[z
,z
1
2
2
2
2
2
22







则有变换对所各差分方程求


0
0
*
)(])2(3/2)1(2/16/1[
)()()(
n
kk
n
kTt
kTtkTyty
解,
,,,,,,4 T )-(t0,2 4t T )-(t0,7 6 3T)-(t
)(])6.0(8 7 5.1)4.0(4 2 9.14 4 6.0[y ( t )
)1,8 7 5 ( - 0,6-)1,4 2 9 ( - 0,40,4 4 6y ( k T )
0,6 )1,8 7 5 / ( z-0,4 )1,4 2 9 / ( z1)-0,4 4 6 / ( z
]
)6.0)4.0)(1(
[
)24.0)(1(0,2 4zz
( z)z
Y ( z)
)()(24.0)0(z-zY ( z)zy ( T )-y ( 0 )z-Y ( z)z
0
kk
2
2
2
22









k
kk
kTt
zazz
z
z
zzz
zU
zUzYy
例 5.求 y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数作用下的解。初始条件 y(0)=0,y(T)=1.
解,
§ 6 脉冲传递函数
,
)Z(GG)]S(GG[ZG ( Z )
( S )GG
( S )( S )GG( S )C
( S )( S )( S ) GGC ( S )
G ( Z )
21
*
21( Z )
( Z )C
*
21
( S )
( S )C
**
21
*
*
21
)Z(
)Z(C
(t)]Z[
(t)]Z [ C
*
*
*
*
*




G(S))(t?
)(*t?
T0 )(z?
c(t)
C(Z)
)(* tC
G1(S) G2(S)
)(* tC
C(t)
)(t?
T0
)(*t?
定义：输出脉冲序列的 Z变换与输入脉冲序列的 Z变换之比。
一,线性数字系统的开环脉冲传函
1.串联环节间无同步采样开关隔离时的脉冲传函结论,没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的 Z变换。
)()(
)()(
( S )( S )( S ) GG( S )C
( S )( S )G( S )M
( S )( S ) MG( S )C
( S )( S )GM ( S )
( S )( S ) MGC( S )
21( Z )
( Z )C
*
2
*
1
( S )
( S )C
**
1
*
2
*
**
1
*
**
2
*
*
1
*
2
*
*
ZGZG
SGSG
G2(s)G1(s)T
0 C(t)
)(t? )(*t?
)(*tcm(t)
2.串联环节有同步采样开关时的脉冲传函结论,有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传函为两个环节分别求 Z变换后的乘积。
可推广到 n个环节。
)e-1 ) ( Z-(Z
)e-Z ( 1
]Z[
( Z )GG(S)](S)GZ [ GG ( Z )
(S)]] Z [ GZ-[1(S)]ZZ [ G-(S)] Z [ G
](S)G-(S)Z [ G(S)](S)GZ [ GG ( Z )
(S)G-(S)G(S)G ) -(1(S)(S)GG(S)(S)GG
(S)G -1(S)G
)1()((S)(S)GG
(S)G
0
0
0
00
20
20
s
0
T-
s
0
T-
1 0 T-
1 0 T-
S
1
10,1 S
1
21
'
2
'
1
'
2
1-1-'
2
'
2
'
2
'
2
'
2
'
1
'
2
'
2
'
2
'
2
'
121
)('
2
'
1
)(
2
e-1
21
e-1
1







ST
STST
S
SGST
S
SGST
S
S
e
ee
e
eSG
令
G1(S) G2(S)
G2(s)零阶保持器
C(t))(t? )(
*t?
3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函零阶传函解,
例 1.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中
)
0
10
)(1(
2
10
1-Z
Z
0
10
1 0 Z
]
1
[]
10,1 S
1
Z[( Z )
2
( Z ) G
1
GG ( Z )
T
eZZ
Z
T
eZ
S
Z


)e-a( Z
e-1
]
S
) Z [Z-(1
]) Z [Z-(1
]Z[G ( Z )
0
0
S0-T
aT-
aT-
1
a
1
1-
a)S ( S
11-
1
S
e-1


aS
a
aS
G1(S) G2(S)
例 2.求右图所示二环节串联的脉冲传函,G1(s)G2(s)
同上。
例 3.设与零阶保持器串联的环节的传函为
G(S)=1/(S+1),试求脉冲传函解,
解：
R(S) G
1(S)
H(S)
G2(S) C(S)
F(S) )(* SF
)(* SC
)(S?
Y(S) -
H ( Z )GG1
)Z(GG
R ( Z )
( Z )
21
H ( Z )GG1
1
R ( Z )
( Z )
**
21
**
*
21
*
21
21
21
21
( Z )( Z )GGC ( Z )
( S )H)G(G-( S )( S )
( S )( S ) H ( S )( S ) GG-R ( S )( S )
3
H ( S ) C ( S )Y ( S )
Y ( S )-R ( S )( S )
( S )( S )( S ) GGC ( S )

C
R


而对上式采样得式得由上二,线性数字控制系统的闭环传函例 1
H(S)
D(S) G(S)R(S) X(S) C(S))(S?-
)()(1
)()(
R ( Z )
C ( Z )
( S )( S ) DGH1
)()()(*
****
)()(1
( S )R*
*****
**
****
*
( S )C
( S )( S ) E( S ) DG( S )C
( S )E
( S )( S ) E( S ) DGH-( S )R( S )E
( S )( S ) EH ( S ) G ( S ) D-R ( S )E ( S )
H ( S ) C ( S )-R ( S )E ( S )
( S )( S ) ED( S )X ( S )D ( S ) EX ( S )
( S )G ( S ) XC ( S )
**
***
**
*
ZDZGH
ZGZD
SRSDSG
SDSGH


例 2.试求右图所示系统的闭环传函解：
C(s)
)e-1 ) ( Z-(Z
21e
)1(
1
)Z-(1
)1(
1)1(
ZG ( Z )
)(1
)(
R ( z)
C ( z)
-1
1-1
2
-1
0


eZ
SS
Z
SSS
e
zG
zG
ST
12
11-
11-1-
11-
1-
11-
1-
1-1
21e
21e)e-- 1) ( Z(Z
21e
)e-- 1) ( Z(Z
21e
)e-- 1) ( Z(Z
21e
R ( Z )
C ( Z )
1






eZZ
eZ
eZ
eZ
eZ
eZ
S
e ST01? )1( 1?SS
R(s)
- 10?T
例 3.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函解,
§ 7 稳定性分析故对应于单位圆的外部平面的右半部对应时当故对应于单位圆的内部平面的左半部对应时当平面的单位圆平面的虚轴对应因此由由当当而
1e|Z|
S 1
1e|Z|
S 1
ZS
- Z
1|Z| jS 0
TZ e|Z| eeZ jS
eZ
0
0
00
000
0
0
T
T
TT
0
TjTT
T
2
S
ST











][S
][Z
一,S平面与 Z平面的映射关系
(1)
(2)
(3)
结论,S平面的稳定区域在 Z平面上的影象是单位圆内部区域系统是稳定的部特征根的模小于或全平面的单位圆内于系统特征方程的根均位充要条件是定的则线性数字控制系统稳设特征方程的根为方程为由此得闭环系统的特征
17 9 5.06 1 8.05.0|||Z|
6 1 8.05.05 2 8.15.05.0
2
6 3 2.0411
Z
1.
,:
,Z,Z,Z
0)(1
22
21
1,2
n21
21
)(1
)(
R ( Z )
C ( Z )
21
21




Z
j
Z
ZHGG
ZHGG
ZGG
H(S)
G1(S) G2(S) C(S)R(S) -Y(S)
二,线性数字系统稳定的充要条件例 1.试分析特征方程为 Z2-Z+0.632=0的系统的稳定性,
解,
.
0)(,
0D ( Z )
:,
,,
1
1
定性判据判别采样系统的稳应用整理后得变换进行程求出采样系统的特征方其步骤如下判据既可用变换后进行征方程代入闭环采样系统的特令
R o u t h
D
R o u t h
ZZ

,
40
0 18-
40 2
2 1
04022,
039)(119)(117)45(
Z
0
1
2
3
23
1
12
1
13
1
1
1
1
有两根在单位圆外系统不稳定整理得得令



三,Routh稳定判据例 1.设闭环采样系统的特征方程为 D(Z)=45Z3-
117Z2-39=0判断其稳定性,
解,
(1)
(2)
(3)
r(t)
-
T
Se
TS1 )05.01)(1.01(
2 ssS



0 0,3 4
0 1,4 3
0,3 4 3,6 8
1,6 5 2,3 3
034.065.168.32,3 3
0,G ( Z )1
3.0
)Z-(1
)ZZ-(1G ( Z )
G ( S )
0
1
2
3
23
0 1 8 5.0
)1(1.0
1 3 5.0
)1(4.0
1-Z
0,4
1.04.0
1
3.0
1)-(Z
2 T Z
1-
20
1.0
10
4.03.0
S
2
1-
)20)(10(
)e-4 0 0 ( 1
)05.01)(1.01(
)e-2 ( 1
20102
2
2
TS-
2
- T S
系统是稳定的则











Z
Z
Z
Z
eZ
Z
eZ
Z
Z
Z
SSS
SSS
SSS
TT
例 2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期 T=0.2(秒 )
解,
-R(S) G(S)
C(S)
T
1 7,3K0,
00,1 5 8 K-2,7 3 6,00,1 5 8 K
0,1 5 8 K-2,7 3 6
0 1,2 6 4
0,1 5 8 K-2,7 3 6 0,1 5 8 K
0)K1 5 8.07 3 6.2(2 6 4.10,1 5 8 K
1)-(
0K1 5 8.00,3 6 8 )-1 ) (-(
Z
0Z)3 6 8.01(0,3 6 8 )-1 ) ( Z-(Z
0Z)e1()eZ1 ) (-(ZG ( Z )1
Z)e1()eZ)(1Z(
Z)e1(
]-Z[
][Z)Z(G
11
1
0
1
11
2
1
2
1
2
-1
1
1-1
1
-1
1
-1
1
4
K
T4
4
KT4
T4
4
KT4
T4
4
K
)Z(G1
)Z(G
R ( Z )
C ( Z )
)eZ)(1Z(
Z)e1(
4
K
KS
1
S
1
4
K
)4S(S
K
1
010
010
01
0
T4
0
T4
11
1
















解得并整理得两边同乘以代入上式得令则例 3.设采样系统的方框图如图所示,其中采样周期 T=0.25S,求能使系统稳定的 K1值范围
:
,25.0
,)(,3
1
)4(
1
解值范围求能使系统稳定的采样周期其中图所示设采样系统的方框图如例
KST
SG SS K

解,
§ 8 采样系统动态特性的分析速度误差系数或位置误差系数即
),Z(G)1Z(l i mK
l i m
)Z(G1
)1Z(
l i me
R ( Z )t,r( t )
G ( Z ) ][1l i mK,G ( Z )l i mK
l i ml i me
R ( Z )
,
l i me
E ( Z )
)z(E)1z(l i m)t(el i me
1z
v
K
T
)Z(G)1Z(
T
1z
- 1 )(Z
ZT
1z
ss
- 1 )(Z
ZT
1z
P
1z
P
K1
1
)Z(G1
1
1z
)Z(G1
)1Z(
1z
ss
1Z
Z
)Z(G1
)Z(R)1Z(
1z
ss
)Z(G1
)Z(R
1z
ss
t
ss
v
00
2
0
2
0
P
1Z
Z










-R(S)
C(S)
G(S)E(S)T
三,稳态误差计算
(1)输入信号为单位节约函数 r(t)=1(t)
(2)输入信号为单位斜坡函数
)Z(G)1Z(l i mK
l i m
)Z(G1
)1z(
l i me
R ( Z )
t)t(r,
2
1z
a
K
T
)Z(G)1Z(
T
1z
)1Z(2
1)Z ( ZT
1z
ss
)1Z(2
1)Z ( ZT
2
2
1
a
2
0
2
2
0
3
2
0
3
2
0



时即
0型系统
1型系统
3型系统
2型系统系统类型稳态误差终值 输入 r(t)=1(t) r(t)=t 221)( ttr?

0
0
0
0
00
pk?1
1
vk
T0
ak
T20
(3)输入信号为单位抛物线信号
Se ST01 )( aSS K?
)(E ( Z )
e
0)()1(limK
83.0e
)()1(limK
0e )(limK
)(
6 3 2.0
0,3 6 81,3 6 8 Z-Z
ss
2
1
a
7 3 2.0
6 2 3.0
ss
6 2 3.0
7 3 2.0
1
v
1
1
ss
1
P
)3 6 8.0)(1(
2 6 4.03 6 8.0
2
2
2
0
0
ZR
ZGZ
ZGZ
ZG
ZG
ZZ
K
T
z
K
T
z
K
z
ZZ
Z
a
v
P







例 1.右图所示系统中的参数 a=1,k=1,T0=1,试求在 r(t)=1(t),r(t)=t
及 r(t)=t2/2时的稳态误差,
解,
§ 9 线性离散系统的数字校正
D ( Z ) D ( Z ),
)()(1
1
R ( Z )
( Z )
( Z )
)()(1
)()(
R ( Z )
C ( Z )
( Z )
)()(
)(-1
( Z ) ]-G ( Z ) [ 1
( Z )
e
e
ZZG
Z
e
ZGZDZGZD
ZGZD



得
R(S) G(S)D(Z)
-
散系统或数字系统。完全跟踪控制信号的离从而内结束响应过程且能在有限个采样周期响应误差在各采样时刻上无稳态在典型控制信号下最小拍系统
,,
.:
一,数字控制器的脉冲传函二,最小拍系统的脉冲传函
Z-1
ZA
ZR
Z-12
Z1ZT
]
2
t
Z [
Z-1
ZT
Z [ t ]
Z-1
1
]tZ [ 1
1-
31-
1-1-2
0
2
21-
1-
0
1-
）（
）（
）（
可写成由此可见，其一般形式
）（
）（
）（
）（
1.G(Z)的零极点均位于单位圆内几种典型输入信号的 Z变换分别为,
即可。式中取在项数最少所含及为满足要求需使由以上二式可看出或对单位反馈系统有设因子具有因此要求有根据最小拍的定义
1 )(( 3 ),
)()(,
)()](1[C ( Z )
)()( C ( Z )
)(1)(
( 3 ) )()1()(
,)1()(
,0)(,
)1(
)(
)()1(lim
)()()1(lim)(
1
1
1
1
1
1
1
1









ZZ
ZZ
ZRZ
ZRZ
ZZ
ZZZ
ZZ
e
Z
ZA
ZZ
ZRZZe
e
e
e
e
e
ss
e
z
e
z
ss
上述输入系统只需一拍完全跟踪
）（）（）（）（
）式得）、（）、（由（
）（
）（）（
，则，）（
）（








n-2-1-
1-
11-
21
1-
ZZ Z
ZZA-ZRZC
631
Z-1Z
Z-1-1Z
11ZA
1
Z-1
1
ZR
e
n
Z
ZZZ
t
C*(t)
T0 2T0 5T0
2.典型控制信号作用下的脉冲传函
(1) 当 r(t)=1(t)时两拍跟踪上输入这里
TT3T2
1TTT2T
( Z )A ( Z )-R( Z )C( Z )
2)1(1)(
21)1()(
2 T)(
TT2T
)1(
T
R( Z )
0
3
0
2
0
00
2
0
1
0
2121
2121
e
1
0
0
2
0
1
021
1
0














n
n
n
ZnZZ
ZZnZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZA
ZnZZ
Z
Z
T0 4T0 t
C*(t)
(2) 当 r(t)=t时三拍时跟踪上输入取












42
0
32
0
22
0
32131
32131
e
22
0
12
0
42
0
32
0
22
0
12
0
31
112
0
T8T5.41,5 T
)()()()(
33)1(1)(
331)1()(
1( Z ) 3 0,5 T0,5 T)(
T8T5.4T20,5 T
)1(2
)1(T
R( Z )
ZZZ
ZZAZRZC
ZZZZZ
ZZZZZ
ZZZA
ZZZZ
Z
ZZ

T0 3T0 t
C*(t)(3) 当 r(t)=t2/2时
)(
1
)1(
33
)1)((
)331(-1
D ( Z )
)1()(,
2
)(
)(
1
)1(
2
)1)((
)21(-1
D ( Z )
)1()(,)(
)(
1
1)1)((
)1(-1
D ( Z )
1)( )(1)(
)()(
)(-1
D ( Z )
21
321
31
321
31
e
2
21
21
21
21
21
e
1
1
21
1
1
e
e
e
ZGZ
ZZZ
ZZG
ZZZ
ZZ
t
tr
ZGZ
ZZ
ZZG
ZZ
ZZttr
ZGZ
Z
ZZG
Z
ZZttr
ZZG
Z










时当时当时当
3.数字控制器的脉冲传函典型输入 调整时间闭环脉冲传递函数
r(t) R(z)
1(t)
)(Ze? )(Z?
st
11
1
Z
11 Z 1?Z
0T
t
21
1
0
)1(?
Z
ZT 21 )1( Z 2T0
3T0
212 ZZ
2
2
0t
31
112
0
)1(2
)1(

Z
ZZT 31 )1( Z 321 33 ZZZ
rmlnlnqlmp
lnrmZD
mnZZGlr
azazaz
pp
pp




故有即式次多项分子为次多项式的分母为则项式次多分子为次多项式的的分母为当然有应具有如下要求为了工程上可实现
,,,
,)(,
,)(,
p)(q
bzbzbzb
D ( Z )
D ( Z ),
1
1
1
q1-q
1-q
1
q
0
4.G(Z)有单位圆外零极点时
(1)D(Z)须具有有理分式
(2)D(Z)须是一个稳定的装置其极点须都在单位圆内
(3)设 Φ(Z)的分母是 Z的 r次多项式,分之为 Z的 l
次多项式样周期内完成过渡过程可在有限个采就只有有限项了则其余各项均为零的分母只有若取过程为无穷长这表明系统的脉冲响应可展开成无穷多项输出在单位脉冲信号作用下可以表示成设抵消相应的零点来靠含有非单位圆内的零点如对象但一般情况下我们不用零点来抵消相应的或就只有靠有非单位圆内的极点含如对象的极点也须在单位圆内所以定且闭环系统须稳的极点须在单位圆内根据
,
C ( Z )
,,)(
ggC ( Z )
)(,
)(
)(
.
)(,)(
).(,
)()(,
)(,( Z ),
,D ( Z )( 2 ),
1
10
1
21
1
1
1
1
1
10
r
l
rlrl
r
rlrl
rr
rr
ll
ll
e
ZZZ
ZZ
ZZ
ZC
rl
ZZZ
ZZZ
Z
Z
ZZG
ZD
ZZD
ZG










(4) Φ(Z)=D(Z)G(Z)Φe(Z)
)( ( * ),)(
31,2 ( * )
Z
)()1(
)(
,0,)1(
,)4(),3()(
)()()1-(lim)()1-(lime
1)-(Z
A ( Z )
R ( Z )
)(,,
11
ss
应具有的结构形式式即为最小拍系统的阶次不大于且或取则要使因子相应的还含有的约束外除了满足上面可见由于的统一式为单位加速度单位斜坡对于单位阶跃
ZlrZ
ZZ
Z
eZ
Z
ZZRzzEz
ZR
e
e
SS
e
e
zz





Z0H G(S)
应有一个圆上极点应有一个圆外零点根据这些知点它有一个单位圆外的零可知从至少应为的分母分子次数差可见
)(,)(
,,)(
1
)(1,3,2
)0 1 8.0)(1 3 5.0)(1(
1,1 8 )0,0 4 7 ) ( Z7,3 2 ( Z
)105.0)(11.0(
1 0 01
)(
2.0
ZZ
ZG
lr
Zmnnm
ZZZ
SSS
e
ZZG
e
S





例,右图所示系统,
其中采样周期 T=0.2S,
Gn(S)=(1-e-0.2S)/S,
G(S)=100/S(0.1S+1)(0.05S+1)要求在单位阶跃输入下实现最小拍响应,试求 D(Z)
解,
两拍后完全跟踪输入解得利用即选分母为则由的分子为设根据这些约束













321-
5 4 1.04 5 9.0
D ( Z ) G ( Z )1
D ( Z ) G ( Z )
)5 4 1.0)(0 4 7.0(
)0 1 8.0)(1 3 5.0(0 6 3.0
( Z )G ( Z )
( Z )
)5 4 1.0)(11,1 8 )0,4 5 9 ( Z
22
2
0,4 5 9 Z
)(C( Z )
D ( Z )
( Z ) ( Z )
0,5 4 10,4 5 9,k( Z ),-1 ( Z )
)(1
( Z )
181
( Z )
,,
181( Z ),
23
2
22
ZZ
ZR
Z
)Z(Z
Z
).k ( Z
Zn - mr - l
),.k ( Z
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
Z
Z(Z
e
Z
e
e
e