1
第六章电路的暂态分析
2t
E
Cu
稳态暂态旧稳态 新稳态过渡（ 暂态 ）过程,
C
电路处于 旧稳态
K R
E+_
Cu
概 述电路处于 新稳态
R
E+_
Cu
“稳态,与,暂态,的概念,?
3
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，
不存在过渡过程 。
产生过渡过程的电路及原因?
4
E
t
Cu
电容为 储能元件,它储存的能量为电场能量,
其大小为：
电容电路
2
0 2
1
cuid tuW
t
C
储能元件因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电容的电路存在 过渡过程 。
U
K R
+
_ C
uC
5
t
Li
储能元件电感电路电感为 储能元件,它储存的能量为磁场能量，
其大小为：
2
0 2
1
LidtuiW
t
L
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在 过渡过程 。
K R
U
+
_
t=0
iL
6
结论有储能元件（ L,C）的电路在 电路状态发生变化（ 换路 ） 时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在 过渡过程 ；
没有储能作用的电阻（ R）电路，不存在过渡过程。
电路中的 u,i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时 u,i都处于暂时的不稳定状态，
所以 过渡过程 又称为电路的 暂态过程 。
7
讲课重点,直流电路、交流电路都存在过渡过程。
我们讲课的重点是 直流电路的过渡过程 。
研究过渡过程的意义,过渡过程是一种自然现象,对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。
有利的方面,如电子技术中常用它来 产生各种波形；
不利的方面,如在暂态过程发生的瞬间，可能出现 过压或过流,致使设备损坏，必须采取防范措施。
说明：
8
换路,电路状态的改变。如,
1,电路接通、断开电源
2,电路中电源的升高或降低
3,电路中元件参数的改变
…………..
§ 6.1 换路定理与电压和电流初始值的确定
9
换路定则,在换路瞬间，电容上的电压、
电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路?0
0
--- 换路前 稳态终了瞬间
--- 换路后 暂态起始瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
则：
10
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以*
电感 L 储存的磁场能量
）（ 2
2
1
LL LiW?
LW
不能突变
Li
不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 2
2
1
CCuWc?
11
*
若
cu
发生突变，
dt
du c
i
不可能 ！
一般电路则所以电容电压不能突变从电路关系分析
K R
U
+
_ C
i
uC
C
C
C udt
du
RCuiRU
K 闭合后，列回路电压方程：
)(
dt
duCi?
12
求解要点,
1.
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
2,根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时的大小。
初始值的确定：
13
换路时电压方程,
)0()0( LuRiU
不能突变
Li
发生了突跳
Lu
根据换路定理
A 0)0()0( LL ii
解,
V20020)0(Lu
求,
)0(
),0(
L
L
u
i
已知,R=1kΩ,
L=1H,U=20 V、
A 0?Li
设 时开关闭合0?t
开关闭合前
iL
U
K
t=0
uL
uR例 1
14
已知,
电压表内阻
H1k1V20 LRU,、
k5 0 0VR
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求,K打开的瞬间,电压表两的电压。
解,
换路前
mA20
1 0 0 0
20)0(
R
Ui
L
(大小,方向都不变 )
换路瞬间
mA20)0()0( LL ii
K
.
U
L
V
R
iL
例 2
15
t=0+
时的等效电路
mA20)0()0( LL ii
VLV Riu )0()0(
V1 0 0 0 0
105 0 01020 33
V
mA20)0(LS iI
V
SI
注意,实际使用中要加保护措施,
加续流二极管 或 先去掉电压表再打开开关 S。
K
U
L
V
R
iL
16
已知,K 在,1”处停留已久，在 t=0时合向
,2”
求,
LC uuiii,、、,21
的初始值，即 t=0+时刻的值。
i
E 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
Cu
Lu6V
2k
例 3：
17
mA5.1)0()0(
1
1 RR
E
ii L
V3)0()0( 11 Riu C
解：
i
E 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
Cu
Lu6V
2k
换路前的等效电路
E
R1+
_
R
Cu
R2
1i
18
）（?0Cu
t=0 + 时的等效电路
mA5.1
)0()0()0(1
LL iii
mA3
)0(
)0(
2
2
R
uE
i
C
mA5.4
)0()0()0( 21
iii
V3)0()0( 11 RiEu L
)0(?Li
E
1k2k+
_
R2R1
i
1i
2i
3V1.5mA
+
-
Lu
19
计算结果电量 i
Lii?1 2i
Cu Lu
0t
0t mA5.1
mA5.4
mA5.1
mA5.1
0
mA3
V3
V3 V3
0
i
E k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
Cu
Lu6V
2k
20
小结
1,换路瞬间，
LC iu,
不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；
0)0( 0 Ii L
3,换路瞬间,电感相当于恒流源，；0I
其值等于
0)0(Li
，电感相当于断路。；0U
2,换路瞬间，
，0)0( 0 Uu C
电容相当于恒压源，其值等于
，0)0(Cu
电容相当于短路；
21
提示,先画出 t=0- 时的等效电路
)0()0()0()0( LCLC iuiu,、
画出 t =0+时的等效电路 （注意
)0()0( LC iu,
的作用） 求 t=0+
时的各电压值。
10mA
iK iR iC iL
K
R1 R2 R3
UC UL
例 4:
22
K R
U
+
_ C Cu
i
电压方程,
C
C
C udt
du
RCuRiU
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中 一般仅含一个储能元件 。）如：
一阶电路的概念：
23
(一 ),经典法,用数学方法 求解微分方程；
(二 ),三要素法,求 初始值稳态值时间常数
……………...
本节重点：
一阶电路过渡过程的求解方法,
三要素法
24
零状态：
换路前电路中的储能元件均未贮存能量，称为 零状态 。
电路状态零输入：
电路中无电源激励（即输入信号为零）
时，为 零输入 。
6.2 RC电路的响应
25
电路的响应零状态响应：
在零状态的条件下，由 电源激励信号 产生的响应为零状态响应。
全响应：
电容上的 储能 和 电源激励 均不为零时 的响应，
为全响应。
零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态（ 储能元件的储能 ）引起的响应，为零输入响应； 此时,被视为一种输入信号。)0(
cu )0(?Li
或
26
6.2.1 RC电路的零输入响应（ C放电 ）
0 CC u
dt
duRC
t=0时开关 S由 1合到 2：
1
U
+
-
K
2 R
t=0
C
Cu
iC
iCR + Uc = 0
dt
duCi C?
设微分方程的通解为：
pt
C Aeu?
一阶常系数齐次线性微分方程
(一 ),经典法,
27
求齐次方程的通解：
0 CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
A为积分常数
P为特征方程式的根其中,
pt
C Aeu?
设微分方程的通解为：
28
得特征方程：
01R C P
pt
C Aeu?
将 代入齐次方程,
RC
P 1
故：
0 CC u
dt
du
RC
求 P值,?
求 A:
0)0(0 Uuu CC
RC
C Aeu
1
微分方程的通解为：
由换路定则：
得：
0UA?
29
/
0 )0()(
t
C
RCt
C eueUtu
代入通解得零输入响应,
将：
0UA?
式中,RC （ S） 为 时间常数。
RC
C Aeu
1
微分方程的通解为：
30
时间常数 决定暂态过程的快慢：
t
dt
duCi C?
当 时,uC=0.368U0 （如图）
Cu
t
U0
0.368U
0
由得：
/0)( te
R
Uti
/
0)(
t
R eURitu
/
0 )0()(
t
C
RCt
C eueUtu
31
RK
+
_ C Cu
U
6.2.2 RC电路的零状态响应 (C充电 ）
Uu
dt
duRC
C
C
t=0 时开关 S合上：
iC i
CR + uC = U
dt
du
Ci C?
(一 ),经典法,
32
Uu
dt
du
RC CC
一阶常系数非齐次线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
方程的特解
Cu'
对应齐次方程的通解（补函数）
Cu"
即：
CCC uutu "')(
K R
U
+
_ C Cu
i
33Uutu' CC )()(
Cu'
UK
dt
dKRC
UK得：
（常数）。
Ku' C?
和外加激励信号具有相同的形式。 在该电路中，令 代入方程
)(?Cu
]作特解，故此特解也称为 稳态分量。
在电路中,通常取换路后的新稳态值 [记做：
所以该电路的特解为：
1,求特解 ----
Cu'
34
Cu"
2,求齐次方程的通解 ----
0 CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
Cu"
随时间变化，故通常称为 暂态分量 。
其形式为指数。设,pt
C Aeu?"
A为积分常数
P为特征方程式的根其中,
35
求 P值,?
求 A:?
RC
t
RC
t
c
CCC
AeU
Aeuu"u'tu
)()(
得特征方程：
01R C P
pt
C Aeu"?
将 代入齐次方程,
RC
P 1
故：
0 CC u
dt
du
RC
36
0)()0( 00 AeUAeuu CC
RC
t
RC
t
CCCC
AeU
Aeuu"u'tu
)()(
UuuA )()0(所以代入该电路的起始条件
0)0()0( CC uu
得,
37
RC
t
RC
t
CC
Pt
C
Ue
euuAetu"
)]()0([)(
故齐次方程的通解 为,
RC
P 1
UuuA )()0(
38
3,微分方程的全部解
CCC u"u'tu)(
Uutu' cC )()(
RC
t
RC
t
CC
Pt
C
Ue
euuAetu"
)]()0([)(
K R
U
+
_ C Cu
i
39
)1)((
)]()0([)(
)(
/?t
C
RC
t
RC
t
CCC
CCC
eu
UeU
euuu
u"u'tu
称为 时间常数定义：
RCP 1?
单位
R,欧姆
C,法拉
,秒
Cu
t
40
U
T
t
iu
零输入响应零状态响应
C在 加入前未充电 iu
iu
R
C
( 零状态响应 零输入响应 )+
Cu t
6.2.3 RC电路的全响应
41
V6)0(
21
2?
E
RR
R
u C
tu C求：
已知：开关 K 原处于闭合状态,t=0时打开。
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k2k
t =0
例
42
解,全响应 =零状态响应 +零输入响应
+
_E 10V C
1μR1
Cu?
2k?
C
1μR1
2k?
Cu?
零输入零状态
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k?2k?
+
43
零状态响应解,+
_E 10V C1μF
R1
Cu?
2k?(一 ),经典法,
V)1)(()(?tCc eutu'
CR 1V10)(
Cu
44
Ve
eutu'
CR
t
t
Cc
11010
)1)(()(
零状态响应解：
45
零输入解：
V60Cu
V6
)0(''u)(
1
/
C
CR
t
t
c
e
Vetu"
C
1μF
R1
2k?
Cu?
46
V 410
61010
)0()1)((
)()(
1
11
/
CR
t
CR
t
CR
t
t
C
t
C
CCC
e
ee
eueu
u"tu'tu
全响应解,( 零状态响应 零输入响应 )+
零状态响应 零输入响应
47
V 410)(?tC etu
稳态分量暂态分量＋
稳态分量暂态分量全解
t0
-4
6
10
(V)
48
V1010)(?tc etu'
V6)(?tc etu"
零状态响应零输入响应完全解
10
6
t
零输入响应零状态响应 ＋
49
RC
t
RC
t
C
UeU
UeUtu
)(
的物理意义,决定电路过渡过程变化的快慢。
t
Cu
K R
U
+
_ C Cu
i
关于时间常数的讨论
50
当 t=5? 时，过渡过程 基本结束,uC达到稳态值。
t
C UeUtu
)(
002.63)( Uu?
t当 时,
Cu
t
U
)(?u
t 02?3?4?5?6
Cu
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
0.632U
51
t
U
0.632U
1? 2? 3?
越大,过渡过程曲线 变化越慢,uc达到稳态所需要的 时间越长 。
结论：
t
C UeUtu
)(
1?
2?
3?
321
52
RC
t
CCC
CCC
euuu
u"u'tu
)]()0([)(
)(
根据经典法推导的结果：
teffftf?
)]()0([)()(
可得 一阶电路微分方程解 的通用表达式：
K R
U
+
_ C Cu
i
6.3 一阶线性电路暂态分析的 三要素法
53
其中三要素为,初始值 ----
)(?f稳态值 ----
时间常数 ----
)0(?f
)(tf 代表一阶电路中任一待求 电压、电流响应 。式中利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。 只要是一阶电路，就可以用三要素法 。
teffftf?
)]()0([)()(
54
三要素法 求解过渡过程要点：
分别求 初始值,稳态值,时间常数 ；.
.将以上结果代入过渡过程 通用表达式 ；
)0(?f
初始值 ----
)(?f稳态值 ----
时间常数 ----?
teffftf?
)]()0([)()(
55
)]0()([632.0 ff
终点
)(?f
起点
)0(?f
t
.画出过渡过程曲线（ 由初始值?稳态值 ）
（电压、电流随时间变化的关系）
56
“三要素,的计算一、初始值
)0(?f
的计算,
步骤,(1)求换路前的
)0()0( LC iu,
(2)根据换路定理得出：
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
)0(?i
(3)根据换路后的等效电路，用基氏定律求未知的 )0(
u
或 。
57
步骤,(1) 画出换路后的等效电路 （注意,在直流激励的情况下,令 C开路,L短路 ）；
(2) 根据电路的解题规律,求换路后所求未知数的 稳态值 。
注,在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
二、稳态值
)(?f
的计算,
“三要素,的计算
58
mA2
33
3
4)(?
Li
求稳态值举例
t =0
L
2?
3?
3?
4mA
Li
t =∞
L
2?
3?
3?
4mA
Li
59
V610
4//43
3
)(
Cu
求稳态值举例
+
-
t=0
C
10V
4 k
3k
4k
uc
+
-
t=∞
C
10V
4 k
3k
4k
uc
60
原则,
要由 换路后 的电路结构和参数计算。
(同一电路中各物理量的 是一样的 )?
三、时间常数 的计算,?
“三要素,的计算
R 'C
对于较复杂的一阶 RC电路，将 C以外的电路，视为 有源二端网络,然后求其 除源网络 的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内阻的方法相同 )。则,
步骤,RC(1) 对于只含一个 R和 C的简单电路,；
61
R 'C
Ed
+
-
21 //' RRR?
C
RC 电路? 的计算举例
E
+
-
t=0
C
R1
R2
62
E
+
_
RK t =0
L
Ru
Li
Lu
Euu RL
ERi
dt
di
L LL
R
L
（ 2） 对于只含一个 L 的电路，将 L 以外的电 路,视为有源二端网络,然后求其等效内阻 R'。则,
R,L 电路? 的求解
63
ERi
dt
di
L LL
0 Ri
dt
di
L LL
齐次微分方程：
0 RLP
特征方程：
L
R
P
设其通解为,pt
L Aei"?
代入上式得
R
L
P
1
则：
64
RR
L
2RR'?
L
R
Ed
+
-
R,L 电路? 的计算举例
t=0
IS
R
L
R1
R2
65
求,电感电压
)(tu L
例 1 已知,K 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
t=03A
L
Lu
K R
2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
“三要素,的计算举例
66
第一步,求初始值
)0(?Lu
A23
21
2
)0()0(
LL ii
0)0(Lu？
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t =0ˉ时等效电路
3A L
Li
2?1
2
67
V4
]//)[0(
)0(
321
RRRi
u
L
L
t=0+时等效电路
2A Lu
R1
R2
R3
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
68
第二步,求稳态值
)(?Lu
t=?时等效电路
V0)(Lu
Lu
R1
R2
R3
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
69
第三步,求时间常数?
s)(5.0
2
1
'
R
L?
321 || RRRR
t=03A
L L
uK
R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H LR2
R3R1
LR'
70
第四步,将 三要素 代入通用表达式得暂态过程方程：
V4)0(Lu
0)(Lu
s5.0
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
71
第五步,画 暂态过程 曲线（由初始值?稳态值）
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
72
例 2
V6)0(
21
2?
E
RR
R
u C
tu C求：
已知：开关 K 原处于闭合状态,t=0时打开。
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k2k
t =0
73
解：三要素法起始值,
V600 CC uu
稳态值, V10
Cu
时间常数,ms2
1 CR?
V 410
)()0()()(
0 0 2.0
t
t
CCCC
e
euuutu
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k2k
t =0
74
求：
已知：开关 K 原在,3”位置，电容未充电。
当 t ＝ 0 时,K合向,1”
t ＝ 20 ms 时,K再 从,1”合向,2”
titu C,
3
+
_
E1
3V
K
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ
Cu
i
+
_
E2
5V
1k
2
R3
例 3
75
解,第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms,K,3?1）
V000 CC uu mA30
1
R
E
i
R1
+
_E1 3V R2
i
Cu
初始值K
+
_E1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
76
稳态值
V21
21
2
E
RR
Ru
C
mA1
21
1
RR
E
i
R1
+
_E
1
3V R
2
i
Cu
K
+
_E1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
77
时间常数
k
3
2//
21 RRR d
mA2 CR d?
K
+
_E1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
R1
+
_E1 3V R2
i
Cu
C
78
teffftf )()0()()(
)V(000 CC uu
)V(21
21
2
E
RR
R
u C
)( m s2 CR d?
V 22)( 2tc etu
第一阶段（ t = 0 ~ 20 ms） 电压 暂态过程方程：
79
teffftf )()0()()(
mA21 2teti
mA30
1
R
Ei
mA1
21
1?
RR
Ei
ms2 CR d?
第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms） 电流 过渡过程方程：
80
第一阶段波形图
20ms
t
2
)V(Cu
下一阶段的起点
3
t
）（ mAi
20ms
1
说明,? ＝ 2 ms,5?＝ 10 ms
20 ms > 10 ms,t=20 ms 时,可以认为 电路已基本达到稳态 。
81
起始值
V2)ms20(
)ms20(
-
C
C
u
u
第二阶段,20ms ~
mA5.1
)ms20(
)ms20(
31
2
RR
uE
i
c
（ K由 1?2）
+
_ E2
R1
R3
R2
Cu
i
+
_
t=20 + ms 时等效电路
K
E1
R1
+
_
+
_
E2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
82
稳态值第二阶段,(K:1?2)
mA25.1
)(
321
2
RRR
E
i
V5.2
)(
2
321
2
E
RRR
R
u
c
K
E1
R1
+
_
+
_
E2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
_
+ E
2
R1
R3
R2
Cu
i
83
时间常数
k1//)( 231 RRRR d
ms3 CR d?
第二阶段,(K:1?2)
K
E1
R1
+
_
+
_
E2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
_ Cu
C
+ E
2
R1
R3
R2
i
84
第二阶段 （ 20ms ~） 电压 过渡过程方程：
V 5.05.2)20( 3
20?
t
C etu
ms3 CR d?
V2)ms20(Cu
V5.2)(Cu
85
第二阶段 （ 20ms ~） 电流 过渡过程方程
mA 25.025.1)20( 3
20
t
eti
mA5.1)ms20(i
mA25.1)(i
ms3 CR d?
86
第二阶段 小结：
mA 25.025.1)20(
V 5.05.2)20(
3
20
3
20
t
t
c
eti
etu
mA 21)(
V 22)(
2
2
t
t
c
eti
etu
第一阶段 小结：
87
总波形始终是连续的不能突跳
Cu
是 可以突变的i3 1.5
t
1.25
i
1
(mA)
20ms t
2
2.5
Cu
(V)
88
tT
E
iu
C
R
ou
T
E
iu
t?C
R
iu
ou
E +
-
iu
§ 6.4 微分电路与积分电路
89
条件,τ<< T
电路的输出 近似为输入信号的微分
V0)0(Cu
t >T
+
ou
-
C
R
iu ou
t=0 ~ T
+
+
-E
ou
T
tE
iu
t
ou
6.4.1 微分电路
dt
duRC
dt
duRCiRu 11
0
90
条件,τ>> T
电路的输出 近似为输入信号的积分
iu
t
T
E
ou
t
t= 0 ~ T +
-E ou
+
-
ou
+
-t >T
C
R
iu
ou
6.4.2 积分电路
dtuRCid tCuu C 12 11
91
τ<<T/2
C
R
iu
ou
T 2T
E
t
iu
T/2
t
Cu E
ou
T t2T
E
序列脉冲作用下 R－ C电路的过渡过程
92
2T
E
tT
iu
T/2
ou
T t2T
E
t
Cu E
T/2= 5?
C
R
iu
ou
93
>> T/2
t
iu
2T
E
TT/2
.,,,,,,,,
ou
T 2T
E
.,,
Cu
E
.,,E 2
( 稳定后 )
见后页说明
CR
iu
ou
94
Cu
ou
E 2
t
t
E
以横轴上下对称,以 0.5 E上下对称，
ou Cu
U1,U2可用三要素法求出。
C
R
iu
ou
Cu
U2
U1
>> T/2时稳定后的波形
95
三要素方程：
TteUtu
eEUEtu
Tt
t
2
T
2
T
t0
2
22
11
Cu E 2
t
E
U2
U1
T/2 T0
)(2 tu
)(1 tu
96
两式联立求解得：
2/22/
2/
1 11 TT
T
e
E
U
e
eE
U
(2)
2/
212 )(
TeUUTu
当 t=T时：
---------
(1)
2/
121 )()2(
TeEUEUTu
当 t=T/2时：
---
标记页仅供参考，不做要求。
第六章电路的暂态分析
2t
E
Cu
稳态暂态旧稳态 新稳态过渡（ 暂态 ）过程,
C
电路处于 旧稳态
K R
E+_
Cu
概 述电路处于 新稳态
R
E+_
Cu
“稳态,与,暂态,的概念,?
3
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，
不存在过渡过程 。
产生过渡过程的电路及原因?
4
E
t
Cu
电容为 储能元件,它储存的能量为电场能量,
其大小为：
电容电路
2
0 2
1
cuid tuW
t
C
储能元件因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电容的电路存在 过渡过程 。
U
K R
+
_ C
uC
5
t
Li
储能元件电感电路电感为 储能元件,它储存的能量为磁场能量，
其大小为：
2
0 2
1
LidtuiW
t
L
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在 过渡过程 。
K R
U
+
_
t=0
iL
6
结论有储能元件（ L,C）的电路在 电路状态发生变化（ 换路 ） 时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在 过渡过程 ；
没有储能作用的电阻（ R）电路，不存在过渡过程。
电路中的 u,i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时 u,i都处于暂时的不稳定状态，
所以 过渡过程 又称为电路的 暂态过程 。
7
讲课重点,直流电路、交流电路都存在过渡过程。
我们讲课的重点是 直流电路的过渡过程 。
研究过渡过程的意义,过渡过程是一种自然现象,对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。
有利的方面,如电子技术中常用它来 产生各种波形；
不利的方面,如在暂态过程发生的瞬间，可能出现 过压或过流,致使设备损坏，必须采取防范措施。
说明：
8
换路,电路状态的改变。如,
1,电路接通、断开电源
2,电路中电源的升高或降低
3,电路中元件参数的改变
…………..
§ 6.1 换路定理与电压和电流初始值的确定
9
换路定则,在换路瞬间，电容上的电压、
电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路?0
0
--- 换路前 稳态终了瞬间
--- 换路后 暂态起始瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
则：
10
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以*
电感 L 储存的磁场能量
）（ 2
2
1
LL LiW?
LW
不能突变
Li
不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 2
2
1
CCuWc?
11
*
若
cu
发生突变，
dt
du c
i
不可能 ！
一般电路则所以电容电压不能突变从电路关系分析
K R
U
+
_ C
i
uC
C
C
C udt
du
RCuiRU
K 闭合后，列回路电压方程：
)(
dt
duCi?
12
求解要点,
1.
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
2,根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时的大小。
初始值的确定：
13
换路时电压方程,
)0()0( LuRiU
不能突变
Li
发生了突跳
Lu
根据换路定理
A 0)0()0( LL ii
解,
V20020)0(Lu
求,
)0(
),0(
L
L
u
i
已知,R=1kΩ,
L=1H,U=20 V、
A 0?Li
设 时开关闭合0?t
开关闭合前
iL
U
K
t=0
uL
uR例 1
14
已知,
电压表内阻
H1k1V20 LRU,、
k5 0 0VR
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求,K打开的瞬间,电压表两的电压。
解,
换路前
mA20
1 0 0 0
20)0(
R
Ui
L
(大小,方向都不变 )
换路瞬间
mA20)0()0( LL ii
K
.
U
L
V
R
iL
例 2
15
t=0+
时的等效电路
mA20)0()0( LL ii
VLV Riu )0()0(
V1 0 0 0 0
105 0 01020 33
V
mA20)0(LS iI
V
SI
注意,实际使用中要加保护措施,
加续流二极管 或 先去掉电压表再打开开关 S。
K
U
L
V
R
iL
16
已知,K 在,1”处停留已久，在 t=0时合向
,2”
求,
LC uuiii,、、,21
的初始值，即 t=0+时刻的值。
i
E 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
Cu
Lu6V
2k
例 3：
17
mA5.1)0()0(
1
1 RR
E
ii L
V3)0()0( 11 Riu C
解：
i
E 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
Cu
Lu6V
2k
换路前的等效电路
E
R1+
_
R
Cu
R2
1i
18
）（?0Cu
t=0 + 时的等效电路
mA5.1
)0()0()0(1
LL iii
mA3
)0(
)0(
2
2
R
uE
i
C
mA5.4
)0()0()0( 21
iii
V3)0()0( 11 RiEu L
)0(?Li
E
1k2k+
_
R2R1
i
1i
2i
3V1.5mA
+
-
Lu
19
计算结果电量 i
Lii?1 2i
Cu Lu
0t
0t mA5.1
mA5.4
mA5.1
mA5.1
0
mA3
V3
V3 V3
0
i
E k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
Cu
Lu6V
2k
20
小结
1,换路瞬间，
LC iu,
不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；
0)0( 0 Ii L
3,换路瞬间,电感相当于恒流源，；0I
其值等于
0)0(Li
，电感相当于断路。；0U
2,换路瞬间，
，0)0( 0 Uu C
电容相当于恒压源，其值等于
，0)0(Cu
电容相当于短路；
21
提示,先画出 t=0- 时的等效电路
)0()0()0()0( LCLC iuiu,、
画出 t =0+时的等效电路 （注意
)0()0( LC iu,
的作用） 求 t=0+
时的各电压值。
10mA
iK iR iC iL
K
R1 R2 R3
UC UL
例 4:
22
K R
U
+
_ C Cu
i
电压方程,
C
C
C udt
du
RCuRiU
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中 一般仅含一个储能元件 。）如：
一阶电路的概念：
23
(一 ),经典法,用数学方法 求解微分方程；
(二 ),三要素法,求 初始值稳态值时间常数
……………...
本节重点：
一阶电路过渡过程的求解方法,
三要素法
24
零状态：
换路前电路中的储能元件均未贮存能量，称为 零状态 。
电路状态零输入：
电路中无电源激励（即输入信号为零）
时，为 零输入 。
6.2 RC电路的响应
25
电路的响应零状态响应：
在零状态的条件下，由 电源激励信号 产生的响应为零状态响应。
全响应：
电容上的 储能 和 电源激励 均不为零时 的响应，
为全响应。
零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态（ 储能元件的储能 ）引起的响应，为零输入响应； 此时,被视为一种输入信号。)0(
cu )0(?Li
或
26
6.2.1 RC电路的零输入响应（ C放电 ）
0 CC u
dt
duRC
t=0时开关 S由 1合到 2：
1
U
+
-
K
2 R
t=0
C
Cu
iC
iCR + Uc = 0
dt
duCi C?
设微分方程的通解为：
pt
C Aeu?
一阶常系数齐次线性微分方程
(一 ),经典法,
27
求齐次方程的通解：
0 CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
A为积分常数
P为特征方程式的根其中,
pt
C Aeu?
设微分方程的通解为：
28
得特征方程：
01R C P
pt
C Aeu?
将 代入齐次方程,
RC
P 1
故：
0 CC u
dt
du
RC
求 P值,?
求 A:
0)0(0 Uuu CC
RC
C Aeu
1
微分方程的通解为：
由换路定则：
得：
0UA?
29
/
0 )0()(
t
C
RCt
C eueUtu
代入通解得零输入响应,
将：
0UA?
式中,RC （ S） 为 时间常数。
RC
C Aeu
1
微分方程的通解为：
30
时间常数 决定暂态过程的快慢：
t
dt
duCi C?
当 时,uC=0.368U0 （如图）
Cu
t
U0
0.368U
0
由得：
/0)( te
R
Uti
/
0)(
t
R eURitu
/
0 )0()(
t
C
RCt
C eueUtu
31
RK
+
_ C Cu
U
6.2.2 RC电路的零状态响应 (C充电 ）
Uu
dt
duRC
C
C
t=0 时开关 S合上：
iC i
CR + uC = U
dt
du
Ci C?
(一 ),经典法,
32
Uu
dt
du
RC CC
一阶常系数非齐次线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
方程的特解
Cu'
对应齐次方程的通解（补函数）
Cu"
即：
CCC uutu "')(
K R
U
+
_ C Cu
i
33Uutu' CC )()(
Cu'
UK
dt
dKRC
UK得：
（常数）。
Ku' C?
和外加激励信号具有相同的形式。 在该电路中，令 代入方程
)(?Cu
]作特解，故此特解也称为 稳态分量。
在电路中,通常取换路后的新稳态值 [记做：
所以该电路的特解为：
1,求特解 ----
Cu'
34
Cu"
2,求齐次方程的通解 ----
0 CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
Cu"
随时间变化，故通常称为 暂态分量 。
其形式为指数。设,pt
C Aeu?"
A为积分常数
P为特征方程式的根其中,
35
求 P值,?
求 A:?
RC
t
RC
t
c
CCC
AeU
Aeuu"u'tu
)()(
得特征方程：
01R C P
pt
C Aeu"?
将 代入齐次方程,
RC
P 1
故：
0 CC u
dt
du
RC
36
0)()0( 00 AeUAeuu CC
RC
t
RC
t
CCCC
AeU
Aeuu"u'tu
)()(
UuuA )()0(所以代入该电路的起始条件
0)0()0( CC uu
得,
37
RC
t
RC
t
CC
Pt
C
Ue
euuAetu"
)]()0([)(
故齐次方程的通解 为,
RC
P 1
UuuA )()0(
38
3,微分方程的全部解
CCC u"u'tu)(
Uutu' cC )()(
RC
t
RC
t
CC
Pt
C
Ue
euuAetu"
)]()0([)(
K R
U
+
_ C Cu
i
39
)1)((
)]()0([)(
)(
/?t
C
RC
t
RC
t
CCC
CCC
eu
UeU
euuu
u"u'tu
称为 时间常数定义：
RCP 1?
单位
R,欧姆
C,法拉
,秒
Cu
t
40
U
T
t
iu
零输入响应零状态响应
C在 加入前未充电 iu
iu
R
C
( 零状态响应 零输入响应 )+
Cu t
6.2.3 RC电路的全响应
41
V6)0(
21
2?
E
RR
R
u C
tu C求：
已知：开关 K 原处于闭合状态,t=0时打开。
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k2k
t =0
例
42
解,全响应 =零状态响应 +零输入响应
+
_E 10V C
1μR1
Cu?
2k?
C
1μR1
2k?
Cu?
零输入零状态
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k?2k?
+
43
零状态响应解,+
_E 10V C1μF
R1
Cu?
2k?(一 ),经典法,
V)1)(()(?tCc eutu'
CR 1V10)(
Cu
44
Ve
eutu'
CR
t
t
Cc
11010
)1)(()(
零状态响应解：
45
零输入解：
V60Cu
V6
)0(''u)(
1
/
C
CR
t
t
c
e
Vetu"
C
1μF
R1
2k?
Cu?
46
V 410
61010
)0()1)((
)()(
1
11
/
CR
t
CR
t
CR
t
t
C
t
C
CCC
e
ee
eueu
u"tu'tu
全响应解,( 零状态响应 零输入响应 )+
零状态响应 零输入响应
47
V 410)(?tC etu
稳态分量暂态分量＋
稳态分量暂态分量全解
t0
-4
6
10
(V)
48
V1010)(?tc etu'
V6)(?tc etu"
零状态响应零输入响应完全解
10
6
t
零输入响应零状态响应 ＋
49
RC
t
RC
t
C
UeU
UeUtu
)(
的物理意义,决定电路过渡过程变化的快慢。
t
Cu
K R
U
+
_ C Cu
i
关于时间常数的讨论
50
当 t=5? 时，过渡过程 基本结束,uC达到稳态值。
t
C UeUtu
)(
002.63)( Uu?
t当 时,
Cu
t
U
)(?u
t 02?3?4?5?6
Cu
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
0.632U
51
t
U
0.632U
1? 2? 3?
越大,过渡过程曲线 变化越慢,uc达到稳态所需要的 时间越长 。
结论：
t
C UeUtu
)(
1?
2?
3?
321
52
RC
t
CCC
CCC
euuu
u"u'tu
)]()0([)(
)(
根据经典法推导的结果：
teffftf?
)]()0([)()(
可得 一阶电路微分方程解 的通用表达式：
K R
U
+
_ C Cu
i
6.3 一阶线性电路暂态分析的 三要素法
53
其中三要素为,初始值 ----
)(?f稳态值 ----
时间常数 ----
)0(?f
)(tf 代表一阶电路中任一待求 电压、电流响应 。式中利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。 只要是一阶电路，就可以用三要素法 。
teffftf?
)]()0([)()(
54
三要素法 求解过渡过程要点：
分别求 初始值,稳态值,时间常数 ；.
.将以上结果代入过渡过程 通用表达式 ；
)0(?f
初始值 ----
)(?f稳态值 ----
时间常数 ----?
teffftf?
)]()0([)()(
55
)]0()([632.0 ff
终点
)(?f
起点
)0(?f
t
.画出过渡过程曲线（ 由初始值?稳态值 ）
（电压、电流随时间变化的关系）
56
“三要素,的计算一、初始值
)0(?f
的计算,
步骤,(1)求换路前的
)0()0( LC iu,
(2)根据换路定理得出：
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
)0(?i
(3)根据换路后的等效电路，用基氏定律求未知的 )0(
u
或 。
57
步骤,(1) 画出换路后的等效电路 （注意,在直流激励的情况下,令 C开路,L短路 ）；
(2) 根据电路的解题规律,求换路后所求未知数的 稳态值 。
注,在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
二、稳态值
)(?f
的计算,
“三要素,的计算
58
mA2
33
3
4)(?
Li
求稳态值举例
t =0
L
2?
3?
3?
4mA
Li
t =∞
L
2?
3?
3?
4mA
Li
59
V610
4//43
3
)(
Cu
求稳态值举例
+
-
t=0
C
10V
4 k
3k
4k
uc
+
-
t=∞
C
10V
4 k
3k
4k
uc
60
原则,
要由 换路后 的电路结构和参数计算。
(同一电路中各物理量的 是一样的 )?
三、时间常数 的计算,?
“三要素,的计算
R 'C
对于较复杂的一阶 RC电路，将 C以外的电路，视为 有源二端网络,然后求其 除源网络 的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内阻的方法相同 )。则,
步骤,RC(1) 对于只含一个 R和 C的简单电路,；
61
R 'C
Ed
+
-
21 //' RRR?
C
RC 电路? 的计算举例
E
+
-
t=0
C
R1
R2
62
E
+
_
RK t =0
L
Ru
Li
Lu
Euu RL
ERi
dt
di
L LL
R
L
（ 2） 对于只含一个 L 的电路，将 L 以外的电 路,视为有源二端网络,然后求其等效内阻 R'。则,
R,L 电路? 的求解
63
ERi
dt
di
L LL
0 Ri
dt
di
L LL
齐次微分方程：
0 RLP
特征方程：
L
R
P
设其通解为,pt
L Aei"?
代入上式得
R
L
P
1
则：
64
RR
L
2RR'?
L
R
Ed
+
-
R,L 电路? 的计算举例
t=0
IS
R
L
R1
R2
65
求,电感电压
)(tu L
例 1 已知,K 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
t=03A
L
Lu
K R
2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
“三要素,的计算举例
66
第一步,求初始值
)0(?Lu
A23
21
2
)0()0(
LL ii
0)0(Lu？
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t =0ˉ时等效电路
3A L
Li
2?1
2
67
V4
]//)[0(
)0(
321
RRRi
u
L
L
t=0+时等效电路
2A Lu
R1
R2
R3
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
68
第二步,求稳态值
)(?Lu
t=?时等效电路
V0)(Lu
Lu
R1
R2
R3
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
69
第三步,求时间常数?
s)(5.0
2
1
'
R
L?
321 || RRRR
t=03A
L L
uK
R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H LR2
R3R1
LR'
70
第四步,将 三要素 代入通用表达式得暂态过程方程：
V4)0(Lu
0)(Lu
s5.0
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
iL
71
第五步,画 暂态过程 曲线（由初始值?稳态值）
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
72
例 2
V6)0(
21
2?
E
RR
R
u C
tu C求：
已知：开关 K 原处于闭合状态,t=0时打开。
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k2k
t =0
73
解：三要素法起始值,
V600 CC uu
稳态值, V10
Cu
时间常数,ms2
1 CR?
V 410
)()0()()(
0 0 2.0
t
t
CCCC
e
euuutu
E +
_ 10V KC
1?R1 R2
Cu
3k2k
t =0
74
求：
已知：开关 K 原在,3”位置，电容未充电。
当 t ＝ 0 时,K合向,1”
t ＝ 20 ms 时,K再 从,1”合向,2”
titu C,
3
+
_
E1
3V
K
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ
Cu
i
+
_
E2
5V
1k
2
R3
例 3
75
解,第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms,K,3?1）
V000 CC uu mA30
1
R
E
i
R1
+
_E1 3V R2
i
Cu
初始值K
+
_E1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
76
稳态值
V21
21
2
E
RR
Ru
C
mA1
21
1
RR
E
i
R1
+
_E
1
3V R
2
i
Cu
K
+
_E1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
77
时间常数
k
3
2//
21 RRR d
mA2 CR d?
K
+
_E1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
R1
+
_E1 3V R2
i
Cu
C
78
teffftf )()0()()(
)V(000 CC uu
)V(21
21
2
E
RR
R
u C
)( m s2 CR d?
V 22)( 2tc etu
第一阶段（ t = 0 ~ 20 ms） 电压 暂态过程方程：
79
teffftf )()0()()(
mA21 2teti
mA30
1
R
Ei
mA1
21
1?
RR
Ei
ms2 CR d?
第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms） 电流 过渡过程方程：
80
第一阶段波形图
20ms
t
2
)V(Cu
下一阶段的起点
3
t
）（ mAi
20ms
1
说明,? ＝ 2 ms,5?＝ 10 ms
20 ms > 10 ms,t=20 ms 时,可以认为 电路已基本达到稳态 。
81
起始值
V2)ms20(
)ms20(
-
C
C
u
u
第二阶段,20ms ~
mA5.1
)ms20(
)ms20(
31
2
RR
uE
i
c
（ K由 1?2）
+
_ E2
R1
R3
R2
Cu
i
+
_
t=20 + ms 时等效电路
K
E1
R1
+
_
+
_
E2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
82
稳态值第二阶段,(K:1?2)
mA25.1
)(
321
2
RRR
E
i
V5.2
)(
2
321
2
E
RRR
R
u
c
K
E1
R1
+
_
+
_
E2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
_
+ E
2
R1
R3
R2
Cu
i
83
时间常数
k1//)( 231 RRRR d
ms3 CR d?
第二阶段,(K:1?2)
K
E1
R1
+
_
+
_
E2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
_ Cu
C
+ E
2
R1
R3
R2
i
84
第二阶段 （ 20ms ~） 电压 过渡过程方程：
V 5.05.2)20( 3
20?
t
C etu
ms3 CR d?
V2)ms20(Cu
V5.2)(Cu
85
第二阶段 （ 20ms ~） 电流 过渡过程方程
mA 25.025.1)20( 3
20
t
eti
mA5.1)ms20(i
mA25.1)(i
ms3 CR d?
86
第二阶段 小结：
mA 25.025.1)20(
V 5.05.2)20(
3
20
3
20
t
t
c
eti
etu
mA 21)(
V 22)(
2
2
t
t
c
eti
etu
第一阶段 小结：
87
总波形始终是连续的不能突跳
Cu
是 可以突变的i3 1.5
t
1.25
i
1
(mA)
20ms t
2
2.5
Cu
(V)
88
tT
E
iu
C
R
ou
T
E
iu
t?C
R
iu
ou
E +
-
iu
§ 6.4 微分电路与积分电路
89
条件,τ<< T
电路的输出 近似为输入信号的微分
V0)0(Cu
t >T
+
ou
-
C
R
iu ou
t=0 ~ T
+
+
-E
ou
T
tE
iu
t
ou
6.4.1 微分电路
dt
duRC
dt
duRCiRu 11
0
90
条件,τ>> T
电路的输出 近似为输入信号的积分
iu
t
T
E
ou
t
t= 0 ~ T +
-E ou
+
-
ou
+
-t >T
C
R
iu
ou
6.4.2 积分电路
dtuRCid tCuu C 12 11
91
τ<<T/2
C
R
iu
ou
T 2T
E
t
iu
T/2
t
Cu E
ou
T t2T
E
序列脉冲作用下 R－ C电路的过渡过程
92
2T
E
tT
iu
T/2
ou
T t2T
E
t
Cu E
T/2= 5?
C
R
iu
ou
93
>> T/2
t
iu
2T
E
TT/2
.,,,,,,,,
ou
T 2T
E
.,,
Cu
E
.,,E 2
( 稳定后 )
见后页说明
CR
iu
ou
94
Cu
ou
E 2
t
t
E
以横轴上下对称,以 0.5 E上下对称，
ou Cu
U1,U2可用三要素法求出。
C
R
iu
ou
Cu
U2
U1
>> T/2时稳定后的波形
95
三要素方程：
TteUtu
eEUEtu
Tt
t
2
T
2
T
t0
2
22
11
Cu E 2
t
E
U2
U1
T/2 T0
)(2 tu
)(1 tu
96
两式联立求解得：
2/22/
2/
1 11 TT
T
e
E
U
e
eE
U
(2)
2/
212 )(
TeUUTu
当 t=T时：
---------
(1)
2/
121 )()2(
TeEUEUTu
当 t=T/2时：
---
标记页仅供参考，不做要求。
