第三章数字图像分析第一节图像增强数字图像处理北京大学计算机研究所 陈晓鸥第三章数字图像分析第一节图像增强第一节 图像增强
3.1.1 图像增强引言
3.1.2 空域图像增强
3.1.3 频域图像增强
3.1.3.1 频域过滤器
3.1.3.2 从频域规范产生空域模板第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器
频域过滤器
1）低通过滤
2）高通过滤
3）同形过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
1）低通过滤
– 频域低通过滤的基本思想
– 理想低通过滤器
– Butterworth低通过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
频域低通过滤的基本思想
G(u,v) = F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个过滤器变换函数
– G(u,v)是通过 H(u,v)减少 F(u,v)的高频部分,
来得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器
– 理想低通过滤器的定义
– 理想低通过滤器截止频率的设计
– 理想低通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的定义
– 一个二维的理想低通过滤器（ ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）
其中,D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
0
0
),( 0
),( 1
),(
DvuDif
DvuDif
vuH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截面图
0 D0 D(u,v)
H(u,v)
1
H(u,v)作为距离函数 D(u,v)
的函数的截面图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的三维透视图
vu
H(u,v)
H(u,v)作为 u,v的函数的三维透视图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计
– 先求出总的信号能量 PT：
其中：
p(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) +
I2(u,v)
是能量模
),(
1
0
1
0
vuPP
N
v
N
u
T
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计
– 如果将变换作中心平移,则一个以频域中心为原点,r为半径的圆就包含了百分之 β 的能量其中：
(u2 + v2) 1/2 < r
u v
TPvuP /),(1 00?
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计
– 求出相应的 D0
r = D0 =(u2 + v2)1/2
– 书上的例子：
D0 = 8,18,43,78,152
β = 90,93,95,99,99.5
整个能量的 90%被一个半径为 8的小圆周包含第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的计算
1,对于给定的 β
2,用下面的公式计算出截止频率 D0
r = D0 =(u2 + v2)1/2
3,用频域理想低通过滤器 H(u,v)与 F(u,v)
相乘
u v
TPvuP /),( 1 0 0?
0
0
),( 0
),( 1),(
DvuDif
DvuDifvuH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的分析
– 整个能量的 90%被一个半径为 8的小圆周包含,
大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的 10%
的能量中
– 小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多 0.5%的能量中
– 被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果 —
— 理想低通滤波器的一种特性所影响第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的分析
– 振铃效果 —— 理想低通滤波器的一种特性第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器
– Butterworth低通过滤器的定义
– Butterworth低通过滤器截止频率的设计
– Butterworth低通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的定义
– 一个截止频率在与原点距离为 D0的 n阶
Butterworth低通过滤器（ BLPF）的变换函数如下：
nDvuD
vuH 2
0/),(1
1
),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的截面图
0 2 D(u,v)/D0
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)/D0
的函数的截面图
1 3
0.5
4
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计
– 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分
– 通常把 H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点
– 有两种选择：
选择 1,H(u,v) = 0.5 当 D0 = D(u,v)时
nDvuDvuH 20/),(1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计选择 2：
H(u,v) = 1/?2 当 D0 = D(u,v)时
nn DvuDDvuDvuH 2020 /),(4 1 4.01
1
/),()12(1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的截面图
0 2 D(u,v)/D0
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)/D0
的函数的截面图
1 3
1/? 2
4
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的分析
– 在任何经 BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果
– 低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的分析
– BLPF处理过的图像中都没有振铃效果第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
2）高通过滤
– 频域高通过滤的基本思想
– 理想高通过滤器
– Butterworth高通过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
频域高通过滤的基本思想
– G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要锐化图像的傅立叶变换形式。
– 目标是选取一个过滤器变换函数 H(u,v)，通过它 减少 F(u,v)的低频部分 来得到 G(u,v)。
– 运用傅立叶逆变换得到 锐化 后的图像。
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想高通过滤器
– 理想高通过滤器的定义
– 理想高通过滤器截止频率的设计
– 理想高通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想高通过滤器的定义
– 一个二维的理想高通过滤器（ ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）
其中,D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
0
0
),( 1
),( 0
),(
DvuDif
DvuDif
vuH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想低通过滤器的截面图
0 D0 D(u,v)
H(u,v)
1
H(u,v)作为距离函数 D(u,v)
的函数的截面图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想高通过滤器的三维透视图
vu
H(u,v)
H(u,v)作为 u,v的函数的三维透视图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器
– Butterworth高通过滤器的定义
– Butterworth高通过滤器截止频率设计
– Butterworth高通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器的定义
– 一个截止频率在与原点距离为 D0的 n阶
Butterworth高通过滤器（ BHPF）的变换函数如下：
nvuDD
vuH 2
0 ),(/1
1
),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器的截面图
0 2 D(u,v)/D0
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)/D0
的函数的截面图
1 3
0.5
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器截止频率设计
– 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分
– 通常把 H(u,v)开始小于其最大值（ 1）的一定比例的点当作其截止频率点
– 有两种选择：
选择 1,H(u,v) = 0.5 当 D0 = D(u,v)时
nvuDDvuH 20 ),(/1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器截止频率设计选择 2：
H(u,v) = 1/?2 当 D0 = D(u,v)时
nn vuDDvuDDvuH 2020 ),(/414.01
1
),(/)12(1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth低通过滤器的分析
– 问题：低频成分被严重地消弱了，使图像失去层次
– 改进措施：
加一个常数到变换函数 H(u,v) + A
这种方法被称为高频强调
为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为 后过滤处理第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
3）同形过滤器
– 同形过滤器的基本思想
– 同形过滤器的定义
– 同形过滤器的效果分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的基本思想
– 一个图像 f(x,y)可以根据它的明度和反射分量的乘积来表示
f (x,y) = i (x,y)r (x,y)
– 其中,i (x,y)为明度函数，
r (x,y)反射分量函数
– 通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，
来改进图像的表现第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义
– 因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的,
也即：
F{f(x,y)} ≠ F{i(x,y)}F{r(x,y)}
然而假设我们定义
z(x,y) = ln f(x,y)
= ln i(x,y)r(x,y)
= ln i(x,y) + ln r(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义那么有：
F{z(x,y)} = F{ln f(x,y)}
= F{ln i(x,y)} + F{ln r(x,y)}
或 Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v)
其中 I(u,v) 和 R(u,v)分别是 ln i(x,y) 和 ln
r(x,y)的傅立叶变换第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义用过滤器函数 H(u,v)的方法处理 Z(u,v),有：
S(u,v) = H(u,v)Z(u,v)
= H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v)
其中 S(u,v)是结果图像的傅立叶变换在空域中：
s(x,y) = F-1{S(u,v)}
= F-1{H(u,v)I(u,v)} + F-
1{H(u,v)R(u,v)}
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义通过设：
i’(x,y) = F-1{H(u,v)I(u,v)}
r’(x,y) = F-1{H(u,v)R(u,v)}
上页等式可以表示为：
s(x,y) = i’(x,y) + r’(x,y)
最后,通过 i’(x,y) 和 r’(x,y)的逆操作
（ 指数操作 ） 产生增强后的图像 g(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义也即：
g(x,y) = exp[s(x,y)]
= exp[i’(x,y)] exp[r’(x,y)]
= i0(x,y)r0(x,y)
其中 i0(x,y) = exp[i’(x,y)]
和 r0(x,y) = exp[r’(x,y)]
是输出图像的明度和反射分量 。
g 0(x,y) = i0(x,y) r0(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义
– 利用前述概念进行增强的方法可以归纳为：
– 这个方法基于一类称作同形系统的特殊情况 。
在此特定应用中,问题的关键在于将明度和反射分量用进行分离 。 同形过滤器函数 H(u,v)
能够分别对这两部分进行操作 。
ln FFT H(u,v) (FFT)-1 expf(x,y) g(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的效果分析
– 图像的 明度分量 的特点是 平缓的空域变化,
而 反射分量 则近于 陡峭的空域变化
– 这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的 低频部分 对应于 明度分量,而 高频部分 对应于 反射分量
– 尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，
但它们可以用于优化图像的增强操作第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的效果分析
– 一个好的控制可以通过用同形过滤器对明度和反射分量分别操作来得到
– 这个控制要求指定一个过滤器函数
H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的截面图
0 D(u,v)
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)的函数的截面图
γ H
γ L
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的效果分析如果参数 γ L和 γ H的选取使得
γ L< 1,γ H > 1
前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效范围，又扩大了对比度。
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器
从频域规范产生空域模板
– 频域变换到空域模板的基本思想
– 频域变换到空域模板的关系式推导第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,基本思想
频域变换到空域模板的基本思想
– 希望用空域模板来模拟一个给定频域过滤器的方法
– 频域的过滤器操作基于以下等式：
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
频域的过滤器操作可以由空域上的卷积公式实现：
1
0
1
0
),(),(),(
N
i
N
j
kifkyixhyxg
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– h通常称作空域卷积模板,可理解为 H(u,v)的逆傅立叶变换。 这里已经找到了 H与 h的关系 。
h = H-1(u,v)
也即：
且,g = G-1(u,v)
u,v = 0,1,2,…,N-1（ N太大,不是实用模板 ）
1
0
1
0
/)(2e x p),(1),(
N
x
N
y
Nvyuxjyxh
N
vuH?
h = H -1(u,v)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– 假设 h(x,y)在 x>n 且 y>n 时值均为 0,其中
n<N。 这个限制创建了一个 n*n大小的用傅立叶变换 H(u,v)得到的卷积模板
^h(x,y)
= N x N
n x n
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导上式可以表示为：
1
0
1
0
/)(2e x p),(?1),(?
n
x
n
y
Nvyuxjyxh
N
vuH?
h?CH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导其中：
– 是一个按行展开 (u,v)中元素得到的列向量
– 由 (u,v)产生向量的元素 (i)，
i=0,1,2,…,N2-1的过程是其中,i=uN+v,u,v=0,1,2,…,N-1。
令,u=0,v=0,1,2,…,N-1;
u=1,v=0,1,2,…,N-1； 以此类推
H?
)(?),(? iHvuH?
H?
H? H?
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– h是一个按行展开 h(u,v)中元素得到的列向量
– h的元素表示为 h(k),k=0,1,2,…,n2-1,可以同样生成其中,k=xn+y,x,y=0,1,2,…,n-1。
令,x=0,y=0,1,2,…,N-1;
x=1,y=0,1,2,…,N-1； 以此类推
)(?),(? khyxh?
^ ^
^^
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– C是一个 N2*n2的系数矩阵
– C对应的元素表示为 C(i,k),通过指数项产生
– 其中 i=uN+v,k=xn+y,u,v=0,1,2,…,N-1，
x,y=0,1,2,…,n-1。 是一个矩形矩阵
),()/)(2e x p (1 kiCNvuxjN
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
h?CH
^
^
H = C h
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– 下面讨论的目标是找到一个 h(x,y)的系数 C，
使得以下误差达到最小 。
这里 |.|代表复数的模
21
0
1
0
^
2 ),(),(
N
u
N
v
vuHvuHe
^
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
–
– 其中 *是共轭转置,||.||是复数欧氏模平方
– 取空域的导数，并令其等于零向量，得到 e2
关于的最小值
0)Hh?C(C2
h?
e *2
e2 = (H – H )* (H – H )
= || H – H ||2 = || Ch – H ||2
^ ^
^ ^
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
–
– 这里矩阵 C#=（ C*C） -1C*通常称作 Moore-
Penrose逆生成
0)Hh?C(C2
h?
e *2
HCHC)CC(h? #*1*
HCh?CC
0HCh?CC
**
**
第三章数字图像分析第一节图像增强第四次作业：
实现 Butterworth高通过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强请提问
3.1.1 图像增强引言
3.1.2 空域图像增强
3.1.3 频域图像增强
3.1.3.1 频域过滤器
3.1.3.2 从频域规范产生空域模板第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器
频域过滤器
1）低通过滤
2）高通过滤
3）同形过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
1）低通过滤
– 频域低通过滤的基本思想
– 理想低通过滤器
– Butterworth低通过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
频域低通过滤的基本思想
G(u,v) = F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个过滤器变换函数
– G(u,v)是通过 H(u,v)减少 F(u,v)的高频部分,
来得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器
– 理想低通过滤器的定义
– 理想低通过滤器截止频率的设计
– 理想低通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的定义
– 一个二维的理想低通过滤器（ ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）
其中,D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
0
0
),( 0
),( 1
),(
DvuDif
DvuDif
vuH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截面图
0 D0 D(u,v)
H(u,v)
1
H(u,v)作为距离函数 D(u,v)
的函数的截面图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的三维透视图
vu
H(u,v)
H(u,v)作为 u,v的函数的三维透视图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计
– 先求出总的信号能量 PT：
其中：
p(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) +
I2(u,v)
是能量模
),(
1
0
1
0
vuPP
N
v
N
u
T
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计
– 如果将变换作中心平移,则一个以频域中心为原点,r为半径的圆就包含了百分之 β 的能量其中：
(u2 + v2) 1/2 < r
u v
TPvuP /),(1 00?
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的截止频率的设计
– 求出相应的 D0
r = D0 =(u2 + v2)1/2
– 书上的例子：
D0 = 8,18,43,78,152
β = 90,93,95,99,99.5
整个能量的 90%被一个半径为 8的小圆周包含第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的计算
1,对于给定的 β
2,用下面的公式计算出截止频率 D0
r = D0 =(u2 + v2)1/2
3,用频域理想低通过滤器 H(u,v)与 F(u,v)
相乘
u v
TPvuP /),( 1 0 0?
0
0
),( 0
),( 1),(
DvuDif
DvuDifvuH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的分析
– 整个能量的 90%被一个半径为 8的小圆周包含,
大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的 10%
的能量中
– 小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多 0.5%的能量中
– 被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果 —
— 理想低通滤波器的一种特性所影响第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
理想低通过滤器的分析
– 振铃效果 —— 理想低通滤波器的一种特性第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器
– Butterworth低通过滤器的定义
– Butterworth低通过滤器截止频率的设计
– Butterworth低通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的定义
– 一个截止频率在与原点距离为 D0的 n阶
Butterworth低通过滤器（ BLPF）的变换函数如下：
nDvuD
vuH 2
0/),(1
1
),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的截面图
0 2 D(u,v)/D0
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)/D0
的函数的截面图
1 3
0.5
4
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计
– 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分
– 通常把 H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点
– 有两种选择：
选择 1,H(u,v) = 0.5 当 D0 = D(u,v)时
nDvuDvuH 20/),(1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计选择 2：
H(u,v) = 1/?2 当 D0 = D(u,v)时
nn DvuDDvuDvuH 2020 /),(4 1 4.01
1
/),()12(1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的截面图
0 2 D(u,v)/D0
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)/D0
的函数的截面图
1 3
1/? 2
4
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的分析
– 在任何经 BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果
– 低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的分析
– BLPF处理过的图像中都没有振铃效果第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,低通过滤
Butterworth低通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
2）高通过滤
– 频域高通过滤的基本思想
– 理想高通过滤器
– Butterworth高通过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
频域高通过滤的基本思想
– G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要锐化图像的傅立叶变换形式。
– 目标是选取一个过滤器变换函数 H(u,v)，通过它 减少 F(u,v)的低频部分 来得到 G(u,v)。
– 运用傅立叶逆变换得到 锐化 后的图像。
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想高通过滤器
– 理想高通过滤器的定义
– 理想高通过滤器截止频率的设计
– 理想高通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想高通过滤器的定义
– 一个二维的理想高通过滤器（ ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）
其中,D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
0
0
),( 1
),( 0
),(
DvuDif
DvuDif
vuH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想低通过滤器的截面图
0 D0 D(u,v)
H(u,v)
1
H(u,v)作为距离函数 D(u,v)
的函数的截面图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
理想高通过滤器的三维透视图
vu
H(u,v)
H(u,v)作为 u,v的函数的三维透视图第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器
– Butterworth高通过滤器的定义
– Butterworth高通过滤器截止频率设计
– Butterworth高通过滤器的分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器的定义
– 一个截止频率在与原点距离为 D0的 n阶
Butterworth高通过滤器（ BHPF）的变换函数如下：
nvuDD
vuH 2
0 ),(/1
1
),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器的截面图
0 2 D(u,v)/D0
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)/D0
的函数的截面图
1 3
0.5
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器截止频率设计
– 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分
– 通常把 H(u,v)开始小于其最大值（ 1）的一定比例的点当作其截止频率点
– 有两种选择：
选择 1,H(u,v) = 0.5 当 D0 = D(u,v)时
nvuDDvuH 20 ),(/1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth高通过滤器截止频率设计选择 2：
H(u,v) = 1/?2 当 D0 = D(u,v)时
nn vuDDvuDDvuH 2020 ),(/414.01
1
),(/)12(1
1),(
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,高通过滤
Butterworth低通过滤器的分析
– 问题：低频成分被严重地消弱了，使图像失去层次
– 改进措施：
加一个常数到变换函数 H(u,v) + A
这种方法被称为高频强调
为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为 后过滤处理第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
3）同形过滤器
– 同形过滤器的基本思想
– 同形过滤器的定义
– 同形过滤器的效果分析第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的基本思想
– 一个图像 f(x,y)可以根据它的明度和反射分量的乘积来表示
f (x,y) = i (x,y)r (x,y)
– 其中,i (x,y)为明度函数，
r (x,y)反射分量函数
– 通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，
来改进图像的表现第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义
– 因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的,
也即：
F{f(x,y)} ≠ F{i(x,y)}F{r(x,y)}
然而假设我们定义
z(x,y) = ln f(x,y)
= ln i(x,y)r(x,y)
= ln i(x,y) + ln r(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义那么有：
F{z(x,y)} = F{ln f(x,y)}
= F{ln i(x,y)} + F{ln r(x,y)}
或 Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v)
其中 I(u,v) 和 R(u,v)分别是 ln i(x,y) 和 ln
r(x,y)的傅立叶变换第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义用过滤器函数 H(u,v)的方法处理 Z(u,v),有：
S(u,v) = H(u,v)Z(u,v)
= H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v)
其中 S(u,v)是结果图像的傅立叶变换在空域中：
s(x,y) = F-1{S(u,v)}
= F-1{H(u,v)I(u,v)} + F-
1{H(u,v)R(u,v)}
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义通过设：
i’(x,y) = F-1{H(u,v)I(u,v)}
r’(x,y) = F-1{H(u,v)R(u,v)}
上页等式可以表示为：
s(x,y) = i’(x,y) + r’(x,y)
最后,通过 i’(x,y) 和 r’(x,y)的逆操作
（ 指数操作 ） 产生增强后的图像 g(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义也即：
g(x,y) = exp[s(x,y)]
= exp[i’(x,y)] exp[r’(x,y)]
= i0(x,y)r0(x,y)
其中 i0(x,y) = exp[i’(x,y)]
和 r0(x,y) = exp[r’(x,y)]
是输出图像的明度和反射分量 。
g 0(x,y) = i0(x,y) r0(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的定义
– 利用前述概念进行增强的方法可以归纳为：
– 这个方法基于一类称作同形系统的特殊情况 。
在此特定应用中,问题的关键在于将明度和反射分量用进行分离 。 同形过滤器函数 H(u,v)
能够分别对这两部分进行操作 。
ln FFT H(u,v) (FFT)-1 expf(x,y) g(x,y)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的效果分析
– 图像的 明度分量 的特点是 平缓的空域变化,
而 反射分量 则近于 陡峭的空域变化
– 这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的 低频部分 对应于 明度分量,而 高频部分 对应于 反射分量
– 尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，
但它们可以用于优化图像的增强操作第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的效果分析
– 一个好的控制可以通过用同形过滤器对明度和反射分量分别操作来得到
– 这个控制要求指定一个过滤器函数
H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的截面图
0 D(u,v)
H(u,v)
1
H(u,v)作为 D(u,v)的函数的截面图
γ H
γ L
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.1 频域过滤器,同形过滤器
同形过滤器的效果分析如果参数 γ L和 γ H的选取使得
γ L< 1,γ H > 1
前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效范围，又扩大了对比度。
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器
从频域规范产生空域模板
– 频域变换到空域模板的基本思想
– 频域变换到空域模板的关系式推导第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,基本思想
频域变换到空域模板的基本思想
– 希望用空域模板来模拟一个给定频域过滤器的方法
– 频域的过滤器操作基于以下等式：
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
频域的过滤器操作可以由空域上的卷积公式实现：
1
0
1
0
),(),(),(
N
i
N
j
kifkyixhyxg
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– h通常称作空域卷积模板,可理解为 H(u,v)的逆傅立叶变换。 这里已经找到了 H与 h的关系 。
h = H-1(u,v)
也即：
且,g = G-1(u,v)
u,v = 0,1,2,…,N-1（ N太大,不是实用模板 ）
1
0
1
0
/)(2e x p),(1),(
N
x
N
y
Nvyuxjyxh
N
vuH?
h = H -1(u,v)
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– 假设 h(x,y)在 x>n 且 y>n 时值均为 0,其中
n<N。 这个限制创建了一个 n*n大小的用傅立叶变换 H(u,v)得到的卷积模板
^h(x,y)
= N x N
n x n
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导上式可以表示为：
1
0
1
0
/)(2e x p),(?1),(?
n
x
n
y
Nvyuxjyxh
N
vuH?
h?CH
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导其中：
– 是一个按行展开 (u,v)中元素得到的列向量
– 由 (u,v)产生向量的元素 (i)，
i=0,1,2,…,N2-1的过程是其中,i=uN+v,u,v=0,1,2,…,N-1。
令,u=0,v=0,1,2,…,N-1;
u=1,v=0,1,2,…,N-1； 以此类推
H?
)(?),(? iHvuH?
H?
H? H?
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– h是一个按行展开 h(u,v)中元素得到的列向量
– h的元素表示为 h(k),k=0,1,2,…,n2-1,可以同样生成其中,k=xn+y,x,y=0,1,2,…,n-1。
令,x=0,y=0,1,2,…,N-1;
x=1,y=0,1,2,…,N-1； 以此类推
)(?),(? khyxh?
^ ^
^^
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– C是一个 N2*n2的系数矩阵
– C对应的元素表示为 C(i,k),通过指数项产生
– 其中 i=uN+v,k=xn+y,u,v=0,1,2,…,N-1，
x,y=0,1,2,…,n-1。 是一个矩形矩阵
),()/)(2e x p (1 kiCNvuxjN
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
h?CH
^
^
H = C h
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
– 下面讨论的目标是找到一个 h(x,y)的系数 C，
使得以下误差达到最小 。
这里 |.|代表复数的模
21
0
1
0
^
2 ),(),(
N
u
N
v
vuHvuHe
^
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
–
– 其中 *是共轭转置,||.||是复数欧氏模平方
– 取空域的导数，并令其等于零向量，得到 e2
关于的最小值
0)Hh?C(C2
h?
e *2
e2 = (H – H )* (H – H )
= || H – H ||2 = || Ch – H ||2
^ ^
^ ^
第三章数字图像分析第一节图像增强
3.1.3.2 频域过滤器,关系式推导
频域变换到空域模板的关系式推导
–
– 这里矩阵 C#=（ C*C） -1C*通常称作 Moore-
Penrose逆生成
0)Hh?C(C2
h?
e *2
HCHC)CC(h? #*1*
HCh?CC
0HCh?CC
**
**
第三章数字图像分析第一节图像增强第四次作业：
实现 Butterworth高通过滤器第三章数字图像分析第一节图像增强请提问
