第三章正弦交流电路交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就重复变化一次，则此种电流,电压称为周期性交流电流或电压 。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
T
u
t
u
T
t
3-1 概述如果在电路中 电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化,由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电的优越性：
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
正弦交流电路正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。
实际方向和假设方向一致
(正半周 )
实际方向和假设方向相反
t
i
正弦交流电的方向
i
u R
三要素,频率 f,幅值 Im,Um、和 初相角?
周期 T—正 弦量变化一次所需的时间（单位：秒）
频率 f—每 秒正弦量变化的次数（单位,Hz）
关系,f=1/T
中国电力标准频率,50 Hz
美国,60 Hz
角频率,每秒正弦量转过的弧度?
（一个周期的弧度为 2 ）?
T
2f2 (单位,rad/s)
一、频率与周期例 已知,f=50 Hz,求 T和?
解,T=1/f=1/50=0.02s=20ms
s/r ad3145014.32f2
瞬时值 —正 弦量任意瞬间的值（用 i,u,e表示）
幅 值 —瞬时值 之中的最大值（用 Im,Um,Em表示）
关系：
tωs inIi m?
有效值 —交 流电,i,的大小等效于直流电,I”的热效应。
T RTIR d ti0 22
热效应相当二、幅值和有效值有效值 则为：
T mT t d ts i nITdtiTI 0 220 2 11?
其中,
22
21
0 0
2 Tdttco st d ts i nT T
因此,
22
1 2 m
m
ITI
T
I
同理有：
2
mUU?
2
mEE?
例 已知,ts inUu
m
VU m 3 1 0? Hzf 50?其中求,U和 t=0.1秒时的瞬时值解,VUU m 2 2 0
2
3 1 0
2
).s in (fts inUu m 101003102
0?
,t = 0 时的相位，称为 初相位 或 初相角 。
i
t?
）（t
：正弦波的 相位角 或相位三、初相角和相位差
1212 t t
两个 同频率 正弦量间的 相位差 φ ( 初相角 )
222
111
t s i nIi
t s i nIi
m
m
1?
2?
2i1i
t
两种正弦信号的关系同相位
21
2i
1i
1?
2?
t
021
落后于
2i1i
相位落后
2?
2i
t
1?
1i
2i相位领先
1i 021
领先于
1i 2it
1? 2?
021
与
1i
2i
同相位三相交流电路：三种电压初相位各差 120?。
Bu CuA
u
t
* 电网频率,中国 50 Hz
美国,日本 60 Hz
小常识
* 有线通讯频率,300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率,30 kHz - 3× 104 MHz
可以证明 同频率正弦波 运算后，频率不变 。
222
111
s i n2
s i n2
tUu
tUu如：
结论,
因角频率（?）不变，所以以下 讨论 同频率正弦波时,? 可不考虑，主要研究 幅度 与 初相位 的变化 。
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2 2211
21
幅度、相位变化频率不变
瞬时值表达式
301000s in ti
相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
波形图
i
t?
正弦波的表示方法：
重点
3-2 正弦交流电的相量表示法
1.复数的表示形式
① 代数形式
A=a(实 )+jb(虚 )
其中,1j
b
a
A
Re
Im
0
r
由上图可知
s inrb
c osra
a
ba r c t g
bar 22
一、复习复数及其基本运算
② 三角形式
③ 指数形式
④ 极坐标形式
s i njrco srA
rA
（欧拉公式）
sinjrcosrreA
sinjcose
j
j
2.复数的基本运算
（ 1）加、减设：
11 jbaA 22 jbaB；
则,)bb(j)aa(BA
2121
Re
Im
B
A A+B
Re
Im
B
A
A-B
-B（加） （减）
（ 2）乘、除
（乘）设：
1j1 erA 2j2 erB
)(j
21
j
2
j
1 2121 errererBA
或：
)(rrrrBA 21212211
（除）
)(j
2
1
j
2
j
1 21
2
1
e
r
r
er
er
B/A
)(
r
r
r
r
B/A 21
2
1
22
11
3.讨论
（ 1） 1e j 设, jreA
)(jj reeA
Re
Im
r
r
A
jAe
jαe 为旋转因子
（ 2）由欧拉公式可知
jj090s i nj90c ose oo90j o
jj0)90s i n(j)90c os (e oo90j o
10j1180s i nj180c ose oo1 8 0j o
注意,j,-j,-1都是旋转因子概念,一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。
矢量长度 =
mU
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω矢量以角速度 按逆时针方向旋转
tUu m s in
mU
t?
ω
二、正弦波的相量表示法
IU,3,相量符号 包含 幅度 与 相位 的信息。
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 。若 其幅度用最大值表示,则用符号：
mm IU,
mU?
U?
最大值相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
IU,
222
111
s in2
s in2
tUu
tUu
1U?
1?
2U?
2?
2U?
落后于
1U?
1U?2U?
领先落后？
例 1：将 u1,u2 用相量表示相位：
幅度：相量大小
12 UU?
12
设：
21 UUU
U?
222
111
s in2
s in2
tUu
tUu
同频率正弦波的相量画在一起，
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 --平行四边形法则
2?
2U?
1U?
1?
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以。
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
新问题 提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
s i nc o s jUUjbaU
相量的复数表示
a
b
U?
U
j
+1
将复数 U? 放到复平面上，可如下表示：
a
b
tg
baU
1
22
欧拉公式
U
eU
jU
jbaU
j
)s i n( c o s
代数式指数式极坐标形式
a
b
U?
U
sinjcosej
jeUjbaU
在第一象限设 a,b为正实数
jeUjbaU
在第二象限
jeUjbaU
在第三象限
在第四象限
jeUjbaU
解,
A506.863010030
2
4.141 jI
V5.1 9 01 1 0602 2 060
2
1.3 1 1 jU
例 1:已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
3 1 4s i n1.3 1 1
A
6
3 1 4s i n4.1 4 1
tu
ti 求：
i,u 的相量
506.86301 0 030
2
4.1 4 1 jI
5.1901106022060
2
1.311 jU
220
3/
U?
I?
100
6/?
A
V
相量图求：
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
已知,两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
A10
A60100
30
2
1
jeI
I
A )306 2 8 0s i n (210
A )606 2 8 0s i n (21 0 0
2
1
ti
ti
解,
62 8010 0022 f srad
波形图瞬时值相量图复数符号法 UeUjbaU j?
小结：正弦波的四种表示法
tUu m s in
T
mU
t?
u
U?
u?
提示 计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：
43 jU
43 jU )153s i n (25 tu?
43 jU )153s i n (25 tu?
)912 6s i n (25 tu?
43 jU )912 6s i n (25 tu?
符号说明瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.”
U?
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
Utu s i n100?
？
瞬时值 复数正误判断
)15s i n (25050 15 teU j?？
瞬时值复数
45
2
10
I
已知：
)45s i n (10 ti?
正误判断
？
4510 eI
m?
？有效值
j45?
则：
已知：
)15(s i n102 tu?
10?U
正误判断
1510 jeU?？
？
15?
则：
)50(s i n100 ti?
已知：
501 0 0I
？
正误判断最大值
21 0 02 II m
记做,u(t) = u(t + T )
T
u
t
u
T
t
3-1 概述如果在电路中 电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化,由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电的优越性：
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
正弦交流电路正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。
实际方向和假设方向一致
(正半周 )
实际方向和假设方向相反
t
i
正弦交流电的方向
i
u R
三要素,频率 f,幅值 Im,Um、和 初相角?
周期 T—正 弦量变化一次所需的时间（单位：秒）
频率 f—每 秒正弦量变化的次数（单位,Hz）
关系,f=1/T
中国电力标准频率,50 Hz
美国,60 Hz
角频率,每秒正弦量转过的弧度?
（一个周期的弧度为 2 ）?
T
2f2 (单位,rad/s)
一、频率与周期例 已知,f=50 Hz,求 T和?
解,T=1/f=1/50=0.02s=20ms
s/r ad3145014.32f2
瞬时值 —正 弦量任意瞬间的值（用 i,u,e表示）
幅 值 —瞬时值 之中的最大值（用 Im,Um,Em表示）
关系：
tωs inIi m?
有效值 —交 流电,i,的大小等效于直流电,I”的热效应。
T RTIR d ti0 22
热效应相当二、幅值和有效值有效值 则为：
T mT t d ts i nITdtiTI 0 220 2 11?
其中,
22
21
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因此,
22
1 2 m
m
ITI
T
I
同理有：
2
mUU?
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例 已知,ts inUu
m
VU m 3 1 0? Hzf 50?其中求,U和 t=0.1秒时的瞬时值解,VUU m 2 2 0
2
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0?
,t = 0 时的相位，称为 初相位 或 初相角 。
i
t?
）（t
：正弦波的 相位角 或相位三、初相角和相位差
1212 t t
两个 同频率 正弦量间的 相位差 φ ( 初相角 )
222
111
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m
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1?
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2i1i
t
两种正弦信号的关系同相位
21
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021
落后于
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相位落后
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1i 021
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与
1i
2i
同相位三相交流电路：三种电压初相位各差 120?。
Bu CuA
u
t
* 电网频率,中国 50 Hz
美国,日本 60 Hz
小常识
* 有线通讯频率,300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率,30 kHz - 3× 104 MHz
可以证明 同频率正弦波 运算后，频率不变 。
222
111
s i n2
s i n2
tUu
tUu如：
结论,
因角频率（?）不变，所以以下 讨论 同频率正弦波时,? 可不考虑，主要研究 幅度 与 初相位 的变化 。
tU
tUtU
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s i n2
s i n2 s i n2 2211
21
幅度、相位变化频率不变
瞬时值表达式
301000s in ti
相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
波形图
i
t?
正弦波的表示方法：
重点
3-2 正弦交流电的相量表示法
1.复数的表示形式
① 代数形式
A=a(实 )+jb(虚 )
其中,1j
b
a
A
Re
Im
0
r
由上图可知
s inrb
c osra
a
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bar 22
一、复习复数及其基本运算
② 三角形式
③ 指数形式
④ 极坐标形式
s i njrco srA
rA
（欧拉公式）
sinjrcosrreA
sinjcose
j
j
2.复数的基本运算
（ 1）加、减设：
11 jbaA 22 jbaB；
则,)bb(j)aa(BA
2121
Re
Im
B
A A+B
Re
Im
B
A
A-B
-B（加） （减）
（ 2）乘、除
（乘）设：
1j1 erA 2j2 erB
)(j
21
j
2
j
1 2121 errererBA
或：
)(rrrrBA 21212211
（除）
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2
1
j
2
j
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2
1
e
r
r
er
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B/A
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r
r
r
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B/A 21
2
1
22
11
3.讨论
（ 1） 1e j 设, jreA
)(jj reeA
Re
Im
r
r
A
jAe
jαe 为旋转因子
（ 2）由欧拉公式可知
jj090s i nj90c ose oo90j o
jj0)90s i n(j)90c os (e oo90j o
10j1180s i nj180c ose oo1 8 0j o
注意,j,-j,-1都是旋转因子概念,一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。
矢量长度 =
mU
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω矢量以角速度 按逆时针方向旋转
tUu m s in
mU
t?
ω
二、正弦波的相量表示法
IU,3,相量符号 包含 幅度 与 相位 的信息。
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 。若 其幅度用最大值表示,则用符号：
mm IU,
mU?
U?
最大值相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
IU,
222
111
s in2
s in2
tUu
tUu
1U?
1?
2U?
2?
2U?
落后于
1U?
1U?2U?
领先落后？
例 1：将 u1,u2 用相量表示相位：
幅度：相量大小
12 UU?
12
设：
21 UUU
U?
222
111
s in2
s in2
tUu
tUu
同频率正弦波的相量画在一起，
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 --平行四边形法则
2?
2U?
1U?
1?
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以。
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
新问题 提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
s i nc o s jUUjbaU
相量的复数表示
a
b
U?
U
j
+1
将复数 U? 放到复平面上，可如下表示：
a
b
tg
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1
22
欧拉公式
U
eU
jU
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j
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代数式指数式极坐标形式
a
b
U?
U
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在第一象限设 a,b为正实数
jeUjbaU
在第二象限
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在第三象限
在第四象限
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2
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V5.1 9 01 1 0602 2 060
2
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例 1:已知瞬时值，求相量。
已知,
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3
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3 1 4s i n4.1 4 1
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506.86301 0 030
2
4.1 4 1 jI
5.1901106022060
2
1.311 jU
220
3/
U?
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A
V
相量图求：
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
已知,两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
A10
A60100
30
2
1
jeI
I
A )306 2 8 0s i n (210
A )606 2 8 0s i n (21 0 0
2
1
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解,
62 8010 0022 f srad
波形图瞬时值相量图复数符号法 UeUjbaU j?
小结：正弦波的四种表示法
tUu m s in
T
mU
t?
u
U?
u?
提示 计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：
43 jU
43 jU )153s i n (25 tu?
43 jU )153s i n (25 tu?
)912 6s i n (25 tu?
43 jU )912 6s i n (25 tu?
符号说明瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.”
U?
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
Utu s i n100?
？
瞬时值 复数正误判断
)15s i n (25050 15 teU j?？
瞬时值复数
45
2
10
I
已知：
)45s i n (10 ti?
正误判断
？
4510 eI
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？有效值
j45?
则：
已知：
)15(s i n102 tu?
10?U
正误判断
1510 jeU?？
？
15?
则：
)50(s i n100 ti?
已知：
501 0 0I
？
正误判断最大值
21 0 02 II m
