电磁场与电磁波理论第 3章 静电场及其边值问题的解法
§ 3.1 静电场基本方程积分形式微分形式
S V dVd,0d?SDlEl
DE 0,
§ 3.2 电位与电位梯度绕闭合回路一周积分为零只与起点和终点位置有关 {
将电荷 q0从 P点移到
Q点电场力 做的功将单位电荷从 P点移到 Q点电场力 做的功电位 定义：
将单位正电荷从该点移动到零电位点电场力所做的功 零电位 P
0
P
P q
WΦ lE d
真空中点电荷的电位
(取无穷远处为电位零点 ) |'|π4(
0 rr
r qΦ )
真空中有限电荷分布的电位
(取无穷远处为电位零点 )
'd
|'|
'(
π4
1
(
'd
|'|
'(
π4
1
(
d V '
|'|
'(
π4
1
(
0
0
V
0
lΦ
SΦ
Φ
l
l
S
S
rr
r
r
rr
r
r
rr
r
r
)
)
)
)
)
)
)) rrE (( Φ电位与场强的关系例题,求电偶极子的电位与场强图中各几何关系参见上面列出的几何关系可以将电位表示成简单的形式，注意,pe是矢量 pe=ql 的模采用球坐标系，电偶极子表示如图，空间任一点的电位等于 +q和 -q 在该点产生电位的代数和注意场强是电位梯度的负值，容易求得电偶极子的电场强度 E
§ 3.3 静电场边界条件电介质分界面上场强和电位移边界条件理想导体与电介质分界面上场强和电位移边界条件不同电介质分界面上的电位边界条件。 (界面的正法线方向规定由第二介质指向第一介质 )
理想导体表面的电位边界条件
nn
2
2
1
1
21
ΦΦ
ΦΦ
s
Φ
Φ
n
常数
§ 2.5电磁场的边界条件普遍情况下的边界条件理想导体表面的边界条件
1 泊松方程
§ 3.4,§ 3.5 泊松方程和拉普拉斯方程均匀、线性各向同性的电介质中，
静电场基本方程之一可以写为,
可以在直角坐标系中分解为三个标量泊松方程
3 静电场的唯一性定理
2 拉普拉斯方程
（ 3.4.6）
（ 3.4.7）
分解为三个拉普拉斯方程。
静电场问题分为分布型和边值型两大类，已知场中的电荷分布，求场内的电场强度分布或电位分布这类问题称之为静电场分布型问题。
也可以静电场的唯一性定理的证明静电场的唯一性定理的证明唯一性定理证明续以实例来说明直接积分法的应用
§ 3.5 直接积分法例题以实例来说明直接积分法的应用例 3.5.2
直接积分法的应用例 3.5.2继续直接积分法的应用例 3.5.2继续参直接积分法的应用例 3.5.2继续虑球坐标下的拉普拉斯方程直接积分法的应用例 3.5.2继续电位和场强分布
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法当电位函数是一个多变量函数时，一般难以用直接求积分的方法求得结果，分离变量法是常用方法之一。这种方法中，将待求未知函数表示为三个未知函数的乘积，其中每一个函数仅为一个坐标变量的函数，将这个表示为乘积的电位表示式代入拉普拉斯方程，则该偏微分方程转化为三个常微分方程。按通常求解常微分方程的解法就可以求得问题的解。
(3.6.1)
(3.6.2)
(3.6.1)之中(3.6.2)带入
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法
(3,6,4)
(3,6,5)
(3,6,6)
(3,6,7)
(3,6,8)
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
(3,6,9)
(3,6,10)
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题同理，
.6,11
点,
际情况不符，
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.7 圆柱坐标系中的分离变量法
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法
n＝ 0,1的第二类塞尔函数的图形变形贝塞尔函数曲线
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
(3,7,28)
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
(3,7,29)
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
)( Zm hm π
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题 (3,7,37)
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法
(3,7,38)
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法
（ 3,8,13）
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
（ 3,8,29）和（ 3,8,30）得出
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题 （ 3,8,34）
（ 3,8,35）
（ 3,8,36）
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
§ 3.9 镜像法
1,点电荷关于无限大导体平面的镜像当电荷附近有一些特殊形状的导体面和介质面时，可以用镜像法来求解电位分布。
以一对等值异号的点电荷场强为例（见下图），来说明镜像法的应用。
在全空间中中的电位分布为
}])([ 1])([ 1{4 22222222
0 hzyxhzyx
qΦ
＝
（ 3.9.0）
由此可见,z = 0平面上电位 Φ＝ 0。因为接地导体表面的电位为零，于是在 z = 0
平面放一块很大的接地导体板于等值异号电荷产生的电位是相同的。反过来，设想事先根本就没有－ q存在，只有＋ q和接地导体板存在。导体平面上方的空间
（ z > 0）应该满足下列泊松方程和边界条件将式 （ 3,9,0） 加上限制条件（ z > 0）。
可以证明,（ 3.9.3） 描述的电荷系统就是满足 （ 3.9.1） （ 3.9.2） 两式的解。这样可以用一个假想电荷 -q来取代导体平面，在场域（ z ≥ 0）空间所产生的电位仍然满足原来的泊松方程和边界条件。由于假想电荷处于原电荷关于导体平面的镜像位置。因此这个假想电荷被称为镜像电荷，该方法称为镜像法。
用镜像法解题关键是要确定电荷的位置，大小和符号。使场量原来所满足的方程及其边界条件保持不变。
0| 0
2
＝
＝－
xΦ
hz y,x,qΦ 0)/( （ 3.9.1）
（ 3.9.2）
}])([ 1])([ 1{4 22222222
0 hzyxhzyx
qΦ
＝
（ z > 0） （ 3.9.3）
2,点电荷关于无限大相交导体平面的镜像
3,点电荷关于导体球面的镜像
§ 3.9 镜像法例题
§ 3.9 镜像法,（ 3.9.10）
（ 3.9.12）
第一组解显然不符合理，取第二组解，这时，球外区域任一点的电位为式中,r1 和 r2 分别表示原电荷和镜像电荷与球外某一确定点之间的距离
（ 3.9.11）
（ 3.9.14）
点电荷与接地导体的电场 点电荷与不接地导体的电场
4,点电荷关于无限大介质平面的镜像 面，两侧介质的介电常数分别为 ε
1
图 3,9,5
（ 3,9,16）
（ 3,9,15）
4.点电荷关于无限大介质平面的镜像图 3,9,6 图 3,9,7
(3,9,17)
连续，即
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
'pp ΦΦΦ?）＝，（
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像 例题在第二根导线表面上的电位为
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法图 3,10,2
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法值,
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.1 静电场基本方程积分形式微分形式
S V dVd,0d?SDlEl
DE 0,
§ 3.2 电位与电位梯度绕闭合回路一周积分为零只与起点和终点位置有关 {
将电荷 q0从 P点移到
Q点电场力 做的功将单位电荷从 P点移到 Q点电场力 做的功电位 定义：
将单位正电荷从该点移动到零电位点电场力所做的功 零电位 P
0
P
P q
WΦ lE d
真空中点电荷的电位
(取无穷远处为电位零点 ) |'|π4(
0 rr
r qΦ )
真空中有限电荷分布的电位
(取无穷远处为电位零点 )
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1
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§ 3.3 静电场边界条件电介质分界面上场强和电位移边界条件理想导体与电介质分界面上场强和电位移边界条件不同电介质分界面上的电位边界条件。 (界面的正法线方向规定由第二介质指向第一介质 )
理想导体表面的电位边界条件
nn
2
2
1
1
21
ΦΦ
ΦΦ
s
Φ
Φ
n
常数
§ 2.5电磁场的边界条件普遍情况下的边界条件理想导体表面的边界条件
1 泊松方程
§ 3.4,§ 3.5 泊松方程和拉普拉斯方程均匀、线性各向同性的电介质中，
静电场基本方程之一可以写为,
可以在直角坐标系中分解为三个标量泊松方程
3 静电场的唯一性定理
2 拉普拉斯方程
（ 3.4.6）
（ 3.4.7）
分解为三个拉普拉斯方程。
静电场问题分为分布型和边值型两大类，已知场中的电荷分布，求场内的电场强度分布或电位分布这类问题称之为静电场分布型问题。
也可以静电场的唯一性定理的证明静电场的唯一性定理的证明唯一性定理证明续以实例来说明直接积分法的应用
§ 3.5 直接积分法例题以实例来说明直接积分法的应用例 3.5.2
直接积分法的应用例 3.5.2继续直接积分法的应用例 3.5.2继续参直接积分法的应用例 3.5.2继续虑球坐标下的拉普拉斯方程直接积分法的应用例 3.5.2继续电位和场强分布
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法当电位函数是一个多变量函数时，一般难以用直接求积分的方法求得结果，分离变量法是常用方法之一。这种方法中，将待求未知函数表示为三个未知函数的乘积，其中每一个函数仅为一个坐标变量的函数，将这个表示为乘积的电位表示式代入拉普拉斯方程，则该偏微分方程转化为三个常微分方程。按通常求解常微分方程的解法就可以求得问题的解。
(3.6.1)
(3.6.2)
(3.6.1)之中(3.6.2)带入
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法
(3,6,4)
(3,6,5)
(3,6,6)
(3,6,7)
(3,6,8)
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
(3,6,9)
(3,6,10)
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题同理，
.6,11
点,
际情况不符，
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.6 直角坐标系中分离变量法例题
§ 3.7 圆柱坐标系中的分离变量法
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法
n＝ 0,1的第二类塞尔函数的图形变形贝塞尔函数曲线
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
(3,7,28)
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
(3,7,29)
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题
)( Zm hm π
§ 3.7 圆柱坐标系的中分离变量法例题 (3,7,37)
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法
(3,7,38)
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法
（ 3,8,13）
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
（ 3,8,29）和（ 3,8,30）得出
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题 （ 3,8,34）
（ 3,8,35）
（ 3,8,36）
* § 3.8 球坐标系中的分离变量法例题
§ 3.9 镜像法
1,点电荷关于无限大导体平面的镜像当电荷附近有一些特殊形状的导体面和介质面时，可以用镜像法来求解电位分布。
以一对等值异号的点电荷场强为例（见下图），来说明镜像法的应用。
在全空间中中的电位分布为
}])([ 1])([ 1{4 22222222
0 hzyxhzyx
qΦ
＝
（ 3.9.0）
由此可见,z = 0平面上电位 Φ＝ 0。因为接地导体表面的电位为零，于是在 z = 0
平面放一块很大的接地导体板于等值异号电荷产生的电位是相同的。反过来，设想事先根本就没有－ q存在，只有＋ q和接地导体板存在。导体平面上方的空间
（ z > 0）应该满足下列泊松方程和边界条件将式 （ 3,9,0） 加上限制条件（ z > 0）。
可以证明,（ 3.9.3） 描述的电荷系统就是满足 （ 3.9.1） （ 3.9.2） 两式的解。这样可以用一个假想电荷 -q来取代导体平面，在场域（ z ≥ 0）空间所产生的电位仍然满足原来的泊松方程和边界条件。由于假想电荷处于原电荷关于导体平面的镜像位置。因此这个假想电荷被称为镜像电荷，该方法称为镜像法。
用镜像法解题关键是要确定电荷的位置，大小和符号。使场量原来所满足的方程及其边界条件保持不变。
0| 0
2
＝
＝－
xΦ
hz y,x,qΦ 0)/( （ 3.9.1）
（ 3.9.2）
}])([ 1])([ 1{4 22222222
0 hzyxhzyx
qΦ
＝
（ z > 0） （ 3.9.3）
2,点电荷关于无限大相交导体平面的镜像
3,点电荷关于导体球面的镜像
§ 3.9 镜像法例题
§ 3.9 镜像法,（ 3.9.10）
（ 3.9.12）
第一组解显然不符合理，取第二组解，这时，球外区域任一点的电位为式中,r1 和 r2 分别表示原电荷和镜像电荷与球外某一确定点之间的距离
（ 3.9.11）
（ 3.9.14）
点电荷与接地导体的电场 点电荷与不接地导体的电场
4,点电荷关于无限大介质平面的镜像 面，两侧介质的介电常数分别为 ε
1
图 3,9,5
（ 3,9,16）
（ 3,9,15）
4.点电荷关于无限大介质平面的镜像图 3,9,6 图 3,9,7
(3,9,17)
连续，即
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
'pp ΦΦΦ?）＝，（
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像
5,线电荷关于无限长圆柱导体的镜像 例题在第二根导线表面上的电位为
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法图 3,10,2
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
－ 4
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法值,
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
§ 3.10 有限差分法
