跳转到第一页
1
第九章 非正弦周期电流电路
9-1 非 正弦周期电流及电压定义,随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压 。
分类：
1）偶函数,f(t)=f(-t)
4）偶谐函数
2）奇函数,f(t)=-f(-t)
3）奇谐函数
)2Tt(f)t(f
)2Tt(f)t(f
跳转到第一页
2
9-2 非正弦周期函数傅立叶级数展开 式一、傅立叶级数展开式：
若非正弦函数 f(t)=f(t?nT),且满足狄氏条件,则,
其中,
)s inc o s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n
2/
2/
0 )(
1 T
T
dttf
T
a
2/
2/
c o s)(2
T
T
n t d tntfTa
2/
2/
s in)(2
T
T
n t d tntfTb
)tnc os (AA n
1n
mn0
2
n
2
nmn baA
n
n
n a
ba r c ta n
跳转到第一页
3
讨论：
)tnc o s (AA)t(f n
1n
mn0
1） A
0=a0 —— 常量，与频率无关 （直流分量、零频分量）
2） Ancos(n?t+?0 )—— 正弦量，与 n有关 （谐波分量）
3）谐波分类：
奇次谐波直流分量
)tc o s (A 11m
A0=a0
基波分量
)t2c o s (A 22m
)t3c o s (A 33m
)tkc os (A kmk
二次谐波三次谐波
k次谐波高次谐波
2
3
k
偶次谐波跳转到第一页
4
讨论：
偶谐函数：无奇次谐波奇谐函数：无偶次谐波
)tnc os (AA n
1n
mn0
奇函数,无偶函数分量偶函数,无奇函数分量
4）函数对称性与谐波的成份
)s inc o s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n
2/T
0
n td tnc o s)t(fT
4a0bn?
2/T
0
n td tns in)t(fT
4b0an?
0ba k2k2
0ba 1k21k2
0A k2?
0A 1k2
5）周期函数可分解为偶函数 fe(t)与奇函数 fo(t)之和
2
)t(f)t(f)t(f
e
2
)t(f)t(f)t(f
o
跳转到第一页
5
例,图示电压中,T=2?,求 u(t)傅立叶级数展开式。
m00 UaA
)0(0 na n
n
Ub m
n
4?
)5s in513s in31( s in4)( tttUUtu mm?
2
)t(u)t(u)t(u
e
2
)t(u)t(u)t(u
o
解：
跳转到第一页
6
9-3 非正弦周期电量的有效值一、定义：
若非正弦电量 i(t)=i(t?nT),u(t)=u(t?nT) 则有效值为,
二、计算：
1）按定义计算；
2）按傅立叶系数计算：
T dttiTI 0 2 )(1 T dttuTU 0 2 )(1
1n
2
mn
2
0 I2
1II
1n
2
mn
2
0 U2
1UU
1
22
0
n
nII
1
22
0
n
nUU
)tnc o s (II)t(i in
1n
mn0
)tnc o s (UU)t(u un
1n
mn0
跳转到第一页
7
例,图示电压中,T=2?,求 u(t)有效值。
解：
1
22
0 2
1
n
nmUUU
mU2?
T dttuTU 0 2 )(1或
)7151311(21)4( 22222 mm UU
)5s in513s in31( s in4)( tttUUtu mm?
20 2)2(1
T
m dtUT
mU2?
跳转到第一页
8
三、说明：
1）对于 f(t)各次谐波有：
2
nm
n
II? nnm II 2?或
2） 对于 f(t)仅有有效值；
3） 对于非正弦电量 i(t)和 u(t)：
I0,U0—— 直流分量，可用磁电式指针仪表测量；
I,U —— 有效值，可用电磁或电动式指针仪表测量；
Iav,Uav—— 平均值，可用全波整流磁电式指针仪表测量。
跳转到第一页
9
9-4 非正弦周期电流电路计算一、一般步骤：
1） 将激励为 非正弦周期函数展开为傅立叶级数：
3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（ C开路,L短路）求 Y0;
（ 2）基波分量作用,（正弦稳态分析）求有 y1;
（ 3）二次谐波分量作用,2?（正弦稳态分析）求有 y2;
………………
)c o s ()(
1
0 n
n
nm tnAAtf
2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的正弦激励分量；
(4) 时域叠加,y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
跳转到第一页
10
二、举例分析：
例 1,图示电路中
)185c os (20 t?
)453c o s (60c o s1 8 040)( tttu s
,f=50Hz,求 i(t)和电流有效值 I。
解,直流分量作用：
基波分量作用：
0)0(?i
Ati )86c o s (4 2 6.1)1(
86
2
4 2 6.1
)
1
(
)1()1(
C
LjR
U
I s
3次谐波作用：
45
2
6
)
3
1
3(
)3()3
C
LjR
U s
Ati )453c o s (6)3(
Ati )615c o s (39.0)5(5次谐波作用：
61
2
39.0
)
5
1
5(
)5()5(
C
LjR
U
I s
由叠加定理，有,)5()3()1()0( iiiii
Attti )61c o s (39.0)45c o s (6)86c o s (426.1
电流有效值为,
2)5(2)3(2)1(2)0( IIIII A37.4?
跳转到第一页
11
例 2,求图示电路中电流 i1(t)和 i2(t),并求两个电流表的读数。
其中
,61,c o s2020)( CtVtu,1,421 MLL
解,直流分量作用：
0)0(2?i Ai 10
2
20)0(
1
基波分量作用：
2
020)42( 21 IjIj
0)643( 21 IjjIj
76.61224.21I
07.1 1 8218.12I
由叠加定理，有：
)1(1)0(11 iii
)1(2)0(22 iii
At )76.61c o s (24.410
At )07.1 1 8c o s (18.1
2)1(
1
2)0(
11 III
A44.10?
AI 8 3 4.0218.12
跳转到第一页
12
例 3,图示电路中，已知激励电压：
现欲使响应
）） 333131 103c o s (10c o s ()( tUtUtu mm
）1312 10c o s ()( tUtu m 求 L和 C2。
解,依题意要求，应
3
2
101?LC
（ 1） L与 C2串联 — 短路，有
3
21
21
1031
CC
CCL
（ 2） L,C2与 C1并联 — 开路，有即,62 10LC
6
21
21 10
9
1
CC
CCL
HL 1
FC?12?
跳转到第一页
13
例 4,图示电路，求各个电表的读数。已知激励：
Vtttu s )4102s in (6010s in1 2 030)( 33
+ u1(t) -
+ u2(t) -i1(t)
i2(t)
i3(t)
解,1、直流分量作用：
Ai 1)0(1? 0)0(2?i
Ai 1)0(3? Vuu 30)0(2)0(1
2、基波分量作用：
L1与 C1并联 — 开路，有
0)1(1?i 0)1(3?i 0)1(2?u
tu 3)1(1 10s in120?
)9010s in (3 3)1(2 ti
3、二次谐波作用
L2与 C2并联 — 开路，有
0)2(1?i 0)2(2?i 0)2(1?u
)4102s in (60 3)2(2 tu
)45102s in (3 3)2(3 ti
4、时域叠加,Ai 11? )9010s in (3 32 ti
)45102s in (31 33 ti
tu 31 10s in1 2 030
)4102s in (6030 32 tu
AI 11?
AI 12.22?
AI 345.23?
VU 901?
VU 96.512?
跳转到第一页
14
9-5 非正弦周期电流电路的平均功率一、定义：
1） 瞬时功率,若单口网络端口电流和电压为：
则瞬时功率为：
)c o s (2)(
1
0 in
n
n tnIIti
)c o s (2)(
1
0 un
n
n tnUUtu
)()()( titutp?
2）平均功率：
T dttpTP 0 )(1
)c o s ()c o s ( 2222111100 iuiu IUIUIUP
跳转到第一页
15
二、举例,求图示电路中 u1(t),i1(t),并求各电源的发出功率。其中
.)905c o s (10)( Vttu s
.)10c o s (5)( Attis?
+
u
-
i
解,1、电流源单独作用：
455)1(1U 0)1(1?i
tii s 10c o s5)1()1(
)1()1(1 )4510c o s (25 utu
2、电压源单独作用：
0)2(1U
4510)2()2(1 II
0)2(1?u
)905c o s (10)2( tuu s
)455c o s (210)2(1)2( tii
3、时域叠加：
Vtuuu )4510c o s (25)2(1)1(11
Atiii )455c o s (210)2(1)1(11
)2()1( uuu
Vtt )905c o s (10)4510c o s (25
)2()1( iii
Att )455c o s (21010c o s5
WPi 5.12? WPu 50?
跳转到第一页
16
本章小结
1、非周期信号的有效值
2、非正弦周期电流电路的平均功率
3、非正弦周期电流电路的稳态分析
1）将非正弦周期电流电压分解成直流分量及各次谐波分量，相当于在电路的输入端施加多个等效激励源 （多个等效电压源或多个等效电流源并联）
2）分别计算各等效激励源单独作用时电路的响应分量
3）根据叠加定律，各个响应分量的代数和就是非正弦周期电流电路的稳态响应注意：
1、当直流分量作用时，电感相当于短路；电容相当于开路跳转到第一页
17
2、当谐波分量作用时，由于激励都是正弦电源，因此用相量法求解各响应分量 （注意：各正弦电源的频率不同，因此电抗元件对各次谐波的阻抗不同）
3、由于不同频率的正弦量不能用相量法相加，故求出各响应分量后应写出瞬时表达式，在时 域中进行叠加）
1
第九章 非正弦周期电流电路
9-1 非 正弦周期电流及电压定义,随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压 。
分类：
1）偶函数,f(t)=f(-t)
4）偶谐函数
2）奇函数,f(t)=-f(-t)
3）奇谐函数
)2Tt(f)t(f
)2Tt(f)t(f
跳转到第一页
2
9-2 非正弦周期函数傅立叶级数展开 式一、傅立叶级数展开式：
若非正弦函数 f(t)=f(t?nT),且满足狄氏条件,则,
其中,
)s inc o s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n
2/
2/
0 )(
1 T
T
dttf
T
a
2/
2/
c o s)(2
T
T
n t d tntfTa
2/
2/
s in)(2
T
T
n t d tntfTb
)tnc os (AA n
1n
mn0
2
n
2
nmn baA
n
n
n a
ba r c ta n
跳转到第一页
3
讨论：
)tnc o s (AA)t(f n
1n
mn0
1） A
0=a0 —— 常量，与频率无关 （直流分量、零频分量）
2） Ancos(n?t+?0 )—— 正弦量，与 n有关 （谐波分量）
3）谐波分类：
奇次谐波直流分量
)tc o s (A 11m
A0=a0
基波分量
)t2c o s (A 22m
)t3c o s (A 33m
)tkc os (A kmk
二次谐波三次谐波
k次谐波高次谐波
2
3
k
偶次谐波跳转到第一页
4
讨论：
偶谐函数：无奇次谐波奇谐函数：无偶次谐波
)tnc os (AA n
1n
mn0
奇函数,无偶函数分量偶函数,无奇函数分量
4）函数对称性与谐波的成份
)s inc o s()(
1
0 tnbtnaatf n
n
n
2/T
0
n td tnc o s)t(fT
4a0bn?
2/T
0
n td tns in)t(fT
4b0an?
0ba k2k2
0ba 1k21k2
0A k2?
0A 1k2
5）周期函数可分解为偶函数 fe(t)与奇函数 fo(t)之和
2
)t(f)t(f)t(f
e
2
)t(f)t(f)t(f
o
跳转到第一页
5
例,图示电压中,T=2?,求 u(t)傅立叶级数展开式。
m00 UaA
)0(0 na n
n
Ub m
n
4?
)5s in513s in31( s in4)( tttUUtu mm?
2
)t(u)t(u)t(u
e
2
)t(u)t(u)t(u
o
解：
跳转到第一页
6
9-3 非正弦周期电量的有效值一、定义：
若非正弦电量 i(t)=i(t?nT),u(t)=u(t?nT) 则有效值为,
二、计算：
1）按定义计算；
2）按傅立叶系数计算：
T dttiTI 0 2 )(1 T dttuTU 0 2 )(1
1n
2
mn
2
0 I2
1II
1n
2
mn
2
0 U2
1UU
1
22
0
n
nII
1
22
0
n
nUU
)tnc o s (II)t(i in
1n
mn0
)tnc o s (UU)t(u un
1n
mn0
跳转到第一页
7
例,图示电压中,T=2?,求 u(t)有效值。
解：
1
22
0 2
1
n
nmUUU
mU2?
T dttuTU 0 2 )(1或
)7151311(21)4( 22222 mm UU
)5s in513s in31( s in4)( tttUUtu mm?
20 2)2(1
T
m dtUT
mU2?
跳转到第一页
8
三、说明：
1）对于 f(t)各次谐波有：
2
nm
n
II? nnm II 2?或
2） 对于 f(t)仅有有效值；
3） 对于非正弦电量 i(t)和 u(t)：
I0,U0—— 直流分量，可用磁电式指针仪表测量；
I,U —— 有效值，可用电磁或电动式指针仪表测量；
Iav,Uav—— 平均值，可用全波整流磁电式指针仪表测量。
跳转到第一页
9
9-4 非正弦周期电流电路计算一、一般步骤：
1） 将激励为 非正弦周期函数展开为傅立叶级数：
3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（ C开路,L短路）求 Y0;
（ 2）基波分量作用,（正弦稳态分析）求有 y1;
（ 3）二次谐波分量作用,2?（正弦稳态分析）求有 y2;
………………
)c o s ()(
1
0 n
n
nm tnAAtf
2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的正弦激励分量；
(4) 时域叠加,y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
跳转到第一页
10
二、举例分析：
例 1,图示电路中
)185c os (20 t?
)453c o s (60c o s1 8 040)( tttu s
,f=50Hz,求 i(t)和电流有效值 I。
解,直流分量作用：
基波分量作用：
0)0(?i
Ati )86c o s (4 2 6.1)1(
86
2
4 2 6.1
)
1
(
)1()1(
C
LjR
U
I s
3次谐波作用：
45
2
6
)
3
1
3(
)3()3
C
LjR
U s
Ati )453c o s (6)3(
Ati )615c o s (39.0)5(5次谐波作用：
61
2
39.0
)
5
1
5(
)5()5(
C
LjR
U
I s
由叠加定理，有,)5()3()1()0( iiiii
Attti )61c o s (39.0)45c o s (6)86c o s (426.1
电流有效值为,
2)5(2)3(2)1(2)0( IIIII A37.4?
跳转到第一页
11
例 2,求图示电路中电流 i1(t)和 i2(t),并求两个电流表的读数。
其中
,61,c o s2020)( CtVtu,1,421 MLL
解,直流分量作用：
0)0(2?i Ai 10
2
20)0(
1
基波分量作用：
2
020)42( 21 IjIj
0)643( 21 IjjIj
76.61224.21I
07.1 1 8218.12I
由叠加定理，有：
)1(1)0(11 iii
)1(2)0(22 iii
At )76.61c o s (24.410
At )07.1 1 8c o s (18.1
2)1(
1
2)0(
11 III
A44.10?
AI 8 3 4.0218.12
跳转到第一页
12
例 3,图示电路中，已知激励电压：
现欲使响应
）） 333131 103c o s (10c o s ()( tUtUtu mm
）1312 10c o s ()( tUtu m 求 L和 C2。
解,依题意要求，应
3
2
101?LC
（ 1） L与 C2串联 — 短路，有
3
21
21
1031
CC
CCL
（ 2） L,C2与 C1并联 — 开路，有即,62 10LC
6
21
21 10
9
1
CC
CCL
HL 1
FC?12?
跳转到第一页
13
例 4,图示电路，求各个电表的读数。已知激励：
Vtttu s )4102s in (6010s in1 2 030)( 33
+ u1(t) -
+ u2(t) -i1(t)
i2(t)
i3(t)
解,1、直流分量作用：
Ai 1)0(1? 0)0(2?i
Ai 1)0(3? Vuu 30)0(2)0(1
2、基波分量作用：
L1与 C1并联 — 开路，有
0)1(1?i 0)1(3?i 0)1(2?u
tu 3)1(1 10s in120?
)9010s in (3 3)1(2 ti
3、二次谐波作用
L2与 C2并联 — 开路，有
0)2(1?i 0)2(2?i 0)2(1?u
)4102s in (60 3)2(2 tu
)45102s in (3 3)2(3 ti
4、时域叠加,Ai 11? )9010s in (3 32 ti
)45102s in (31 33 ti
tu 31 10s in1 2 030
)4102s in (6030 32 tu
AI 11?
AI 12.22?
AI 345.23?
VU 901?
VU 96.512?
跳转到第一页
14
9-5 非正弦周期电流电路的平均功率一、定义：
1） 瞬时功率,若单口网络端口电流和电压为：
则瞬时功率为：
)c o s (2)(
1
0 in
n
n tnIIti
)c o s (2)(
1
0 un
n
n tnUUtu
)()()( titutp?
2）平均功率：
T dttpTP 0 )(1
)c o s ()c o s ( 2222111100 iuiu IUIUIUP
跳转到第一页
15
二、举例,求图示电路中 u1(t),i1(t),并求各电源的发出功率。其中
.)905c o s (10)( Vttu s
.)10c o s (5)( Attis?
+
u
-
i
解,1、电流源单独作用：
455)1(1U 0)1(1?i
tii s 10c o s5)1()1(
)1()1(1 )4510c o s (25 utu
2、电压源单独作用：
0)2(1U
4510)2()2(1 II
0)2(1?u
)905c o s (10)2( tuu s
)455c o s (210)2(1)2( tii
3、时域叠加：
Vtuuu )4510c o s (25)2(1)1(11
Atiii )455c o s (210)2(1)1(11
)2()1( uuu
Vtt )905c o s (10)4510c o s (25
)2()1( iii
Att )455c o s (21010c o s5
WPi 5.12? WPu 50?
跳转到第一页
16
本章小结
1、非周期信号的有效值
2、非正弦周期电流电路的平均功率
3、非正弦周期电流电路的稳态分析
1）将非正弦周期电流电压分解成直流分量及各次谐波分量，相当于在电路的输入端施加多个等效激励源 （多个等效电压源或多个等效电流源并联）
2）分别计算各等效激励源单独作用时电路的响应分量
3）根据叠加定律，各个响应分量的代数和就是非正弦周期电流电路的稳态响应注意：
1、当直流分量作用时，电感相当于短路；电容相当于开路跳转到第一页
17
2、当谐波分量作用时，由于激励都是正弦电源，因此用相量法求解各响应分量 （注意：各正弦电源的频率不同，因此电抗元件对各次谐波的阻抗不同）
3、由于不同频率的正弦量不能用相量法相加，故求出各响应分量后应写出瞬时表达式，在时 域中进行叠加）
