6 二阶电路分析
6－ 1 RLC串联电路的零输入响应
6－ 2 RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应
6－ 3 GCL并联电路分析
6－ 4 一般二阶电路分析二阶电路：由二阶微分方程描述的电路。
分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程 (二阶 )，并利用初始条件求解得到电路的响应。 它是一阶电路的推广 。
本章主要讨论含两个 (独立 )动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。
为了得到图示 RLC
串联电路的微分方程,先列出 KVL方程
)()()()( SCLR tutututu
代元件 VCR
2
c
2
L
c
R
c
CL
d
d
d
d
)(
d
d
)()(
d
d
)()()(
t
u
LC
t
i
Ltu
t
u
RCtRitu
t
u
Ctititi
得,)(dddd SCC2 C2 tuutuRCtuLC
6－ 1 RLC串联电路的零输入响应这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，
令 uS(t)=0，得二阶齐次微分方程
0dddd CC2 C
2
utuRCtuLC
其特征方程为 012 R CsL Cs
由此解得特征根
LCL
R
L
R
s
1
22
2
21
，
特征根称为电路的固有频率。当电路元件参数 R,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：
C
LR 2?1 时,s1,s2为不相等的负实根。
3 时,s1,s2 为相等的负实根。
2 时,s1,s2 为共轭复数根。
C
LR 2?
C
LR 2?
1.当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；
2.当两个特征根为相等的实数根时
，称电路是临界阻尼的；
3.当两个特征根为共轭复数根时，
称电路是欠阻尼的。
以下分别讨论这三种情况。
一、过阻尼情况电路的固有频率 s1,s2不相同的实数，
齐次微分方程的解为：
tsts AAtu 21 ee)(
21C
式中的常数 A1,A2由初始条件确定。令上式中的 t=0+得
21C )0( AAu
对 uC(t)求导，再令 t=0+得
C
isAsA
t
tu
t
)0(
d
)(d L
22110
C
C
LR 2?
联立求解，可得,
)0()0(1 LC2
12
1?
C
ius
ss
A
－
＝
将 A1,A2代入 vC(t)得到电容电压的零输入响应，再利用 KCL方程和电容的 VCR可以得到电感电流的零输入响应。
C
ius
ss
A )0()0(1 LC1
21
2 －＝
-)( 21
12
01
12
02 tsts
C ess
Use
ss
Ustu
－－
＝
当 uC(0+)=U0,iL (0+)=0时
)-(
)(d
)(d)(
21
12
0 tstsC ee
ssL
U
t
tuCti
－
＝?
)s-(
d
d)(
21
21
12
0 tsts
L eesss
U
t
iLtu
－
＝?
t > 0
例 1 已知 R=3?,L=0.5H,C=0.25F,
uC(0+)=2V,iL(0+)=1A,求 uC(t)和 iL(t)
的零输入响应 。
4
2
138331
22
2
2
21 LCL
R
L
Rs
，
)0(ee)( 4221C tKKtu tt则：
解：由 R,L,C的值，计算出固有频率利用初始值 uC(0+)=2V和 iL(0+)=1A，得,
4
)0(
42
d
)(d
2)0(
L
210
C
21C
C
i
KK
t
tu
KKu
t
解得,K1=6和 K2=-4，最后得到电容电压的零输入响应为
)0(V)e4e6()( 42C ttu tt
)0(Ae4e3dd)()( 42CCL ttuCtiti tt
它们的波形曲线如下图所示。
过阻尼情况
uC
2
0 t
iL
1
0 t
从波形可看出，在 t>0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。
二、临界情况固有频率 s1,s2相同的实数 s1=s2=-?。
齐次解
tt tKKtu ee)( 21C
式中常数 K1,K2由初始条件 iL(0+)和
uC(0+) 确定。令 t=0+得到
1C )0( Kv
对 uC(t)求导，再令 t=0+,得到
C
iKK
t
tu
t
)0(
d
)(d L
210
C
联立求解以上两个方程，可以得到
C
LR 2?
)0()0( )0( CL2C1?
u
C
iKuK?
代入 vC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用 KCL方程和电容的 VCR可以得到电感电流的零输入响应。
0t)1()( 0 tC etUtu＝
当 uC(0+)=U0,iL (0+)=0时
L-d )(d)( 002 ttC teUteCUt tuCti ＝
0t)1(dd)( 0 tL etUtiLtu＝
例 2 已知 R=1?,L=0.25H,C=1F,
uC(0+)=-1V,iL(0+)=0,求电容电压和电感电流的零输入响应 。
解：固有频率
2
2
024221
22
2
2
21 LCL
R
L
Rs
，
)0(ee)( 2221C ttKKtu tt
利用初始值，得则：
0
)0(
2
d
)(d
1)0(
L
210
C
1C
C
i
KK
t
tu
Ku
t
求解以上两个方程得到常数 K1=-1和
K2=-2，得到电容电压的零输入响应,
)0(V)e2e()( 22C tttu tt
得到电感电流的零输入响应
)0(Ae4
)e4e2e2(
d
d
)()(
2
222C
CL
tt
t
t
u
Ctiti
t
ttt
波形曲线如图所示。
临界阻尼情况
uC
-1
0 t
iL
0 t
三、欠阻尼情况固有频率 s1,s2为两个共轭复数根，即,C
LR 2?
d
2
0 jj
1
22
2
2
21
LCL
R
L
Rs
，
其中称为衰减谐振角频率称为谐振角频率称为衰减系数
22
0
0
1
2
d
LC
L
R
三者组成一个直角三角形。?0?d
齐次微分方程的解为,(用欧拉公式 )
)106()c o s (e
)96()s i nc o s(e)(
d
d2d1C
tK
tKtKtu
t
t
式中
1
22
2
2
1 K
Ka r c t gKKK
由初始条件 iL(0+)和 uC(0+)确定常数 K1,K2
后，得到电容电压的零输入响应，再利用 KCL和 VCR方程得到电感电流的零输入响应。
例 3 已知 R=6?,L=1H,C=0.04F,
uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。
j4351
22
2
2
21
233
LCL
R
L
Rs
，
则得,)0()s i nc o s(e)( 21C ttKtKtv t 443
利用初始值 uC(0+)=3V和 iL(0+)=0.28A得,
解：固有频率：
7
)0(
43
d
)(d
3)0(
L
210
C
1C
C
i
KK
t
tu
Ku
t
解得 K1=3和 K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应
)0( A )74.734c o s (e
)4s i n244c o s7(e04.0
d
d
)(
)0( V)1.534c o s (e5)4s i n44c o s3(e)(
3
3C
L
33
C
tt
tt
t
u
Cti
tttttu
t
t
tt
(a) 衰减系数?=3的电容电压波形
(b)? =3的电感波形 (c)? =0.5的电容电压的波形（ d)? =0.5的电感电流的波形下图为欠阻尼情况可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。
电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例 3中电阻由 R=6Ω 减小到 R =1Ω,衰减系数由 3变为 0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。
例 4 已知 R =0,L=1H,C=0.04F,
uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A,求电容电压和电感电流的零输入响应 。
解：固有频率,
j551
22
2
2
21
LCL
R
L
Rs
，
则,)0()5s i n5c o s()(
21C ttKtKtu
利用初始条件得：
7
)0(
5
d
)(d
3)0(
L
20
C
1C
C
i
K
t
tu
Ku
t
解得,K1=3和 K2=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应
)0(A)655c o s (66.0)5c o s75s i n15(04.0
d
d
)(
)0(V)255c o s (31.3)5s i n4.15c o s3()(
C
L
C
tttt
t
v
Cti
tttttu
从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少
，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为 90?，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，
全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。
综上所述,RLC二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：
1.过阻尼情况,s1和 s2是不相等的负实数
,响应按指数规律衰减 。
2.临界阻尼情况,s1=s2是相等的负实数
,响应按指数规律衰减 。
3.欠阻尼情况,s1和 s2是共轭复数,响应是振幅随时间衰减的正弦振荡,其振幅随时间按指数规律衰减,衰减系数?越大
,衰减越快 。 衰减振荡的角频率?d 越大
,振 荡 周 期 越 小,振 荡 越 快 。
图中 按 Ke-?t画出的虚线称为包络线,它限定了振幅的变化范围 。
4.无阻尼情况,s1和 s2是共轭虚数,?=0
,振幅不再衰减,形成角频率为?0的等幅振荡 。
显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的。
直流激励的 RLC串联电路，当 uS(t)=US
时，可以利用初始条件 uC(0+)=U0和
iL(0+)=I0来求解以下非齐次微分方程,从而得到全响应
)0(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tUu
t
uRC
t
uLC
6－ 2 RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成
)()()( CpChC tututu
电路的固有频率为
LCL
R
L
R
s
1
22
2
21
，
当 s1?s2时，对应齐次微分方程的通解为
tsts KKtu 21 ee)(
21Ch
特解为
SCp )( Utu?
全响应为
S
tsts UKKtututu 21 ee)()()(
21CpChC
利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数 K1和 K2后，就可得到电容电压的全响应，再利用 KCL
和电容元件 VCR可以求得电感电流的全响应。
C
i
sKsK
td
ud
UKKu
LC
SC
)0()0(
)0(
2211
21
类似地，当 s1=s2时，全响应为
S
tsts
C UteKeKtu 11 21)(
C
i
KsK
td
ud
UKu
LC
SC
)0()0(
)0(
211
1
求两个待定系数的方法也类似：
类似地，根据元件的 VCR或 KVL计算其它响应。
类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为
SddtC UtKtKetu s i nc o s)( 21
C
i
KK
td
ud
UKu
L
d
C
SC
)0()0(
)0(
21
1
求两个待定系数的方法也类似：
类似地，根据元件的 VCR或 KVL计算其它响应。
例 5 已知 R=6?,L=1H,C=0.04F,
uS(t)=?(t)V。求 t>0时电容电压的零状态响应。 (单位阶跃响应 )
解,t >0时,?(t)=1V，可以作为直流激励处理。固有频率
j4351
22
2
2
21
233
LCL
R
L
Rs
，
固有频率为共轭复根,可以得到
)0(1)4s i n4c o s()( 213C ttKtKetu t
利用初始值 uC(0+)=0和 iL(0+)=0,得,
043
d
)(d
01)0(
210
C
1C
KK
t
tu
Ku
t
解得,K1＝ -1和 K2＝ -0.75，得到电容电压的零状态响应
)0(V1)1.1434c o s (e25.1
1)4s i n75.04c o s(e)(
3
3
C
tt
tttu
t
t
波形如图 (a)(b)：
当电阻由 R=6Ω 减小到 R =1Ω,衰减系数由 3变为 0.5时，波形如图 (c)和 (d)。
6－ 3 GCL并联电路分析与 RLC串联电路对偶：
得二阶微分方程
)(
d
d
d
d
SL
L
2
L
2
tii
t
iGL
t
iLC
)(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tuu
t
uRC
t
uLC
其特征方程为 012 GL sL C s
解得特征根
LCC
G
C
Gs 1
22
2
2,1
同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：
1,时,s1,s2为不等的实根。
L
CG 2?
2,时,s1,s2为相等的实根。
3,时,s1,s2为共轭复数根。
L
CG 2?
L
CG 2?
当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。这三种情况响应的计算方法和公式与
RLC串联电路完全对偶。
6－ 4 一般二阶电路分析除了 RLC串联和 GCL并联二阶电路以外,还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路 。 从本质上讲,没有什么区别,现举例说明 。
C2+U
S
-
R1 R2
C1
u2u1 列节点方程：
0
2
2
2
2
2
1
12
2
2
11
1
1
1
dt
du
C
R
u
R
u
R
U
R
u
R
u
dt
du
C
R
u
S
(1)
(2)
将式 (2)得
dt
duCRuu 2
2221
代入式 (1)，得
12
2
2
2
222
2
2
2
212
2
1
1
2
222
R
u
R
u
R
dt
du
CRu
td
ud
CCR
dt
du
C
R
dt
du
CRu
S
Su
u
t
u
CRCRCR
t
u
CCRR
22222111
2
2
2
2121
d
d
d
d
整理，得同样，可解得微分方程的解。
需说明一点：可以证明，此类同种类动态元件的二阶电路所得的微分方程的特征方程的根不可能为共轭复根。
作业,(P175)
6-1
6－ 1 RLC串联电路的零输入响应
6－ 2 RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应
6－ 3 GCL并联电路分析
6－ 4 一般二阶电路分析二阶电路：由二阶微分方程描述的电路。
分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程 (二阶 )，并利用初始条件求解得到电路的响应。 它是一阶电路的推广 。
本章主要讨论含两个 (独立 )动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。
为了得到图示 RLC
串联电路的微分方程,先列出 KVL方程
)()()()( SCLR tutututu
代元件 VCR
2
c
2
L
c
R
c
CL
d
d
d
d
)(
d
d
)()(
d
d
)()()(
t
u
LC
t
i
Ltu
t
u
RCtRitu
t
u
Ctititi
得,)(dddd SCC2 C2 tuutuRCtuLC
6－ 1 RLC串联电路的零输入响应这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，
令 uS(t)=0，得二阶齐次微分方程
0dddd CC2 C
2
utuRCtuLC
其特征方程为 012 R CsL Cs
由此解得特征根
LCL
R
L
R
s
1
22
2
21
，
特征根称为电路的固有频率。当电路元件参数 R,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：
C
LR 2?1 时,s1,s2为不相等的负实根。
3 时,s1,s2 为相等的负实根。
2 时,s1,s2 为共轭复数根。
C
LR 2?
C
LR 2?
1.当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；
2.当两个特征根为相等的实数根时
，称电路是临界阻尼的；
3.当两个特征根为共轭复数根时，
称电路是欠阻尼的。
以下分别讨论这三种情况。
一、过阻尼情况电路的固有频率 s1,s2不相同的实数，
齐次微分方程的解为：
tsts AAtu 21 ee)(
21C
式中的常数 A1,A2由初始条件确定。令上式中的 t=0+得
21C )0( AAu
对 uC(t)求导，再令 t=0+得
C
isAsA
t
tu
t
)0(
d
)(d L
22110
C
C
LR 2?
联立求解，可得,
)0()0(1 LC2
12
1?
C
ius
ss
A
－
＝
将 A1,A2代入 vC(t)得到电容电压的零输入响应，再利用 KCL方程和电容的 VCR可以得到电感电流的零输入响应。
C
ius
ss
A )0()0(1 LC1
21
2 －＝
-)( 21
12
01
12
02 tsts
C ess
Use
ss
Ustu
－－
＝
当 uC(0+)=U0,iL (0+)=0时
)-(
)(d
)(d)(
21
12
0 tstsC ee
ssL
U
t
tuCti
－
＝?
)s-(
d
d)(
21
21
12
0 tsts
L eesss
U
t
iLtu
－
＝?
t > 0
例 1 已知 R=3?,L=0.5H,C=0.25F,
uC(0+)=2V,iL(0+)=1A,求 uC(t)和 iL(t)
的零输入响应 。
4
2
138331
22
2
2
21 LCL
R
L
Rs
，
)0(ee)( 4221C tKKtu tt则：
解：由 R,L,C的值，计算出固有频率利用初始值 uC(0+)=2V和 iL(0+)=1A，得,
4
)0(
42
d
)(d
2)0(
L
210
C
21C
C
i
KK
t
tu
KKu
t
解得,K1=6和 K2=-4，最后得到电容电压的零输入响应为
)0(V)e4e6()( 42C ttu tt
)0(Ae4e3dd)()( 42CCL ttuCtiti tt
它们的波形曲线如下图所示。
过阻尼情况
uC
2
0 t
iL
1
0 t
从波形可看出，在 t>0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。
二、临界情况固有频率 s1,s2相同的实数 s1=s2=-?。
齐次解
tt tKKtu ee)( 21C
式中常数 K1,K2由初始条件 iL(0+)和
uC(0+) 确定。令 t=0+得到
1C )0( Kv
对 uC(t)求导，再令 t=0+,得到
C
iKK
t
tu
t
)0(
d
)(d L
210
C
联立求解以上两个方程，可以得到
C
LR 2?
)0()0( )0( CL2C1?
u
C
iKuK?
代入 vC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用 KCL方程和电容的 VCR可以得到电感电流的零输入响应。
0t)1()( 0 tC etUtu＝
当 uC(0+)=U0,iL (0+)=0时
L-d )(d)( 002 ttC teUteCUt tuCti ＝
0t)1(dd)( 0 tL etUtiLtu＝
例 2 已知 R=1?,L=0.25H,C=1F,
uC(0+)=-1V,iL(0+)=0,求电容电压和电感电流的零输入响应 。
解：固有频率
2
2
024221
22
2
2
21 LCL
R
L
Rs
，
)0(ee)( 2221C ttKKtu tt
利用初始值，得则：
0
)0(
2
d
)(d
1)0(
L
210
C
1C
C
i
KK
t
tu
Ku
t
求解以上两个方程得到常数 K1=-1和
K2=-2，得到电容电压的零输入响应,
)0(V)e2e()( 22C tttu tt
得到电感电流的零输入响应
)0(Ae4
)e4e2e2(
d
d
)()(
2
222C
CL
tt
t
t
u
Ctiti
t
ttt
波形曲线如图所示。
临界阻尼情况
uC
-1
0 t
iL
0 t
三、欠阻尼情况固有频率 s1,s2为两个共轭复数根，即,C
LR 2?
d
2
0 jj
1
22
2
2
21
LCL
R
L
Rs
，
其中称为衰减谐振角频率称为谐振角频率称为衰减系数
22
0
0
1
2
d
LC
L
R
三者组成一个直角三角形。?0?d
齐次微分方程的解为,(用欧拉公式 )
)106()c o s (e
)96()s i nc o s(e)(
d
d2d1C
tK
tKtKtu
t
t
式中
1
22
2
2
1 K
Ka r c t gKKK
由初始条件 iL(0+)和 uC(0+)确定常数 K1,K2
后，得到电容电压的零输入响应，再利用 KCL和 VCR方程得到电感电流的零输入响应。
例 3 已知 R=6?,L=1H,C=0.04F,
uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。
j4351
22
2
2
21
233
LCL
R
L
Rs
，
则得,)0()s i nc o s(e)( 21C ttKtKtv t 443
利用初始值 uC(0+)=3V和 iL(0+)=0.28A得,
解：固有频率：
7
)0(
43
d
)(d
3)0(
L
210
C
1C
C
i
KK
t
tu
Ku
t
解得 K1=3和 K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应
)0( A )74.734c o s (e
)4s i n244c o s7(e04.0
d
d
)(
)0( V)1.534c o s (e5)4s i n44c o s3(e)(
3
3C
L
33
C
tt
tt
t
u
Cti
tttttu
t
t
tt
(a) 衰减系数?=3的电容电压波形
(b)? =3的电感波形 (c)? =0.5的电容电压的波形（ d)? =0.5的电感电流的波形下图为欠阻尼情况可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。
电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例 3中电阻由 R=6Ω 减小到 R =1Ω,衰减系数由 3变为 0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。
例 4 已知 R =0,L=1H,C=0.04F,
uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A,求电容电压和电感电流的零输入响应 。
解：固有频率,
j551
22
2
2
21
LCL
R
L
Rs
，
则,)0()5s i n5c o s()(
21C ttKtKtu
利用初始条件得：
7
)0(
5
d
)(d
3)0(
L
20
C
1C
C
i
K
t
tu
Ku
t
解得,K1=3和 K2=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应
)0(A)655c o s (66.0)5c o s75s i n15(04.0
d
d
)(
)0(V)255c o s (31.3)5s i n4.15c o s3()(
C
L
C
tttt
t
v
Cti
tttttu
从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少
，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为 90?，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，
全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。
综上所述,RLC二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：
1.过阻尼情况,s1和 s2是不相等的负实数
,响应按指数规律衰减 。
2.临界阻尼情况,s1=s2是相等的负实数
,响应按指数规律衰减 。
3.欠阻尼情况,s1和 s2是共轭复数,响应是振幅随时间衰减的正弦振荡,其振幅随时间按指数规律衰减,衰减系数?越大
,衰减越快 。 衰减振荡的角频率?d 越大
,振 荡 周 期 越 小,振 荡 越 快 。
图中 按 Ke-?t画出的虚线称为包络线,它限定了振幅的变化范围 。
4.无阻尼情况,s1和 s2是共轭虚数,?=0
,振幅不再衰减,形成角频率为?0的等幅振荡 。
显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的。
直流激励的 RLC串联电路，当 uS(t)=US
时，可以利用初始条件 uC(0+)=U0和
iL(0+)=I0来求解以下非齐次微分方程,从而得到全响应
)0(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tUu
t
uRC
t
uLC
6－ 2 RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成
)()()( CpChC tututu
电路的固有频率为
LCL
R
L
R
s
1
22
2
21
，
当 s1?s2时，对应齐次微分方程的通解为
tsts KKtu 21 ee)(
21Ch
特解为
SCp )( Utu?
全响应为
S
tsts UKKtututu 21 ee)()()(
21CpChC
利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数 K1和 K2后，就可得到电容电压的全响应，再利用 KCL
和电容元件 VCR可以求得电感电流的全响应。
C
i
sKsK
td
ud
UKKu
LC
SC
)0()0(
)0(
2211
21
类似地，当 s1=s2时，全响应为
S
tsts
C UteKeKtu 11 21)(
C
i
KsK
td
ud
UKu
LC
SC
)0()0(
)0(
211
1
求两个待定系数的方法也类似：
类似地，根据元件的 VCR或 KVL计算其它响应。
类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为
SddtC UtKtKetu s i nc o s)( 21
C
i
KK
td
ud
UKu
L
d
C
SC
)0()0(
)0(
21
1
求两个待定系数的方法也类似：
类似地，根据元件的 VCR或 KVL计算其它响应。
例 5 已知 R=6?,L=1H,C=0.04F,
uS(t)=?(t)V。求 t>0时电容电压的零状态响应。 (单位阶跃响应 )
解,t >0时,?(t)=1V，可以作为直流激励处理。固有频率
j4351
22
2
2
21
233
LCL
R
L
Rs
，
固有频率为共轭复根,可以得到
)0(1)4s i n4c o s()( 213C ttKtKetu t
利用初始值 uC(0+)=0和 iL(0+)=0,得,
043
d
)(d
01)0(
210
C
1C
KK
t
tu
Ku
t
解得,K1＝ -1和 K2＝ -0.75，得到电容电压的零状态响应
)0(V1)1.1434c o s (e25.1
1)4s i n75.04c o s(e)(
3
3
C
tt
tttu
t
t
波形如图 (a)(b)：
当电阻由 R=6Ω 减小到 R =1Ω,衰减系数由 3变为 0.5时，波形如图 (c)和 (d)。
6－ 3 GCL并联电路分析与 RLC串联电路对偶：
得二阶微分方程
)(
d
d
d
d
SL
L
2
L
2
tii
t
iGL
t
iLC
)(
d
d
d
d
SC
C
2
C
2
tuu
t
uRC
t
uLC
其特征方程为 012 GL sL C s
解得特征根
LCC
G
C
Gs 1
22
2
2,1
同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：
1,时,s1,s2为不等的实根。
L
CG 2?
2,时,s1,s2为相等的实根。
3,时,s1,s2为共轭复数根。
L
CG 2?
L
CG 2?
当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。这三种情况响应的计算方法和公式与
RLC串联电路完全对偶。
6－ 4 一般二阶电路分析除了 RLC串联和 GCL并联二阶电路以外,还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路 。 从本质上讲,没有什么区别,现举例说明 。
C2+U
S
-
R1 R2
C1
u2u1 列节点方程：
0
2
2
2
2
2
1
12
2
2
11
1
1
1
dt
du
C
R
u
R
u
R
U
R
u
R
u
dt
du
C
R
u
S
(1)
(2)
将式 (2)得
dt
duCRuu 2
2221
代入式 (1)，得
12
2
2
2
222
2
2
2
212
2
1
1
2
222
R
u
R
u
R
dt
du
CRu
td
ud
CCR
dt
du
C
R
dt
du
CRu
S
Su
u
t
u
CRCRCR
t
u
CCRR
22222111
2
2
2
2121
d
d
d
d
整理，得同样，可解得微分方程的解。
需说明一点：可以证明，此类同种类动态元件的二阶电路所得的微分方程的特征方程的根不可能为共轭复根。
作业,(P175)
6-1
