§ 4.4 随机解释变量问题一,随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题三、随机解释变量的后果四、工具变量法五、案例基本假设,解释变量 X1,X2,…,Xk是确定性变量 。
如果存在一个或多个随机变量作为解释变量,
则称原模型出现 随机解释变量问题 。
假设 X2为随机解释变量 。 对于随机解释变量问题,分三种不同情况：
一、随机解释变量问题对于模型
ikikiii XXYY22110
1,随机解释变量与随机误差项独立
(Independence)
0)()()()( 22,2 ExExEXC o v
2,随机解释变量与随机误差项同期无关
(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
0)()( 2,2 iiii xEXC o v
0)()( 2,2 siisii xEXC o v 0?s
3,随机解释变量与随机误差项同期相关
(contemporaneously correlated)。
0)()( 2,2 iiii xEXC o v
二、实际经济问题中的随机解释变量问题在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。
但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。
于是 随机解释变量问题 主要 表现于,用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况 。
例如：
（ 1）耐用品存量调整模型：
耐用品的存量 Qt由前一个时期的存量 Qt-1和当期收入 It共同决定：
Qt=?0+?1It+?2Qt-1+?t t=1,? T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量 Qt-1只与?t-1相关，与?t不相关，属于上述的第 2种情况。
（ 2）合理预期的消费函数模型合理预期理论 认为消费 Ct是由对收入的预期 Yte
所决定的：
tett YC 10
预期收入 Yte与实际收入 Y间存如下关系的假设
ettet YYY 1)1(
容易推出
tettt YYC 1110 )1(
tttt CY )()1( 10110
1110 )1()1( tttt CY
Ct-1是一随机解释变量，且与 (?t-t-1)高度相关
（ Why?）。属于上述第 3种情况。
计量经济学模型一旦出现随机解释变量,
且与随机扰动项相关的话,如果仍采用
OLS法估计模型参数,不同性质的随机解释变量会产生不同的后果 。
下面以一元线性回归模型为例进行说明三、随机解释变量的后果
随机解释变量与随机误差项相关图
（ a）正相关 （ b）负相关拟合的样本回归线可能低估截距项，
而高估斜率项。
拟合的样本回归线高估截距项,而低估斜率项 。
对一元线性回归模型：
ttt XY 10
OLS估计量为
2121
t
tt
t
tt
x
x
x
yx
1、如果 X与?相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。
已经得到证明随机解释变量 X与随机项?的关系不同，参数 OLS估计量的统计性质也会不同。
2,如果 X与?同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。
kt的分母中包含不同期的 X；由异期相关性知,kt
与?t相关，因此，
)()()?( 1211 ttt
t
t kE
x
xEE
11 )?(E
但是
0)(),(
)l i m (
)l i m (
1
21
1
121l i m
ttt
tn
ttn
t
tt
n
XV a rXC o v
xP
xP
x
x
P
3、如果 X与?同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。
注意：
如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，
则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，
OLS估计量是有偏的、且是非一致的。
即使同期无关，其 OLS估计量也是有偏的，因为此时肯定出现异期相关。
2的证明中已得到模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时,OLS估计量是有偏的。
如果随机解释变量与随机误差项异期相关，
则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；
但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的估计方法是 工具变量法
（ Instrument variables） 。
四、工具变量法
1、工具变量的选取工具变量,在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件,
（ 1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（ 2）与随机误差项不相关；
（ 3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
2、工具变量的应用以一元回归模型的离差形式为例说明如下：
iii xy 1
用 OLS估计模型，相当于用 xi去乘模型两边、对 i求和、再略去?xi?i项后得到 正规方程,
21 iii xyx?
21
i
ii
x
yx? (*)
解得然而，如果 Xi与?i相关，即使在大样本下，也不存在 (?xi?i)/n?0,则在大样本下也不成立,OLS估计量 不具有一致性 。
21
i
ii
x
yx?
由于 Cov(Xi,?i)=E(Xi?i)=0，意味着大样本下
(?xi?i)/n?0
表明 大样本下
21
i
ii
x
yx?
成立,即 OLS估计量 具有一致性。
如果选择 Z为 X的 工具变量,那么在上述估计过程可改为,
iiiiii zxzyz 1
利用 E(zi?i)=0，在大样本下可得到：
ii
ii
xz
yz
1
~?
关于 0? 的估计，仍用 XY 10 ~~ 完成。
这种求模型参数估计量的方法称为 工具变量法
(instrumental variable method),相应的估计量称为 工具变量法估计量 （ instrumental variable
(IV) estimator） 。
对于 矩阵形式,
Y=X?+?
采用工具变量法（假设 X2与随机项相关，用工具变量 Z替代）得到的 正规方程组 为：
X βZYZ
参数估计量为：
YZXZβ 1)(~
knkk
n
n
XXX
ZZZ
XXX
21
21
11211
111
Z其中 称为 工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量一元回归中，工具变量法估计量为如果工具变量 Z选取恰当，即有
ii
ii
ii
iii
xz
z
xz
xz
1
1
1
)(~
两边取概率极限得：
iin
iin
xzP
zPP
1
1
11 lim
lim)~lim (
0),c ov (1lim iiii ZznP 0),c ov (1lim iiii XZxznP
因此：
11 )~lim (P
1、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的 。
注意：
0)()1()1( ii
ii
ii
ii
zExzEzxzE
2、工具变量并没有替代模型中的解释变量,只是在估计过程中作为“工具”被使用。
上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两步 OLS回归：
第一步,用 OLS法进行 X关于工具变量 Z的回归：
ii ZX 10
ii XY?
~~?
10
容易验证仍有,
ii
ii
xz
yz
1
~?
因此,工具变量法仍是 Y对 X的回归,而不是对
Z的回归 。
3,如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量 。
但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果 (Why？ )。
4,OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。
5、如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了 广义矩方法 （ Generalized
Method of Moments,GMM）。
在 GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。
工具变量法是 GMM的一个特例。
6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事可以用 Xt-1作为原解释变量 Xt的工具变量。
五、案例 —— 中国居民人均消费函数例 4.4.1 在例 2.5.1的 中国居民人均消费函数 的估计中，采用 OLS估计了下面的模型：
G D P PCO NS P 10
由于：居民人均消费支出（ CONSP）与人均国内生产总值（ GDPP）相互影响，因此，
容易判断 GDPP与?同期相关（往往是正相关），
OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项 ）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47)
R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
如果用 GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：
(14.84) (56.04)
R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
GMM是近 20年计量经济学理论方法发展的重要方向之一。
IV是 GMM的一个特例。
如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了 广义矩方法（ GMM） 。在 GMM中，
矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。
如果存在一个或多个随机变量作为解释变量,
则称原模型出现 随机解释变量问题 。
假设 X2为随机解释变量 。 对于随机解释变量问题,分三种不同情况：
一、随机解释变量问题对于模型
ikikiii XXYY22110
1,随机解释变量与随机误差项独立
(Independence)
0)()()()( 22,2 ExExEXC o v
2,随机解释变量与随机误差项同期无关
(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。
0)()( 2,2 iiii xEXC o v
0)()( 2,2 siisii xEXC o v 0?s
3,随机解释变量与随机误差项同期相关
(contemporaneously correlated)。
0)()( 2,2 iiii xEXC o v
二、实际经济问题中的随机解释变量问题在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。
但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。
于是 随机解释变量问题 主要 表现于,用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况 。
例如：
（ 1）耐用品存量调整模型：
耐用品的存量 Qt由前一个时期的存量 Qt-1和当期收入 It共同决定：
Qt=?0+?1It+?2Qt-1+?t t=1,? T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量 Qt-1只与?t-1相关，与?t不相关，属于上述的第 2种情况。
（ 2）合理预期的消费函数模型合理预期理论 认为消费 Ct是由对收入的预期 Yte
所决定的：
tett YC 10
预期收入 Yte与实际收入 Y间存如下关系的假设
ettet YYY 1)1(
容易推出
tettt YYC 1110 )1(
tttt CY )()1( 10110
1110 )1()1( tttt CY
Ct-1是一随机解释变量，且与 (?t-t-1)高度相关
（ Why?）。属于上述第 3种情况。
计量经济学模型一旦出现随机解释变量,
且与随机扰动项相关的话,如果仍采用
OLS法估计模型参数,不同性质的随机解释变量会产生不同的后果 。
下面以一元线性回归模型为例进行说明三、随机解释变量的后果
随机解释变量与随机误差项相关图
（ a）正相关 （ b）负相关拟合的样本回归线可能低估截距项，
而高估斜率项。
拟合的样本回归线高估截距项,而低估斜率项 。
对一元线性回归模型：
ttt XY 10
OLS估计量为
2121
t
tt
t
tt
x
x
x
yx
1、如果 X与?相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。
已经得到证明随机解释变量 X与随机项?的关系不同，参数 OLS估计量的统计性质也会不同。
2,如果 X与?同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。
kt的分母中包含不同期的 X；由异期相关性知,kt
与?t相关，因此，
)()()?( 1211 ttt
t
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11 )?(E
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)l i m (
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3、如果 X与?同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。
注意：
如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，
则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，
OLS估计量是有偏的、且是非一致的。
即使同期无关，其 OLS估计量也是有偏的，因为此时肯定出现异期相关。
2的证明中已得到模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时,OLS估计量是有偏的。
如果随机解释变量与随机误差项异期相关，
则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；
但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的估计方法是 工具变量法
（ Instrument variables） 。
四、工具变量法
1、工具变量的选取工具变量,在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件,
（ 1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（ 2）与随机误差项不相关；
（ 3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
2、工具变量的应用以一元回归模型的离差形式为例说明如下：
iii xy 1
用 OLS估计模型，相当于用 xi去乘模型两边、对 i求和、再略去?xi?i项后得到 正规方程,
21 iii xyx?
21
i
ii
x
yx? (*)
解得然而，如果 Xi与?i相关，即使在大样本下，也不存在 (?xi?i)/n?0,则在大样本下也不成立,OLS估计量 不具有一致性 。
21
i
ii
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yx?
由于 Cov(Xi,?i)=E(Xi?i)=0，意味着大样本下
(?xi?i)/n?0
表明 大样本下
21
i
ii
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yx?
成立,即 OLS估计量 具有一致性。
如果选择 Z为 X的 工具变量,那么在上述估计过程可改为,
iiiiii zxzyz 1
利用 E(zi?i)=0，在大样本下可得到：
ii
ii
xz
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1
~?
关于 0? 的估计，仍用 XY 10 ~~ 完成。
这种求模型参数估计量的方法称为 工具变量法
(instrumental variable method),相应的估计量称为 工具变量法估计量 （ instrumental variable
(IV) estimator） 。
对于 矩阵形式,
Y=X?+?
采用工具变量法（假设 X2与随机项相关，用工具变量 Z替代）得到的 正规方程组 为：
X βZYZ
参数估计量为：
YZXZβ 1)(~
knkk
n
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XXX
ZZZ
XXX
21
21
11211
111
Z其中 称为 工具变量矩阵
3、工具变量法估计量是一致估计量一元回归中，工具变量法估计量为如果工具变量 Z选取恰当，即有
ii
ii
ii
iii
xz
z
xz
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1
1
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)(~
两边取概率极限得：
iin
iin
xzP
zPP
1
1
11 lim
lim)~lim (
0),c ov (1lim iiii ZznP 0),c ov (1lim iiii XZxznP
因此：
11 )~lim (P
1、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的 。
注意：
0)()1()1( ii
ii
ii
ii
zExzEzxzE
2、工具变量并没有替代模型中的解释变量,只是在估计过程中作为“工具”被使用。
上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两步 OLS回归：
第一步,用 OLS法进行 X关于工具变量 Z的回归：
ii ZX 10
ii XY?
~~?
10
容易验证仍有,
ii
ii
xz
yz
1
~?
因此,工具变量法仍是 Y对 X的回归,而不是对
Z的回归 。
3,如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量 。
但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果 (Why？ )。
4,OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。
5、如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了 广义矩方法 （ Generalized
Method of Moments,GMM）。
在 GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。
工具变量法是 GMM的一个特例。
6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事可以用 Xt-1作为原解释变量 Xt的工具变量。
五、案例 —— 中国居民人均消费函数例 4.4.1 在例 2.5.1的 中国居民人均消费函数 的估计中，采用 OLS估计了下面的模型：
G D P PCO NS P 10
由于：居民人均消费支出（ CONSP）与人均国内生产总值（ GDPP）相互影响，因此，
容易判断 GDPP与?同期相关（往往是正相关），
OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项 ）。
OLS估计结果：
(13.51) (53.47)
R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7
如果用 GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：
(14.84) (56.04)
R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5
GMM是近 20年计量经济学理论方法发展的重要方向之一。
IV是 GMM的一个特例。
如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了 广义矩方法（ GMM） 。在 GMM中，
矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。
