第 2 章正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.2 同频率正弦量的相加和相减
2.3 交流电路中的电阻,电容与电感
2.4 电阻,电感的串联电路
2.5 电阻,电感,电容串联电路及串联谐振
2.6 感性负载和电容器的并联电路 ——功率因数的补偿
2.7 三相交流电路
2.8 三相负载的连接 返回主目录第 2 章正弦交流电路
2.1正弦交流电的基本概念其大小和方向都随时间作周期性变化的电动势,电压和电流统称为交流电。在交流电作用下的电路称为交流电路。
在电力系统中，考虑到传输、分配和应用电能方面的便利性、经济性，大都采用交流电。工程上应用的交流电，一般是随时间按正弦规律变化的，称为正弦交流电,简称交流电。
获得交流电的方法有多种，但大多数交流电是由交流发电机产生的。
图 2 - 1（ a）为一最简单的交流发电机,标有 N,S的为两个静止磁极。 磁极间放置一个可以绕轴旋转的铁心,铁心上绕有线圈 a,b,b′,a′，线圈两端分别与两个铜质滑环相连。
滑环经过电刷与外电路相连。
为了获得正弦交变电动势,适当设计磁极形状,使得空气隙中的磁感应强度 B在 O - O′平面 （即磁极的分界面，称中性面）处为零，在磁极中心处最大（ B=Bm），沿着铁心的表面按正弦规律分布（图 2 - 1(b)）。若用 α表示气隙中某点和轴图 2 - 1交流发电机图 2,1
b
b ′
e
a
l
S
N
a ′
S
N
O
O ′
e
( a ) ( b )
B=Bm sinα
当铁心以角速度 ω旋转时,线圈绕组切割磁力线,产生
e= BLv (2 - 1)
式中,e——绕组中的感应电动势（ V
B——磁感应强度 (T(特［斯拉］ ),1 T=1 Wb/m2) ；
l——绕组的有效长度（ m
v——绕组切割磁力线的速度（ m/s
假定计时开始时,绕组所在位置与中性面的夹角为 φ0，
经 t秒后，它们之间的夹角则变为 α=ωt+φ0，对应绕组切割磁场的磁感应强度为
B=Bmsinα=Bmsin（ ωt+φ0）
2 - 1）就得到绕组中感应电动势随时间变化的规律,即
e=Blv=Bmsin（ ωt+φ0） ·lv
或 e=Emsin（ ωt+φ0） (2 - 2)
式中 Em =Bm lv,称作感应电动势最大值。当线圈 ab边转到 N
极中心时，绕组中感应电动势最大，为 Em；线圈再转 180°,
ab边对准 S极中心时，绕组中感应电动势为 -Em 。
二、表示正弦交流电特征的物理量如图 2 -1 所示的发电机，当转子以等速旋转时,绕组中感应出的正弦交变电动势的波形如图 2 - 2 所示。图中横轴表示时间，纵轴表示电动势大小。图形反映出感生电动势在转子旋转过程中随时间变化的规律。下面介绍图 2 - 2
所示正弦交流电的物理量。
1,周期,频率,角频率当发电机转子转一周时,转子绕组中的正弦交变电动势也就变化一周。 我们把正弦交流电变化一周所需的时间叫周期,用 T表示。 周期的单位是 s(秒 )
1 秒钟内交流电变化的周数,称为交流电的频率，用 f
表示,
Tf
1?
图 2 - 2正弦交流波形图图 2,2
E
m
e
O t
T
频率的单位是 Hz(赫［兹］ )。 1Hz=1s-1
正弦量的变化规律用角度描述是很方便的。 如图 2 - 2
所示的正弦电动势，每一时刻的值都可与一个角度相对应。
如果横轴用角度刻度，当角度变到 π/2时，电动势达到最大值，
当角度变到 π时，电动势变为零值（图 2 - 3）。这个角度不表示任何空间角度，只是用来描述正弦交流电的变化规律，
所以把这种角度叫电角度。
每秒钟经过的电角度叫角频率,用 ω表示。 式 (2 - 2)中的 ω即是角频率。角频率与频率,周期之间,显然有如下的关系,2
T
π2w πf
图 2- 3用电角度表示正弦交流电
E
m
e
O
t
2?
e = E
m
s i n ( t+)
图 2,3
2,瞬时值,最大值,有效值瞬时值,交流电在变化过程中,每一时刻的值都不同，
该值称为瞬时值。瞬时值是时间的函数，只有具体指出在哪一时刻，才能求出确切的数值和方向。瞬时值规定用小写字母表示。例如图 2 - 3
e=Em sin(ωt+φ0)
最大值,正弦交流电波形图上的最大幅值便是交流电的最大值（图 2 - 3）。它表示在一周内,数值最大的瞬时值。 最大值规定用大写字母加脚标 m表示，例如 Im,Em、
Um等。
有效值,正弦交流电的瞬时值是随时间变化的,计量时用正弦交流电的有效值来表示。交流电表的指示值和交流电器上标示的电流,电压数值一般都是有效值。
交变电流的有效值是指在热效应方面和它相当的直流电的数值。即在相同的电阻中，分别通入直流电和交流电，在经过一个交流周期时间内，如果它们在电阻上产生的热量相等，则用此直流电的数值表示交流电的有效值（图 2 - 4）。有效值规定用大写字母表示，例如 E,I,U。按上述定义，应有
R d tiRTI T
0
22
T
dti
T
I
0
21
对于正弦交流电
i=Im sinωt
图 2 -4交流电的有效值
i
R
I
R
通电时间相等图 2,4
或可见,正弦交流电的有效值是最大值的 倍。 对正弦交流电动势和电压亦有同样的关系,2
1
dtwtC O S
T
Iw t d tI
T
I
T Tm
m )21(2
1s i n1
0 0
2
2
m
mm III 707.0
22
2
II m 2?
EE m 2?
UU m 2?
3,
1）
正弦交变电动势 e=Em sin(ωt+φ0)，它的瞬时值随着电度
(ωt+φ0)而变化。电角度 (ωt+φ0)叫做正弦交流电的相位。 例如图 2 - 5（ a）所示的发电机，若在电机铁心上放置两个夹角为
φ0、匝数相同的线圈 AX和 BY,当转子如图示方向转动时，这两个线圈中的感生电动势分别是：
wtEe mA s in?
)φs in ( 0 wtEe mB
图 2 - 5不同相的两电势
e
A
O
2?
e
B
e
t
图 2,5
B
A
Z
Y
S
N
( a ) ( b )
这两个正弦交变电动势的最大值相同,频率相同,但相位不同,eA的相位是 ωt,eB的相位是（ ωt+φ0），见图 2 -(5b)。
2）
当 t=0 时的相位叫初相。 以上述 eA,eB为例,eA的初相是
0,eB的初相是 φ0
3）
两个同频率的正弦交流电的相位之差叫相位差。 相位差表示两正弦量到达最大值的先后差距。
例如,已知
)φs i n (),φs i n ( 22211 wtIiwtIi mm
则 i1和 i2的相位差为
φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2
这表明两个同频率的正弦交流电的相位差等于初相之差。
若两个同频率的正弦交流电的相位差 φ1-φ2＞ 0,称,i1超前于 i2”; 若 φ1-φ2＜ 0,称,i1滞后于 i2”；若 φ1-φ2=0，称,i1和 i2
同相位”；若相位差 φ1-φ2=± 180°,则称,i1和 i2反相位”。
必须指出，在比较两个正弦交流电之间的相位时,两正弦量一定要同频率才有意义。否则随时间不同，两正弦量之间的相位差是一个变量，这就没有意义了。
综上所述，正弦交流电的最大值,频率和初相叫做正弦交流电的三要素。 三要素描述了正弦交流电的大小,变化快慢和起始状态。
当三要素决定后,就可以唯一地确定一个正弦交流电了。
例 2.1 如图 2 - 6 所示的正弦交流电,写出它们的瞬时解 i1,i2,i3瞬时值为
i1=5sinωt A
i2=7.5sin (ωt+ ) A
i3=7.5sin（ ωt- ) A
6
π
2
π
例 2.2 已知正弦交流电：
i1=5 sinωt A
i2=10 sin(ωt+45° ) A
i3=50 sin(3ωt-45° ) A
图 2- 6正弦交流电波形图图 2,6
i
i
2
i
3
i
1
7,5
5
6
t
求,i1和 i2相位差,i2和 i3相位差。 i2,i3频率不同，相位差无意义。 i1和 i2
φ1,2=ωt-(ωt+45° )=-45°
表明 i1滞后于 i2 45° 电角。
2.2
同频率正弦量相加、减，可以用解析式的方法,还可以用波形图逐点描绘的方法，但这两种方法都不简便。所以，
要计算几个同频率的正弦量的相加、相减，常用旋转矢量的正弦量的旋转矢量表示法用旋转矢量表示正弦交流电的方法是：在直角坐标系中画一个旋转矢量，规定用该矢量的长度表示正弦交流电的最大值，该矢量与横轴的正向的夹角表示正弦交流电的初相，矢量以角速度 ω按逆时针旋转，旋转的角速度也就表示正弦交流电的角频率。
例 2.3 已知,i1=7.5sin(ωt+30° ) A,i2=5sin(ωt+90° ) A,
i3=5sinω A,i4=10sin(ωt-120° ) A，画出表示以上正弦交流电的旋转矢量。
解 如图 2 - 7 所示，用旋转矢量 1m,I2m,I3m,I4m分别表示正弦交流电 i1,i2,i3和 i4
I1m=7.5 A,I2m=5 A,
I3m=5A,I4m=10 A
应当注意,只有当正弦交流电的频率相同时,表示这些图 2 -7用旋转矢量表示正弦交流电
O
I
3m
I
2m
I
1m
30°
12 0 °
X
I
4m
图 2,7
Y
二、同频率正弦量的加、
1,同频率正弦量加,减的一般步骤几个同频率正弦量加、
（ 1） 在直角坐标系中画出代表这些正弦量的旋转矢量；
（ 2） 分别求出这几个旋转矢量在横轴上的投影之和及在纵轴上的投影之和；
（ 3） 求合成矢量；
（ 4） 根据合成矢量写出计算结果。
例 2.4 已知 i1=2sin(ωt+30° ) A,i2=4 sin(ωt-45° )A,
求 i=i1+i2
解 画 i1,i2的旋转矢量图 I1m,I2m（图 2 - 8),求得图 2 -8例 2.4 图
O X
y
y
1
y
y
2
x
1
x
2
x30°
45°
I
1m
I
2m
I
m
图 2,8
Ox=Ox1+Ox2=2 cos30° +4cos45° = ≈4.66
Oy=Oy1-Oy2=2 sin30° -4sin45° = ≈-1.828
223?
221?
506.2534.372.2122 oyoxI m
- 2 1,4 3 9 2 2.0a r c t a n66.4 8 2 8.1a r c t a noxoya r c t a nφ
得
i=i1+i2=5sin(ωt-21.4° ) A
2,正弦量加,减的简便方法可以证明,几个同频率的正弦量相加,相减,其结果还是一个相同频率的正弦量。所以，在画旋转矢量图时，可以略去直角坐标系及旋转角速度 ω，只要选其中一个正弦量为参考量,将其矢量图画在任意方向上（一般画在水平位置上），其它正弦量仅按它们和参考量的相位关系画出,便可直接按矢量计算法进行。
另外，由于交流电路中通常只计算有效值,而不计算瞬时值，因而计算过程更简单。
例 2.5 已知 i1=2 sin(ωt+30° ) A,i2=4 sin(ωt-45° ) A,
求 i=i1+i2
解 相位差 φ1,2=30° -(-45° )=75°,
且 i1超前于 i2 75° 。以 i1为参考量，画矢量图 (图 2- 9)。
根据矢量图求 Im=I1m+I2m。用余弦定理得
=4+16-16 cos(90° +15° )
=20+16sin15° ≈24.14
所以 Im= ≈4.91 A 。
°10 5c o s2 212212 mmmmm IIIII
14.24
图 2 - 9正弦电流相加
I
1m
图 2,9
75°
I
2m
I
m
例 2.6 已知 u1=220 sin (ωt+90° ) V,2=220 sin (ωt-
30° ) V，求 u=u1-u2
解 设参考量为 u1=220 sin(ωt+90° ),矢量式为 U=U1+(-
U2),画有效值矢量图（图 2 - 10）。根据余弦定理,从矢量图
U2= -2U1U2 cos120
=2202+2202+2× 220× 220× sin 30° =145 200
U≈381 V
由矢量图还可得出,U和 U1的夹角为 30°,表明 u超前于
u130°,虑 u1的初相是 90°,故可得 u=381 sin(ωt+120° ) V
2 2
2
2221 UU?
2
2.3交流电路中的电阻,电容与电感直流电流的大小与方向不随时间变化，而交流电流的大小和方向则随时间不断变化。因此，在交流电路中出现的一些现象,与直流电路中的现象不完全相同。
电容器接入直流电路时,电容器被充电,充电结束后，
电路处在断路状态。但在交流电路中，由于电压是交变的，
因而电容器时而充电时而放电，电路中出现了交变电流，使电路处在导通状态。
电感线圈在直流电路中相当于导线。但在交流电路中由于电流是交变的，所以线圈中有自感电动势产生。
电阻在直流电路与交流电路中作用相同,起着限制电流的作用，并把取用的电能转换成热能。
由于交流电路中电流、电压、电动势的大小和方向随时间变化，因而分析和计算交流电路时，必须在电路中给电流、
电压、电动势标定一个正方向。同一电路中电压和电流的正方向应标定一致（如图 2 - 11）。若在某一瞬时电流为正值，
则表示此时电流的实际方向与标定方向一致； 反之,当电流图 2 - 11交流电方向的设定
i R
u
图 2,1 1
一、纯电阻电路
1,电阻电路中的电流将电阻 R接入如图 2 - 12（ a）所示的交流电路,设交流电压为 u=Umsinωt,则 R中电流的瞬时值为
wt
R
U
R
ui m s in
这表明,在正弦电压作用下,电阻中通过的电流是一个相同频率的正弦电流，而且与电阻两端电压同相位。画出矢量图如图 2 - 12(b)
电流最大值为图 2-12纯电阻电路
i
R
u
( a )
U
I
( b )
图 2,1 2
O
y
x
i
u
p
( c )
R
UI m
m?电流有效值为
R
U
R
UI m
2
2,
1）
电阻在任一瞬时取用的功率，称为瞬功率，按下式计算：
p=ui=UmIm sin2ωt (2 - 10)
p≥0,表明电阻任一时刻都在向电源取用功率,起负载作用。
i,u,p的波形图如图 2 - 12( c )
2）
由于瞬时功率是随时间变化的,为便于计算,常用平均功率来计算交流电路中的功率。平均功率为
2s i n
11
0
2
0
mmT
mm
T IUw t d tIU
tP d tTP
RIUIIUp mm 22
这表明,平均功率等于电压,电流有效值的乘积。 平均功率的单位是 W(瓦［特］ )。通常，白炽灯、电炉等电器所组例 2.7 已知电阻 R=440Ω，将其接在电压 U=220 V的交流电路上，试求电流 I和功率 P。
解 电流为
ARUI 5.0440220
P=UI=220× 0.5=110W
二、纯电感电路一个线圈，当它的电阻小到可以忽略不计时,就可以看成是一个纯电感。 纯电感电路如图 2 - 13（ a）所示,L为线圈的电感。
1,电感的电压设 L中流过的电流为 i=Im sinωt，
L上的自感电动势 eL=-Ldi/dt,由图示标定的方向,电压瞬时值为
)2πs i n (c o s wtw L Iwtw L IdtdiLeU mmLL
)2πs in ( wtw L IU mL
这表明,纯电感电路中通过正弦电流时,电感两端电压也以同频率的正弦规律变化,而且在相位上超前于电流 π/2电角。
纯电感电路的矢量图如图 2 - 13（ b）所示。
(2 - 12)
图 2- 13纯电感电路
i
L
L
u
L
e
L
( a )
E
L
I
U
L
( b )
图 2,1 3
2?
t?
u
L
i
p
0
e
L
( c )
p,u,i,e
电压最大值为
ULm=ωLIm (2 - 13)
电压有效值为
UL=ωLI (2 - 14)
2,电感的感抗从式 (2 -14)
XL= =ωL=2πfL (2 - 15)
XL称感抗，单位是 Ω。与电阻相似，感抗在交流电路中也起阻碍电流的作用。这种阻碍作用与频率有关。当 L一定时，
频率越高，感抗越大。在直流电路中，因频率 f=0，其感抗也等于零。
I
UL
wtwtIUwtIwtUuip mmmm s i n.c o ss i n).
2
π
s i n (
wtUIIU wtmm 2s in2s in21
纯电感电路的瞬时功率 p,电压 u,电流 i的波形图见图 2 -
13 （ c）。 从波形图看出：第 1,3个 T/4期间,p≥0,表示线圈从电源处吸收能量；在第 2,4个 T/4期间,p≤0,表示线圈向电路释放能量。
2） 平均功率（有功功率） P瞬时功率表明，在电流的一个周期内,电感与电源进行两次能量交换,交换功率的平均值为零，即纯电感电路的平均功率为零。
01
0
TP d tTp
式（ 2 -16）说明,纯电感线圈在电路中不消耗有功功率，
它是一种储存电能的元件。
3） 无功功率 Q
纯电感线圈和电源之间进行能量交换的最大速率,称为纯电感电路的无功功率。用 Q表示。
QL=ULI=I2XL (2 - 17)
无功功率的单位是 V·A(在电力系统，惯用单位为乏 (var))。
例 2.8 一个线圈电阻很小,可略去不计。电感 L=35
m H。求该线圈在 50Hz和 1000 Hz的交流电路中的感抗各为多少。若接在 U=220V,f=50Hz的交流电路中，电流 I、有功功率 P、
无功功率 Q
解 （ 1） f=50Hz时，
XL=2πfL=2π× 50× 35× 10-3 ≈11 Ω
f=1000Hz时，
XL= 2πfL=2π× 1000× 35× 10-3≈220 Ω
（ 2） 当 U=220V,f=50 Hz时，
电流 I=
有功功率 P=0
无功功率 QL=UI=220× 20=4400V·A
AXU
L
2011220
图 2-14（ a 表示仅含电容的交流电路,称为纯电容电路。
设电容器 C两端加上电压 u=Um sinωt。 由于电压的大小和方向随时间变化,使电容器极板上的电荷量也随之变化，电容器图 2 - 14纯电容电路
i
C
u
C
C
( a )
I
C
U
C
( b )
图 2,1 4
0 t
p
u
C
i
C
( c )
1,
1) 瞬时值
wt
dt
duc
dt
dqi c
)
2
πs in ( wtw c U
m
)2πs in ( wtI m
这表明,纯电容电路中通过的正弦电流比加在它两端的正弦电压导前 π/2电角，如图 2 - 14(b)所示。 纯电容电路电压,电流波形图如图 2 - 14(c）所示。
2） 最大值
C
mm
mm
X
U
wc
U
wc UI
1
有效值
CX
U
WC
U
wc
U
wCUI
11
容抗
2fc
11
wcXC
式中,XC Ω 。
3,功率
1) 瞬时功率
p=ui=UmIm sinωt cosωt
= UmIm sin2ωt=UI sin2ωt (2 - 22)
2） 平均功率这表明,纯电容电路瞬时功率波形与电感电路的相似，以电路频率的 2倍按正弦规律变化。电容器也是储能元件,当电容器充电时，它从电源吸收能量；当电容器放电时则将能量送回电源（图 2 - 14(c) ）。
3） QC=UCI=I2XC
T pdtTp 0 01
2.4电阻、电感的串联电路在图 2-15 所示的 R,L串联电路中，设流过电流 i=Im sinωt，
则电阻 R上的电压瞬时值为
uR=ImR sinωt=URmsinωt
根据式（ 2 - 12）可知电感 L上的电压瞬时值为
)
2
πs i n ()
2
πs i n ( wtuwtxIu
mLmL
总电压 u的瞬时值为 u=uR+uL。画出该电路电流和各段电压的矢量图如图 2 - 16 所示。
图 2- 15R,L串联电路
u
R L
u
R
u
L
i
图 2,1 5
图 2 - 16R,L串联电路的电流和电压矢量图
U
L
U
R
U
I
图 2,1 6
因为通过串联电路各元件的电流是相等的,所以在画矢量图时通常把电流矢量画在水平方向上，作为参考矢量。电阻上的电压与电流同相位，故矢量 UR与 I同方向；感抗两端电压导前于电流 π/2电角，故矢量 UL与 I垂直。 R与 L的合成矢量便是总电压 U的矢量。
电压有效值,电压三角形从电压矢量图可以看出，电阻上电压矢量、电感上电压矢量与总电压的矢量，恰好组成一个直角三角形，此直角三角形叫作电压三角形（图 2 - 17( a
)）。从电压三角形可求出总电压有效值为
222222 )()( LLLR XRIIXIRUUU
图 2 - 17电压,阻抗,功率三角形
U
L
U
R
U
X
L
R
Z
Q
P
S
图 2,1 7
( a )
( b ) ( c )
三,阻抗,阻抗三角形和欧姆定律对比,式 （ 2 - 25） 可写成
Z
U
XR
UI
L
22
式中
22
LXRZ
我们把 Z称为电路的阻抗,它表示 R,L串联电路对电流的总阻力 。 阻抗的单位是 Ω。
电阻,感抗,阻抗三者之间也符合一个直角三角形三边之间的关系,如图 2 - 17（ b） 所示,该三角形称阻抗三角形 。
注意这个三角形不能用矢量表示 。
电流与总电压之间的相位差可从下式求得：
φ= arctan
φ= arctan
R
X a r c t a n L?
R
L
U
U
Z
R
U
U R a r c c o s?
式 （ 2 - 28） 说明,φ角的大小取决于电路的电阻 R和感抗 XL的大小,而与电流电压的量值无关 。
四,功率,功率三角形
1,有功功率 P
在交流电路中,电阻消耗的功率叫有功功率 。
P=I2R=URI=UIcosφ (2 - 29)
式中,cosφ称为电路功率因数,它是交流电路运行状态的重要数据之一 。 电路功率因数的大小由负载性质决定 。
2,无功功率 Q
Q=I2XL=ULI=Uisinφ (2 - 30)
无功功率的物理意义见 2.3节 。
3,视在功率 S
总电压 U和电流 I的乘积叫电路的视在功率 。
S=UI=I2Z (2 - 31)
视在功率的单位是 V·A(伏安 ）,或 kV·A(千伏安 ） 。
在功率表示电器设备 （ 例发电机,变压器等 ） 的容量 。 根据视在功率的表示式,式 （ 2 - 29） 和 （ 2 - 30） 还可写成
P=Scosφ,Q=Ssinφ
可见,S,P,Q之间的关系也符合一个直角三角形三边的关系,
S=
由 S,P,Q组成的这个三角形叫功率三角形 （ 图 2 - 17( c
)）,该三角形可看成是电压三角形各边同乘以电流 I得到 。
与阻抗三角形一样,功率三角形也不应画成矢量,因 S,P、
Q都不是正弦量 。
22 QP?
例 2.9 把电阻 R= 60Ω,电感 L=255mH的线圈,接入频率 f=50Hz,电压 U=110V的交流电路中,分别求出 XL,I,U
L,UR,cosφ,P,S。
解感抗 XL=2πfL=2π× 50× 255× 10-3≈80 Ω
阻抗 Z= Ω
电流 I= = =1.1 A
电阻两端电压 UR=IR=1.1× 60=66 V
1008060 2222 LXR
Z
U 100
110
电感两端电压 UL=IXL=1.1× 80=88 V
回路功率因数 cosφ= = 0.6
有功功率 P=UIcosφ=110× 1.1× 0.6=72.6W
视在功率 S=UI=110× 1.1=121V·A
例 2.10 如图 2 - 18 所示电路,已知 U=220 V,I=2A,
R1=50 C,电路的有功功率 P=400W,求 R2,XL,U2,cosφBC，
cosφ总,并绘出电路电流,电压矢量图 。
解
P=I2（ R1+R2）
所以 R2= -R1= =50
Z
R 10060
2I
P 50
4
400?
电路总阻抗 Z = Ω
感抗 XL= Ω
电路总功率数 cosφ总
BC段阻抗 Ω
BC段电压 U2=IZ2=2× 67.8≈135V
BC段功率因数 cosφBC
1 1 022 2 0IU
8.4510 011 0)( 222212 RRZ
91.01 1 01 0 021 Z RR
8.678.4550 222222 LXRZ
7 3 7.0
8.67
50
2
2
Z
R
电流和电压的矢量图如图 2 -19
图 2 - 18例 2.10电路
u
R
1
L
i
图 2,1 8
A
u
2
R
2
B
C
图 2- 19电流,电压矢量图图 2,1 9
U
U
2
U L
I
U R2U
R1
2.5电阻,电感,电容串联电路及串联谐振电路分析
R,L,C三种元件组成的串联电路如图 2 - 20 所示 。 若电路中流过正弦电流
wtIi s in2?
则各元件上对应的电压有效值为：
UR=IR,UL=IXL,UC=IXC
总电压的有效值矢量应为各段电压有效值矢量之和：
U=UR+UL+UC
图 2- 20R,L,C串联电路
u
i R
u
R
L
C
u
L
u
C
图 2,2 0
且 UR与电流 I同相,UL超前于 I90°,UC滞后于 I90°,
电压,电流矢量图如图 2 - 21 所示 。
从矢量图可得总电压有效值为
IZXXRIUUU CLCLR 2222 )()(
式 (2 - 33)中,
2222 )( XRXXRZ CL
称为电路阻抗,X=XL-XC称为电路的电抗 。 阻抗和电抗的单位都是 Ω。
电路中总电压和电流的相位差为
φ=arctan
R
XX
U
UU CL
R
CL a r c t a n
从式（ 2 - 33）可以看出：
图 2- 21R,L,C串联电路电流,电压矢量图
I
U
R
U
U
C
U
L
I
U
R
U
C
U
L
U
L
U
C
U
R
I
U
( a ) ( b ) ( c )
图 2,2 1
当 XL>XC时,φ>0,总电压超前于电流 (图 2 - 21(a)),电路属感性电路；
当 XL<XC时,φ<0,总电压滞后于电流 (图 2 - 21(b)),电路属容性电路；
当 XL=XC时,φ=0,总电压和电流同相位 (图 2- 21(c)),电路属阻性电路,这种现象称为谐振 。
二,串联谐振
1.
如上所述,在 R,L,C串联电路中,当 XL=XC时,电路中总电压和电流同相位,这时电路中产生谐振现象,所以,
XL=XC便是电路产生谐振的条件 。
因为 XL=XC,又知 XL=2πfL(见式 (2 - 15))，
XC= (见式 (2 - 21)),故
FC?2
1
cf
Lf
0
0 2
12
2,串联谐振时的电路特点
(1) 总电压和电流同相位,电路呈电阻性 。
(2) 串联谐振时电路阻抗最小,电路中电流最大 。 串联谐振时电路阻抗为
RXXRz CL 20 )(2
串联谐振时的电流为
R
U
Z
UI
0
0
(3) 串联谐振时,电感两端电压,电容两端电压可以比总电压大许多倍 。 电感电压为
QUURXIXU CCL
电容电压为
QUURXIXU CCC
可见,谐振时电感（或电容）两端的电压是总电压的 Q
倍,Q称为电路的品质因数。
CRwR
Lw
R
X
R
XQ CL
0
0 1
在电子电路中经常用到串联谐振,例如某些收音机的接收回路便用到串联谐振 。 在电力线路中应尽量防止谐振发生,
因为谐振时电容,电感两端出现的高压会使电器损坏 。
2.6感性负载和电容器的并联电路 ——功率因一,电路的功率因数功率因数是用电设备的一个重要技术指标 。 电路的功率因数由负载中包含的电阻与电抗的相对大小决定 。 纯电阻负载 cosφ=1；纯电抗负载 cosφ=0； 一般负载的 cosφ在 0～ 1 之间,而且多为感性负载 。 例如常用的交流电动机便是一个感性负载,满载时功率因数为 0.7～ 0.9,而空载或轻载时功率因数较低 。
功率因数过低,会使供电设备的利用率降低,输电线路上的功率损失与电压损失增加 。 下面通过实例来说明这个问 。
例 2.11 某供电变压器额定电压 Ue=220V,额定电流 Ie
=100 A,视在功率 S=22kV·A。 现变压器对一批功率为 P=4kW,
cosφ=0.6 的电动机供电,问变压器能对几台电动机供电？ 若
cosφ 提高到 0.9,问变压器又能对几台电动机供电？
解 当 cosφ=0.6 时,每台电动机取用的电流为
AU PI 306.02 2 0 104c o s
3
因而可供电动机的台数为 Ie/I=100/30≈3.3,即可给 3 台电动机供电 。
若 cosφ =0.9,每台电动机取用的电流为
AU PI 209.0 104c o s
3
则可供电动机的台数为 Ie/I′=100/20=5 台 。
可见,当功率因数提高后,每台电动机取用的电流变小,
变压器可供电的电机台数增加,使变压器的容量得到充分的利用 。
例 2.12 某厂供电变压器至发电厂之间输电线的电阻是
5Ω,发电厂以 104 V的电压输送 500kW的功率 。 当 cos φ=0.6
时,问输电线上的功率损失是多大？ 若将功率因数提高到 0.9,
每年可节约多少电？
AU PI 836.010 105 0 0c o s 4
3
输电线上的功率损失为
kWrIP 5.34583 22损
cosφ =0.9时,输电线上的电流为
A
U
PI 6.55
9.010
105 0 0
c o s 4
3
输电线上的功率损失为
kWrIP 5.1556.55 22损一年共有 365× 24=8760 小时,当 cosφ从 0.6提高到 0.9后,
W=(P损 -P′损 )× 8760=(34.5-15.5)× 8760≈166 440kW·h即每年可节约用电 16.6万度 。
从以上两例可见,提高功率因数,可以充分利用供电设备的容量,而且可以减少输电线路上的损失 。 下面介绍提高功率因数的方法 。
二,感性负载和电容器的并联电路常用的提高功率因数的方法,是在感性负载两端并联容量合适的电容器 。 这种方法不会改变负载原有的工作状态,
但负载的无功功率从电容支路得到了补偿,从而提高了功率因数 。 感性负载和电容器的并联电路如图 2 - 22 所示图 2 -22感性负载和电容器的并联电路
u
i
R
L
C
i
C
图 2,2 2
i
1
由图 (2 - 22)可知
221 LXRZ
Z1支路电流为
22
1
1
LXR
U
Z
UI
i1滞后于总电压 u的电角为 电容 C支路的电流为 IC =,电路总电流为 I=I1+IC
,a r c c os
1
1 Z
R
CX
U
值得注意的是：由于相位不同,故总电流 I的有效值应从
I1和 IC的矢量和求得 。 根据电流矢量式画出该电路电流,电压矢量图如图 2 - 23 所示,并联电路取总电压为参考矢量 。
图 2 - 23电流,电压矢量图图 2,2 3
I
C
U
I
I
C
I
L
I
R
I
1
1
1
感性负载中的电流 I1可以分解成两个分量,中与电压同相的 IR称为有功分量 。 另一个滞后于电压 π/2电角的 IL 称为无功分量,它们的大小分别是：
IR=I1cosφ1,IL=I1 sinφ1
从矢量图求出总电流的有效值为
22 )(
CLR IIII
总电流与电压的相位差为
φ= arctan
R
CL
I
II?
根据矢量图,我们讨论以下几种情况：
(1) 当 IL＞ IC时,电路的总电流滞后于电压,此时电路呈感性；
(2) 当 IL＜ IC时,电路的总电流超前于电压,此时电路呈容性；
(3) 当 IL=IC时,电路的总电流与电压同相位,φ=0,此时电路呈电阻性 。 这种情况称为并联谐振 （ 或电流谐振 ） 。 并联谐振时,电路的阻抗最大,总电流最小 。
例 2.13 如图 2 - 22,已知电压 U=220V,电路频率 f=50Hz，
电动机取用功率 P=4kW,其功率因数 cosφ1=0.6,并入电容
C=220μF后,求总电流 I和电路功率因数 cosφ总 。
解 电动机支路的电流
AU PI 3.306.0220 4000c o s
1
1
8.0s i n,53,6.0c o s 111
电容支路电流
AfcU
fc
U
X
UI
C
C 8.13102005022202
2
1
6
由图 2 - 23 的矢量图,总电流为
AIIII C 21)8.132.24(2.18)s i n()c o s( 2221121
电路功率因数
8 6 6.0
21
6.03.30c o sc o s 11
I
I
总
2.7
目前,电能的产生,输送和分配,基本都采用三相交流电路 。 三相交流电路就是由三个频率相同,最大值相等,相位上互差 120° 电角的正弦电动势组成的电路 。 这样的三个电动势称为三相对称电动势 。
广泛应用三相交流电路的原因,是因为它具有以下优点：
(1) 在相同体积下,三相发电机输出功率比单相发电机大；
(2) 在输送功率相等,电压相同,输电距离和线路损耗都相同的情况下,三相制输电比单相输电节省输电线材料,输电成本低；
(3) 与单相电动机相比,三相电动机结构简单,价格低廉,
性能良好,维护使用方便 。
一,三相交流电动势的产生如图 2 - 24 所示,在三相交流发电机中,定子上嵌有三个具有相同匝数和尺寸的绕组 AX,BY,CZ。 其中 A,B,C分别为三个绕组的首端,X,Y,Z分别为绕组的末端 。 绕组在空间的位置彼此相差 120° （ 两极电机 ） 。
当转子磁场在空间按正弦规律分布,转子恒速旋转时,
三相绕组中将感应出三相正弦电动势 eA,eB,eC,分别称作
A相电动势,B相电动势和 C相电动势 。 它们的频率相同,振幅相等,相位上互差 120° 电角 。
规定三相电动势的正方向是从绕组的末端指向首端。 三相电动势的瞬时值为图 2 - 24三相发电机原理
C
Y
A
X
N
S
B
Z
图 2,2 4
eA=Emsinωt
eB=Emsin(ωt-120° )
eC=Emsin(ωt-240° )
=Emsin(ωt+120° )
波形图,矢量图分别如图 2 - 25(a),(b)所示 。 任一瞬时,三相对称电动势之和为零,
eA+eB+eC=0
图 2 - 25三相对称电动势的波形图,矢量图
e
E
m
e
A
e
B
e
C
180 360 t /( ° )
－ E
m
( a )
120 °
120 °
120 °
E
B
E
A
E
C
( b )
图 2,2 5
二,
三相发电机的三个绕组连接方式有两种,一种叫星形
（ Y） 接法,另一种叫三角形 （ △ ） 接法 。
1,星形 （ Y） 接法若将电源的三个绕组末端 X,Y,Z连在一点 O,而将三个首端作为输出端,如图 2 - 26 所示,则这种连接方式称为星形接法 。
在星形接法中,末端的连接点称作中点,中点的引出线称为中线 （ 或零线 ）,三绕组首端的引出线称作端线或相线
（ 俗称火线 ） 。 这种从电源引出四根线的供电方式称为三相四线制 。
在三相四线制中,端线与中线之间的电压 uA,uB,uC称为相电压,它们的有效值用 UA,UB,UC或 U相表示 。 当忽略电源内阻抗时,UA=EA,UB=EB,UC=EC,且相位上互差 120°
电角,所以三相相电压是对称的 。 规定 U相的正方向是从端线指向中线 。
在三相四线制中,任意两根相线之间的电压 uAB,uBC,uCA
作线电压,其有效值用 UAB,UBC,UCA或 U线表示,规定正方向由脚标字母的先后顺序标明 。 例如,线电压 UAB的正方向是由 A指向 B,书写时顺序不能颠倒,否则相位上相差 180° 。
从接线图 2 - 26 中可得出线电压和相电压之间的关系,其对应的矢量式为：
图 2 - 26三相电源的星形接法
u
A
u
C
u
B
e
C
OX
Y
Z
e
B
A
C
B
A
O
B
C
e
A
u
BC
u
AB
u
CA
图 2,2 6
UAB=2UA cos30° =3UA
UBC=3UB
UCA=3UC
或相线 UU 3?
式中,U线 ——
U相 ——三相对称电源相电压 。 从矢量图还可得出,三个线电压在相位上互差 120°,故线电压也是对称的 。
星形连接的三相电源,有时只引出三根端线,不引出中线 。 这种供电方式称作三相三线制 。 它只能提供线电压,主要在高压输电时采用 。
例 2.14 已知三相交流电源相电压 U相 =220V,求线电压 U
线 。
解 线电压
=3× 220≈380 V
由此可见,我们平日所用的 220 V 电压是指相电压,
即火线和中线之间的电压,380V电压是指火线和火线之间的电压,即线电压 。 所以,三相四线制供电方式可给我们提供两种电压 。
2,三相电源的三角形连接 (△ )接法除了星形连接以外,电源的三个绕组还可以连接成三角形。
相线 UU 3?
即把一相绕组的首端与另一相绕组的末端依次连接,
再从三个接点处分别引出端线,如图 2 - 28 所示 。 按这种接法,在三相绕组闭合回路中,有
eA+eB+eC=0
所以回路中无环路电流 。 若有一相绕组首末端接错,则在三相绕组中将产生很大环流,致使发电机烧毁 。
发电机绕组很少用三角形接法,但作为三相电源用的三相变压器绕组,星形和三角形两种接法都会用到 。
图 2 - 28三相电源的三角形连接图 2,2 8
e
C
e
B
C
( Y )
e
A
A
( Z )
A
B
C
u
BC
u
AB
u
CA
B
( X )
2.8三相负载的连接一,单相负载和三相负载用电器按其对供电电源的要求,可分为单相负载和三相负载 。 工作时只需单相电源供电的用电器称为单相负载,例如照明灯,电视机,小功率电热器,电冰箱等 。
需要三相电源供电才能正常工作的电器称为三相负载,
例如三相异步电动机等 。
若每相负载的电阻相等,电抗相等而且性质相同的相负载称为三相对称负载,即,ZA=ZB=ZC,RA=RB=RC,
XA=XB=XC。 否则称为三相不对称负载 。
三相负载的连接方式也有两种,即星形连接和三角形连接。
二,三相负载的星形连接三相负载的星形连接如图 2 - 29 所示,每相负载的末端
x,y,z接在一点 O′,并与电源中线相连；负载的另外三个端点 a,b,c分别和三根相线 A,B,C相连 。
在星接的三相四线制中,我们把每相负载中的电流叫相电流 I线,每根相线 （ 火线 ） 上的电流叫线电流 I相 。 从如图 2
- 29 所示的三相负载星形连接图可以看出,三相负载星形连接时的特点是,① 各相负载承受的电压为对称电源的相电压；
② 线电流 I线等于负载相电流 I线 。 下面讨论各相负载中电流,
功率的计算 。
图 2 -29三相负载的星形接法
O
图 2,2 9
A
u
A
i
A
i
0
C
a
Z
a
i
C
i
B
B
u
C
u
B
b
c
Z
c
Z
b
O ′ ( x,y,z )
1,三相不对称负载的星形连接已知三相负载：
222222,,
CCcbbbaaa XRZXRZXRZ
则每相负载中的电流有效值为
aaa
a
a Z
U
Z
U
Z
UI
3
线相
baa
a
Z
U
Z
U
Z
UI
3
线相
CCC
C
C Z
U
Z
U
Z
UI
3
线相
b
各相负载的电流和电压的相位差为
φa= arccos
φb= arccos
φc= arccos
a
a
Z
R
b
b
Z
R
C
C
Z
R
中线电流的有效值应从三相电流的矢量和求得,即
I0=Ia+Ib+Ic (2 - 42)
例 2.15如图 2- 30 所示的三相对称电源,U相 =220V，
将三盏额定电压 UN=220V的白炽灯分别接入 A,B,C相,
已知白炽灯的功率 Pa=Pb=P=60 W,Pc=200 W，
(1) 求各相电流及中线电流；
(2) 分析 B相断路后各灯工作情况；
(3) 分析 B相断开,中线也断开时的各灯情况 。
（ 1） 各相电流：
AupII ba 27.0
图 2-30 例 2·15电路接线
A
i
A
i
0
O
C
i
C
B
i
B
O ′
图 2,3 0
且分别与 uA,uB同相位 。
AUPI CC 9.0220200
与 uC同相位 。 电压,电流的矢量图如图 2 - 31 所示 。
根据矢量图可得中线电流为
I0=0.9-0.27=0.63A
(2) B相断开,则 Ib=0,B灯不亮 ;A灯两端电压和 C灯两端电压仍是对称电源相电压,故 A灯,B灯正常工作 。
（ 3） B相断开且中线也断开时 （ 如图 2 - 32）,A灯和 C
灯之间串联,共同承受三相电源的线电压 380V。 因为各灯的电阻为图 2 -31例 2.15 矢量图
U
B
U
A
U
C
I
C
I
A
I
B
图 2,3 1
80760220
22
A
A P
UR 2 4 2
2 0 0
2 2 0 22
C
C P
UR
利用分压关系可计算出 60W的 A灯两端电压是 292 V,大于额定电压； 200 W的 C灯两 端电压是 88 V,小于额定电压,
故两灯都不能正常工作 。
上述例题说明：三相四线制供电时,中线的作用是很大的,中线使三相负载成为三个互不影响的独立回路,甚至在某一相发生故障时,其余两相仍能正常工作 。
为了保证负载正常工作,规定中线上不能安装开关和熔丝,而且中线本身的机械强度要好,接头处必须连接牢固,
以防断开 。
R
X
Z
U
Z
U m
3
线?
2,三相对称负载的星形接法三相对称负载为
ZA=ZB=ZC=Z,φa=φb=φc= arctan
且各相负载性质相同 。
将三相对称负载在三相对称电源上作星形连接时,三个相电流对称,中线电流为零,
Ia=Ib=Ic =
I0=Ia+Ib+Ic=0
在这种情况下,中线存在与否对系统工作没有影响 。
三,三相对称负载的三角形连接三相对称负载也可以接成如图 2- 33（ a） 的三角形连接 。 这时,加在每相负载上的电压是对称电源的线电压 。
因为各相负载对称,故各相电流也对称,相电流为
Iab=Ibc=Ica=
Z
U线每相电压,电流的相位差为
φa=φb=φc=
X
R
任一端线上的线电流,按基尔霍夫电流定律,写出矢量式：
IA=Iab-Ica
IB=Ibc-Iab
IC=Ica-Ibc
作出线电流,相电流的矢量图如图 2 - 33（ b） 所示,从
I线 = I△ 相 (2 - 45)
四,三相电功率三相负载的功率,就等于三个单相负载的功率之和,即
P=Pa+Pb+Pc
=UAIacosφa+UBIb cosφb+UCIc cosφc
3
图 2 – 33 三相对称负载的三角形连接及矢量图图 2,3 3
i
A
i
C
i
B
A
B
C
i
bc
Z
b
Z
aZ
c
i
ab
i
ca
( a )
U
AB
I
ca
I
A － I
ca
U
BC
I
bc
I
C
I
B
－ I
ab
U
CA
－ I
bc
I
ab
( b )
三相对称负载的三相总功率
P=3U相 I相 cosφ相 (2 - 46)
在三相对称负载的星形接法中,
I线 =I相,U线 = U相在三相对称负载的三角形接法中,
U线 =U相,I线 = I相所以三相负载的三相总功率还可写成：
P=3U线 I线 cosφ相
3
3
式中：
U线 ——
I线 ——
cosφ相 ——每相负载的功率因数。
2.1 正弦交流电的基本概念
2.2 同频率正弦量的相加和相减
2.3 交流电路中的电阻,电容与电感
2.4 电阻,电感的串联电路
2.5 电阻,电感,电容串联电路及串联谐振
2.6 感性负载和电容器的并联电路 ——功率因数的补偿
2.7 三相交流电路
2.8 三相负载的连接 返回主目录第 2 章正弦交流电路
2.1正弦交流电的基本概念其大小和方向都随时间作周期性变化的电动势,电压和电流统称为交流电。在交流电作用下的电路称为交流电路。
在电力系统中，考虑到传输、分配和应用电能方面的便利性、经济性，大都采用交流电。工程上应用的交流电，一般是随时间按正弦规律变化的，称为正弦交流电,简称交流电。
获得交流电的方法有多种，但大多数交流电是由交流发电机产生的。
图 2 - 1（ a）为一最简单的交流发电机,标有 N,S的为两个静止磁极。 磁极间放置一个可以绕轴旋转的铁心,铁心上绕有线圈 a,b,b′,a′，线圈两端分别与两个铜质滑环相连。
滑环经过电刷与外电路相连。
为了获得正弦交变电动势,适当设计磁极形状,使得空气隙中的磁感应强度 B在 O - O′平面 （即磁极的分界面，称中性面）处为零，在磁极中心处最大（ B=Bm），沿着铁心的表面按正弦规律分布（图 2 - 1(b)）。若用 α表示气隙中某点和轴图 2 - 1交流发电机图 2,1
b
b ′
e
a
l
S
N
a ′
S
N
O
O ′
e
( a ) ( b )
B=Bm sinα
当铁心以角速度 ω旋转时,线圈绕组切割磁力线,产生
e= BLv (2 - 1)
式中,e——绕组中的感应电动势（ V
B——磁感应强度 (T(特［斯拉］ ),1 T=1 Wb/m2) ；
l——绕组的有效长度（ m
v——绕组切割磁力线的速度（ m/s
假定计时开始时,绕组所在位置与中性面的夹角为 φ0，
经 t秒后，它们之间的夹角则变为 α=ωt+φ0，对应绕组切割磁场的磁感应强度为
B=Bmsinα=Bmsin（ ωt+φ0）
2 - 1）就得到绕组中感应电动势随时间变化的规律,即
e=Blv=Bmsin（ ωt+φ0） ·lv
或 e=Emsin（ ωt+φ0） (2 - 2)
式中 Em =Bm lv,称作感应电动势最大值。当线圈 ab边转到 N
极中心时，绕组中感应电动势最大，为 Em；线圈再转 180°,
ab边对准 S极中心时，绕组中感应电动势为 -Em 。
二、表示正弦交流电特征的物理量如图 2 -1 所示的发电机，当转子以等速旋转时,绕组中感应出的正弦交变电动势的波形如图 2 - 2 所示。图中横轴表示时间，纵轴表示电动势大小。图形反映出感生电动势在转子旋转过程中随时间变化的规律。下面介绍图 2 - 2
所示正弦交流电的物理量。
1,周期,频率,角频率当发电机转子转一周时,转子绕组中的正弦交变电动势也就变化一周。 我们把正弦交流电变化一周所需的时间叫周期,用 T表示。 周期的单位是 s(秒 )
1 秒钟内交流电变化的周数,称为交流电的频率，用 f
表示,
Tf
1?
图 2 - 2正弦交流波形图图 2,2
E
m
e
O t
T
频率的单位是 Hz(赫［兹］ )。 1Hz=1s-1
正弦量的变化规律用角度描述是很方便的。 如图 2 - 2
所示的正弦电动势，每一时刻的值都可与一个角度相对应。
如果横轴用角度刻度，当角度变到 π/2时，电动势达到最大值，
当角度变到 π时，电动势变为零值（图 2 - 3）。这个角度不表示任何空间角度，只是用来描述正弦交流电的变化规律，
所以把这种角度叫电角度。
每秒钟经过的电角度叫角频率,用 ω表示。 式 (2 - 2)中的 ω即是角频率。角频率与频率,周期之间,显然有如下的关系,2
T
π2w πf
图 2- 3用电角度表示正弦交流电
E
m
e
O
t
2?
e = E
m
s i n ( t+)
图 2,3
2,瞬时值,最大值,有效值瞬时值,交流电在变化过程中,每一时刻的值都不同，
该值称为瞬时值。瞬时值是时间的函数，只有具体指出在哪一时刻，才能求出确切的数值和方向。瞬时值规定用小写字母表示。例如图 2 - 3
e=Em sin(ωt+φ0)
最大值,正弦交流电波形图上的最大幅值便是交流电的最大值（图 2 - 3）。它表示在一周内,数值最大的瞬时值。 最大值规定用大写字母加脚标 m表示，例如 Im,Em、
Um等。
有效值,正弦交流电的瞬时值是随时间变化的,计量时用正弦交流电的有效值来表示。交流电表的指示值和交流电器上标示的电流,电压数值一般都是有效值。
交变电流的有效值是指在热效应方面和它相当的直流电的数值。即在相同的电阻中，分别通入直流电和交流电，在经过一个交流周期时间内，如果它们在电阻上产生的热量相等，则用此直流电的数值表示交流电的有效值（图 2 - 4）。有效值规定用大写字母表示，例如 E,I,U。按上述定义，应有
R d tiRTI T
0
22
T
dti
T
I
0
21
对于正弦交流电
i=Im sinωt
图 2 -4交流电的有效值
i
R
I
R
通电时间相等图 2,4
或可见,正弦交流电的有效值是最大值的 倍。 对正弦交流电动势和电压亦有同样的关系,2
1
dtwtC O S
T
Iw t d tI
T
I
T Tm
m )21(2
1s i n1
0 0
2
2
m
mm III 707.0
22
2
II m 2?
EE m 2?
UU m 2?
3,
1）
正弦交变电动势 e=Em sin(ωt+φ0)，它的瞬时值随着电度
(ωt+φ0)而变化。电角度 (ωt+φ0)叫做正弦交流电的相位。 例如图 2 - 5（ a）所示的发电机，若在电机铁心上放置两个夹角为
φ0、匝数相同的线圈 AX和 BY,当转子如图示方向转动时，这两个线圈中的感生电动势分别是：
wtEe mA s in?
)φs in ( 0 wtEe mB
图 2 - 5不同相的两电势
e
A
O
2?
e
B
e
t
图 2,5
B
A
Z
Y
S
N
( a ) ( b )
这两个正弦交变电动势的最大值相同,频率相同,但相位不同,eA的相位是 ωt,eB的相位是（ ωt+φ0），见图 2 -(5b)。
2）
当 t=0 时的相位叫初相。 以上述 eA,eB为例,eA的初相是
0,eB的初相是 φ0
3）
两个同频率的正弦交流电的相位之差叫相位差。 相位差表示两正弦量到达最大值的先后差距。
例如,已知
)φs i n (),φs i n ( 22211 wtIiwtIi mm
则 i1和 i2的相位差为
φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2
这表明两个同频率的正弦交流电的相位差等于初相之差。
若两个同频率的正弦交流电的相位差 φ1-φ2＞ 0,称,i1超前于 i2”; 若 φ1-φ2＜ 0,称,i1滞后于 i2”；若 φ1-φ2=0，称,i1和 i2
同相位”；若相位差 φ1-φ2=± 180°,则称,i1和 i2反相位”。
必须指出，在比较两个正弦交流电之间的相位时,两正弦量一定要同频率才有意义。否则随时间不同，两正弦量之间的相位差是一个变量，这就没有意义了。
综上所述，正弦交流电的最大值,频率和初相叫做正弦交流电的三要素。 三要素描述了正弦交流电的大小,变化快慢和起始状态。
当三要素决定后,就可以唯一地确定一个正弦交流电了。
例 2.1 如图 2 - 6 所示的正弦交流电,写出它们的瞬时解 i1,i2,i3瞬时值为
i1=5sinωt A
i2=7.5sin (ωt+ ) A
i3=7.5sin（ ωt- ) A
6
π
2
π
例 2.2 已知正弦交流电：
i1=5 sinωt A
i2=10 sin(ωt+45° ) A
i3=50 sin(3ωt-45° ) A
图 2- 6正弦交流电波形图图 2,6
i
i
2
i
3
i
1
7,5
5
6
t
求,i1和 i2相位差,i2和 i3相位差。 i2,i3频率不同，相位差无意义。 i1和 i2
φ1,2=ωt-(ωt+45° )=-45°
表明 i1滞后于 i2 45° 电角。
2.2
同频率正弦量相加、减，可以用解析式的方法,还可以用波形图逐点描绘的方法，但这两种方法都不简便。所以，
要计算几个同频率的正弦量的相加、相减，常用旋转矢量的正弦量的旋转矢量表示法用旋转矢量表示正弦交流电的方法是：在直角坐标系中画一个旋转矢量，规定用该矢量的长度表示正弦交流电的最大值，该矢量与横轴的正向的夹角表示正弦交流电的初相，矢量以角速度 ω按逆时针旋转，旋转的角速度也就表示正弦交流电的角频率。
例 2.3 已知,i1=7.5sin(ωt+30° ) A,i2=5sin(ωt+90° ) A,
i3=5sinω A,i4=10sin(ωt-120° ) A，画出表示以上正弦交流电的旋转矢量。
解 如图 2 - 7 所示，用旋转矢量 1m,I2m,I3m,I4m分别表示正弦交流电 i1,i2,i3和 i4
I1m=7.5 A,I2m=5 A,
I3m=5A,I4m=10 A
应当注意,只有当正弦交流电的频率相同时,表示这些图 2 -7用旋转矢量表示正弦交流电
O
I
3m
I
2m
I
1m
30°
12 0 °
X
I
4m
图 2,7
Y
二、同频率正弦量的加、
1,同频率正弦量加,减的一般步骤几个同频率正弦量加、
（ 1） 在直角坐标系中画出代表这些正弦量的旋转矢量；
（ 2） 分别求出这几个旋转矢量在横轴上的投影之和及在纵轴上的投影之和；
（ 3） 求合成矢量；
（ 4） 根据合成矢量写出计算结果。
例 2.4 已知 i1=2sin(ωt+30° ) A,i2=4 sin(ωt-45° )A,
求 i=i1+i2
解 画 i1,i2的旋转矢量图 I1m,I2m（图 2 - 8),求得图 2 -8例 2.4 图
O X
y
y
1
y
y
2
x
1
x
2
x30°
45°
I
1m
I
2m
I
m
图 2,8
Ox=Ox1+Ox2=2 cos30° +4cos45° = ≈4.66
Oy=Oy1-Oy2=2 sin30° -4sin45° = ≈-1.828
223?
221?
506.2534.372.2122 oyoxI m
- 2 1,4 3 9 2 2.0a r c t a n66.4 8 2 8.1a r c t a noxoya r c t a nφ
得
i=i1+i2=5sin(ωt-21.4° ) A
2,正弦量加,减的简便方法可以证明,几个同频率的正弦量相加,相减,其结果还是一个相同频率的正弦量。所以，在画旋转矢量图时，可以略去直角坐标系及旋转角速度 ω，只要选其中一个正弦量为参考量,将其矢量图画在任意方向上（一般画在水平位置上），其它正弦量仅按它们和参考量的相位关系画出,便可直接按矢量计算法进行。
另外，由于交流电路中通常只计算有效值,而不计算瞬时值，因而计算过程更简单。
例 2.5 已知 i1=2 sin(ωt+30° ) A,i2=4 sin(ωt-45° ) A,
求 i=i1+i2
解 相位差 φ1,2=30° -(-45° )=75°,
且 i1超前于 i2 75° 。以 i1为参考量，画矢量图 (图 2- 9)。
根据矢量图求 Im=I1m+I2m。用余弦定理得
=4+16-16 cos(90° +15° )
=20+16sin15° ≈24.14
所以 Im= ≈4.91 A 。
°10 5c o s2 212212 mmmmm IIIII
14.24
图 2 - 9正弦电流相加
I
1m
图 2,9
75°
I
2m
I
m
例 2.6 已知 u1=220 sin (ωt+90° ) V,2=220 sin (ωt-
30° ) V，求 u=u1-u2
解 设参考量为 u1=220 sin(ωt+90° ),矢量式为 U=U1+(-
U2),画有效值矢量图（图 2 - 10）。根据余弦定理,从矢量图
U2= -2U1U2 cos120
=2202+2202+2× 220× 220× sin 30° =145 200
U≈381 V
由矢量图还可得出,U和 U1的夹角为 30°,表明 u超前于
u130°,虑 u1的初相是 90°,故可得 u=381 sin(ωt+120° ) V
2 2
2
2221 UU?
2
2.3交流电路中的电阻,电容与电感直流电流的大小与方向不随时间变化，而交流电流的大小和方向则随时间不断变化。因此，在交流电路中出现的一些现象,与直流电路中的现象不完全相同。
电容器接入直流电路时,电容器被充电,充电结束后，
电路处在断路状态。但在交流电路中，由于电压是交变的，
因而电容器时而充电时而放电，电路中出现了交变电流，使电路处在导通状态。
电感线圈在直流电路中相当于导线。但在交流电路中由于电流是交变的，所以线圈中有自感电动势产生。
电阻在直流电路与交流电路中作用相同,起着限制电流的作用，并把取用的电能转换成热能。
由于交流电路中电流、电压、电动势的大小和方向随时间变化，因而分析和计算交流电路时，必须在电路中给电流、
电压、电动势标定一个正方向。同一电路中电压和电流的正方向应标定一致（如图 2 - 11）。若在某一瞬时电流为正值，
则表示此时电流的实际方向与标定方向一致； 反之,当电流图 2 - 11交流电方向的设定
i R
u
图 2,1 1
一、纯电阻电路
1,电阻电路中的电流将电阻 R接入如图 2 - 12（ a）所示的交流电路,设交流电压为 u=Umsinωt,则 R中电流的瞬时值为
wt
R
U
R
ui m s in
这表明,在正弦电压作用下,电阻中通过的电流是一个相同频率的正弦电流，而且与电阻两端电压同相位。画出矢量图如图 2 - 12(b)
电流最大值为图 2-12纯电阻电路
i
R
u
( a )
U
I
( b )
图 2,1 2
O
y
x
i
u
p
( c )
R
UI m
m?电流有效值为
R
U
R
UI m
2
2,
1）
电阻在任一瞬时取用的功率，称为瞬功率，按下式计算：
p=ui=UmIm sin2ωt (2 - 10)
p≥0,表明电阻任一时刻都在向电源取用功率,起负载作用。
i,u,p的波形图如图 2 - 12( c )
2）
由于瞬时功率是随时间变化的,为便于计算,常用平均功率来计算交流电路中的功率。平均功率为
2s i n
11
0
2
0
mmT
mm
T IUw t d tIU
tP d tTP
RIUIIUp mm 22
这表明,平均功率等于电压,电流有效值的乘积。 平均功率的单位是 W(瓦［特］ )。通常，白炽灯、电炉等电器所组例 2.7 已知电阻 R=440Ω，将其接在电压 U=220 V的交流电路上，试求电流 I和功率 P。
解 电流为
ARUI 5.0440220
P=UI=220× 0.5=110W
二、纯电感电路一个线圈，当它的电阻小到可以忽略不计时,就可以看成是一个纯电感。 纯电感电路如图 2 - 13（ a）所示,L为线圈的电感。
1,电感的电压设 L中流过的电流为 i=Im sinωt，
L上的自感电动势 eL=-Ldi/dt,由图示标定的方向,电压瞬时值为
)2πs i n (c o s wtw L Iwtw L IdtdiLeU mmLL
)2πs in ( wtw L IU mL
这表明,纯电感电路中通过正弦电流时,电感两端电压也以同频率的正弦规律变化,而且在相位上超前于电流 π/2电角。
纯电感电路的矢量图如图 2 - 13（ b）所示。
(2 - 12)
图 2- 13纯电感电路
i
L
L
u
L
e
L
( a )
E
L
I
U
L
( b )
图 2,1 3
2?
t?
u
L
i
p
0
e
L
( c )
p,u,i,e
电压最大值为
ULm=ωLIm (2 - 13)
电压有效值为
UL=ωLI (2 - 14)
2,电感的感抗从式 (2 -14)
XL= =ωL=2πfL (2 - 15)
XL称感抗，单位是 Ω。与电阻相似，感抗在交流电路中也起阻碍电流的作用。这种阻碍作用与频率有关。当 L一定时，
频率越高，感抗越大。在直流电路中，因频率 f=0，其感抗也等于零。
I
UL
wtwtIUwtIwtUuip mmmm s i n.c o ss i n).
2
π
s i n (
wtUIIU wtmm 2s in2s in21
纯电感电路的瞬时功率 p,电压 u,电流 i的波形图见图 2 -
13 （ c）。 从波形图看出：第 1,3个 T/4期间,p≥0,表示线圈从电源处吸收能量；在第 2,4个 T/4期间,p≤0,表示线圈向电路释放能量。
2） 平均功率（有功功率） P瞬时功率表明，在电流的一个周期内,电感与电源进行两次能量交换,交换功率的平均值为零，即纯电感电路的平均功率为零。
01
0
TP d tTp
式（ 2 -16）说明,纯电感线圈在电路中不消耗有功功率，
它是一种储存电能的元件。
3） 无功功率 Q
纯电感线圈和电源之间进行能量交换的最大速率,称为纯电感电路的无功功率。用 Q表示。
QL=ULI=I2XL (2 - 17)
无功功率的单位是 V·A(在电力系统，惯用单位为乏 (var))。
例 2.8 一个线圈电阻很小,可略去不计。电感 L=35
m H。求该线圈在 50Hz和 1000 Hz的交流电路中的感抗各为多少。若接在 U=220V,f=50Hz的交流电路中，电流 I、有功功率 P、
无功功率 Q
解 （ 1） f=50Hz时，
XL=2πfL=2π× 50× 35× 10-3 ≈11 Ω
f=1000Hz时，
XL= 2πfL=2π× 1000× 35× 10-3≈220 Ω
（ 2） 当 U=220V,f=50 Hz时，
电流 I=
有功功率 P=0
无功功率 QL=UI=220× 20=4400V·A
AXU
L
2011220
图 2-14（ a 表示仅含电容的交流电路,称为纯电容电路。
设电容器 C两端加上电压 u=Um sinωt。 由于电压的大小和方向随时间变化,使电容器极板上的电荷量也随之变化，电容器图 2 - 14纯电容电路
i
C
u
C
C
( a )
I
C
U
C
( b )
图 2,1 4
0 t
p
u
C
i
C
( c )
1,
1) 瞬时值
wt
dt
duc
dt
dqi c
)
2
πs in ( wtw c U
m
)2πs in ( wtI m
这表明,纯电容电路中通过的正弦电流比加在它两端的正弦电压导前 π/2电角，如图 2 - 14(b)所示。 纯电容电路电压,电流波形图如图 2 - 14(c）所示。
2） 最大值
C
mm
mm
X
U
wc
U
wc UI
1
有效值
CX
U
WC
U
wc
U
wCUI
11
容抗
2fc
11
wcXC
式中,XC Ω 。
3,功率
1) 瞬时功率
p=ui=UmIm sinωt cosωt
= UmIm sin2ωt=UI sin2ωt (2 - 22)
2） 平均功率这表明,纯电容电路瞬时功率波形与电感电路的相似，以电路频率的 2倍按正弦规律变化。电容器也是储能元件,当电容器充电时，它从电源吸收能量；当电容器放电时则将能量送回电源（图 2 - 14(c) ）。
3） QC=UCI=I2XC
T pdtTp 0 01
2.4电阻、电感的串联电路在图 2-15 所示的 R,L串联电路中，设流过电流 i=Im sinωt，
则电阻 R上的电压瞬时值为
uR=ImR sinωt=URmsinωt
根据式（ 2 - 12）可知电感 L上的电压瞬时值为
)
2
πs i n ()
2
πs i n ( wtuwtxIu
mLmL
总电压 u的瞬时值为 u=uR+uL。画出该电路电流和各段电压的矢量图如图 2 - 16 所示。
图 2- 15R,L串联电路
u
R L
u
R
u
L
i
图 2,1 5
图 2 - 16R,L串联电路的电流和电压矢量图
U
L
U
R
U
I
图 2,1 6
因为通过串联电路各元件的电流是相等的,所以在画矢量图时通常把电流矢量画在水平方向上，作为参考矢量。电阻上的电压与电流同相位，故矢量 UR与 I同方向；感抗两端电压导前于电流 π/2电角，故矢量 UL与 I垂直。 R与 L的合成矢量便是总电压 U的矢量。
电压有效值,电压三角形从电压矢量图可以看出，电阻上电压矢量、电感上电压矢量与总电压的矢量，恰好组成一个直角三角形，此直角三角形叫作电压三角形（图 2 - 17( a
)）。从电压三角形可求出总电压有效值为
222222 )()( LLLR XRIIXIRUUU
图 2 - 17电压,阻抗,功率三角形
U
L
U
R
U
X
L
R
Z
Q
P
S
图 2,1 7
( a )
( b ) ( c )
三,阻抗,阻抗三角形和欧姆定律对比,式 （ 2 - 25） 可写成
Z
U
XR
UI
L
22
式中
22
LXRZ
我们把 Z称为电路的阻抗,它表示 R,L串联电路对电流的总阻力 。 阻抗的单位是 Ω。
电阻,感抗,阻抗三者之间也符合一个直角三角形三边之间的关系,如图 2 - 17（ b） 所示,该三角形称阻抗三角形 。
注意这个三角形不能用矢量表示 。
电流与总电压之间的相位差可从下式求得：
φ= arctan
φ= arctan
R
X a r c t a n L?
R
L
U
U
Z
R
U
U R a r c c o s?
式 （ 2 - 28） 说明,φ角的大小取决于电路的电阻 R和感抗 XL的大小,而与电流电压的量值无关 。
四,功率,功率三角形
1,有功功率 P
在交流电路中,电阻消耗的功率叫有功功率 。
P=I2R=URI=UIcosφ (2 - 29)
式中,cosφ称为电路功率因数,它是交流电路运行状态的重要数据之一 。 电路功率因数的大小由负载性质决定 。
2,无功功率 Q
Q=I2XL=ULI=Uisinφ (2 - 30)
无功功率的物理意义见 2.3节 。
3,视在功率 S
总电压 U和电流 I的乘积叫电路的视在功率 。
S=UI=I2Z (2 - 31)
视在功率的单位是 V·A(伏安 ）,或 kV·A(千伏安 ） 。
在功率表示电器设备 （ 例发电机,变压器等 ） 的容量 。 根据视在功率的表示式,式 （ 2 - 29） 和 （ 2 - 30） 还可写成
P=Scosφ,Q=Ssinφ
可见,S,P,Q之间的关系也符合一个直角三角形三边的关系,
S=
由 S,P,Q组成的这个三角形叫功率三角形 （ 图 2 - 17( c
)）,该三角形可看成是电压三角形各边同乘以电流 I得到 。
与阻抗三角形一样,功率三角形也不应画成矢量,因 S,P、
Q都不是正弦量 。
22 QP?
例 2.9 把电阻 R= 60Ω,电感 L=255mH的线圈,接入频率 f=50Hz,电压 U=110V的交流电路中,分别求出 XL,I,U
L,UR,cosφ,P,S。
解感抗 XL=2πfL=2π× 50× 255× 10-3≈80 Ω
阻抗 Z= Ω
电流 I= = =1.1 A
电阻两端电压 UR=IR=1.1× 60=66 V
1008060 2222 LXR
Z
U 100
110
电感两端电压 UL=IXL=1.1× 80=88 V
回路功率因数 cosφ= = 0.6
有功功率 P=UIcosφ=110× 1.1× 0.6=72.6W
视在功率 S=UI=110× 1.1=121V·A
例 2.10 如图 2 - 18 所示电路,已知 U=220 V,I=2A,
R1=50 C,电路的有功功率 P=400W,求 R2,XL,U2,cosφBC，
cosφ总,并绘出电路电流,电压矢量图 。
解
P=I2（ R1+R2）
所以 R2= -R1= =50
Z
R 10060
2I
P 50
4
400?
电路总阻抗 Z = Ω
感抗 XL= Ω
电路总功率数 cosφ总
BC段阻抗 Ω
BC段电压 U2=IZ2=2× 67.8≈135V
BC段功率因数 cosφBC
1 1 022 2 0IU
8.4510 011 0)( 222212 RRZ
91.01 1 01 0 021 Z RR
8.678.4550 222222 LXRZ
7 3 7.0
8.67
50
2
2
Z
R
电流和电压的矢量图如图 2 -19
图 2 - 18例 2.10电路
u
R
1
L
i
图 2,1 8
A
u
2
R
2
B
C
图 2- 19电流,电压矢量图图 2,1 9
U
U
2
U L
I
U R2U
R1
2.5电阻,电感,电容串联电路及串联谐振电路分析
R,L,C三种元件组成的串联电路如图 2 - 20 所示 。 若电路中流过正弦电流
wtIi s in2?
则各元件上对应的电压有效值为：
UR=IR,UL=IXL,UC=IXC
总电压的有效值矢量应为各段电压有效值矢量之和：
U=UR+UL+UC
图 2- 20R,L,C串联电路
u
i R
u
R
L
C
u
L
u
C
图 2,2 0
且 UR与电流 I同相,UL超前于 I90°,UC滞后于 I90°,
电压,电流矢量图如图 2 - 21 所示 。
从矢量图可得总电压有效值为
IZXXRIUUU CLCLR 2222 )()(
式 (2 - 33)中,
2222 )( XRXXRZ CL
称为电路阻抗,X=XL-XC称为电路的电抗 。 阻抗和电抗的单位都是 Ω。
电路中总电压和电流的相位差为
φ=arctan
R
XX
U
UU CL
R
CL a r c t a n
从式（ 2 - 33）可以看出：
图 2- 21R,L,C串联电路电流,电压矢量图
I
U
R
U
U
C
U
L
I
U
R
U
C
U
L
U
L
U
C
U
R
I
U
( a ) ( b ) ( c )
图 2,2 1
当 XL>XC时,φ>0,总电压超前于电流 (图 2 - 21(a)),电路属感性电路；
当 XL<XC时,φ<0,总电压滞后于电流 (图 2 - 21(b)),电路属容性电路；
当 XL=XC时,φ=0,总电压和电流同相位 (图 2- 21(c)),电路属阻性电路,这种现象称为谐振 。
二,串联谐振
1.
如上所述,在 R,L,C串联电路中,当 XL=XC时,电路中总电压和电流同相位,这时电路中产生谐振现象,所以,
XL=XC便是电路产生谐振的条件 。
因为 XL=XC,又知 XL=2πfL(见式 (2 - 15))，
XC= (见式 (2 - 21)),故
FC?2
1
cf
Lf
0
0 2
12
2,串联谐振时的电路特点
(1) 总电压和电流同相位,电路呈电阻性 。
(2) 串联谐振时电路阻抗最小,电路中电流最大 。 串联谐振时电路阻抗为
RXXRz CL 20 )(2
串联谐振时的电流为
R
U
Z
UI
0
0
(3) 串联谐振时,电感两端电压,电容两端电压可以比总电压大许多倍 。 电感电压为
QUURXIXU CCL
电容电压为
QUURXIXU CCC
可见,谐振时电感（或电容）两端的电压是总电压的 Q
倍,Q称为电路的品质因数。
CRwR
Lw
R
X
R
XQ CL
0
0 1
在电子电路中经常用到串联谐振,例如某些收音机的接收回路便用到串联谐振 。 在电力线路中应尽量防止谐振发生,
因为谐振时电容,电感两端出现的高压会使电器损坏 。
2.6感性负载和电容器的并联电路 ——功率因一,电路的功率因数功率因数是用电设备的一个重要技术指标 。 电路的功率因数由负载中包含的电阻与电抗的相对大小决定 。 纯电阻负载 cosφ=1；纯电抗负载 cosφ=0； 一般负载的 cosφ在 0～ 1 之间,而且多为感性负载 。 例如常用的交流电动机便是一个感性负载,满载时功率因数为 0.7～ 0.9,而空载或轻载时功率因数较低 。
功率因数过低,会使供电设备的利用率降低,输电线路上的功率损失与电压损失增加 。 下面通过实例来说明这个问 。
例 2.11 某供电变压器额定电压 Ue=220V,额定电流 Ie
=100 A,视在功率 S=22kV·A。 现变压器对一批功率为 P=4kW,
cosφ=0.6 的电动机供电,问变压器能对几台电动机供电？ 若
cosφ 提高到 0.9,问变压器又能对几台电动机供电？
解 当 cosφ=0.6 时,每台电动机取用的电流为
AU PI 306.02 2 0 104c o s
3
因而可供电动机的台数为 Ie/I=100/30≈3.3,即可给 3 台电动机供电 。
若 cosφ =0.9,每台电动机取用的电流为
AU PI 209.0 104c o s
3
则可供电动机的台数为 Ie/I′=100/20=5 台 。
可见,当功率因数提高后,每台电动机取用的电流变小,
变压器可供电的电机台数增加,使变压器的容量得到充分的利用 。
例 2.12 某厂供电变压器至发电厂之间输电线的电阻是
5Ω,发电厂以 104 V的电压输送 500kW的功率 。 当 cos φ=0.6
时,问输电线上的功率损失是多大？ 若将功率因数提高到 0.9,
每年可节约多少电？
AU PI 836.010 105 0 0c o s 4
3
输电线上的功率损失为
kWrIP 5.34583 22损
cosφ =0.9时,输电线上的电流为
A
U
PI 6.55
9.010
105 0 0
c o s 4
3
输电线上的功率损失为
kWrIP 5.1556.55 22损一年共有 365× 24=8760 小时,当 cosφ从 0.6提高到 0.9后,
W=(P损 -P′损 )× 8760=(34.5-15.5)× 8760≈166 440kW·h即每年可节约用电 16.6万度 。
从以上两例可见,提高功率因数,可以充分利用供电设备的容量,而且可以减少输电线路上的损失 。 下面介绍提高功率因数的方法 。
二,感性负载和电容器的并联电路常用的提高功率因数的方法,是在感性负载两端并联容量合适的电容器 。 这种方法不会改变负载原有的工作状态,
但负载的无功功率从电容支路得到了补偿,从而提高了功率因数 。 感性负载和电容器的并联电路如图 2 - 22 所示图 2 -22感性负载和电容器的并联电路
u
i
R
L
C
i
C
图 2,2 2
i
1
由图 (2 - 22)可知
221 LXRZ
Z1支路电流为
22
1
1
LXR
U
Z
UI
i1滞后于总电压 u的电角为 电容 C支路的电流为 IC =,电路总电流为 I=I1+IC
,a r c c os
1
1 Z
R
CX
U
值得注意的是：由于相位不同,故总电流 I的有效值应从
I1和 IC的矢量和求得 。 根据电流矢量式画出该电路电流,电压矢量图如图 2 - 23 所示,并联电路取总电压为参考矢量 。
图 2 - 23电流,电压矢量图图 2,2 3
I
C
U
I
I
C
I
L
I
R
I
1
1
1
感性负载中的电流 I1可以分解成两个分量,中与电压同相的 IR称为有功分量 。 另一个滞后于电压 π/2电角的 IL 称为无功分量,它们的大小分别是：
IR=I1cosφ1,IL=I1 sinφ1
从矢量图求出总电流的有效值为
22 )(
CLR IIII
总电流与电压的相位差为
φ= arctan
R
CL
I
II?
根据矢量图,我们讨论以下几种情况：
(1) 当 IL＞ IC时,电路的总电流滞后于电压,此时电路呈感性；
(2) 当 IL＜ IC时,电路的总电流超前于电压,此时电路呈容性；
(3) 当 IL=IC时,电路的总电流与电压同相位,φ=0,此时电路呈电阻性 。 这种情况称为并联谐振 （ 或电流谐振 ） 。 并联谐振时,电路的阻抗最大,总电流最小 。
例 2.13 如图 2 - 22,已知电压 U=220V,电路频率 f=50Hz，
电动机取用功率 P=4kW,其功率因数 cosφ1=0.6,并入电容
C=220μF后,求总电流 I和电路功率因数 cosφ总 。
解 电动机支路的电流
AU PI 3.306.0220 4000c o s
1
1
8.0s i n,53,6.0c o s 111
电容支路电流
AfcU
fc
U
X
UI
C
C 8.13102005022202
2
1
6
由图 2 - 23 的矢量图,总电流为
AIIII C 21)8.132.24(2.18)s i n()c o s( 2221121
电路功率因数
8 6 6.0
21
6.03.30c o sc o s 11
I
I
总
2.7
目前,电能的产生,输送和分配,基本都采用三相交流电路 。 三相交流电路就是由三个频率相同,最大值相等,相位上互差 120° 电角的正弦电动势组成的电路 。 这样的三个电动势称为三相对称电动势 。
广泛应用三相交流电路的原因,是因为它具有以下优点：
(1) 在相同体积下,三相发电机输出功率比单相发电机大；
(2) 在输送功率相等,电压相同,输电距离和线路损耗都相同的情况下,三相制输电比单相输电节省输电线材料,输电成本低；
(3) 与单相电动机相比,三相电动机结构简单,价格低廉,
性能良好,维护使用方便 。
一,三相交流电动势的产生如图 2 - 24 所示,在三相交流发电机中,定子上嵌有三个具有相同匝数和尺寸的绕组 AX,BY,CZ。 其中 A,B,C分别为三个绕组的首端,X,Y,Z分别为绕组的末端 。 绕组在空间的位置彼此相差 120° （ 两极电机 ） 。
当转子磁场在空间按正弦规律分布,转子恒速旋转时,
三相绕组中将感应出三相正弦电动势 eA,eB,eC,分别称作
A相电动势,B相电动势和 C相电动势 。 它们的频率相同,振幅相等,相位上互差 120° 电角 。
规定三相电动势的正方向是从绕组的末端指向首端。 三相电动势的瞬时值为图 2 - 24三相发电机原理
C
Y
A
X
N
S
B
Z
图 2,2 4
eA=Emsinωt
eB=Emsin(ωt-120° )
eC=Emsin(ωt-240° )
=Emsin(ωt+120° )
波形图,矢量图分别如图 2 - 25(a),(b)所示 。 任一瞬时,三相对称电动势之和为零,
eA+eB+eC=0
图 2 - 25三相对称电动势的波形图,矢量图
e
E
m
e
A
e
B
e
C
180 360 t /( ° )
－ E
m
( a )
120 °
120 °
120 °
E
B
E
A
E
C
( b )
图 2,2 5
二,
三相发电机的三个绕组连接方式有两种,一种叫星形
（ Y） 接法,另一种叫三角形 （ △ ） 接法 。
1,星形 （ Y） 接法若将电源的三个绕组末端 X,Y,Z连在一点 O,而将三个首端作为输出端,如图 2 - 26 所示,则这种连接方式称为星形接法 。
在星形接法中,末端的连接点称作中点,中点的引出线称为中线 （ 或零线 ）,三绕组首端的引出线称作端线或相线
（ 俗称火线 ） 。 这种从电源引出四根线的供电方式称为三相四线制 。
在三相四线制中,端线与中线之间的电压 uA,uB,uC称为相电压,它们的有效值用 UA,UB,UC或 U相表示 。 当忽略电源内阻抗时,UA=EA,UB=EB,UC=EC,且相位上互差 120°
电角,所以三相相电压是对称的 。 规定 U相的正方向是从端线指向中线 。
在三相四线制中,任意两根相线之间的电压 uAB,uBC,uCA
作线电压,其有效值用 UAB,UBC,UCA或 U线表示,规定正方向由脚标字母的先后顺序标明 。 例如,线电压 UAB的正方向是由 A指向 B,书写时顺序不能颠倒,否则相位上相差 180° 。
从接线图 2 - 26 中可得出线电压和相电压之间的关系,其对应的矢量式为：
图 2 - 26三相电源的星形接法
u
A
u
C
u
B
e
C
OX
Y
Z
e
B
A
C
B
A
O
B
C
e
A
u
BC
u
AB
u
CA
图 2,2 6
UAB=2UA cos30° =3UA
UBC=3UB
UCA=3UC
或相线 UU 3?
式中,U线 ——
U相 ——三相对称电源相电压 。 从矢量图还可得出,三个线电压在相位上互差 120°,故线电压也是对称的 。
星形连接的三相电源,有时只引出三根端线,不引出中线 。 这种供电方式称作三相三线制 。 它只能提供线电压,主要在高压输电时采用 。
例 2.14 已知三相交流电源相电压 U相 =220V,求线电压 U
线 。
解 线电压
=3× 220≈380 V
由此可见,我们平日所用的 220 V 电压是指相电压,
即火线和中线之间的电压,380V电压是指火线和火线之间的电压,即线电压 。 所以,三相四线制供电方式可给我们提供两种电压 。
2,三相电源的三角形连接 (△ )接法除了星形连接以外,电源的三个绕组还可以连接成三角形。
相线 UU 3?
即把一相绕组的首端与另一相绕组的末端依次连接,
再从三个接点处分别引出端线,如图 2 - 28 所示 。 按这种接法,在三相绕组闭合回路中,有
eA+eB+eC=0
所以回路中无环路电流 。 若有一相绕组首末端接错,则在三相绕组中将产生很大环流,致使发电机烧毁 。
发电机绕组很少用三角形接法,但作为三相电源用的三相变压器绕组,星形和三角形两种接法都会用到 。
图 2 - 28三相电源的三角形连接图 2,2 8
e
C
e
B
C
( Y )
e
A
A
( Z )
A
B
C
u
BC
u
AB
u
CA
B
( X )
2.8三相负载的连接一,单相负载和三相负载用电器按其对供电电源的要求,可分为单相负载和三相负载 。 工作时只需单相电源供电的用电器称为单相负载,例如照明灯,电视机,小功率电热器,电冰箱等 。
需要三相电源供电才能正常工作的电器称为三相负载,
例如三相异步电动机等 。
若每相负载的电阻相等,电抗相等而且性质相同的相负载称为三相对称负载,即,ZA=ZB=ZC,RA=RB=RC,
XA=XB=XC。 否则称为三相不对称负载 。
三相负载的连接方式也有两种,即星形连接和三角形连接。
二,三相负载的星形连接三相负载的星形连接如图 2 - 29 所示,每相负载的末端
x,y,z接在一点 O′,并与电源中线相连；负载的另外三个端点 a,b,c分别和三根相线 A,B,C相连 。
在星接的三相四线制中,我们把每相负载中的电流叫相电流 I线,每根相线 （ 火线 ） 上的电流叫线电流 I相 。 从如图 2
- 29 所示的三相负载星形连接图可以看出,三相负载星形连接时的特点是,① 各相负载承受的电压为对称电源的相电压；
② 线电流 I线等于负载相电流 I线 。 下面讨论各相负载中电流,
功率的计算 。
图 2 -29三相负载的星形接法
O
图 2,2 9
A
u
A
i
A
i
0
C
a
Z
a
i
C
i
B
B
u
C
u
B
b
c
Z
c
Z
b
O ′ ( x,y,z )
1,三相不对称负载的星形连接已知三相负载：
222222,,
CCcbbbaaa XRZXRZXRZ
则每相负载中的电流有效值为
aaa
a
a Z
U
Z
U
Z
UI
3
线相
baa
a
Z
U
Z
U
Z
UI
3
线相
CCC
C
C Z
U
Z
U
Z
UI
3
线相
b
各相负载的电流和电压的相位差为
φa= arccos
φb= arccos
φc= arccos
a
a
Z
R
b
b
Z
R
C
C
Z
R
中线电流的有效值应从三相电流的矢量和求得,即
I0=Ia+Ib+Ic (2 - 42)
例 2.15如图 2- 30 所示的三相对称电源,U相 =220V，
将三盏额定电压 UN=220V的白炽灯分别接入 A,B,C相,
已知白炽灯的功率 Pa=Pb=P=60 W,Pc=200 W，
(1) 求各相电流及中线电流；
(2) 分析 B相断路后各灯工作情况；
(3) 分析 B相断开,中线也断开时的各灯情况 。
（ 1） 各相电流：
AupII ba 27.0
图 2-30 例 2·15电路接线
A
i
A
i
0
O
C
i
C
B
i
B
O ′
图 2,3 0
且分别与 uA,uB同相位 。
AUPI CC 9.0220200
与 uC同相位 。 电压,电流的矢量图如图 2 - 31 所示 。
根据矢量图可得中线电流为
I0=0.9-0.27=0.63A
(2) B相断开,则 Ib=0,B灯不亮 ;A灯两端电压和 C灯两端电压仍是对称电源相电压,故 A灯,B灯正常工作 。
（ 3） B相断开且中线也断开时 （ 如图 2 - 32）,A灯和 C
灯之间串联,共同承受三相电源的线电压 380V。 因为各灯的电阻为图 2 -31例 2.15 矢量图
U
B
U
A
U
C
I
C
I
A
I
B
图 2,3 1
80760220
22
A
A P
UR 2 4 2
2 0 0
2 2 0 22
C
C P
UR
利用分压关系可计算出 60W的 A灯两端电压是 292 V,大于额定电压； 200 W的 C灯两 端电压是 88 V,小于额定电压,
故两灯都不能正常工作 。
上述例题说明：三相四线制供电时,中线的作用是很大的,中线使三相负载成为三个互不影响的独立回路,甚至在某一相发生故障时,其余两相仍能正常工作 。
为了保证负载正常工作,规定中线上不能安装开关和熔丝,而且中线本身的机械强度要好,接头处必须连接牢固,
以防断开 。
R
X
Z
U
Z
U m
3
线?
2,三相对称负载的星形接法三相对称负载为
ZA=ZB=ZC=Z,φa=φb=φc= arctan
且各相负载性质相同 。
将三相对称负载在三相对称电源上作星形连接时,三个相电流对称,中线电流为零,
Ia=Ib=Ic =
I0=Ia+Ib+Ic=0
在这种情况下,中线存在与否对系统工作没有影响 。
三,三相对称负载的三角形连接三相对称负载也可以接成如图 2- 33（ a） 的三角形连接 。 这时,加在每相负载上的电压是对称电源的线电压 。
因为各相负载对称,故各相电流也对称,相电流为
Iab=Ibc=Ica=
Z
U线每相电压,电流的相位差为
φa=φb=φc=
X
R
任一端线上的线电流,按基尔霍夫电流定律,写出矢量式：
IA=Iab-Ica
IB=Ibc-Iab
IC=Ica-Ibc
作出线电流,相电流的矢量图如图 2 - 33（ b） 所示,从
I线 = I△ 相 (2 - 45)
四,三相电功率三相负载的功率,就等于三个单相负载的功率之和,即
P=Pa+Pb+Pc
=UAIacosφa+UBIb cosφb+UCIc cosφc
3
图 2 – 33 三相对称负载的三角形连接及矢量图图 2,3 3
i
A
i
C
i
B
A
B
C
i
bc
Z
b
Z
aZ
c
i
ab
i
ca
( a )
U
AB
I
ca
I
A － I
ca
U
BC
I
bc
I
C
I
B
－ I
ab
U
CA
－ I
bc
I
ab
( b )
三相对称负载的三相总功率
P=3U相 I相 cosφ相 (2 - 46)
在三相对称负载的星形接法中,
I线 =I相,U线 = U相在三相对称负载的三角形接法中,
U线 =U相,I线 = I相所以三相负载的三相总功率还可写成：
P=3U线 I线 cosφ相
3
3
式中：
U线 ——
I线 ——
cosφ相 ——每相负载的功率因数。
