第二章 传输线理论
2-1 引 言一、传输线的种类大致可分三种
（ 1） TEM波
(2)TE,TM波
(3)表面波二、分布参数及分布参数电路传输线有 长线 和 短线 之分。所谓长线是指传输线的几何长度与线上传输电磁波的波长比值 (电长度 )大于或接近 1，反之称为短线。
长线 分布参数电路 忽略分布参数效应短线 集中参数电路 考虑分布参数效应当频率提高到微波波段时，这些分布效应不可忽略，所以微波传输线是一种分布参数电路。这导致传输线上的电压和电流是随时间和空间位置而变化的二元函数。
第二章 传输线理论根据传输线上的分布参数是否均匀分布，可将其分为均匀传输线 和 不均匀传输线 。我们可以把均匀传输线分割成许多小的微元段 dz (dz<<?)，这样每个微元段可看作集中参数电路，用一个? 型网络来等效。于是整个传输线可等效成无穷多个? 型网络的级联第二章 传输线理论第二章 传输线理论
2-2 传输线方程及其解一、传输线方程
du z t u z tz dz,,
di z t i z tz dz,,
dz段的等效电路
dU z
dz
ZI z
dI z
dz
YU z
瞬时值 u,i与复数振幅 U,I
的关系为
u z t U z e
i z t I z e
j t
j t
,Re
,Re
(2-3)
二、传输线方程的解第二章 传输线理论将式 (2-3)两边对 z再求一次微分，并令，可得
(2-4)
d U z
dz
U z
d I z
dz
I z
2
2
2
2
2
2
0
0
通解为
U z A e A e
I z
Z
A e A e
z z
z z
1 2
0
1 2
1
式中,Z R j L
G j C0
0 0
0 0
R j L G j C j0 0 0 0
第二章 传输线理论
1,已知传输线终端电压 U2和电流 I2，沿线电压电流表达式
U z A e A e
I z Z A e A e
z z
z z
1 2
0
1 2
1
将终端条件 U (0)=U2,I (0)=I2代入上式可得
U A A
I
Z
A A
2 1 2
2
0
1 2
1
解得,。?A U Z I
1 2 0 21 2A U Z I2 2 0 21 2
将 A1,A2代入式 (2-6)得整理后可得
U z U z I Z z
I z U z Z I z
2 2 0
2
0
2
ch sh
sh ch
第二章 传输线理论
2,已知传输线始端电压 U1和电流 I1，沿线电压电流表达式这时将坐标原点 z=0选在始端较为适宜。将始端条件 U (0)=U1,I (0)=I1代入式 (2-5)，同样可得沿线的电压电流表达式为
U z U z I Z z
I z U z Z I z
1 1 0
1
0
1
ch sh
sh ch
第二章 传输线理论三、入射波和反射波根据复数振幅与瞬时值间的关系，可求得传输线上电压和电流的瞬时值表达式
u z t U z e
A e t z A e t z
j t
z z
,Re
c o s c o s
1 2= u z t u z ti r,,?
i z t I z e
A
Z e t z
A
Z e t z
j t
z z
,Re
c o s c o s
1
0
2
0 = i z t i z ti r,,?
第一部分表示由信号源向负载方向传播的行波，称之为入射波。
其中为电压入射波，为电流入射波。
第二部分表示由负载向信号源方向传播的行波，称之为反射波。
入射波和反射波沿线的瞬时分布图如图第二章 传输线理论
2-3 传输线的特性参量传输线的特性参量主要包括,传播常数、特性阻抗、
相速和相波长、输入阻抗、反射系数、驻波比 (行波系数 )
和传输功率 等。
一、传播常数传播常数?一般为复数，可表示为
R j L G j C j0 0 0 0
对于低耗传输线有 (无耗传输线
R CL G LC c d0 0
0
0 0
02 2
L C0 0
R G0 00 0,)
无耗
0
0 0
L C
第二章 传输线理论二、特性阻抗传输线的 特性阻抗 定义为传输线上入射波电压 Ui (z)
与入射波电流 Ii (z)之比，或反射波电压 Ur (z)与反射波电流 Ir (z)之比的负值，即
Z
U z
I z
U z
I z
R j L
G j C
i
i
r
r
0
0 0
0 0
对于无耗传输线 ( )，则R G0 00 0,
Z LC0 0
0
对于微波传输线,也符合。
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数，
它仅决定于分布参数 L0和 C0，与频率无关。
第二章 传输线理论三、相速和相波长相速 是指波的等相位面移动速度。
入射波的相速为 v dz
dtp
对于微波传输线
v L Cp? 1
0 0
所谓 相波长 定义为波在一个周期 T内等相位面沿传输线移动的距离。即
p p pv T v f f 2
第二章 传输线理论四、输入阻抗传输线终端接负载阻抗 ZL时,距离终端 z处向负载方向看去的输入阻抗定义为该处的电压 U (z)与电流 I (z)之比,即
Z z U zI zin?
均匀无耗传输线
Z z U z jI Z z
jU z
Z
I z
Z Z jZ z
Z jZ zin
L
L
2 2 0
2
0
2
0
0
0
c o s s i n
s i n c o s
tg
tg
传输线的输入阻抗第二章 传输线理论对给定的传输线和负载阻抗,线上各点的输入阻抗随至终端的距离 l的不同而作周期 (周期为 )变化,且在一些特殊点上,有如下简单阻抗关系：
Z l Z l n n
Z l
Z
Z
l n n
in L
in
L
2
0 1 2
2 1
4
0 1 20
2
,,,
,,,
1.传输线上距负载为半波长整数倍的各点的输入阻抗等于负载阻抗；
2.距负载为四分之一波长奇数倍的各点的输入阻抗等于特性阻抗的平方与负载阻抗的比值，
3.当 Z0为实数,ZL为复数负载时，四分之一波长的传输线具有变换阻抗性质的作用。
在许多情况下，例如并联电路的阻抗计算，采用导纳比较方便
Y z Z z Y Y jY zY jY zin
in
L
L
1 0 0
0
tg
tg
第二章 传输线理论五、反射系数距终端 z处的反射波电压 Ur(z)与入射波电压 Ui(z)之比定义为该处的 电压反射系数?u(z),即
u r
i
j z
j z
j zz U z
U z
A e
A e
A
A e
2
1
2
1
2
电流反射系数
i ri j z uz
I z
I z
A
A e z
2
1
2?
终端反射系数
L
j
L
jA
A
A
A e e L
2
1
2
1
2 1
传输线上任一点反射系数与终端反射系数的关系z e e eL j z L j z L jL2 2
第二章 传输线理论输入阻抗与反射系数间的关系
Z z U zI z U z zI z z Z zzin i
i
11 110
负载阻抗与终端反射系数的关系
Z ZL L
L
0 11
上述两式又可写成
z Z z ZZ z Zin
in
0
0
L L
L
Z Z
Z Z?
00
第二章 传输线理论六、驻波比和行波系数电压（或电流） 驻波比?定义为传输线上电压（或电流）的最大值与最小值之比，即
UU IIm a x
m i n
m a x
m i n
当传输线上入射波与反射波同相迭加时，合成波出现最大值；
而反相迭加时出现最小值
U U U U
U U U Ui r ii r im a xm i n
1
1
驻波比与反射系数的关系式 为UU m a x
m in
1
1
11
行波系数 K定义为传输线上电压（或电流）的最小值与最大值之比，故行波系数与驻波比互为倒数
K UU IIm i n
m a x
m i n
m a x
1
1
1?
第二章 传输线理论反射系数模的变化范围为驻波比的变化范围为
0 1
1
行波系数的变化范围为 0 1K
传输线的工作状态一般分为三种：
传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻波比和行波系数三个参量来描述。
(1)行波状态0 1 1,,? K
(3)驻波状态1 0,,? K
,,
(2)行驻波状态 0 1 1 0 1K
第二章 传输线理论七、传输功率传输功率 为
P z U z I z12 R e
1
2 1
2
0
2R
e
U z
Z z z z
i
为了简便起见，一般在电压波腹点 (最大值点 )
或电压波节点 (最小值点 )处计算传输功率，即
P z U I U Z K12 12 2
0m a x m i n
m a x
在不发生击穿情况下，传输线允许传输的最大功率称为传输线的 功率容量
P UZ Kbr br? 12
2
0
第二章 传输线理论
2-4 均匀无耗传输线工作状态的分析对于均匀无耗传输线，其工作状态分为三种：
(1)行波状态 ； (2)驻波状态 ； (3)行驻波状态一、行波状态 (无反射情况 )
u z t u z t A t z
i z t i z t A
Z
t z
i
i
,,c o s
,,c o s
1
1
0
由此可得行波状态下的分布规律：
(1) 线上电压和电流的振幅恒定不变
(2) 电压行波与电流行波同相,它们的相位是位置 z和时间 t的函数
(3) 线上的输入阻抗处处相等,且均等于特性阻抗第二章 传输线理论二、驻波状态 (全反射情况 )
当传输线终端短路、开路或接纯电抗负载时，终端的入射波将被全反射，沿线入射波与反射波迭加形成驻波分布。驻波状态意味着入射波功率一点也没有被负载吸阿收，即负载与传输线完全失配。
1,终端短路
U A A U U U Ui r i r2 1 2 2 2 2 20 0
I Z A A I I Z U U U Z I I Ii r i r i i i r2
0 1 2 2 2 0 2 2
2
0 2 2 2
0 1 1 2 2
复数表达式为
U z U e U e U e e j U zi j z r j z i j z j z i2 2 2 22 s i n
I z I e I e I e e I zi j z r j z i j z j z i2 2 2 22 c o s
u z t U z t
i z t I z t
i
i
,s i n c o s
,c o s c o s
2 2
2
2 2
2 2
即：
第二章 传输线理论沿线电压电流的瞬时分布和振幅分布，如上图短路时的驻波状态分布规律：
(1)瞬时电压或电流在传输线的某个固定位置上随时间 t作正弦或余弦变化，而在某一时刻随位置 z也作正弦或余弦变化，但瞬时电压和电流的时间相位差和空间相位差均为，这表明传输线上没有功率传输。
(2)当时，电压振幅恒为最大值，即
z n n2 1 2 0 1?,,,?
U Uimax? 2 2 而电流振幅恒为零，
这些点称之为电压的波腹点和电流的波节点；
z n n 2 0 1,,,?当 时，
电流振幅恒为最大值，而电压振幅恒为零，这些点称之为电流的波腹点和电压的波节点。
Z z jZ z jZ z jXin in0 0 2tg tg
(3)传输线终端短路时，输入阻抗为第二章 传输线理论
2,终端开路由于负载阻抗 Z
L
因而终端电 流 I
2 0?
I Z A A I I I Ii r i r0 1 0
0 1 2 2 2 2 2
U A A U U U U Ui r i i r0 21 2 2 2 2 2 2
沿线电压,电流的复数表达式为
u z t U z t
i z t I z t
i
i
,c o s c o s
,si n c o s
2
2 2
2 2
2 2
传输线终端开路时，输入阻抗为
Z z jZ zin 0 c t g?
传输线终端开路时电压、电流及阻抗的分布第二章 传输线理论
3,终端接纯电抗负载均匀无耗传输线终端接纯电抗负载时，沿线呈驻波分布。
终端电压反射系数为
L L
L
L
L L
jZ ZZ Z jX ZjX Z e L0
0
0
0
L?1? L LL
X Z
X Za r c tg
2 0
2 0 2
(1) 负载为纯感抗 X Z l l X
ZL L0 0 0 02 2tg a r c t g
4 2z
(2) 负载为纯容抗此电抗也可用一段特性阻抗为 Z0,长度为 l0 的短路线等效,长度 l0可由下式确定
l XZ L0
02
a rc tg
因此,长度为 l终端接电抗性负载的传输线,沿线电压,电流及阻抗的变化规律与长度为 (l+l0)的短路线上对应段的变化规律完全一致,距终端最近的电压波节点在 范围内 。
0 4z? 纯容抗纯感抗第二章 传输线理论综上所述,均匀无耗传输线终端无论是短路,开路还是接纯电抗负载,终端均产生全反射,沿线电压电流呈驻波分布,其特点为：
(i) 驻波波腹值为入射波的两倍,波节值等于零 。 短路线终端为电压波节,电流波腹；开路线终端为电压波腹,电流波节；接纯电抗负载时,
终端既非波腹也非波节 。
(ii) 沿线同一位置的电压电流之间相位差,所以驻波状态只有能量的存贮并无能量的传输 。
(a)感性负载 (b)容性负载终端接纯电抗负载时沿线电压、电流及阻抗的分布第二章 传输线理论三、行驻波状态 (部分反射情况 )
当均匀无耗传输线终端接一般复阻抗 Z R jX
L L L
L
L
L
L L
L L
L L
L L
L
L L
L L L
j
Z Z
Z Z
R jX Z
R jX Z
R Z X
R Z X j
X Z
R Z X
j e L
0
0
0
0
2
0
2 2
0
2 2
0
0
2 2
1 2
2
式中终端反射系数的模和相角分别为
L L L
L L
R Z X
R Z X?
0
2 2
0
2 2? L
L
L L
X ZR X Za r c t g 2 0
2 2 0 2
传输线工作在行驻波状态。行波与驻波的相对大小决定于负载与传输线的失配程度。
第二章 传输线理论
1,沿线电压、电流分布
U z U z z
I z I z z
i L L L
i L L L
2
2
2
2
1 2 2
1 2 2
c o s
c o s
沿线电压电流振幅分布具有如下特点：
(1) 沿线电压电流呈非正弦周期分布；
(2) 当 时，即2 2 0 1 2 z n nL,,,?z nL4 2
在线上这些点处，电压振幅为最大值 (波腹 )，电流振幅为最小值 (波节 )，即
U UI I i Li Lm a xm i n22 11
(3) 当 时，即2 2 1 0 1 2 z n nL,,,z nL4 2 1 4
在线上这些点处，电压振幅为最小值 (波节 )，电流振幅为最大值 (波腹 )，即
U UI I i L
i L
m i n
m a x
2
2
1
1
第二章 传输线理论
(4)电压或电流的波腹点与波节点相距 。4
(5) 当负载为纯电阻 RL，且 RL>Z0
时，第一个电压波腹点在终端。
当负载为纯电阻 RL，且 RL<Z0时，
第一个电压波腹点的位置为当负载为感性阻抗时，第一个电压波腹点在 范围内。
4
0 4z?
当负载为容性阻抗时,第一个电压波腹点在 范围内。?4 2z
沿线电压电流的振幅分布如图第二章 传输线理论
2,沿线阻抗分布线上任一点处的输入阻抗为Z z Z Z jZ z
Z jZ z R z jX zin L L in in?
0 00
tg
tg
它具有如下特点：
(1) 阻抗的数值周期性变化，在电压的波腹点和波节点，阻抗分别为最大值和最小值
(波腹 )
(波节 )
RinUI Z Zm a xm i n 0 011
UI Z Zm i n
m a x
0 0
1
1
Rin
(2) 每隔,阻抗性质变换一次；每隔,阻抗值重复一次。4?2
第二章 传输线理论
2-5 阻抗圆图及其应用极坐标圆图，又称为史密斯 (Smith)圆图。应用最广，这里先介绍 Smith圆图的构造和应用。
一、阻抗圆图阻抗圆图是由等反射系数圆和等阻抗圆组成
1,等反射系数圆距离终端 z处的反射系数为
z e j jj u vcos sin
2 2 2u v
arct g v
u上式表明，在复平面上等反射系数模 的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆，这个圆称为等反射系数圆。由于反射系数的模与驻波比是一一对应的，故又称为等驻波比圆。
第二章 传输线理论若已知终端反射系数,则距终端 z处的反射系数为
L L je L
z e ej L j zL2
线上移动的距离与转动的角度之间的关系为
2 4z z
等反射系数圆第二章 传输线理论由此可见，线上移动长度 时，对应反射系数矢量转动一周。一般转动的角度用波长数 (或电长度 ) 表示，且标度波长数的零点位置通常选在 处。为了使用方便，有的圆图上标有两个方向的波长数数值，
如图所示。向负载方向移动读里圈读数，向波源方向移动读外圈读数。
2
z?
相角相等的反射系数的轨迹是单位圆内的径向线。
的径向线为各种不同负载阻抗情况下电压波腹点反射系数的轨迹；
的径向线为各种不同负载阻抗情况下电压波节点反射系数的轨迹。
0
等反射系数圆的波长数标度第二章 传输线理论
2,等阻抗圆
~Z z jj ju v
u v
u v
u v
v
u v
11 11 21
2 2
2 2 2 2
~ ~R jX
~R u v
u v
11
2 2
2 2
~X v
u v
21 2 2
由以上得,
u vRR R
~
~ ( ~ )1 1 1
2
2
2
u v X X1 1 12 2 2~ ~
称为归一化电阻,称为归一化电抗。~R ~X
第二章 传输线理论将等电阻圆和等电抗圆绘制在同一张图上，即得到阻抗圆图等电阻圆 等电抗圆第二章 传输线理论阻抗圆图具有如下几个特点：
(1) 圆图上有三个 特殊点,
短路点 (C点 )，其坐标为 (-1,0)。此处对应于 ；
开路点 (D点 ),其坐标为 (1,0)。 此处对应于 ；
匹配 (O点 )，其坐标为 (0,0)。此处对应于
~,~,,,R X0 0 1
~,~,,,R X 1 0
~,~,,R X1 0 0 1
(2) 圆图上有三条 特殊线,
圆图上实轴 CD为 X=0的轨迹,其中正实半轴为电压波腹点的轨迹,线上的值即为驻波比的读数；负实半轴为电压波节点的轨迹,线上的 R值即为行波系数 K
的读数；最外面的单位圆为 R=0的纯电抗轨迹,即为 的全反射系数圆的轨迹 。
(3) 圆上有两个 特殊面,
圆图实轴以上的上半平面 (即 )是感性阻抗的轨迹；实轴以下的下半平面 (即 )是容性阻抗的轨迹 。
1
第二章 传输线理论
(4) 圆图上有 两个旋转方向,
在传输线上 A点向负载方向移动时,则在圆图上由 A点沿等反射系数圆逆时针方向旋转；反之,在传输线上 A点向波源方向移动时,则在圆图上由 A点沿等反射系数圆顺时针方向旋转 。
(5) 圆图上 任意一点对应了四个参量,,,和 。 知道了前两个参量或后两个参量均可确定该点在圆图上的位置 。 注意 R和均为归一化值,如果要求它们的实际值分别乘上传输线的特性阻抗 。
(6) 若传输线上某一位置对应于圆图上的 A点,则 A点的读数即为该位置的输入阻抗归一化值 ( )；若关于 O点的 A点对称点为点,则点的读数即为该位置的输入导纳归一化值 ( )。
~R~X
~ ~R jX?
~ ~G jB?
第二章 传输线理论二、导纳圆图导纳是阻抗的倒数,故归一化导纳为
~ ~Y z Z z zz1 11
如果以单位圆圆心为轴心，将复平面上的阻抗圆图旋转，即可得到导纳圆图。
因此,Smith圆图即可作为阻抗圆图也可作为导纳圆图使用。作为阻抗圆图使用时，圆图中的等值圆表示 R和 X圆；作为导纳圆图使用时，圆图中的等值圆表示 G和 B圆。并且圆图实轴的上部 X或 B均为正值，
实轴的下部 X或 B均为负值。
第二章 传输线理论使用圆图应注意以下特点：
(1) 当圆图作为阻抗圆图时，相角为 0的反射系数位于 OD上，相角增大，反射系数矢量沿逆时针方向转动；当圆图作为导纳圆图时，相角为 0的反射系数位于 OC上，
相角增大，反射系数矢量仍沿逆时针方向转动。
(2) 作为阻抗圆图使用时,D点为开路点,
C点为短路点,线段 OD为电压波腹点归一化阻抗的轨迹,线段 OC为电压波节点归一化阻抗的轨迹；作为导纳圆图使用时,
D点为短路点,C点为开路点,线段 OD为电压波节点归一化阻抗的轨迹,线段 OC
为电压波腹点归一化阻抗的轨迹 。
(3) 与 在同一反射系数圆上，
相应位置差。
~Zz~Yz
图 2-18 阻抗圆图与导纳圆图的关系第二章 传输线理论
2-6 传输线的阻抗匹配在微波传输系统，阻抗匹配极其重要，它关系到系统的传输效率、功率容量与工作稳定性，关系到微波测量的系统误差和测量精度，以及微波元器件的质量等一系列问题。
一、阻抗匹配概念传输线与负载不匹配 传输线上有驻波存在如果信号源与传输线不匹配,不仅会影响信号源的频率和输出的稳定性,而且信号源不能给出最大功率 。 因此,微波传输系统一定要作到阻抗匹配 。
传输线功率容量降低增加传输线的衰减这里的匹配概念分为两种：共轭匹配和无反射匹配 。
第二章 传输线理论
(一 ) 共轭匹配共轭匹配要求传输线输入阻抗与信号源内阻互为共轭值。
如图信号源的内阻为传输线的输入阻抗为
Z R jXg g g
Z R jXin in in
Z Zg in则：
即 R R
g in? X Xg in
信号源输出的最大功率为
P
E R
Z Z
E R
R R X X
E
R
g in
g in
g in
g in g in
g
g
ma x?
2
2
2
2 2
2
4
共轭匹配第二章 传输线理论
(二 ) 无反射匹配无反射匹配 是指传输线两端阻抗与传输线的特性阻抗相等，
线上无反射波存在，即工作于行波状态。
无反射匹配包括传输线始端与 信号源内阻匹配 和 传输线终端与负载阻抗匹配 。
信号源内阻也为实数，，此时传输线的始端无反射波，这种信号源称为 匹配信号源 。
当传输线终端所接的负载阻抗为纯电阻时，则传输线的终端无反射波，此时的负载称为 匹配负载 。
第二章 传输线理论当传输系统满足,时,可同时实现共轭匹配和无反射匹配 。
R R Zg L 0
二、阻抗匹配方法阻抗匹配的方法就是在传输线与负载之间加入一阻抗匹配网络 。 要求这个匹配网络由电抗元件构成,接入传输线时应尽可能靠近负载,且通过调节能对各种负载实现阻抗匹配 。
其匹配原理是通过匹配网络引入一个新的反射波来抵消原来的反射波 。
采用阻抗变换器和分支匹配器作为匹配网络是两种最基本的方法。
第二章 传输线理论
(一 ) 阻抗变换器阻抗变换器是由一段长度为,特性阻抗为 的传输线组成 。
当这段传输线终端接纯电阻 时，则输入阻抗为
4
4? 4 Z01
RL
Z Z
R jZ
Z jR
Z
Rin
L
L L
01 01
01
01
24
4
tg 2
tg 2
为了使实现阻抗匹配，必须使
Z Z R L01 0?
第二章 传输线理论
(二 ) 分支匹配器分支匹配器的原理是利用在传输线上并接或串接终端短路或开路的分支线,产生新的反射波来抵消原来的反射波,从而达到阻抗匹配 。
分支匹配器又分为单分支、双分支和三分支匹配器。
1,单分支匹配器单分支匹配的原理如图所示。
第二章 传输线理论
2,双分支匹配器
3,三分支匹配器双分支匹配器存在的匹配死区，可采用三分支匹配器来消除，如图所示。
其调配原理与双分支相同，
仅增加一个分支。
2-1 引 言一、传输线的种类大致可分三种
（ 1） TEM波
(2)TE,TM波
(3)表面波二、分布参数及分布参数电路传输线有 长线 和 短线 之分。所谓长线是指传输线的几何长度与线上传输电磁波的波长比值 (电长度 )大于或接近 1，反之称为短线。
长线 分布参数电路 忽略分布参数效应短线 集中参数电路 考虑分布参数效应当频率提高到微波波段时，这些分布效应不可忽略，所以微波传输线是一种分布参数电路。这导致传输线上的电压和电流是随时间和空间位置而变化的二元函数。
第二章 传输线理论根据传输线上的分布参数是否均匀分布，可将其分为均匀传输线 和 不均匀传输线 。我们可以把均匀传输线分割成许多小的微元段 dz (dz<<?)，这样每个微元段可看作集中参数电路，用一个? 型网络来等效。于是整个传输线可等效成无穷多个? 型网络的级联第二章 传输线理论第二章 传输线理论
2-2 传输线方程及其解一、传输线方程
du z t u z tz dz,,
di z t i z tz dz,,
dz段的等效电路
dU z
dz
ZI z
dI z
dz
YU z
瞬时值 u,i与复数振幅 U,I
的关系为
u z t U z e
i z t I z e
j t
j t
,Re
,Re
(2-3)
二、传输线方程的解第二章 传输线理论将式 (2-3)两边对 z再求一次微分，并令，可得
(2-4)
d U z
dz
U z
d I z
dz
I z
2
2
2
2
2
2
0
0
通解为
U z A e A e
I z
Z
A e A e
z z
z z
1 2
0
1 2
1
式中,Z R j L
G j C0
0 0
0 0
R j L G j C j0 0 0 0
第二章 传输线理论
1,已知传输线终端电压 U2和电流 I2，沿线电压电流表达式
U z A e A e
I z Z A e A e
z z
z z
1 2
0
1 2
1
将终端条件 U (0)=U2,I (0)=I2代入上式可得
U A A
I
Z
A A
2 1 2
2
0
1 2
1
解得,。?A U Z I
1 2 0 21 2A U Z I2 2 0 21 2
将 A1,A2代入式 (2-6)得整理后可得
U z U z I Z z
I z U z Z I z
2 2 0
2
0
2
ch sh
sh ch
第二章 传输线理论
2,已知传输线始端电压 U1和电流 I1，沿线电压电流表达式这时将坐标原点 z=0选在始端较为适宜。将始端条件 U (0)=U1,I (0)=I1代入式 (2-5)，同样可得沿线的电压电流表达式为
U z U z I Z z
I z U z Z I z
1 1 0
1
0
1
ch sh
sh ch
第二章 传输线理论三、入射波和反射波根据复数振幅与瞬时值间的关系，可求得传输线上电压和电流的瞬时值表达式
u z t U z e
A e t z A e t z
j t
z z
,Re
c o s c o s
1 2= u z t u z ti r,,?
i z t I z e
A
Z e t z
A
Z e t z
j t
z z
,Re
c o s c o s
1
0
2
0 = i z t i z ti r,,?
第一部分表示由信号源向负载方向传播的行波，称之为入射波。
其中为电压入射波，为电流入射波。
第二部分表示由负载向信号源方向传播的行波，称之为反射波。
入射波和反射波沿线的瞬时分布图如图第二章 传输线理论
2-3 传输线的特性参量传输线的特性参量主要包括,传播常数、特性阻抗、
相速和相波长、输入阻抗、反射系数、驻波比 (行波系数 )
和传输功率 等。
一、传播常数传播常数?一般为复数，可表示为
R j L G j C j0 0 0 0
对于低耗传输线有 (无耗传输线
R CL G LC c d0 0
0
0 0
02 2
L C0 0
R G0 00 0,)
无耗
0
0 0
L C
第二章 传输线理论二、特性阻抗传输线的 特性阻抗 定义为传输线上入射波电压 Ui (z)
与入射波电流 Ii (z)之比，或反射波电压 Ur (z)与反射波电流 Ir (z)之比的负值，即
Z
U z
I z
U z
I z
R j L
G j C
i
i
r
r
0
0 0
0 0
对于无耗传输线 ( )，则R G0 00 0,
Z LC0 0
0
对于微波传输线,也符合。
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数，
它仅决定于分布参数 L0和 C0，与频率无关。
第二章 传输线理论三、相速和相波长相速 是指波的等相位面移动速度。
入射波的相速为 v dz
dtp
对于微波传输线
v L Cp? 1
0 0
所谓 相波长 定义为波在一个周期 T内等相位面沿传输线移动的距离。即
p p pv T v f f 2
第二章 传输线理论四、输入阻抗传输线终端接负载阻抗 ZL时,距离终端 z处向负载方向看去的输入阻抗定义为该处的电压 U (z)与电流 I (z)之比,即
Z z U zI zin?
均匀无耗传输线
Z z U z jI Z z
jU z
Z
I z
Z Z jZ z
Z jZ zin
L
L
2 2 0
2
0
2
0
0
0
c o s s i n
s i n c o s
tg
tg
传输线的输入阻抗第二章 传输线理论对给定的传输线和负载阻抗,线上各点的输入阻抗随至终端的距离 l的不同而作周期 (周期为 )变化,且在一些特殊点上,有如下简单阻抗关系：
Z l Z l n n
Z l
Z
Z
l n n
in L
in
L
2
0 1 2
2 1
4
0 1 20
2
,,,
,,,
1.传输线上距负载为半波长整数倍的各点的输入阻抗等于负载阻抗；
2.距负载为四分之一波长奇数倍的各点的输入阻抗等于特性阻抗的平方与负载阻抗的比值，
3.当 Z0为实数,ZL为复数负载时，四分之一波长的传输线具有变换阻抗性质的作用。
在许多情况下，例如并联电路的阻抗计算，采用导纳比较方便
Y z Z z Y Y jY zY jY zin
in
L
L
1 0 0
0
tg
tg
第二章 传输线理论五、反射系数距终端 z处的反射波电压 Ur(z)与入射波电压 Ui(z)之比定义为该处的 电压反射系数?u(z),即
u r
i
j z
j z
j zz U z
U z
A e
A e
A
A e
2
1
2
1
2
电流反射系数
i ri j z uz
I z
I z
A
A e z
2
1
2?
终端反射系数
L
j
L
jA
A
A
A e e L
2
1
2
1
2 1
传输线上任一点反射系数与终端反射系数的关系z e e eL j z L j z L jL2 2
第二章 传输线理论输入阻抗与反射系数间的关系
Z z U zI z U z zI z z Z zzin i
i
11 110
负载阻抗与终端反射系数的关系
Z ZL L
L
0 11
上述两式又可写成
z Z z ZZ z Zin
in
0
0
L L
L
Z Z
Z Z?
00
第二章 传输线理论六、驻波比和行波系数电压（或电流） 驻波比?定义为传输线上电压（或电流）的最大值与最小值之比，即
UU IIm a x
m i n
m a x
m i n
当传输线上入射波与反射波同相迭加时，合成波出现最大值；
而反相迭加时出现最小值
U U U U
U U U Ui r ii r im a xm i n
1
1
驻波比与反射系数的关系式 为UU m a x
m in
1
1
11
行波系数 K定义为传输线上电压（或电流）的最小值与最大值之比，故行波系数与驻波比互为倒数
K UU IIm i n
m a x
m i n
m a x
1
1
1?
第二章 传输线理论反射系数模的变化范围为驻波比的变化范围为
0 1
1
行波系数的变化范围为 0 1K
传输线的工作状态一般分为三种：
传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻波比和行波系数三个参量来描述。
(1)行波状态0 1 1,,? K
(3)驻波状态1 0,,? K
,,
(2)行驻波状态 0 1 1 0 1K
第二章 传输线理论七、传输功率传输功率 为
P z U z I z12 R e
1
2 1
2
0
2R
e
U z
Z z z z
i
为了简便起见，一般在电压波腹点 (最大值点 )
或电压波节点 (最小值点 )处计算传输功率，即
P z U I U Z K12 12 2
0m a x m i n
m a x
在不发生击穿情况下，传输线允许传输的最大功率称为传输线的 功率容量
P UZ Kbr br? 12
2
0
第二章 传输线理论
2-4 均匀无耗传输线工作状态的分析对于均匀无耗传输线，其工作状态分为三种：
(1)行波状态 ； (2)驻波状态 ； (3)行驻波状态一、行波状态 (无反射情况 )
u z t u z t A t z
i z t i z t A
Z
t z
i
i
,,c o s
,,c o s
1
1
0
由此可得行波状态下的分布规律：
(1) 线上电压和电流的振幅恒定不变
(2) 电压行波与电流行波同相,它们的相位是位置 z和时间 t的函数
(3) 线上的输入阻抗处处相等,且均等于特性阻抗第二章 传输线理论二、驻波状态 (全反射情况 )
当传输线终端短路、开路或接纯电抗负载时，终端的入射波将被全反射，沿线入射波与反射波迭加形成驻波分布。驻波状态意味着入射波功率一点也没有被负载吸阿收，即负载与传输线完全失配。
1,终端短路
U A A U U U Ui r i r2 1 2 2 2 2 20 0
I Z A A I I Z U U U Z I I Ii r i r i i i r2
0 1 2 2 2 0 2 2
2
0 2 2 2
0 1 1 2 2
复数表达式为
U z U e U e U e e j U zi j z r j z i j z j z i2 2 2 22 s i n
I z I e I e I e e I zi j z r j z i j z j z i2 2 2 22 c o s
u z t U z t
i z t I z t
i
i
,s i n c o s
,c o s c o s
2 2
2
2 2
2 2
即：
第二章 传输线理论沿线电压电流的瞬时分布和振幅分布，如上图短路时的驻波状态分布规律：
(1)瞬时电压或电流在传输线的某个固定位置上随时间 t作正弦或余弦变化，而在某一时刻随位置 z也作正弦或余弦变化，但瞬时电压和电流的时间相位差和空间相位差均为，这表明传输线上没有功率传输。
(2)当时，电压振幅恒为最大值，即
z n n2 1 2 0 1?,,,?
U Uimax? 2 2 而电流振幅恒为零，
这些点称之为电压的波腹点和电流的波节点；
z n n 2 0 1,,,?当 时，
电流振幅恒为最大值，而电压振幅恒为零，这些点称之为电流的波腹点和电压的波节点。
Z z jZ z jZ z jXin in0 0 2tg tg
(3)传输线终端短路时，输入阻抗为第二章 传输线理论
2,终端开路由于负载阻抗 Z
L
因而终端电 流 I
2 0?
I Z A A I I I Ii r i r0 1 0
0 1 2 2 2 2 2
U A A U U U U Ui r i i r0 21 2 2 2 2 2 2
沿线电压,电流的复数表达式为
u z t U z t
i z t I z t
i
i
,c o s c o s
,si n c o s
2
2 2
2 2
2 2
传输线终端开路时，输入阻抗为
Z z jZ zin 0 c t g?
传输线终端开路时电压、电流及阻抗的分布第二章 传输线理论
3,终端接纯电抗负载均匀无耗传输线终端接纯电抗负载时，沿线呈驻波分布。
终端电压反射系数为
L L
L
L
L L
jZ ZZ Z jX ZjX Z e L0
0
0
0
L?1? L LL
X Z
X Za r c tg
2 0
2 0 2
(1) 负载为纯感抗 X Z l l X
ZL L0 0 0 02 2tg a r c t g
4 2z
(2) 负载为纯容抗此电抗也可用一段特性阻抗为 Z0,长度为 l0 的短路线等效,长度 l0可由下式确定
l XZ L0
02
a rc tg
因此,长度为 l终端接电抗性负载的传输线,沿线电压,电流及阻抗的变化规律与长度为 (l+l0)的短路线上对应段的变化规律完全一致,距终端最近的电压波节点在 范围内 。
0 4z? 纯容抗纯感抗第二章 传输线理论综上所述,均匀无耗传输线终端无论是短路,开路还是接纯电抗负载,终端均产生全反射,沿线电压电流呈驻波分布,其特点为：
(i) 驻波波腹值为入射波的两倍,波节值等于零 。 短路线终端为电压波节,电流波腹；开路线终端为电压波腹,电流波节；接纯电抗负载时,
终端既非波腹也非波节 。
(ii) 沿线同一位置的电压电流之间相位差,所以驻波状态只有能量的存贮并无能量的传输 。
(a)感性负载 (b)容性负载终端接纯电抗负载时沿线电压、电流及阻抗的分布第二章 传输线理论三、行驻波状态 (部分反射情况 )
当均匀无耗传输线终端接一般复阻抗 Z R jX
L L L
L
L
L
L L
L L
L L
L L
L
L L
L L L
j
Z Z
Z Z
R jX Z
R jX Z
R Z X
R Z X j
X Z
R Z X
j e L
0
0
0
0
2
0
2 2
0
2 2
0
0
2 2
1 2
2
式中终端反射系数的模和相角分别为
L L L
L L
R Z X
R Z X?
0
2 2
0
2 2? L
L
L L
X ZR X Za r c t g 2 0
2 2 0 2
传输线工作在行驻波状态。行波与驻波的相对大小决定于负载与传输线的失配程度。
第二章 传输线理论
1,沿线电压、电流分布
U z U z z
I z I z z
i L L L
i L L L
2
2
2
2
1 2 2
1 2 2
c o s
c o s
沿线电压电流振幅分布具有如下特点：
(1) 沿线电压电流呈非正弦周期分布；
(2) 当 时，即2 2 0 1 2 z n nL,,,?z nL4 2
在线上这些点处，电压振幅为最大值 (波腹 )，电流振幅为最小值 (波节 )，即
U UI I i Li Lm a xm i n22 11
(3) 当 时，即2 2 1 0 1 2 z n nL,,,z nL4 2 1 4
在线上这些点处，电压振幅为最小值 (波节 )，电流振幅为最大值 (波腹 )，即
U UI I i L
i L
m i n
m a x
2
2
1
1
第二章 传输线理论
(4)电压或电流的波腹点与波节点相距 。4
(5) 当负载为纯电阻 RL，且 RL>Z0
时，第一个电压波腹点在终端。
当负载为纯电阻 RL，且 RL<Z0时，
第一个电压波腹点的位置为当负载为感性阻抗时，第一个电压波腹点在 范围内。
4
0 4z?
当负载为容性阻抗时,第一个电压波腹点在 范围内。?4 2z
沿线电压电流的振幅分布如图第二章 传输线理论
2,沿线阻抗分布线上任一点处的输入阻抗为Z z Z Z jZ z
Z jZ z R z jX zin L L in in?
0 00
tg
tg
它具有如下特点：
(1) 阻抗的数值周期性变化，在电压的波腹点和波节点，阻抗分别为最大值和最小值
(波腹 )
(波节 )
RinUI Z Zm a xm i n 0 011
UI Z Zm i n
m a x
0 0
1
1
Rin
(2) 每隔,阻抗性质变换一次；每隔,阻抗值重复一次。4?2
第二章 传输线理论
2-5 阻抗圆图及其应用极坐标圆图，又称为史密斯 (Smith)圆图。应用最广，这里先介绍 Smith圆图的构造和应用。
一、阻抗圆图阻抗圆图是由等反射系数圆和等阻抗圆组成
1,等反射系数圆距离终端 z处的反射系数为
z e j jj u vcos sin
2 2 2u v
arct g v
u上式表明，在复平面上等反射系数模 的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆，这个圆称为等反射系数圆。由于反射系数的模与驻波比是一一对应的，故又称为等驻波比圆。
第二章 传输线理论若已知终端反射系数,则距终端 z处的反射系数为
L L je L
z e ej L j zL2
线上移动的距离与转动的角度之间的关系为
2 4z z
等反射系数圆第二章 传输线理论由此可见，线上移动长度 时，对应反射系数矢量转动一周。一般转动的角度用波长数 (或电长度 ) 表示，且标度波长数的零点位置通常选在 处。为了使用方便，有的圆图上标有两个方向的波长数数值，
如图所示。向负载方向移动读里圈读数，向波源方向移动读外圈读数。
2
z?
相角相等的反射系数的轨迹是单位圆内的径向线。
的径向线为各种不同负载阻抗情况下电压波腹点反射系数的轨迹；
的径向线为各种不同负载阻抗情况下电压波节点反射系数的轨迹。
0
等反射系数圆的波长数标度第二章 传输线理论
2,等阻抗圆
~Z z jj ju v
u v
u v
u v
v
u v
11 11 21
2 2
2 2 2 2
~ ~R jX
~R u v
u v
11
2 2
2 2
~X v
u v
21 2 2
由以上得,
u vRR R
~
~ ( ~ )1 1 1
2
2
2
u v X X1 1 12 2 2~ ~
称为归一化电阻,称为归一化电抗。~R ~X
第二章 传输线理论将等电阻圆和等电抗圆绘制在同一张图上，即得到阻抗圆图等电阻圆 等电抗圆第二章 传输线理论阻抗圆图具有如下几个特点：
(1) 圆图上有三个 特殊点,
短路点 (C点 )，其坐标为 (-1,0)。此处对应于 ；
开路点 (D点 ),其坐标为 (1,0)。 此处对应于 ；
匹配 (O点 )，其坐标为 (0,0)。此处对应于
~,~,,,R X0 0 1
~,~,,,R X 1 0
~,~,,R X1 0 0 1
(2) 圆图上有三条 特殊线,
圆图上实轴 CD为 X=0的轨迹,其中正实半轴为电压波腹点的轨迹,线上的值即为驻波比的读数；负实半轴为电压波节点的轨迹,线上的 R值即为行波系数 K
的读数；最外面的单位圆为 R=0的纯电抗轨迹,即为 的全反射系数圆的轨迹 。
(3) 圆上有两个 特殊面,
圆图实轴以上的上半平面 (即 )是感性阻抗的轨迹；实轴以下的下半平面 (即 )是容性阻抗的轨迹 。
1
第二章 传输线理论
(4) 圆图上有 两个旋转方向,
在传输线上 A点向负载方向移动时,则在圆图上由 A点沿等反射系数圆逆时针方向旋转；反之,在传输线上 A点向波源方向移动时,则在圆图上由 A点沿等反射系数圆顺时针方向旋转 。
(5) 圆图上 任意一点对应了四个参量,,,和 。 知道了前两个参量或后两个参量均可确定该点在圆图上的位置 。 注意 R和均为归一化值,如果要求它们的实际值分别乘上传输线的特性阻抗 。
(6) 若传输线上某一位置对应于圆图上的 A点,则 A点的读数即为该位置的输入阻抗归一化值 ( )；若关于 O点的 A点对称点为点,则点的读数即为该位置的输入导纳归一化值 ( )。
~R~X
~ ~R jX?
~ ~G jB?
第二章 传输线理论二、导纳圆图导纳是阻抗的倒数,故归一化导纳为
~ ~Y z Z z zz1 11
如果以单位圆圆心为轴心，将复平面上的阻抗圆图旋转，即可得到导纳圆图。
因此,Smith圆图即可作为阻抗圆图也可作为导纳圆图使用。作为阻抗圆图使用时，圆图中的等值圆表示 R和 X圆；作为导纳圆图使用时，圆图中的等值圆表示 G和 B圆。并且圆图实轴的上部 X或 B均为正值，
实轴的下部 X或 B均为负值。
第二章 传输线理论使用圆图应注意以下特点：
(1) 当圆图作为阻抗圆图时，相角为 0的反射系数位于 OD上，相角增大，反射系数矢量沿逆时针方向转动；当圆图作为导纳圆图时，相角为 0的反射系数位于 OC上，
相角增大，反射系数矢量仍沿逆时针方向转动。
(2) 作为阻抗圆图使用时,D点为开路点,
C点为短路点,线段 OD为电压波腹点归一化阻抗的轨迹,线段 OC为电压波节点归一化阻抗的轨迹；作为导纳圆图使用时,
D点为短路点,C点为开路点,线段 OD为电压波节点归一化阻抗的轨迹,线段 OC
为电压波腹点归一化阻抗的轨迹 。
(3) 与 在同一反射系数圆上，
相应位置差。
~Zz~Yz
图 2-18 阻抗圆图与导纳圆图的关系第二章 传输线理论
2-6 传输线的阻抗匹配在微波传输系统，阻抗匹配极其重要，它关系到系统的传输效率、功率容量与工作稳定性，关系到微波测量的系统误差和测量精度，以及微波元器件的质量等一系列问题。
一、阻抗匹配概念传输线与负载不匹配 传输线上有驻波存在如果信号源与传输线不匹配,不仅会影响信号源的频率和输出的稳定性,而且信号源不能给出最大功率 。 因此,微波传输系统一定要作到阻抗匹配 。
传输线功率容量降低增加传输线的衰减这里的匹配概念分为两种：共轭匹配和无反射匹配 。
第二章 传输线理论
(一 ) 共轭匹配共轭匹配要求传输线输入阻抗与信号源内阻互为共轭值。
如图信号源的内阻为传输线的输入阻抗为
Z R jXg g g
Z R jXin in in
Z Zg in则：
即 R R
g in? X Xg in
信号源输出的最大功率为
P
E R
Z Z
E R
R R X X
E
R
g in
g in
g in
g in g in
g
g
ma x?
2
2
2
2 2
2
4
共轭匹配第二章 传输线理论
(二 ) 无反射匹配无反射匹配 是指传输线两端阻抗与传输线的特性阻抗相等，
线上无反射波存在，即工作于行波状态。
无反射匹配包括传输线始端与 信号源内阻匹配 和 传输线终端与负载阻抗匹配 。
信号源内阻也为实数，，此时传输线的始端无反射波，这种信号源称为 匹配信号源 。
当传输线终端所接的负载阻抗为纯电阻时，则传输线的终端无反射波，此时的负载称为 匹配负载 。
第二章 传输线理论当传输系统满足,时,可同时实现共轭匹配和无反射匹配 。
R R Zg L 0
二、阻抗匹配方法阻抗匹配的方法就是在传输线与负载之间加入一阻抗匹配网络 。 要求这个匹配网络由电抗元件构成,接入传输线时应尽可能靠近负载,且通过调节能对各种负载实现阻抗匹配 。
其匹配原理是通过匹配网络引入一个新的反射波来抵消原来的反射波 。
采用阻抗变换器和分支匹配器作为匹配网络是两种最基本的方法。
第二章 传输线理论
(一 ) 阻抗变换器阻抗变换器是由一段长度为,特性阻抗为 的传输线组成 。
当这段传输线终端接纯电阻 时，则输入阻抗为
4
4? 4 Z01
RL
Z Z
R jZ
Z jR
Z
Rin
L
L L
01 01
01
01
24
4
tg 2
tg 2
为了使实现阻抗匹配，必须使
Z Z R L01 0?
第二章 传输线理论
(二 ) 分支匹配器分支匹配器的原理是利用在传输线上并接或串接终端短路或开路的分支线,产生新的反射波来抵消原来的反射波,从而达到阻抗匹配 。
分支匹配器又分为单分支、双分支和三分支匹配器。
1,单分支匹配器单分支匹配的原理如图所示。
第二章 传输线理论
2,双分支匹配器
3,三分支匹配器双分支匹配器存在的匹配死区，可采用三分支匹配器来消除，如图所示。
其调配原理与双分支相同，
仅增加一个分支。
