随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁场比静态电磁场要复杂得多，主要表现在：
时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，
波动使时变电磁场的叠不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加的影响；电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化和磁化特性随时而变，使介质呈现色散特性等电磁场与电磁波理论第 5章 电磁波的辐射
§ 5.1时谐电磁场电荷或电流，在原子尺度内，不管源在自由空间还是在介质内，其作用
（或影响）能以电磁波的形式向外传播，而电磁波的运动速度就是光速。
电磁波是世间运动最快的物质，这就是现代信息传递用电磁波作载体的根本原因。
波是物质运动的一种基本形式，波动的基本特征对于我们理解电磁波十分重要 。
（ a） （ b） （ c） （ d）
波动举例 （ a）沿绳子传播的一维波； （ b）沿水面传播的二维波
（ c） （ d） 三维波,光平面波以及与其通过长缝激励的柱面波、球面波
)],,(c o s [),,(),,,(
)],,(c o s [),,(),,,(
)],,(c o s [),,(),,,(
zyxtzyxEtzyxE
zyxtzyxEtzyxE
zyxtzyxEtzyxE
zzmz
yymy
xxmx
(5,1,2)
(5,1,3)
(5,1,4)
任意时变电磁场＝ Σ时谐电磁场（利用傅里叶变换）
对于时谐电场，只有上面三个式子中的初始相位相等时，合成电场强度 E 才有可能成为时谐函数，此时对时谐电场的运算，可以借用交流电路中讨论过的复数符号法，现在通用的方法是在字母上方加小圆点的方法表示复数量，下面是电场的三个分量表示成复数的实部的形式。
)c o s (
||
222
222
tEEE
EEE
zmymxm
zyx
E
(5,1,5)
(5,1,6)
(5,1,7)
(5,1,8)
的向量或复振幅，它们仅仅为空间坐标的函数，与时间变量无关，可以表示成下式式中
(5,1,9)
(5,1,10)
(5,1,11)
(5,1,14)
(5,1,17)
(5,1,18)
(5,1,19)
对时谐场来说，该方程组的复数形式为,
(5,1,33)
(5,1,34)
(5,1,35)
(5,1,36)
复数形式的微分方程组本构方程组的复数形式各种条件下的边界条件的复数形式与此类似，不在这里一一赘述，具体形式请参考教材。
引入复数表示场量以后，可以简化运算过程，对时间的微分和积分运算分别简化为乘以 jω和除以 jω。
3,电磁场边界条件的复数形式
4,复介电常数和复磁导率如果介质均匀、线性、各向同性，麦氏方程组可以写成：
E
EEEDJH
j
)j(jj
＝
(5,1,65)
(5,1,66)
(5,1,67)
4,复介电常数和复磁导率否则反之。
来描述介质的损耗特性，分别为见右下图,求,
已知例题：
可以求得磁场强度如下例题例题
§ 5.2 矢量磁位和标量电位静态电磁场可通过位
（势）函数满足的方程进行求解，并且可以得到简化。时变电磁场能否引入位函数，
通过位函数满足的方程来求解，达到求解时变电磁场的目的。
t,rB
t,rA
是一无散矢量场引入位函数
tt
tt
,1,
,,
rArH
rArB
将上式代入电磁感应定律，得到
0,, t tt rArE
1,矢量磁位、标量电位、
DD’Alembert方程
t tt,,rArE 是一无旋矢量场，可以引入标量函数的梯度表示，即
tΦt tt,,,rrArEt ttΦt,,,rArrE
t,rAtΦ,r和 分别为电磁场的矢量磁位和标量电位 。
必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与矢量磁位有关，不能据此认为磁感应强度由磁矢位决定而与标量电位无关。因为在时变情形下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢位和标量电位共同描述，使得时变磁场本质上与矢量磁位和标量电位都有联系。
位函数的规范根据矢量场的 Helmholtz定理，确定区域上的矢量函数只有在该矢量函数的散度和旋度及其边界条件是确定的才能唯一确定。
根据磁矢位引入的定义，是不能唯一确定磁矢位的。位的非唯一性源于其磁矢位散度的任意性。因此，要使电磁场与位函数之间为唯一对应关系，须给势函数以明确的约束规定，称这种约束规定为势函数的规范
0, trA
tΦ
t
t
t
t
t
t
tΦ
,,
,
,
,
,
2
2
2
2
rrJ
rA
rA
r
r
对于磁矢势，辅以
Coulomb规范,
得到位函数方程：
)( tΦttt AED
AAA 2)()(
0
B
Lorentz规范和 D’Alembert方程对位函数 辅以约束条件得到位函数满足的 D’Alembert方程：
这是一组标准的 D’Alembert方程 。上式形式上磁矢位仅与电流有关,标量电位仅与电荷分布有关，但它们通过
Lorentz规范联系。 尽管电磁场的位函数有多种规范，不同规范有不同的位函数，但不同规范下的位函数可以通过变换关系实现相互之间的转换，称为规范变换。不同规范下的位函数描述同一电磁场。位函数作规范变换时，其所描述的物理量及其遵循的物理规律应保持不变，称为规范变换的不变性
Φ,A 0,,?
t
tΦt rrA
t
t
tΦ
tΦ
t
t
t
t
,
1,
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
r
r
r
rJ
rA
rA
(5,2,12)
(5,2,13)
对（ 5,2,16）（ 5,2,17）两端取旋度，并利用矢量恒等式
AAA 2)(
可以得到 E 和 H 的奇次 D’Alembert方程。
D’Alembert方程的定解问题时变电磁场可归纳为不同初始条件和边界下 D’Alembert方程的求解。一般情形下的求解是困难的。仅就无界空间的特例的解及其意义进行讨论。
取球坐标系，一点电荷处于坐标原点处，在坐标原点外的全部空间，标量电位 应满足奇次 D’Alembert方程Φ
(5,2,22)
)]()([1),( 21 vrtfvrtfrtΦr
我们将点电荷产生的时变场与静电场的结果进行比较来确定上式中 f1,f2
的形式 。置于原点的静止点电荷 ρdV 产生的电位为可以推断时变情形的通解为
(5,2,30)
(5,2,26)
(5,2,24)
(5,1,14)
(5,2,32)
(5,2,36)
位函数值在时间上要滞后于产生这一位函数的原函数，我们将这一项称之为 滞后位
（推迟势）,第二项称之为 超前位,实际上代表电磁波遇到障碍物以后的反射波。在无限大自由空间，不可能有反射波此时只有滞后位。它们表示为
(5,2,38)
(5,2,39)
Va
t
tΦ
V
d
'
'
,'
π4
1,
rr
rr
r
r
V '
V
a
'
t,'
t,
rr
rr
rJ
rA
d
π4
r
t,r?
a
'ttt rr
tΦ,r
r'
2.时谐电磁场的矢量磁位和标量电位复数形式的洛仑兹方程在无源区域，复数形式的场矢量和位函数满足齐次亥姆霍兹方程
k 表示波数对于时谐场，相应的电荷密度可以表示为标量电位的积分表达式为同样的方法可以得到磁矢位的积分表达式
(5,2,53)
(5,2,52)
请注意将上述表达式与恒定场得结果比较，除开增加了一个指数因子外，
其余均相同，这个指数因子描述了场传播这一事实。今后计算时变场时可以借用静态场的结果。
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量利用矢量恒等式得注意到
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量利用高斯散度定理电场能量密度 磁场能量密度欧姆功率密度坡印廷（ Poynting)矢量 或 功率流密度矢量坡印廷（ Poynting)矢量的方向垂直于 E 和 H 构成的平面,S,E,H 三者服从右手螺旋法则。 即为坡印廷定理。
(5,3,10)
(5,3,10)
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
J
ρ
V
场的能量密度设为,
me wwtw,r
能量流密度矢量,t，rS
由于时变电磁场的波动特点，闭合空间内部的电磁场有可能传播到外部，外部空间的电磁场也有可能传播到空间内部，闭合空间的内外有可能存在电磁场能量的交流。
根据能量守恒定律：
t，rf 表示场对荷电系统作用力密度
v为荷电系统运动速度表示通过界面在单位时间内进入 V
内电磁场的能量表示单位时间内空间区域电磁场能量的增量区域内场对荷电系统所作的功率,通常以热形式消耗
2E JEvEvBvEvf由洛仑兹力公式：
VtVt twt VVS d),(d),(d),( vrfrSrS
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量 (5,3,15)
取复共轭后出现负号
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量例,已知在空气中
)c o s (?)s in (? 00001 zktEyzktExE
)c o s (?)s in (? 00002 yktHzyktHxH zx
求：
2121,,,EHHE
分析,
) ) ](?)(?)(?(R e [),( rEzrEyrExetrE zyxtj
)(rE
zjkeyxjEE 0)(01
yjkzx ezHxjHH 0)( 002
)]ej ( eR e [)s in ( 0jtj0 zkzkt
注意：
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量根据正弦时变场的麦克斯韦方程组
HjE 0
zkeExyjk
j
EH 0
0
0
0
0
1
1 )(
解得：
EjH 0
yjk
xz eHzHxj
k
j
HE 0)(
00
0
0
0
2
2
乘以 取实部tje?
)]c o s (?)s i n (?[ 00
0
00
1 zktxzkty
EkH
)]c o s (?)s in (?[ 0000
0
0
2 yktHzyktHx
kE
xz
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量 注意
)/ln (
2 0
ab
V
l
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量恒定电流或低频交流电的情况下,场量往往是通过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。
I
如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体中的电荷运动速度约 10-5m/s，电荷由电源端到负载端所需时间约是场传播时间
（ L/c）的亿万倍负载只需经过极短
（ t=L/c，
其中 c为光速）的时间就能得到能量的供应。
--
--
§ 5.4 电磁波的辐射电荷电流电磁场的分布电磁场、源和边界条件作为整体求解
1 电磁场的计算公式
GPS卫星天线系统
5.4.1 辐射场及其计算公式
§ 5.4 电磁波的辐射 为了突出电磁场辐射的本质，
设无界自由空间区域 V 上存在随时间简谐变化的电流和电荷，
在空间激发随时间谐变的电磁场可通过位函数方法获得。
rrJ,
Vk
V
dje x p''π4 0 r'rrr rJrA
2
j
k
AArE
rArB
r
'r
)j )((j
00
AAAE Φt注意：
§ 5.4 电磁波的辐射
t
V
V
V
a
t
V
a
t
t
j
0
0
e
'
d
'
je x p'
π4
'
d
'
,'
π4
,
rA
rr
rr
rJ
rr
rr
rJ
rA
rArB
rArrE
rArB
rArrE
j
,,
,,,Φ
tt
t
t
tΦt
0j0,,0000 rrArrA Φt tΦt
r
rr
rr
r
rr
r
rr
r
Φe
Vt
V
a
ttΦ
t
V
V
j
0
0
'
d
a
'
je x p'
π4
1
d
'
,'
'
1
π4
1
,
00
00 j
AA
tΦ
§ 5.4 电磁波的辐射
rHrE
rArH
0
2
00
j
1
s in
s in
s in
11
ArArA
r
erere
r
r
r
对于辐射问题，场点远离源区，源激发的电场可利用其与磁场的关系计算。
采用球坐标系，源激发电磁场的计算公式为：
源在空间激发的电磁场由两部分组成：
其一是电荷和电流源直接激发的电磁场，它们与电荷和电流分布相联系。
其二是变化的电场与磁场之间相互激发而产生的电磁场，与电场和磁场时间变化率相联系。
§ 5.4 电磁波的辐射总电磁场 ＝ 源所激发的电磁场 ＋ 电磁场相互激发的电磁场静态电磁场特点场量与 r 2成反比不能有静态电磁场特点场量只能与 r成反比
dd
dRe
2
1d
2
r
av
r eσ
σrHrEσrS
2 电磁场的三个区域及其特点三个尺度概念：
源区的尺度：
电磁波的波长：
场点至原点的距离
Vk
V
dje x p''π4 0 r'rrr rJrA
'r
r 1
r'r
1 r'r
1 r'r
①
这说明在源区附近，磁矢位蜕变为静态电磁场的磁矢位。由磁矢位计算得到的磁场必然具有静态场的特点。因此在源区的附近，源激发的电磁场可以采取静态电磁场方法进行计算。这也意味着在源区附近，源直接产生的静态电磁场远大于电磁场相互激发所产生的电磁场。场量与 r2 成反比
12 r'rr'rk
VVk
VV
d''π4dje x p''π4 00 rr rJr'rrr rJrA
10jj ee k r'r
②
场点与源区的距离大约在一个波长的数量级，在这个范围中，源直接产生的场与变化电磁场相互激发所产生的电磁场同时并存，量级上相当。在这个区域中，既有变化的电磁场相互激发形成的电磁波，将源的能量以电磁波形式辐射出去。同时也存在不向外辐射的静态场，将源提供能量的一部分存储在空间中，这一区域称为感应区。
1 r'r
§ 5.4 电磁波的辐射
③,
场点远离源区。由于源直接激发的电磁场与 r2成反比，所以 在这个区域中，源直接激发的静态场远小于电磁场相互激发而形成的电磁场。电磁场主要以波动形式将源的能量辐射出去。这一区域称为远场区，或者称为辐射区域。 场量只能与 r
成反比。
1 r'r 1111 rrrr,
§ 5.4 电磁波的辐射3矢量磁位的多极矩展开先分析矢量磁位被积函数中各因子对位函数贡献的大小。 振幅项 相位项
r'rrr rJrA kV
V
je x p'd'π4 0
xkkx
x
xxk
x
x
x
kx
x
kx
xx
δj1je x p
1
δje x p
1
δ
1
1je x p
1
je x p
δ
1 振幅项微小变化导致误差的量级相位项微小变化导致误差的量级
!21 2xxe x注意函数展开式
§ 5.4 电磁波的辐射结论：
对远场区（ r很大）振幅的微小变化对最后结果影响很小，而相位项的微小变化对结果影响大。
所以在矢量磁位中，对于振幅因子取零级的近似，
对相位因子保留一级近似
kr?krrk'k
r'
'' r'rrrrr
rr
je x pc os2je x pje x p
11
22?
rr’
P
§ 5.4 电磁波的辐射
rArArA
rrrrr'J
r'JrA
rr
210
2
j
0
'?kj
j
0
d.,,'?j
!2
1
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4
d
4
Vkk
r
e
Ve
r
e
V
kr
V
kr
得到：
kre
r
j00
π4
j PrA
PPrrrJjdddd 'dd' tVqntV
V
ii i
V
其中
!21 2xxe x仍注意函数展开式 对 再一次展开rrkej
§ 5.4 电磁波的辐射
mrDrJr'rrr'r'r
Jr'rr'
rr
r'r'r
J r 'Jr'J r 'Jr'rJr'rr'rJ
V?V
t
V?V
tt
V?V?V?
VV
VV
VVV
6
1
d
2
1
d3
d
d
6
1
d
2
1
d
d
d
d
d
2
1
d
2
1
dd
DrmrDrmrrA
6
1j
π4
j
d
d
6
1
π4
j jj1e
r
k
t?er
k krkr
§ 5.4 电磁波的辐射上述结果说明：
小区域时变电流体系在远的电磁场为源中电多极矩和磁多极矩激发电磁场的叠加。
电四极矩与磁偶极矩激发电磁场的能力为同一量级。进一步还可证明，电多极矩激发电磁场的能力高于同级的磁多极矩。
利用求得的矢量磁位可以求得体电流激发的电磁场，其辐射场在计算过程中必须把静态电磁场部分分离出来
。
§ 5.4 电磁波的辐射5.4.2 电偶极子天线
1 电偶极子天线结构能向空间辐射和接收电磁波的装置称为天线，是无线电设备的一个重要部件。天线通过其上随时间变化的电流在空间激发的变化的电磁场，从而辐射电磁波。
发射机（时变电信号）
导体
rJ
导体上电流的大小和相位分布是不均匀的和时变的接 地偶极子天线结构
L
La
§ 5.4 电磁波的辐射作为一种近似的处理，设导线元上的电流只有
z分量，其分布函数为,
根据电流连续性原理，在电偶极子天线的两个端点，将同时积累大小相等符号相反的时变电荷，利用电荷与电流之间的关系得到,
2
,0
2
,je x p?
,
0
L
z
L
ztIe
t
z
rJ
0? ILze zrJ
LQzt
t
LtQe
t
LtIe
I
QeIeQtQ
dt
tI
eezz
tt
00
0
0
j
0
j
0
d
d
d
d
j
td
dd
PP
§ 5.4 电磁波的辐射2 电偶极子天线的电磁场设天线位于自由空间的坐标原点，其矢量磁位为：
krr LIe?Vk z
V
je x pπ4d4 je x p 000 rr rrrJrA
krekrkrLkIe? j220
0
1j
π4
s i n1
rArH
kr
kr
r
e
krkrkr
LkI
e?
e
krkr
LkI
e?
j
32
0
3
0
j
32
0
3
0
0
j1j
π4
c os2
j1
π4
c os2
j
1
rHrE
(5,4,6)
§ 5.4 电磁波的辐射近场电磁场区
1je x p1 kr,kr
2
0
2
0
3
0
0
3
0
0
3
0
0
3
0
0
π4
s i n
π4
s i n
π4
s i n
j
π4
s i n
π4
c o s2
j
π4
c o s2
r
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r
LI
H
r
LI
r
P
E
r
LI
r
P
E
e
e
r
LILQP e?000 j记：
电磁场相位差
0Re21 rHrErS 为虚数
§ 5.4 电磁波的辐射从近区电磁场的表达式看到，电场与磁场始终保持的 相位差，其 Poynting矢量的平均值恒为零，没有能量向外部输运。因此在源区附近，
电磁场为静态电磁场的特点 。
π50.
这正是电偶极子的静电场和恒定电流元的磁场。
因此尽管电偶极子上的电流是时变的，它在近区激发的电磁场仍具有静态电磁场特点。这说明，
在电偶极子附近，时变电磁场之间相互激发是产生具有波动特点的电磁场，比电荷和电流直接激发不具有波动特点的静态场要小得多。
§ 5.4 电磁波的辐射
3 远区辐射场及其特点当场点位于远场区，其电磁场的结果为：
这是一个与近区具有完全不同性质的电磁场
kr
r
LI
E
kr
r
LI
H
je x p
s i n
2
j
je x p
s i n
2
j
0
00
0
2
0
3
0
0
3
0
0
π4
s in
j
π4
s in
π4
c o s2
r
P
H
r
P
E
r
P
E
e
e
e
r
与近区场比较
00,/2 kk
注意，式中
§ 5.4 电磁波的辐射远区的辐射场有如下特点：
① 电磁场的瞬时表达式为：
其等相位面方程为球面，其方程是：
在等相位面上，电场和磁场的幅度相同，相位为同一常数，且 为沿径向向外传播的球面波。
波在空间传播的速度为：
2
π
c os
s i n
2
2
π
c os
s i n
2
0
00
0
krt
r
LI
E
krt
r
LI
H
Ckrt
cktrv
tp
000Δ
1
Δ
Δlim
§ 5.4 电磁波的辐射
② 电磁波在空间传播方向上既没有电场分量、也没有磁场分量，电场、
磁场和传播方向相互垂直，为横电磁波（ TEM）
在与传播方向相垂直的平面内，电场或磁场矢量末端的轨迹为直线，
是线极化（偏振）面电磁波。
传播方向 HE
3771200
0
0
H
E 称之为波阻抗
§ 5.4 电磁波的辐射
③ 电偶极子远区辐射场具有方向性。在同一半径的球面上，不同方向辐射场的强度随方位的不同而变化，所以电偶极子远区场是非均匀的球面波。场强度随方向变化的曲线：
电偶极子 E 面方向图 电偶极子 H 面方向图
§ 5.4 电磁波的辐射
④ 利用 Poynting 矢量的定义，求得周期内平均能流密度矢量为,
)
32
s in||
(
1
s in
22
1
1
Re
2
Re
2
Re
2
1
2
0
2
222
0
3
2
2
0
22
0
2
0
r
LIk
r
LI
EHEHE
rr
rr
av
ee
ee
S
能流密度矢量沿球面径向向外传输，具有方向性，不同的方向能流密度不同，这意味着空间的某些方向上能流密度大，另一些方向上能流密度小，甚至某些方向上能流密度为零。
§ 5.4 电磁波的辐射⑤ 天线的辐射功率与辐射电阻在单位时间内通过半径为 r的球面向外传播的电磁能为：
P 是一个与球面半径无关的常数，即在单位时间通过任意半径球面向外传输的能量（功率）是相同的。根据能量守恒定律，这部分能量的确是天线以电磁波的形式所辐射 。
2
22
0
4
0
22
0
π80
2
1
dds in
22
1
d,,
L
I
LI
rP
Ss
avr
σS
§ 5.4 电磁波的辐射由于能量不断向外辐射，要保证辐射进行下去，
必须提供能源，如发射机。设天线是理想的天线
(没有损耗 )，发射机与天线匹配，发射机供给的能量全部被天线辐射出去，天线可以看作一个两端网络，其辐射能力可应用二端网络的等效电阻表征，称为天线的辐射电阻，是衡量天线辐射电磁场能力的重要参量。
发射机发射机
rR
|in 理想天线Z
rR
§ 5.4 电磁波的辐射在实际中，输入阻抗并不完全等于辐射电阻，这是因为输入到天线上的能量并不完全被辐射，还包括天线导体的热损耗、天线近场储存的能量，
使得输入阻抗并非是纯电阻。只有理想天线：
2
2
2
0in
in
in π80
2|?
L
I
PR
I
UZ
r理想天线
2
2
2
2
2
1050π800 2 502
50π802501
L
R,.L;
L
R,.L
r
r
、
、
例：
§ 5.4 电磁波的辐射
⑥ 方向性系数
D =
电偶极子的方向性系数：
⑦ 半功率张角 (主瓣宽度 )HPE
定义为方向图主瓣中场电偶极子的主瓣宽度：
§ 5.5 对称天线的辐射
1,对称天线
§ 5.5 对称天线的辐射 任一电偶极子的远区场将电流表达式带入并注意
rr’
P
§ 5.5 对称天线的辐射
§ 5.5 对称天线的辐射2.对称半波天线,5 对称天线的辐射
（ ）
5 对称天线的辐射将电流分布得带入对称天线的远区电场表达式
§ 5.5 对称天线的辐射其辐射功率和辐射电阻分别为得到
§ 5.5 对称天线的辐射求得方向性系数为电偶 极子
。
半波天线的方向图以及与电偶极子天线的比较图。
§ 5.7 磁偶极子的辐射
§ 5.4 电磁波的辐射可用的近似条件：
(1) a?导线半径
(3) a?r
(2) a?λ
得到磁偶极子的矢量磁位上式中：
§ 5.4 电磁波的辐射将磁偶极子 电磁场结果与电偶极子的结果进行比较，可以看出它们之间有对偶关系,
近场区电磁场 远场区的辐射场
1je x p1 kr,kr
2
3
0
3
0
π4
s i n
j
π4
s i n
π4
c o s2
r
p
E
r
p
H
r
p
H
m
m
m
r
1kr
其磁场正好是小电流圆环（即磁偶极子）产生磁场的表达式与电偶极子远区场相比，除电场和磁场的极化方向互为置换外，特性类似
§ 5.4 电磁波的辐射
§ 5可见电偶极子的辐射能力比磁偶极子强得多利用辐射电阻的定义，得到小电流圆环（磁偶极子）的辐射电阻是
2
2
4
2
π
0
2
0
2
0
2
0
π3 2 0
ds i nπ2Re
1
d
22
s
rHE
I
,,r
II
P
R
s
r sS
【 例 】 设导线的长度为 1米，求制作成圆环和电偶极子天线的辐射电阻。
电磁振荡频率为 1MHz
2
2
2 10880π80
,LR
r?
8
2
2
4
2
0
10442π3 2 02,sI PR r?
电偶极子天线 小圆环天线
§ 5.4 电磁波的辐射
时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，
波动使时变电磁场的叠不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加的影响；电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化和磁化特性随时而变，使介质呈现色散特性等电磁场与电磁波理论第 5章 电磁波的辐射
§ 5.1时谐电磁场电荷或电流，在原子尺度内，不管源在自由空间还是在介质内，其作用
（或影响）能以电磁波的形式向外传播，而电磁波的运动速度就是光速。
电磁波是世间运动最快的物质，这就是现代信息传递用电磁波作载体的根本原因。
波是物质运动的一种基本形式，波动的基本特征对于我们理解电磁波十分重要 。
（ a） （ b） （ c） （ d）
波动举例 （ a）沿绳子传播的一维波； （ b）沿水面传播的二维波
（ c） （ d） 三维波,光平面波以及与其通过长缝激励的柱面波、球面波
)],,(c o s [),,(),,,(
)],,(c o s [),,(),,,(
)],,(c o s [),,(),,,(
zyxtzyxEtzyxE
zyxtzyxEtzyxE
zyxtzyxEtzyxE
zzmz
yymy
xxmx
(5,1,2)
(5,1,3)
(5,1,4)
任意时变电磁场＝ Σ时谐电磁场（利用傅里叶变换）
对于时谐电场，只有上面三个式子中的初始相位相等时，合成电场强度 E 才有可能成为时谐函数，此时对时谐电场的运算，可以借用交流电路中讨论过的复数符号法，现在通用的方法是在字母上方加小圆点的方法表示复数量，下面是电场的三个分量表示成复数的实部的形式。
)c o s (
||
222
222
tEEE
EEE
zmymxm
zyx
E
(5,1,5)
(5,1,6)
(5,1,7)
(5,1,8)
的向量或复振幅，它们仅仅为空间坐标的函数，与时间变量无关，可以表示成下式式中
(5,1,9)
(5,1,10)
(5,1,11)
(5,1,14)
(5,1,17)
(5,1,18)
(5,1,19)
对时谐场来说，该方程组的复数形式为,
(5,1,33)
(5,1,34)
(5,1,35)
(5,1,36)
复数形式的微分方程组本构方程组的复数形式各种条件下的边界条件的复数形式与此类似，不在这里一一赘述，具体形式请参考教材。
引入复数表示场量以后，可以简化运算过程，对时间的微分和积分运算分别简化为乘以 jω和除以 jω。
3,电磁场边界条件的复数形式
4,复介电常数和复磁导率如果介质均匀、线性、各向同性，麦氏方程组可以写成：
E
EEEDJH
j
)j(jj
＝
(5,1,65)
(5,1,66)
(5,1,67)
4,复介电常数和复磁导率否则反之。
来描述介质的损耗特性，分别为见右下图,求,
已知例题：
可以求得磁场强度如下例题例题
§ 5.2 矢量磁位和标量电位静态电磁场可通过位
（势）函数满足的方程进行求解，并且可以得到简化。时变电磁场能否引入位函数，
通过位函数满足的方程来求解，达到求解时变电磁场的目的。
t,rB
t,rA
是一无散矢量场引入位函数
tt
tt
,1,
,,
rArH
rArB
将上式代入电磁感应定律，得到
0,, t tt rArE
1,矢量磁位、标量电位、
DD’Alembert方程
t tt,,rArE 是一无旋矢量场，可以引入标量函数的梯度表示，即
tΦt tt,,,rrArEt ttΦt,,,rArrE
t,rAtΦ,r和 分别为电磁场的矢量磁位和标量电位 。
必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与矢量磁位有关，不能据此认为磁感应强度由磁矢位决定而与标量电位无关。因为在时变情形下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢位和标量电位共同描述，使得时变磁场本质上与矢量磁位和标量电位都有联系。
位函数的规范根据矢量场的 Helmholtz定理，确定区域上的矢量函数只有在该矢量函数的散度和旋度及其边界条件是确定的才能唯一确定。
根据磁矢位引入的定义，是不能唯一确定磁矢位的。位的非唯一性源于其磁矢位散度的任意性。因此，要使电磁场与位函数之间为唯一对应关系，须给势函数以明确的约束规定，称这种约束规定为势函数的规范
0, trA
tΦ
t
t
t
t
t
t
tΦ
,,
,
,
,
,
2
2
2
2
rrJ
rA
rA
r
r
对于磁矢势，辅以
Coulomb规范,
得到位函数方程：
)( tΦttt AED
AAA 2)()(
0
B
Lorentz规范和 D’Alembert方程对位函数 辅以约束条件得到位函数满足的 D’Alembert方程：
这是一组标准的 D’Alembert方程 。上式形式上磁矢位仅与电流有关,标量电位仅与电荷分布有关，但它们通过
Lorentz规范联系。 尽管电磁场的位函数有多种规范，不同规范有不同的位函数，但不同规范下的位函数可以通过变换关系实现相互之间的转换，称为规范变换。不同规范下的位函数描述同一电磁场。位函数作规范变换时，其所描述的物理量及其遵循的物理规律应保持不变，称为规范变换的不变性
Φ,A 0,,?
t
tΦt rrA
t
t
tΦ
tΦ
t
t
t
t
,
1,
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
r
r
r
rJ
rA
rA
(5,2,12)
(5,2,13)
对（ 5,2,16）（ 5,2,17）两端取旋度，并利用矢量恒等式
AAA 2)(
可以得到 E 和 H 的奇次 D’Alembert方程。
D’Alembert方程的定解问题时变电磁场可归纳为不同初始条件和边界下 D’Alembert方程的求解。一般情形下的求解是困难的。仅就无界空间的特例的解及其意义进行讨论。
取球坐标系，一点电荷处于坐标原点处，在坐标原点外的全部空间，标量电位 应满足奇次 D’Alembert方程Φ
(5,2,22)
)]()([1),( 21 vrtfvrtfrtΦr
我们将点电荷产生的时变场与静电场的结果进行比较来确定上式中 f1,f2
的形式 。置于原点的静止点电荷 ρdV 产生的电位为可以推断时变情形的通解为
(5,2,30)
(5,2,26)
(5,2,24)
(5,1,14)
(5,2,32)
(5,2,36)
位函数值在时间上要滞后于产生这一位函数的原函数，我们将这一项称之为 滞后位
（推迟势）,第二项称之为 超前位,实际上代表电磁波遇到障碍物以后的反射波。在无限大自由空间，不可能有反射波此时只有滞后位。它们表示为
(5,2,38)
(5,2,39)
Va
t
tΦ
V
d
'
'
,'
π4
1,
rr
rr
r
r
V '
V
a
'
t,'
t,
rr
rr
rJ
rA
d
π4
r
t,r?
a
'ttt rr
tΦ,r
r'
2.时谐电磁场的矢量磁位和标量电位复数形式的洛仑兹方程在无源区域，复数形式的场矢量和位函数满足齐次亥姆霍兹方程
k 表示波数对于时谐场，相应的电荷密度可以表示为标量电位的积分表达式为同样的方法可以得到磁矢位的积分表达式
(5,2,53)
(5,2,52)
请注意将上述表达式与恒定场得结果比较，除开增加了一个指数因子外，
其余均相同，这个指数因子描述了场传播这一事实。今后计算时变场时可以借用静态场的结果。
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量利用矢量恒等式得注意到
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量利用高斯散度定理电场能量密度 磁场能量密度欧姆功率密度坡印廷（ Poynting)矢量 或 功率流密度矢量坡印廷（ Poynting)矢量的方向垂直于 E 和 H 构成的平面,S,E,H 三者服从右手螺旋法则。 即为坡印廷定理。
(5,3,10)
(5,3,10)
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
J
ρ
V
场的能量密度设为,
me wwtw,r
能量流密度矢量,t，rS
由于时变电磁场的波动特点，闭合空间内部的电磁场有可能传播到外部，外部空间的电磁场也有可能传播到空间内部，闭合空间的内外有可能存在电磁场能量的交流。
根据能量守恒定律：
t，rf 表示场对荷电系统作用力密度
v为荷电系统运动速度表示通过界面在单位时间内进入 V
内电磁场的能量表示单位时间内空间区域电磁场能量的增量区域内场对荷电系统所作的功率,通常以热形式消耗
2E JEvEvBvEvf由洛仑兹力公式：
VtVt twt VVS d),(d),(d),( vrfrSrS
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量 (5,3,15)
取复共轭后出现负号
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量例,已知在空气中
)c o s (?)s in (? 00001 zktEyzktExE
)c o s (?)s in (? 00002 yktHzyktHxH zx
求：
2121,,,EHHE
分析,
) ) ](?)(?)(?(R e [),( rEzrEyrExetrE zyxtj
)(rE
zjkeyxjEE 0)(01
yjkzx ezHxjHH 0)( 002
)]ej ( eR e [)s in ( 0jtj0 zkzkt
注意：
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量根据正弦时变场的麦克斯韦方程组
HjE 0
zkeExyjk
j
EH 0
0
0
0
0
1
1 )(
解得：
EjH 0
yjk
xz eHzHxj
k
j
HE 0)(
00
0
0
0
2
2
乘以 取实部tje?
)]c o s (?)s i n (?[ 00
0
00
1 zktxzkty
EkH
)]c o s (?)s in (?[ 0000
0
0
2 yktHzyktHx
kE
xz
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量 注意
)/ln (
2 0
ab
V
l
§ 5.3 坡印廷定理与坡印廷矢量恒定电流或低频交流电的情况下,场量往往是通过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。
I
如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体中的电荷运动速度约 10-5m/s，电荷由电源端到负载端所需时间约是场传播时间
（ L/c）的亿万倍负载只需经过极短
（ t=L/c，
其中 c为光速）的时间就能得到能量的供应。
--
--
§ 5.4 电磁波的辐射电荷电流电磁场的分布电磁场、源和边界条件作为整体求解
1 电磁场的计算公式
GPS卫星天线系统
5.4.1 辐射场及其计算公式
§ 5.4 电磁波的辐射 为了突出电磁场辐射的本质，
设无界自由空间区域 V 上存在随时间简谐变化的电流和电荷，
在空间激发随时间谐变的电磁场可通过位函数方法获得。
rrJ,
Vk
V
dje x p''π4 0 r'rrr rJrA
2
j
k
AArE
rArB
r
'r
)j )((j
00
AAAE Φt注意：
§ 5.4 电磁波的辐射
t
V
V
V
a
t
V
a
t
t
j
0
0
e
'
d
'
je x p'
π4
'
d
'
,'
π4
,
rA
rr
rr
rJ
rr
rr
rJ
rA
rArB
rArrE
rArB
rArrE
j
,,
,,,Φ
tt
t
t
tΦt
0j0,,0000 rrArrA Φt tΦt
r
rr
rr
r
rr
r
rr
r
Φe
Vt
V
a
ttΦ
t
V
V
j
0
0
'
d
a
'
je x p'
π4
1
d
'
,'
'
1
π4
1
,
00
00 j
AA
tΦ
§ 5.4 电磁波的辐射
rHrE
rArH
0
2
00
j
1
s in
s in
s in
11
ArArA
r
erere
r
r
r
对于辐射问题，场点远离源区，源激发的电场可利用其与磁场的关系计算。
采用球坐标系，源激发电磁场的计算公式为：
源在空间激发的电磁场由两部分组成：
其一是电荷和电流源直接激发的电磁场，它们与电荷和电流分布相联系。
其二是变化的电场与磁场之间相互激发而产生的电磁场，与电场和磁场时间变化率相联系。
§ 5.4 电磁波的辐射总电磁场 ＝ 源所激发的电磁场 ＋ 电磁场相互激发的电磁场静态电磁场特点场量与 r 2成反比不能有静态电磁场特点场量只能与 r成反比
dd
dRe
2
1d
2
r
av
r eσ
σrHrEσrS
2 电磁场的三个区域及其特点三个尺度概念：
源区的尺度：
电磁波的波长：
场点至原点的距离
Vk
V
dje x p''π4 0 r'rrr rJrA
'r
r 1
r'r
1 r'r
1 r'r
①
这说明在源区附近，磁矢位蜕变为静态电磁场的磁矢位。由磁矢位计算得到的磁场必然具有静态场的特点。因此在源区的附近，源激发的电磁场可以采取静态电磁场方法进行计算。这也意味着在源区附近，源直接产生的静态电磁场远大于电磁场相互激发所产生的电磁场。场量与 r2 成反比
12 r'rr'rk
VVk
VV
d''π4dje x p''π4 00 rr rJr'rrr rJrA
10jj ee k r'r
②
场点与源区的距离大约在一个波长的数量级，在这个范围中，源直接产生的场与变化电磁场相互激发所产生的电磁场同时并存，量级上相当。在这个区域中，既有变化的电磁场相互激发形成的电磁波，将源的能量以电磁波形式辐射出去。同时也存在不向外辐射的静态场，将源提供能量的一部分存储在空间中，这一区域称为感应区。
1 r'r
§ 5.4 电磁波的辐射
③,
场点远离源区。由于源直接激发的电磁场与 r2成反比，所以 在这个区域中，源直接激发的静态场远小于电磁场相互激发而形成的电磁场。电磁场主要以波动形式将源的能量辐射出去。这一区域称为远场区，或者称为辐射区域。 场量只能与 r
成反比。
1 r'r 1111 rrrr,
§ 5.4 电磁波的辐射3矢量磁位的多极矩展开先分析矢量磁位被积函数中各因子对位函数贡献的大小。 振幅项 相位项
r'rrr rJrA kV
V
je x p'd'π4 0
xkkx
x
xxk
x
x
x
kx
x
kx
xx
δj1je x p
1
δje x p
1
δ
1
1je x p
1
je x p
δ
1 振幅项微小变化导致误差的量级相位项微小变化导致误差的量级
!21 2xxe x注意函数展开式
§ 5.4 电磁波的辐射结论：
对远场区（ r很大）振幅的微小变化对最后结果影响很小，而相位项的微小变化对结果影响大。
所以在矢量磁位中，对于振幅因子取零级的近似，
对相位因子保留一级近似
kr?krrk'k
r'
'' r'rrrrr
rr
je x pc os2je x pje x p
11
22?
rr’
P
§ 5.4 电磁波的辐射
rArArA
rrrrr'J
r'JrA
rr
210
2
j
0
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j
0
d.,,'?j
!2
1
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4
d
4
Vkk
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e
Ve
r
e
V
kr
V
kr
得到：
kre
r
j00
π4
j PrA
PPrrrJjdddd 'dd' tVqntV
V
ii i
V
其中
!21 2xxe x仍注意函数展开式 对 再一次展开rrkej
§ 5.4 电磁波的辐射
mrDrJr'rrr'r'r
Jr'rr'
rr
r'r'r
J r 'Jr'J r 'Jr'rJr'rr'rJ
V?V
t
V?V
tt
V?V?V?
VV
VV
VVV
6
1
d
2
1
d3
d
d
6
1
d
2
1
d
d
d
d
d
2
1
d
2
1
dd
DrmrDrmrrA
6
1j
π4
j
d
d
6
1
π4
j jj1e
r
k
t?er
k krkr
§ 5.4 电磁波的辐射上述结果说明：
小区域时变电流体系在远的电磁场为源中电多极矩和磁多极矩激发电磁场的叠加。
电四极矩与磁偶极矩激发电磁场的能力为同一量级。进一步还可证明，电多极矩激发电磁场的能力高于同级的磁多极矩。
利用求得的矢量磁位可以求得体电流激发的电磁场，其辐射场在计算过程中必须把静态电磁场部分分离出来
。
§ 5.4 电磁波的辐射5.4.2 电偶极子天线
1 电偶极子天线结构能向空间辐射和接收电磁波的装置称为天线，是无线电设备的一个重要部件。天线通过其上随时间变化的电流在空间激发的变化的电磁场，从而辐射电磁波。
发射机（时变电信号）
导体
rJ
导体上电流的大小和相位分布是不均匀的和时变的接 地偶极子天线结构
L
La
§ 5.4 电磁波的辐射作为一种近似的处理，设导线元上的电流只有
z分量，其分布函数为,
根据电流连续性原理，在电偶极子天线的两个端点，将同时积累大小相等符号相反的时变电荷，利用电荷与电流之间的关系得到,
2
,0
2
,je x p?
,
0
L
z
L
ztIe
t
z
rJ
0? ILze zrJ
LQzt
t
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t
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I
QeIeQtQ
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tI
eezz
tt
00
0
0
j
0
j
0
d
d
d
d
j
td
dd
PP
§ 5.4 电磁波的辐射2 电偶极子天线的电磁场设天线位于自由空间的坐标原点，其矢量磁位为：
krr LIe?Vk z
V
je x pπ4d4 je x p 000 rr rrrJrA
krekrkrLkIe? j220
0
1j
π4
s i n1
rArH
kr
kr
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krkrkr
LkI
e?
e
krkr
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j
32
0
3
0
j
32
0
3
0
0
j1j
π4
c os2
j1
π4
c os2
j
1
rHrE
(5,4,6)
§ 5.4 电磁波的辐射近场电磁场区
1je x p1 kr,kr
2
0
2
0
3
0
0
3
0
0
3
0
0
3
0
0
π4
s i n
π4
s i n
π4
s i n
j
π4
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π4
c o s2
j
π4
c o s2
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LI
r
LI
H
r
LI
r
P
E
r
LI
r
P
E
e
e
r
LILQP e?000 j记：
电磁场相位差
0Re21 rHrErS 为虚数
§ 5.4 电磁波的辐射从近区电磁场的表达式看到，电场与磁场始终保持的 相位差，其 Poynting矢量的平均值恒为零，没有能量向外部输运。因此在源区附近，
电磁场为静态电磁场的特点 。
π50.
这正是电偶极子的静电场和恒定电流元的磁场。
因此尽管电偶极子上的电流是时变的，它在近区激发的电磁场仍具有静态电磁场特点。这说明，
在电偶极子附近，时变电磁场之间相互激发是产生具有波动特点的电磁场，比电荷和电流直接激发不具有波动特点的静态场要小得多。
§ 5.4 电磁波的辐射
3 远区辐射场及其特点当场点位于远场区，其电磁场的结果为：
这是一个与近区具有完全不同性质的电磁场
kr
r
LI
E
kr
r
LI
H
je x p
s i n
2
j
je x p
s i n
2
j
0
00
0
2
0
3
0
0
3
0
0
π4
s in
j
π4
s in
π4
c o s2
r
P
H
r
P
E
r
P
E
e
e
e
r
与近区场比较
00,/2 kk
注意，式中
§ 5.4 电磁波的辐射远区的辐射场有如下特点：
① 电磁场的瞬时表达式为：
其等相位面方程为球面，其方程是：
在等相位面上，电场和磁场的幅度相同，相位为同一常数，且 为沿径向向外传播的球面波。
波在空间传播的速度为：
2
π
c os
s i n
2
2
π
c os
s i n
2
0
00
0
krt
r
LI
E
krt
r
LI
H
Ckrt
cktrv
tp
000Δ
1
Δ
Δlim
§ 5.4 电磁波的辐射
② 电磁波在空间传播方向上既没有电场分量、也没有磁场分量，电场、
磁场和传播方向相互垂直，为横电磁波（ TEM）
在与传播方向相垂直的平面内，电场或磁场矢量末端的轨迹为直线，
是线极化（偏振）面电磁波。
传播方向 HE
3771200
0
0
H
E 称之为波阻抗
§ 5.4 电磁波的辐射
③ 电偶极子远区辐射场具有方向性。在同一半径的球面上，不同方向辐射场的强度随方位的不同而变化，所以电偶极子远区场是非均匀的球面波。场强度随方向变化的曲线：
电偶极子 E 面方向图 电偶极子 H 面方向图
§ 5.4 电磁波的辐射
④ 利用 Poynting 矢量的定义，求得周期内平均能流密度矢量为,
)
32
s in||
(
1
s in
22
1
1
Re
2
Re
2
Re
2
1
2
0
2
222
0
3
2
2
0
22
0
2
0
r
LIk
r
LI
EHEHE
rr
rr
av
ee
ee
S
能流密度矢量沿球面径向向外传输，具有方向性，不同的方向能流密度不同，这意味着空间的某些方向上能流密度大，另一些方向上能流密度小，甚至某些方向上能流密度为零。
§ 5.4 电磁波的辐射⑤ 天线的辐射功率与辐射电阻在单位时间内通过半径为 r的球面向外传播的电磁能为：
P 是一个与球面半径无关的常数，即在单位时间通过任意半径球面向外传输的能量（功率）是相同的。根据能量守恒定律，这部分能量的确是天线以电磁波的形式所辐射 。
2
22
0
4
0
22
0
π80
2
1
dds in
22
1
d,,
L
I
LI
rP
Ss
avr
σS
§ 5.4 电磁波的辐射由于能量不断向外辐射，要保证辐射进行下去，
必须提供能源，如发射机。设天线是理想的天线
(没有损耗 )，发射机与天线匹配，发射机供给的能量全部被天线辐射出去，天线可以看作一个两端网络，其辐射能力可应用二端网络的等效电阻表征，称为天线的辐射电阻，是衡量天线辐射电磁场能力的重要参量。
发射机发射机
rR
|in 理想天线Z
rR
§ 5.4 电磁波的辐射在实际中，输入阻抗并不完全等于辐射电阻，这是因为输入到天线上的能量并不完全被辐射，还包括天线导体的热损耗、天线近场储存的能量，
使得输入阻抗并非是纯电阻。只有理想天线：
2
2
2
0in
in
in π80
2|?
L
I
PR
I
UZ
r理想天线
2
2
2
2
2
1050π800 2 502
50π802501
L
R,.L;
L
R,.L
r
r
、
、
例：
§ 5.4 电磁波的辐射
⑥ 方向性系数
D =
电偶极子的方向性系数：
⑦ 半功率张角 (主瓣宽度 )HPE
定义为方向图主瓣中场电偶极子的主瓣宽度：
§ 5.5 对称天线的辐射
1,对称天线
§ 5.5 对称天线的辐射 任一电偶极子的远区场将电流表达式带入并注意
rr’
P
§ 5.5 对称天线的辐射
§ 5.5 对称天线的辐射2.对称半波天线,5 对称天线的辐射
（ ）
5 对称天线的辐射将电流分布得带入对称天线的远区电场表达式
§ 5.5 对称天线的辐射其辐射功率和辐射电阻分别为得到
§ 5.5 对称天线的辐射求得方向性系数为电偶 极子
。
半波天线的方向图以及与电偶极子天线的比较图。
§ 5.7 磁偶极子的辐射
§ 5.4 电磁波的辐射可用的近似条件：
(1) a?导线半径
(3) a?r
(2) a?λ
得到磁偶极子的矢量磁位上式中：
§ 5.4 电磁波的辐射将磁偶极子 电磁场结果与电偶极子的结果进行比较，可以看出它们之间有对偶关系,
近场区电磁场 远场区的辐射场
1je x p1 kr,kr
2
3
0
3
0
π4
s i n
j
π4
s i n
π4
c o s2
r
p
E
r
p
H
r
p
H
m
m
m
r
1kr
其磁场正好是小电流圆环（即磁偶极子）产生磁场的表达式与电偶极子远区场相比，除电场和磁场的极化方向互为置换外，特性类似
§ 5.4 电磁波的辐射
§ 5可见电偶极子的辐射能力比磁偶极子强得多利用辐射电阻的定义，得到小电流圆环（磁偶极子）的辐射电阻是
2
2
4
2
π
0
2
0
2
0
2
0
π3 2 0
ds i nπ2Re
1
d
22
s
rHE
I
,,r
II
P
R
s
r sS
【 例 】 设导线的长度为 1米，求制作成圆环和电偶极子天线的辐射电阻。
电磁振荡频率为 1MHz
2
2
2 10880π80
,LR
r?
8
2
2
4
2
0
10442π3 2 02,sI PR r?
电偶极子天线 小圆环天线
§ 5.4 电磁波的辐射
