第三章 经典单方程计量经济学模型：多元回归
多元线性回归模型
多元线性回归模型的参数估计
多元线性回归模型的统计检验
多元线性回归模型的预测
回归模型的其他形式
回归模型的参数约束
§ 3.1 多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定一、多元线性回归模型多元线性回归模型,表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
一般表现形式,
ikikiii XXXY 22110
i=1,2…,n
其中,k为解释变量的数目,?j称为 回归参数
（ regression coefficient）。
习惯上,把 常数项 看成为一 虚变量 的系数,该虚变量的样本观测值始终取 1。 这样：
模型中解释变量的数目为 （ k+1）
ikikiii XXXY 22110
也被称为 总体回归函数 的 随机表达形式 。 它 的非随机表达式 为,
kikiikiiii XXXXXXYE 2211021 ),,|(?
方程表示,各变量 X值固定时 Y的平均响应 。
j也被称为 偏回归系数,表示在其他解释变量保持不变的情况下,Xj每变化 1个单位时,Y
的均值 E(Y)的变化 ;
或者说?j给出了 Xj的单位变化对 Y均值的,直接,或,净,（ 不含其他变量 ） 影响 。
总体回归模型 n个随机方程的 矩阵表达式 为
μX βY
其中
)1(21
22212
12111
1
1
1
knknnn
k
k
XXX
XXX
XXX
X
1)1(
2
1
0
kk
β
1
2
1
nn
μ
样本回归函数,用来估计总体回归函数
kikiiii XXXY 22110
其 随机表示式,
ikikiiii eXXXY 22110?
ei称为 残差 或 剩余项 (residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项?i的近似替代。
样本回归函数 的 矩阵表达,
βXY 或 eβXY
其中：
k?
1
0
β
ne
e
e
2
1
e
二、多元线性回归模型的基本假定假设 1，解释变量是非随机的或固定的，且各
X之间互不相关（无多重共线性）。
假设 2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性
0)(?iE?
22 )()( ii EV a r
0)(),( jiji ECo v
njiji,,2,1,
假设 3，解释变量与随机项不相关
0),(?ijiXCo v?
假设 4，随机项满足正态分布
),0(~ 2 Ni
kj,2,1
上述假设的 矩阵符号表示 式：
假设 1,n?(k+1)矩阵 X是非随机的，且 X的秩?=k+1，
即 X满秩。
假设 2,0
)(
)(
)(
11
nn E
E
EE
μ
n
n
EE
1
1
)( μμ
2
1
1
2
1
nn
n
E
I2
2
2
1
11
0
0
)v ar (),co v (
),co v ()v ar (
nn
n
假设 3,E(X’?)=0，即
0
)(
)(
)(
11?
iKi
ii
i
iKi
ii
i
EX
EX
E
X
X
E
假设 4，向量?有一多维正态分布，即
),(~ 2 I0μ?N
同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：
假设 5,样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即 n?∞ 时，
jjjiji QXXnxn 22 )(
11 或 Qxx
n
1
其中,Q为一非奇异固定矩阵，矩阵 x是由各解释变量的离差为元素组成的 n?k阶矩阵
knn
k
xx
xx
1
111
x
假设 6，回归模型的设定是正确的。
多元线性回归模型
多元线性回归模型的参数估计
多元线性回归模型的统计检验
多元线性回归模型的预测
回归模型的其他形式
回归模型的参数约束
§ 3.1 多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定一、多元线性回归模型多元线性回归模型,表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
一般表现形式,
ikikiii XXXY 22110
i=1,2…,n
其中,k为解释变量的数目,?j称为 回归参数
（ regression coefficient）。
习惯上,把 常数项 看成为一 虚变量 的系数,该虚变量的样本观测值始终取 1。 这样：
模型中解释变量的数目为 （ k+1）
ikikiii XXXY 22110
也被称为 总体回归函数 的 随机表达形式 。 它 的非随机表达式 为,
kikiikiiii XXXXXXYE 2211021 ),,|(?
方程表示,各变量 X值固定时 Y的平均响应 。
j也被称为 偏回归系数,表示在其他解释变量保持不变的情况下,Xj每变化 1个单位时,Y
的均值 E(Y)的变化 ;
或者说?j给出了 Xj的单位变化对 Y均值的,直接,或,净,（ 不含其他变量 ） 影响 。
总体回归模型 n个随机方程的 矩阵表达式 为
μX βY
其中
)1(21
22212
12111
1
1
1
knknnn
k
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XXX
XXX
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X
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2
1
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1
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样本回归函数,用来估计总体回归函数
kikiiii XXXY 22110
其 随机表示式,
ikikiiii eXXXY 22110?
ei称为 残差 或 剩余项 (residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项?i的近似替代。
样本回归函数 的 矩阵表达,
βXY 或 eβXY
其中：
k?
1
0
β
ne
e
e
2
1
e
二、多元线性回归模型的基本假定假设 1，解释变量是非随机的或固定的，且各
X之间互不相关（无多重共线性）。
假设 2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性
0)(?iE?
22 )()( ii EV a r
0)(),( jiji ECo v
njiji,,2,1,
假设 3，解释变量与随机项不相关
0),(?ijiXCo v?
假设 4，随机项满足正态分布
),0(~ 2 Ni
kj,2,1
上述假设的 矩阵符号表示 式：
假设 1,n?(k+1)矩阵 X是非随机的，且 X的秩?=k+1，
即 X满秩。
假设 2,0
)(
)(
)(
11
nn E
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μ
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X
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假设 4，向量?有一多维正态分布，即
),(~ 2 I0μ?N
同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：
假设 5,样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即 n?∞ 时，
jjjiji QXXnxn 22 )(
11 或 Qxx
n
1
其中,Q为一非奇异固定矩阵，矩阵 x是由各解释变量的离差为元素组成的 n?k阶矩阵
knn
k
xx
xx
1
111
x
假设 6，回归模型的设定是正确的。
