第四章 根轨迹法
§ 1 反馈系统的根轨迹
) (
,
.1
l o c u sr o o tS 轨迹。平面内变化的轨迹称根式的根在闭环系统特征方程到无穷变化时开环系统某一参数从零根轨迹的概念
C(s)R(s)
)15.0(?SS K
2k-1 --1s
2k-1-1s,
02k2ss
22ss
2k
)(
)(
( s )
)2(
2
)(,
2
1
2
2
两闭环极点为系统的特征方程为该系统的闭环传函为图所示设有一单位反馈系统如例
ksR
sC
ss
k
SG
,k
,1-2kj-1 s 1/2k
-1s 1/2k
,s 210
2s 0s 0k
:0
1,2
21
21
21
沿上述直线趋于无穷远时上位于垂直与实轴的直线实部相同时时均为负实数时同闭环极点与开环极点相时极点分布的影响到无穷变化对系统闭环从下面分析参数
s
sk
k
-2 0
K
K
2k-1 --1s
2k-1-1s
2
1
0,5k
0,5k
0,5k0,
,,,
k
,,
2.
欠阻尼临界阻尼过阻尼动态性能数确定对应的静态误差系同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能即为临界增益与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性根轨迹与系统性能
s
)()(
)()(
( S )
kkk lfm hqn
)()(
)()(
KG ( S ) H ( S )
)(
)(
KH ( S )
)(
)(
KG ( S )
( S )
.3
11
11
HG
11
11
1
1
H
1
1
G
G ( S ) H ( S )1
G ( S )
j
m
j
i
n
i
j
h
j
i
f
i
G
j
h
j
i
q
i
j
l
j
i
f
i
j
h
j
j
l
j
i
q
i
i
f
i
ZSKPS
PSZS
K
PSPS
ZSZS
PS
ZS
PS
ZS
则一般开环传函可以写成函为如图所示系统的闭环传点之间的关系闭环零极点与开环零极
G(s) C(s)R(s)
H(s)
,
,
,
,( 3 )
,;
( 2 )
,
,;
,( 1 )
:
找出闭环极点方法通过图解的点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极迹法的基本任务根轨益均有关开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点零点闭环零点就是开环对于单位反馈系统的极点所组成函传馈通路路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通统根轨迹的增益环系就等于开闭环系统根轨迹的增益对于单位反馈系统增益根轨迹等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益结论
n
1
i
m
1
i
1
m
1
21
m21
)p-(s-)z-(sG ( s ) H ( s )
||
||K
|G ( s ) H ( s )|
)2,1,0,(i 3 6 01 8 0G ( s ) H ( s )
1|G ( s ) H ( s )|
)())((
)z-(s)z-) ( sz-K ( s
G ( s ) H ( s )
-1G ( s ) H ( s ) 0( s ) H ( s ) 1
,
.4
ii
i
n
i
i
i
n
ps
zs
i
pspsps
G
相角条件幅值条件的集合根轨迹是所有闭环极点根轨迹方程
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
)1,,1,0(
12
,
,
,4
,
3,
2,
1,
80.1
a
1 1
a
mnl
mn
l
mn
ZP
n
i
m
i
ii
渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交点根轨迹的渐近线远点终止于开环零点或无穷根轨迹起始于开环极点根轨迹的起点与终点于实轴的曲线根轨迹是连续的且对称性根轨迹的连续性与对称程的阶数环极点数或等于特征方根轨迹的分支数等于闭根轨迹分支数根轨迹的绘制规则一
,
G (S )
.
)22)(4(
1)K ( S
2
解确定根轨迹的有关数据试根据目前所知的法则为设控制系统的开环传函例
SSSS
)2( 3 0 0
)1( 1 8 0
)0( 60
67.1
14
)1()1()1()4(0
,3m-( 3 ) n
( 2 )
1Z
j--1P j,-1P - 4,P 0,P ( 1 )
3
5
)12(
a
3
3
)12(
a
3
1
)12(
a
a
1
4321
l
l
l
jj
mn
l
mn
l
mn
l
与实轴的交角为为其渐近线与实轴的交点条根轨迹终止于无穷远实轴有四条根轨迹且对称于和无穷远终止于根轨迹起始于
-4 -3 -2 -1
0
ds
dk
0
ds
d
)(.6
,
.5
)(
)(
1
1
S
ZS
PS
i
m
i
i
n
i
分离点与会合点根轨迹与实轴的交点则该区域必是根轨迹数之和为奇数若其右边开环零极点个实轴上的某一区域实轴上的根轨迹
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍解试画出其根轨迹传函为已知某负反馈系统开环例
s
sss
SSS
k
SHSG
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍解试画出其根轨迹传函为已知某负反馈系统开环例
s
sss
SSS
k
SHSG
-2 -1
0
6K ( r a d / S ) 2 0
02- 0k3-
0kj23-j-
,
( 2 )
K 0)]) H ( jG ( jI m [ 1
0,)]) H ( jG ( jR e [ 1
0)) H ( jG ( j1
0)()(1( 1 )
.7
C2,31
32
23
c
由此解得交点可求得根轨迹与虚轴的接上例判据应用及解得令得代入把根轨迹与虚轴的交点
R o u t h
sHsGjs
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
11
Zl
11
Pl
)()(180
)()(180
:
:
8.
与实轴正方向的夹角点处的切线方向根轨迹进入开环复数零入射角与实轴正方向的夹角点处的切线方向根轨迹离开开环复数极出射角角根轨迹的出射角与入射
∠ （ p1-p2）
∠ （ p1-z1） ∠ （ p1-p3）
θp1
A
z1 p3
p2
p1
)()()()3 6 01 8 0(
3 6 01 8 0)()()(
312111
00
1
00
3121111
ppppzpi
ippppzp
p
p
,
G (S )
.
)5.15.0)(5.15.0)(5.2(
j)-2j ) ( S21,5 ) ( SK ( S
解迹试绘制系统的概略根轨设系统开环传函为例
jSjSSS
5.149117-90-1211991535.63180
7937-90-1 0 8,5-59195 6,5-180
,( 4 )
( 3 )
180 ( 2 )
][ - 2,5,- [ 0,- 1,5 ]
- 2,5p j 1,5- 0,5p j 1,5-- 0,5p 0p ( 1 )
z1
p2
4321
入射角出射角无分离点一条渐近线实轴上的根轨迹起始点
-1-2
θ1=108.5°
90°59 °
37 °
19 °
56.5 °
7937905.1 0 859195.561 8 0
2p?
90 ° 121 °
153 °
199 °
63.5 ° 117 °
5.149117901211991535.631801z?
-2
0
n
1
i
0
1i
-1n
n
1i
i
n21
n21
01
-1n
-1n
n
0,s
a)( -as
,
0)s-(s)s-)(ss-(s
,s,,s,s
0asasas
.9
as
s
i
i
i
n
故有对于稳定系统有关系由代数方程根与系数的则有设根为闭环极点的和与积
322j-3s-s--3s
-3s
02s3ss
0G ( s ) H ( s )1,
..2
)2)(1(
)()(.
213
321
23
32,1
j
ss
k
sjs
sss
k
sHsG
解三闭环极点试确定这种情况下的第闭环极点的两个的根轨迹与虚轴相交时已知系统例
:
,
G(S)H(S)
1.
.
K
.10
20)4S4 ) ( SS ( S
K
||||||
||||||
2
21
21
解的草图试绘制该系统的根轨迹传函为已知负反馈系统的开环例根轨迹的绘制二开环增益的求取
mlll
nlll
ZSZSZS
PSPSPS
l?
)45(315 3
)135(225 2
135 1
45 0
2
( 3 )
[ 0,- 4 ] ( 2 )
j4--2Pj 4,-2P- 4,P0,P( 1 )
4
7
a
4
5
a
4
3
a
4a
4
)12(
a
4
224
a
4321
l
l
l
l
l
渐近线实轴上的根轨迹开环极点为
0-4
p1p2
p3
p4
A
10jS 02 6 02 6 S
2 6 0k 0
k S
0 S
k 26 S
0 80 8 S
k 36 1 S
0k8 0 S3 6 S8SS
)6(
90
9090)1 8 0(1 8 0
( 5 )
j 2,5--2s j 2,5-2s -2s
0201 8 s6ss
0)]204)(4([
)()4(
2
26
8k-8026
0
26
8k-8026
1
2
3
4
234
p4
2
4
1
2
4
1
p3
321
23
2
ds
d
得根轨迹与虚轴的交点出射角解得的分离点与实轴交点根轨迹
tgtg
ssss
1006,2 5 )(46,51,5
5.225.22)5.24()5.24(K
)7(
2222
A
点的增益A
8,1 6k
1,1 j( 4 )
- 7 1,6( 3 )
- 2,3
( 2 )
135,45
25.1 ( 1 )
c
pi
a
a
分离点
-3 -2.5
:
2)2S3) ( SS ( S
G ( S ) H ( S ) 2.
2
解例
K
高阶系统的试差求解
0 24 11 1
24- 11- 1-
1,5 2 5,0 1 1 1,1 1
1- 96.0
25
24
- 2 2,5- 9,9 9- 0,9-
5,0 3 2 7,1 1 1,3 1
0,9- 88.0
2 7,1
24
- 1 8,9 7- 7,9 1- 0,7-
0,7- 7.0
35
24
- 24 35 12 1
0243512
23
取取取
sss
§ 3 广义根轨迹
,,
2.
1)-m-n,0,1,(
1.
:,
,1 8 0
i 3 6 00G ( S ) H ( S )
1|G ( S ) H ( S )|
1G ( S ) H ( S ) 0G ( S ) H ( S )-1
.
2
a
则该区域为根轨迹极点为偶数某一区域若其右侧的零实轴上的根轨迹渐近线与实轴的交角现说明如下改相关的一些规则需作修只是与相角条件根轨迹的绘制基本相同零度根轨迹的绘制与分别为故幅值条件和相角条件对于正反馈系统零度根轨迹一
l
mn
l?
.K,
G ( S ) H ( S )
.
0]G ( j w ) H ( j w )-I m [ 1
0]G ( j w ) H ( j w )-R e [ 1
.4
)()(0
)()(0
.3
C
)22)(3(
2)K ( S
11
zl
11
pl
2
确定临界增益图试绘制该系统的根轨迹传函为设某正反馈系统的开环例根轨迹与虚轴的交点入射角与出射角
SSS
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
.0
1G ( S ) H ( S )
0)()(1,:
)22)(3(
2)k ( S
2
根轨迹的规则来绘制因此需按这样根轨迹方程为则有因给定系统为正反馈解
SSS
SHSG
3k0 3k
6.71
6.716.269045900
( 4 )
- 0,8s 0223 6 s2 1 s4s
0][
( 3 )
1 8 0,0
1,0 ( 2 )
-2Z
j--1pj,-1p- 3,p
1m3,n )1(
c|)2(0|
|( - 3 )-0||j)-(-1-0||j)(-1-0|
c
p3
2
1
1
1
p2
23
)2(
)22)(3(
ds
d
aa
2
2
a
1
321
2
临界增益出射角根轨迹与实轴交点无需计算渐近线开环零点开环极点
a r ct ga r ct g
l
ass
sss
l
-3 -2 -1
p2
p3
k1p1 Kc=3
,
,
)164(
3)2S-k ( - S
G ( S ) H ( S )
.
)(S,
,
.
2
2
解图试绘制该系统的根轨迹开环传递函数为设某非最小相位系统的例零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统迹非最小相位系统的根轨二
SSS
S
3,0 7k,3,1 4 0k 0,
3.5 3.5
3,6 0
2
1Z -3Z 3j2-2P 0P
1
)164(
3)-2Sk ( S
,
1
)164(
3)2S-k ( - S
3,21
P3P2
a
2121
2
2
2
2
mn
l
SSS
SSS
标准化处理为
-1)()(
0)()(1
2,
)()(1
)(
R ( S )
C ( S )
,
)(
)(
( S )X
( S )X
)-(tX( t ) X
.,
,)()(,
1,
.
1
1
1
2
12
12
S
S
S
s
S
S
eSHSG
eSHSG
eSHSG
eSG
e
SX
eSX
tXtX
根轨迹方程为特征方程为时滞系统的根轨迹为时滞系统包含时滞环节的系统称时滞系统为时滞这种环节称为时滞环节滞后一定时间比其输入信号输出信号时滞环节时滞系统时滞系统的根轨迹三
X2(t)
X1(t)
C(S)G(S)
H(S)
R(S)
- se
1 8 0
-1,
,
G ( S ) H ( S ) e
.
3.573 6 01 8 0)P-(S-)Z-(S
)(3.57)(e
ee
3 6 01 8 0e)P-(S -)Z-(S
)j(S 1e
1
ke
1
s-
m
1
n
1
ii
s-
j)j(-s-
m
1
n
1
s-
ii
-
s-
1
1
根轨迹绘制故按根轨迹方程为解迹草图试绘制时滞系统的根轨开环传函为设某负反馈时滞系统的例故有相角条件幅值条件
S
S
ke
i i
i i
PS
ZSk
s
i
n
i
i
m
i
i
r a d
ee
i
分支复平面内的完整根轨迹按上述方法可绘制在区间内选取一系列值，／在虚轴０－
即满足便是满足相角条件的点两直线的交点直线的角为做一条与实轴正方向夹过开环极点做实轴的平行线并过点在虚轴上选一点相角条件的点现在在复平面寻找满足则相角条件写成令复平面上的根轨迹根轨迹的相角条件相同故与绘制所以相角条件变为在实轴上由于实轴上的根轨迹
c,
3.571 8 0)1(
,,
3.571 8 01b,
),0(,,a,
jS
5 7,31 8 05 7,31 8 01)(s
5 7,31 8 01)(s-,,0
)2(
1 8 0
i 3 6 01 8 01S-
,0
)1(
111
111
11
11
j
jS
P
j
i
.
645.0,1
][ 1)(s
a r c t g
,
( 4 )
)/-(1
0][
/,
-s
)(lim lim lim
)3(
'
'
1
''
js
''
'
1
ds
d
-s
)1(
)(
-s
1
-s
'
图由此绘制出主根轨迹如解得时则坐标设根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点分离点坐标为根轨迹趋向与直线时当环极点也是给定系统的一个开由于实轴的根轨迹
a r c t ga r c t g
K
eK
s
e
s
s
s
Ke
s
Ke
S
ds
d
S
ds
d
S
'?
'?
j
-1
j
i=0
i=0
i=1
i=1
2j
2j
0 K
0
jW
主根轨迹图
01
0k1)a S ( S1)(SS
01
.
01,
0180
.
,
)1(
)1a S ( S
2
a)1 ) ( SS ( S
K
Q ( S )
( s )
2
kSS
P
则可写成即为设反馈系统的开环传函例征方程化为如下形式特根轨迹规则一样只是把和与绘制参量根轨迹的方法轨迹称为反馈系统的参量根参量为参变量的根轨迹以非开环增益的其他参量的普通根轨迹为区别与以开环增益为四参量根轨迹
-1
,
,
G ( S ) H ( S )
2.
a)S ( S
10
解为参变量的根轨迹图试绘制以传函为设某负反馈系统的开环例
a
p1
p2
10?
180
1809090180
)4(
10s
-a (3)
0 )2(
10-jP 10jP 0Z )1(
01
01G(S)H(S)1
p1
p1
s
10s
s
10)(s-s2s
ds
da
s
10s
12
)12(
a
21 1
10S
as
a)S ( S
10
2
2
2
2
2
2
出射角轨迹与实轴交点渐近线 l
l
§ 1 反馈系统的根轨迹
) (
,
.1
l o c u sr o o tS 轨迹。平面内变化的轨迹称根式的根在闭环系统特征方程到无穷变化时开环系统某一参数从零根轨迹的概念
C(s)R(s)
)15.0(?SS K
2k-1 --1s
2k-1-1s,
02k2ss
22ss
2k
)(
)(
( s )
)2(
2
)(,
2
1
2
2
两闭环极点为系统的特征方程为该系统的闭环传函为图所示设有一单位反馈系统如例
ksR
sC
ss
k
SG
,k
,1-2kj-1 s 1/2k
-1s 1/2k
,s 210
2s 0s 0k
:0
1,2
21
21
21
沿上述直线趋于无穷远时上位于垂直与实轴的直线实部相同时时均为负实数时同闭环极点与开环极点相时极点分布的影响到无穷变化对系统闭环从下面分析参数
s
sk
k
-2 0
K
K
2k-1 --1s
2k-1-1s
2
1
0,5k
0,5k
0,5k0,
,,,
k
,,
2.
欠阻尼临界阻尼过阻尼动态性能数确定对应的静态误差系同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能即为临界增益与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性根轨迹与系统性能
s
)()(
)()(
( S )
kkk lfm hqn
)()(
)()(
KG ( S ) H ( S )
)(
)(
KH ( S )
)(
)(
KG ( S )
( S )
.3
11
11
HG
11
11
1
1
H
1
1
G
G ( S ) H ( S )1
G ( S )
j
m
j
i
n
i
j
h
j
i
f
i
G
j
h
j
i
q
i
j
l
j
i
f
i
j
h
j
j
l
j
i
q
i
i
f
i
ZSKPS
PSZS
K
PSPS
ZSZS
PS
ZS
PS
ZS
则一般开环传函可以写成函为如图所示系统的闭环传点之间的关系闭环零极点与开环零极
G(s) C(s)R(s)
H(s)
,
,
,
,( 3 )
,;
( 2 )
,
,;
,( 1 )
:
找出闭环极点方法通过图解的点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极迹法的基本任务根轨益均有关开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点零点闭环零点就是开环对于单位反馈系统的极点所组成函传馈通路路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通统根轨迹的增益环系就等于开闭环系统根轨迹的增益对于单位反馈系统增益根轨迹等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益结论
n
1
i
m
1
i
1
m
1
21
m21
)p-(s-)z-(sG ( s ) H ( s )
||
||K
|G ( s ) H ( s )|
)2,1,0,(i 3 6 01 8 0G ( s ) H ( s )
1|G ( s ) H ( s )|
)())((
)z-(s)z-) ( sz-K ( s
G ( s ) H ( s )
-1G ( s ) H ( s ) 0( s ) H ( s ) 1
,
.4
ii
i
n
i
i
i
n
ps
zs
i
pspsps
G
相角条件幅值条件的集合根轨迹是所有闭环极点根轨迹方程
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
)1,,1,0(
12
,
,
,4
,
3,
2,
1,
80.1
a
1 1
a
mnl
mn
l
mn
ZP
n
i
m
i
ii
渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交点根轨迹的渐近线远点终止于开环零点或无穷根轨迹起始于开环极点根轨迹的起点与终点于实轴的曲线根轨迹是连续的且对称性根轨迹的连续性与对称程的阶数环极点数或等于特征方根轨迹的分支数等于闭根轨迹分支数根轨迹的绘制规则一
,
G (S )
.
)22)(4(
1)K ( S
2
解确定根轨迹的有关数据试根据目前所知的法则为设控制系统的开环传函例
SSSS
)2( 3 0 0
)1( 1 8 0
)0( 60
67.1
14
)1()1()1()4(0
,3m-( 3 ) n
( 2 )
1Z
j--1P j,-1P - 4,P 0,P ( 1 )
3
5
)12(
a
3
3
)12(
a
3
1
)12(
a
a
1
4321
l
l
l
jj
mn
l
mn
l
mn
l
与实轴的交角为为其渐近线与实轴的交点条根轨迹终止于无穷远实轴有四条根轨迹且对称于和无穷远终止于根轨迹起始于
-4 -3 -2 -1
0
ds
dk
0
ds
d
)(.6
,
.5
)(
)(
1
1
S
ZS
PS
i
m
i
i
n
i
分离点与会合点根轨迹与实轴的交点则该区域必是根轨迹数之和为奇数若其右边开环零极点个实轴上的某一区域实轴上的根轨迹
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍解试画出其根轨迹传函为已知某负反馈系统开环例
s
sss
SSS
k
SHSG
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍解试画出其根轨迹传函为已知某负反馈系统开环例
s
sss
SSS
k
SHSG
-2 -1
0
6K ( r a d / S ) 2 0
02- 0k3-
0kj23-j-
,
( 2 )
K 0)]) H ( jG ( jI m [ 1
0,)]) H ( jG ( jR e [ 1
0)) H ( jG ( j1
0)()(1( 1 )
.7
C2,31
32
23
c
由此解得交点可求得根轨迹与虚轴的接上例判据应用及解得令得代入把根轨迹与虚轴的交点
R o u t h
sHsGjs
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
11
Zl
11
Pl
)()(180
)()(180
:
:
8.
与实轴正方向的夹角点处的切线方向根轨迹进入开环复数零入射角与实轴正方向的夹角点处的切线方向根轨迹离开开环复数极出射角角根轨迹的出射角与入射
∠ （ p1-p2）
∠ （ p1-z1） ∠ （ p1-p3）
θp1
A
z1 p3
p2
p1
)()()()3 6 01 8 0(
3 6 01 8 0)()()(
312111
00
1
00
3121111
ppppzpi
ippppzp
p
p
,
G (S )
.
)5.15.0)(5.15.0)(5.2(
j)-2j ) ( S21,5 ) ( SK ( S
解迹试绘制系统的概略根轨设系统开环传函为例
jSjSSS
5.149117-90-1211991535.63180
7937-90-1 0 8,5-59195 6,5-180
,( 4 )
( 3 )
180 ( 2 )
][ - 2,5,- [ 0,- 1,5 ]
- 2,5p j 1,5- 0,5p j 1,5-- 0,5p 0p ( 1 )
z1
p2
4321
入射角出射角无分离点一条渐近线实轴上的根轨迹起始点
-1-2
θ1=108.5°
90°59 °
37 °
19 °
56.5 °
7937905.1 0 859195.561 8 0
2p?
90 ° 121 °
153 °
199 °
63.5 ° 117 °
5.149117901211991535.631801z?
-2
0
n
1
i
0
1i
-1n
n
1i
i
n21
n21
01
-1n
-1n
n
0,s
a)( -as
,
0)s-(s)s-)(ss-(s
,s,,s,s
0asasas
.9
as
s
i
i
i
n
故有对于稳定系统有关系由代数方程根与系数的则有设根为闭环极点的和与积
322j-3s-s--3s
-3s
02s3ss
0G ( s ) H ( s )1,
..2
)2)(1(
)()(.
213
321
23
32,1
j
ss
k
sjs
sss
k
sHsG
解三闭环极点试确定这种情况下的第闭环极点的两个的根轨迹与虚轴相交时已知系统例
:
,
G(S)H(S)
1.
.
K
.10
20)4S4 ) ( SS ( S
K
||||||
||||||
2
21
21
解的草图试绘制该系统的根轨迹传函为已知负反馈系统的开环例根轨迹的绘制二开环增益的求取
mlll
nlll
ZSZSZS
PSPSPS
l?
)45(315 3
)135(225 2
135 1
45 0
2
( 3 )
[ 0,- 4 ] ( 2 )
j4--2Pj 4,-2P- 4,P0,P( 1 )
4
7
a
4
5
a
4
3
a
4a
4
)12(
a
4
224
a
4321
l
l
l
l
l
渐近线实轴上的根轨迹开环极点为
0-4
p1p2
p3
p4
A
10jS 02 6 02 6 S
2 6 0k 0
k S
0 S
k 26 S
0 80 8 S
k 36 1 S
0k8 0 S3 6 S8SS
)6(
90
9090)1 8 0(1 8 0
( 5 )
j 2,5--2s j 2,5-2s -2s
0201 8 s6ss
0)]204)(4([
)()4(
2
26
8k-8026
0
26
8k-8026
1
2
3
4
234
p4
2
4
1
2
4
1
p3
321
23
2
ds
d
得根轨迹与虚轴的交点出射角解得的分离点与实轴交点根轨迹
tgtg
ssss
1006,2 5 )(46,51,5
5.225.22)5.24()5.24(K
)7(
2222
A
点的增益A
8,1 6k
1,1 j( 4 )
- 7 1,6( 3 )
- 2,3
( 2 )
135,45
25.1 ( 1 )
c
pi
a
a
分离点
-3 -2.5
:
2)2S3) ( SS ( S
G ( S ) H ( S ) 2.
2
解例
K
高阶系统的试差求解
0 24 11 1
24- 11- 1-
1,5 2 5,0 1 1 1,1 1
1- 96.0
25
24
- 2 2,5- 9,9 9- 0,9-
5,0 3 2 7,1 1 1,3 1
0,9- 88.0
2 7,1
24
- 1 8,9 7- 7,9 1- 0,7-
0,7- 7.0
35
24
- 24 35 12 1
0243512
23
取取取
sss
§ 3 广义根轨迹
,,
2.
1)-m-n,0,1,(
1.
:,
,1 8 0
i 3 6 00G ( S ) H ( S )
1|G ( S ) H ( S )|
1G ( S ) H ( S ) 0G ( S ) H ( S )-1
.
2
a
则该区域为根轨迹极点为偶数某一区域若其右侧的零实轴上的根轨迹渐近线与实轴的交角现说明如下改相关的一些规则需作修只是与相角条件根轨迹的绘制基本相同零度根轨迹的绘制与分别为故幅值条件和相角条件对于正反馈系统零度根轨迹一
l
mn
l?
.K,
G ( S ) H ( S )
.
0]G ( j w ) H ( j w )-I m [ 1
0]G ( j w ) H ( j w )-R e [ 1
.4
)()(0
)()(0
.3
C
)22)(3(
2)K ( S
11
zl
11
pl
2
确定临界增益图试绘制该系统的根轨迹传函为设某正反馈系统的开环例根轨迹与虚轴的交点入射角与出射角
SSS
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
.0
1G ( S ) H ( S )
0)()(1,:
)22)(3(
2)k ( S
2
根轨迹的规则来绘制因此需按这样根轨迹方程为则有因给定系统为正反馈解
SSS
SHSG
3k0 3k
6.71
6.716.269045900
( 4 )
- 0,8s 0223 6 s2 1 s4s
0][
( 3 )
1 8 0,0
1,0 ( 2 )
-2Z
j--1pj,-1p- 3,p
1m3,n )1(
c|)2(0|
|( - 3 )-0||j)-(-1-0||j)(-1-0|
c
p3
2
1
1
1
p2
23
)2(
)22)(3(
ds
d
aa
2
2
a
1
321
2
临界增益出射角根轨迹与实轴交点无需计算渐近线开环零点开环极点
a r ct ga r ct g
l
ass
sss
l
-3 -2 -1
p2
p3
k1p1 Kc=3
,
,
)164(
3)2S-k ( - S
G ( S ) H ( S )
.
)(S,
,
.
2
2
解图试绘制该系统的根轨迹开环传递函数为设某非最小相位系统的例零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统迹非最小相位系统的根轨二
SSS
S
3,0 7k,3,1 4 0k 0,
3.5 3.5
3,6 0
2
1Z -3Z 3j2-2P 0P
1
)164(
3)-2Sk ( S
,
1
)164(
3)2S-k ( - S
3,21
P3P2
a
2121
2
2
2
2
mn
l
SSS
SSS
标准化处理为
-1)()(
0)()(1
2,
)()(1
)(
R ( S )
C ( S )
,
)(
)(
( S )X
( S )X
)-(tX( t ) X
.,
,)()(,
1,
.
1
1
1
2
12
12
S
S
S
s
S
S
eSHSG
eSHSG
eSHSG
eSG
e
SX
eSX
tXtX
根轨迹方程为特征方程为时滞系统的根轨迹为时滞系统包含时滞环节的系统称时滞系统为时滞这种环节称为时滞环节滞后一定时间比其输入信号输出信号时滞环节时滞系统时滞系统的根轨迹三
X2(t)
X1(t)
C(S)G(S)
H(S)
R(S)
- se
1 8 0
-1,
,
G ( S ) H ( S ) e
.
3.573 6 01 8 0)P-(S-)Z-(S
)(3.57)(e
ee
3 6 01 8 0e)P-(S -)Z-(S
)j(S 1e
1
ke
1
s-
m
1
n
1
ii
s-
j)j(-s-
m
1
n
1
s-
ii
-
s-
1
1
根轨迹绘制故按根轨迹方程为解迹草图试绘制时滞系统的根轨开环传函为设某负反馈时滞系统的例故有相角条件幅值条件
S
S
ke
i i
i i
PS
ZSk
s
i
n
i
i
m
i
i
r a d
ee
i
分支复平面内的完整根轨迹按上述方法可绘制在区间内选取一系列值，／在虚轴０－
即满足便是满足相角条件的点两直线的交点直线的角为做一条与实轴正方向夹过开环极点做实轴的平行线并过点在虚轴上选一点相角条件的点现在在复平面寻找满足则相角条件写成令复平面上的根轨迹根轨迹的相角条件相同故与绘制所以相角条件变为在实轴上由于实轴上的根轨迹
c,
3.571 8 0)1(
,,
3.571 8 01b,
),0(,,a,
jS
5 7,31 8 05 7,31 8 01)(s
5 7,31 8 01)(s-,,0
)2(
1 8 0
i 3 6 01 8 01S-
,0
)1(
111
111
11
11
j
jS
P
j
i
.
645.0,1
][ 1)(s
a r c t g
,
( 4 )
)/-(1
0][
/,
-s
)(lim lim lim
)3(
'
'
1
''
js
''
'
1
ds
d
-s
)1(
)(
-s
1
-s
'
图由此绘制出主根轨迹如解得时则坐标设根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点分离点坐标为根轨迹趋向与直线时当环极点也是给定系统的一个开由于实轴的根轨迹
a r c t ga r c t g
K
eK
s
e
s
s
s
Ke
s
Ke
S
ds
d
S
ds
d
S
'?
'?
j
-1
j
i=0
i=0
i=1
i=1
2j
2j
0 K
0
jW
主根轨迹图
01
0k1)a S ( S1)(SS
01
.
01,
0180
.
,
)1(
)1a S ( S
2
a)1 ) ( SS ( S
K
Q ( S )
( s )
2
kSS
P
则可写成即为设反馈系统的开环传函例征方程化为如下形式特根轨迹规则一样只是把和与绘制参量根轨迹的方法轨迹称为反馈系统的参量根参量为参变量的根轨迹以非开环增益的其他参量的普通根轨迹为区别与以开环增益为四参量根轨迹
-1
,
,
G ( S ) H ( S )
2.
a)S ( S
10
解为参变量的根轨迹图试绘制以传函为设某负反馈系统的开环例
a
p1
p2
10?
180
1809090180
)4(
10s
-a (3)
0 )2(
10-jP 10jP 0Z )1(
01
01G(S)H(S)1
p1
p1
s
10s
s
10)(s-s2s
ds
da
s
10s
12
)12(
a
21 1
10S
as
a)S ( S
10
2
2
2
2
2
2
出射角轨迹与实轴交点渐近线 l
l
