§ 3.5 回归模型的其他函数形式一、模型的类型与变换二,非线性回归实例在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的 恩格尔曲线 (Engle curves)表现为 幂函数曲线 形式、宏观经济学中的 菲利普斯曲线
（ Pillips cuves）表现为 双曲线 形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法例如,描述税收与税率关系的 拉弗曲线,抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s：税收； r：税率设 X1 = r,X2 = r2,则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2 c<0
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法例如,Cobb-Dauglas生产函数,幂函数
Q = AK?L?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动方程两边取对数：
ln Q = ln A +? ln K +? ln L
3、复杂函数模型与级数展开法方程两边取对数后，得到：
eLKAQ 1)( 21 (?1+?2=1)
Q:产出量,K：资本投入,L：劳动投入
：替代参数,?1,?2：分配参数
)( 211 LKLnL n AL n Q
例如,常替代弹性 CES生产函数将式中 ln(?1K-? +?2L-?)在?=0处展开台劳级数,取关于
的线性项，即得到一个线性近似式。
如取 0阶,1阶,2阶项,可得
2
2121 ln2
1lnlnlnln
L
KmLmKmAY
并非所有的函数形式都可以线性化无法线性化模型的一般形式为,
),,,( 21 kXXXfY?
其中,f(x1,x2,…,X k)为非线性函数。如：
LAKQ
二、非线性回归实例例 3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
),,( 01 PPXfQ?
Q:居民对食品的需求量,X,消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数,P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性,当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变
)/,/( 010 PPPXfQ?
(*)
(**)
为了进行比较，将同时估计（ *）式与（ **）式。
根据 恩格尔定律,居民对 食品的消费支出 与居民的 总支出 间呈 幂函数 的变化关系,
首先,确定具体的函数形式
321 01 PPAXQ?
对数变换,
031210 lnlnln)l n ( PPXQ
考虑到 零阶齐次性 时
)/l n ()/l n ()l n ( 012010 PPPXQ
(***)
(****)
(****)式也可看成是对（ ***）式施加如下约束而得
0321
因此,对 （ ****） 式进行回归,就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件 。
表 3,5,1 中国城镇居民消费支 出（元）及价格指 数
X
( 当年价 )
X1
( 当年价 )
GP
( 上年 = 1 0 0 )
FP
( 上年 = 1 0 0 )
X C
( 1 9 9 0 年价 )
Q
( 1 9 9 0 年价 )
P 0
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
P 1
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
1 9 8 1 4 5 6,8 4 2 0,4 1 0 2,5 1 0 2,7 6 4 6,1 3 1 8,3 7 0,7 1 3 2,1
1 9 8 2 4 7 1,0 4 3 2,1 1 0 2,0 1 0 2,1 6 5 9,1 3 2 5,0 7 1,5 1 3 2,9
1 9 8 3 5 0 5,9 4 6 4,0 1 0 2,0 1 0 3,7 6 7 2,2 3 3 7,0 7 5,3 1 3 7,7
1 9 8 4 5 5 9,4 5 1 4,3 1 0 2,7 1 0 4,0 6 9 0,4 3 5 0,5 8 1,0 1 4 6,7
1 9 8 5 6 7 3,2 3 5 1,4 1 1 1,9 1 1 6,5 7 7 2,6 4 0 8,4 8 7,1 8 6,1
1 9 8 6 7 9 9,0 4 1 8,9 1 0 7,0 1 0 7,2 8 2 6,6 4 3 7,8 9 6,7 9 5,7
1 9 8 7 8 8 4,4 4 7 2,9 1 0 8,8 1 1 2,0 8 9 9,4 4 9 0,3 9 8,3 9 6,5
1 9 8 8 1 1 0 4,0 5 6 7,0 1 2 0,7 1 2 5,2 1 0 8 5,5 6 1 3,8 1 0 1,7 9 2,4
1 9 8 9 1 2 1 1,0 6 6 0,0 1 1 6,3 114,4 1 2 6 2,5 7 0 2,2 9 5,9 9 4,0
1 9 9 0 1 2 7 8,9 6 9 3,8 1 0 1,3 9 8,8 1 2 7 8,9 6 9 3,8 1 0 0,0 1 0 0,0
1 9 9 1 1 4 5 3,8 7 8 2,5 1 0 5,1 1 0 5,4 1 3 4 4,1 7 3 1,3 1 0 8,2 1 0 7,0
1 9 9 2 1 6 7 1,7 8 8 4,8 1 0 8,6 1 1 0,7 1 4 5 9,7 8 0 9,5 1 1 4,5 1 0 9,3
1 9 9 3 2 1 1 0,8 1 0 5 8,2 1 1 6,1 1 1 6,5 1 6 9 4,7 9 4 3,1 1 2 4,6 1 1 2,2
1 9 9 4 2 8 5 1,3 1 4 2 2,5 1 2 5,0 1 3 4,2 2 1 1 8,4 1 2 6 5,6 1 3 4,6 1 1 2,4
1 9 9 5 3 5 3 7,6 1 7 6 6,0 1 1 6,8 1 2 3,6 2 4 7 4,3 1 5 6 4,3 1 4 3,0 1 1 2,9
1 9 9 6 3 9 1 9,5 1 9 0 4,7 1 0 8,8 1 0 7,9 2 6 9 2,0 1 6 8 7,9 1 4 5,6 1 1 2,8
1 9 9 7 4 1 8 5,6 1 9 4 2,6 1 0 3,1 1 0 0,1 2 7 7 5,5 1 6 8 9,6 1 5 0,8 1 1 5,0
1 9 9 8 4 3 3 1,6 1 9 2 6,9 9 9,4 9 6,9 2 7 5 8,9 1 6 3 7,2 1 5 7,0 1 1 7,7
1 9 9 9 4 6 1 5,9 1 9 3 2,1 9 8,7 9 5,7 2 7 2 3,0 1 5 6 6,8 1 6 9,5 1 2 3,3
2 0 0 0 4 9 9 8,0 1 9 5 8,3 1 0 0,8 9 7,6 2 7 4 4,8 1 5 2 9,2 1 8 2,1 1 2 8,1
2 0 0 1 5 3 0 9,0 2 0 1 4,0 1 0 0,7 1 0 0,7 2 7 6 4,0 1 5 3 9,9 1 9 2,1 1 3 0,8
X：人均消费
X1：人均食品消费
GP：居民消费价格指数
FP：居民食品消费价格指数
XC：人均消费（ 90年价）
Q：人均食品消费（ 90年价）
P0：居民消费价格缩减指数
（ 1990=100）
P：居民食品消费价格缩减指数
（ 1990=100
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
Q
中国城镇居民人均食品消费特征：
消费行为在
1981~1995年间表现出较强的一致性
1995年之后呈现出另外一种变动特征。
建立 1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型,
)l n (92.0)l n (08.0)l n (05.163.3)?l n ( 01 PPXQ
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
按 零阶齐次性 表达式回归,
)/l n (09.0)/l n (07.183.3)?l n ( 010 PPPXQ
（ 75.86） (52.66) (-3.62)
为了比较，改写该式为：
01
010
ln98.0ln09.0ln07.183.3
)ln( l n09.0)ln( l n07.183.3?ln
PPX
PPPXQ
)l n (92.0)l n (08.0)l n (05.163.3)?l n ( 01 PPXQ
发现与接近。
意味着,所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
如著名的 恩格尔曲线 (Engle curves)表现为 幂函数曲线 形式、宏观经济学中的 菲利普斯曲线
（ Pillips cuves）表现为 双曲线 形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法例如,描述税收与税率关系的 拉弗曲线,抛物线
s = a + b r + c r2 c<0
s：税收； r：税率设 X1 = r,X2 = r2,则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2 c<0
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法例如,Cobb-Dauglas生产函数,幂函数
Q = AK?L?
Q：产出量,K：投入的资本； L：投入的劳动方程两边取对数：
ln Q = ln A +? ln K +? ln L
3、复杂函数模型与级数展开法方程两边取对数后，得到：
eLKAQ 1)( 21 (?1+?2=1)
Q:产出量,K：资本投入,L：劳动投入
：替代参数,?1,?2：分配参数
)( 211 LKLnL n AL n Q
例如,常替代弹性 CES生产函数将式中 ln(?1K-? +?2L-?)在?=0处展开台劳级数,取关于
的线性项，即得到一个线性近似式。
如取 0阶,1阶,2阶项,可得
2
2121 ln2
1lnlnlnln
L
KmLmKmAY
并非所有的函数形式都可以线性化无法线性化模型的一般形式为,
),,,( 21 kXXXfY?
其中,f(x1,x2,…,X k)为非线性函数。如：
LAKQ
二、非线性回归实例例 3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
),,( 01 PPXfQ?
Q:居民对食品的需求量,X,消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数,P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性,当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变
)/,/( 010 PPPXfQ?
(*)
(**)
为了进行比较，将同时估计（ *）式与（ **）式。
根据 恩格尔定律,居民对 食品的消费支出 与居民的 总支出 间呈 幂函数 的变化关系,
首先,确定具体的函数形式
321 01 PPAXQ?
对数变换,
031210 lnlnln)l n ( PPXQ
考虑到 零阶齐次性 时
)/l n ()/l n ()l n ( 012010 PPPXQ
(***)
(****)
(****)式也可看成是对（ ***）式施加如下约束而得
0321
因此,对 （ ****） 式进行回归,就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件 。
表 3,5,1 中国城镇居民消费支 出（元）及价格指 数
X
( 当年价 )
X1
( 当年价 )
GP
( 上年 = 1 0 0 )
FP
( 上年 = 1 0 0 )
X C
( 1 9 9 0 年价 )
Q
( 1 9 9 0 年价 )
P 0
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
P 1
( 1 9 9 0 = 1 0 0 )
1 9 8 1 4 5 6,8 4 2 0,4 1 0 2,5 1 0 2,7 6 4 6,1 3 1 8,3 7 0,7 1 3 2,1
1 9 8 2 4 7 1,0 4 3 2,1 1 0 2,0 1 0 2,1 6 5 9,1 3 2 5,0 7 1,5 1 3 2,9
1 9 8 3 5 0 5,9 4 6 4,0 1 0 2,0 1 0 3,7 6 7 2,2 3 3 7,0 7 5,3 1 3 7,7
1 9 8 4 5 5 9,4 5 1 4,3 1 0 2,7 1 0 4,0 6 9 0,4 3 5 0,5 8 1,0 1 4 6,7
1 9 8 5 6 7 3,2 3 5 1,4 1 1 1,9 1 1 6,5 7 7 2,6 4 0 8,4 8 7,1 8 6,1
1 9 8 6 7 9 9,0 4 1 8,9 1 0 7,0 1 0 7,2 8 2 6,6 4 3 7,8 9 6,7 9 5,7
1 9 8 7 8 8 4,4 4 7 2,9 1 0 8,8 1 1 2,0 8 9 9,4 4 9 0,3 9 8,3 9 6,5
1 9 8 8 1 1 0 4,0 5 6 7,0 1 2 0,7 1 2 5,2 1 0 8 5,5 6 1 3,8 1 0 1,7 9 2,4
1 9 8 9 1 2 1 1,0 6 6 0,0 1 1 6,3 114,4 1 2 6 2,5 7 0 2,2 9 5,9 9 4,0
1 9 9 0 1 2 7 8,9 6 9 3,8 1 0 1,3 9 8,8 1 2 7 8,9 6 9 3,8 1 0 0,0 1 0 0,0
1 9 9 1 1 4 5 3,8 7 8 2,5 1 0 5,1 1 0 5,4 1 3 4 4,1 7 3 1,3 1 0 8,2 1 0 7,0
1 9 9 2 1 6 7 1,7 8 8 4,8 1 0 8,6 1 1 0,7 1 4 5 9,7 8 0 9,5 1 1 4,5 1 0 9,3
1 9 9 3 2 1 1 0,8 1 0 5 8,2 1 1 6,1 1 1 6,5 1 6 9 4,7 9 4 3,1 1 2 4,6 1 1 2,2
1 9 9 4 2 8 5 1,3 1 4 2 2,5 1 2 5,0 1 3 4,2 2 1 1 8,4 1 2 6 5,6 1 3 4,6 1 1 2,4
1 9 9 5 3 5 3 7,6 1 7 6 6,0 1 1 6,8 1 2 3,6 2 4 7 4,3 1 5 6 4,3 1 4 3,0 1 1 2,9
1 9 9 6 3 9 1 9,5 1 9 0 4,7 1 0 8,8 1 0 7,9 2 6 9 2,0 1 6 8 7,9 1 4 5,6 1 1 2,8
1 9 9 7 4 1 8 5,6 1 9 4 2,6 1 0 3,1 1 0 0,1 2 7 7 5,5 1 6 8 9,6 1 5 0,8 1 1 5,0
1 9 9 8 4 3 3 1,6 1 9 2 6,9 9 9,4 9 6,9 2 7 5 8,9 1 6 3 7,2 1 5 7,0 1 1 7,7
1 9 9 9 4 6 1 5,9 1 9 3 2,1 9 8,7 9 5,7 2 7 2 3,0 1 5 6 6,8 1 6 9,5 1 2 3,3
2 0 0 0 4 9 9 8,0 1 9 5 8,3 1 0 0,8 9 7,6 2 7 4 4,8 1 5 2 9,2 1 8 2,1 1 2 8,1
2 0 0 1 5 3 0 9,0 2 0 1 4,0 1 0 0,7 1 0 0,7 2 7 6 4,0 1 5 3 9,9 1 9 2,1 1 3 0,8
X：人均消费
X1：人均食品消费
GP：居民消费价格指数
FP：居民食品消费价格指数
XC：人均消费（ 90年价）
Q：人均食品消费（ 90年价）
P0：居民消费价格缩减指数
（ 1990=100）
P：居民食品消费价格缩减指数
（ 1990=100
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
Q
中国城镇居民人均食品消费特征：
消费行为在
1981~1995年间表现出较强的一致性
1995年之后呈现出另外一种变动特征。
建立 1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型,
)l n (92.0)l n (08.0)l n (05.163.3)?l n ( 01 PPXQ
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
按 零阶齐次性 表达式回归,
)/l n (09.0)/l n (07.183.3)?l n ( 010 PPPXQ
（ 75.86） (52.66) (-3.62)
为了比较，改写该式为：
01
010
ln98.0ln09.0ln07.183.3
)ln( l n09.0)ln( l n07.183.3?ln
PPX
PPPXQ
)l n (92.0)l n (08.0)l n (05.163.3)?l n ( 01 PPXQ
发现与接近。
意味着,所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
