8 耦合电感和变压器电路分析前几章已学过的无源元件有,R,L,C。
R,耗能、静态、无记忆；
L,C,储能、动态、有记忆；
它们都是 二端元件 。本章介绍两种 四端元件,
1.耦合电感,具有电感的特性；
2.理想变压器,是静态、无记忆,但不耗能。
受控源也是 四端元件,它与将要介绍的耦合电感均属 耦合元件 。
8－ 1 耦合电感耦合电感：指多个线圈 (这里先介绍两个线圈 )相互之间存在磁场的联系。
它是耦合线圈的理想化模型。
复习,单个线圈 (电感、或称自感 )的 VCR：
dt
di
L
dt
d
u
i
N
i
L
N
磁链 =匝数乘磁通：
自感 =磁链比电流：
若 v,i方向关联，
由电磁感应定律：
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。
由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
8-1-1.耦合电感的伏安关系其中 表示线圈 1电流在本线圈中产生的磁链，称为 自感磁链 ；类此有 ；
表示线圈 2的线圈电流在线圈 1中产生的磁链，称为 互感磁链,类此有 。
11?
22?
12?
21?
21?
22?
11?
2i1i
12?
I?
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致；
若线圈 2改变绕向，如下图所示，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
12?
21?
22?
11?
2i1i
I?
式中 称为 自感系数,
单位亨 (利 )H 2
22
2
1
11
1,iLiL
1
21
2
2
12
1,iMiM
式中 称为 互感系数,
单位亨 (利 )H
MMM 2112且若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2
耦合电感 伏安关系 (VCR)表达式：
式中,为自感电压,互感电压，
取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、
有记忆的四端元件。 (与电感有类似的特性 )
耦合电感的 VCR中有三个参数,L1,L2和 M。
21 LL uu 21 MM uu
8－ 1－ 2.耦合电感的同名端耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不仅与线圈电流的参考方向有关，
还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不便画出，故引入 同名端 的概念。
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；
a b a,b是同名端
2.起的作用相同的一对端钮；
当线圈电流同时流入 (或流出 )该对端钮时，
各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。
或者说,(1)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使磁场加强的一对端钮；
(2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使电压增加的一对端钮；
(3)产生自感电压与互感电压极性相同的一对端钮。
同名端用标志‘,’或‘ *’等表示。注意：同名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有时必需两两标出。
在 VCR中 到底取正还是取负，
要根据电流参考方向和同名端来确定,dt
diMu
M
2
1
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，
不一致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
耦合电感的电路符号：
VCR中互感电压取 + VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。 )
2L1
L
2i
1i+
-
1u
2u
+
-
Ma
db
c
**
2L1
L
2i
1i+
-
+
-
Ma
db
c
*
*
1u 2u
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定：
(1)直流法正偏,a,c同名端反偏,a,d同名端根据其 VCR，
SU
K
+
- v 2mu
+
-
a
b d
c
L1 L2
M
(2)交流法原图电源改为正弦电源，开关移去，
直流电压表改为交流电压表,bd端连接。
根据其 VCR的相量形式同样能判定其同名端 。
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。其
SU?
+
-
+
v um2
-
a
b d
c
L1 L2
M
规则,法 1：若耦合电感线圈电压与电流的参考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号，
否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或,法 2：第一步：总认为电压、电流方向关联 (假设电压或电流的参考方向 )，这时，
自感电压总是正的,互感电压总是同一符号；
第二步：按要求 (消去假设的变量 )改变相应互感电压的符号。
t
iM
t
iLuuu
ML d
d
d
d 21
1111
t
iM
t
iLuuu
ML d
d
d
d 12
2222
故电路模型也可以用受控源的形式表示：
例 1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
2L1
L
2i
1i-
+
-
+
Ma
db
c
*
*
2i
1i
M
2L1L
-
+
-
+
a
db
c
dt
di
M 1
M
di
dt
2
1u 2u
1u 2
u
当两线圈的电流、电压参考方向关联时，
相应耦合电感的电路模型为：
2L1L
2i
1i+
-
+
-
Ma
db
c
dt
di
M 1
2L1L
2i
1i+
-
+
-
Ma
db
c
dt
di
M 1
M
di
dt
2
M
di
dt
2
2u 1u1u 2u
耦合电感的相量 (模型 )形式为
2111 jj IMILU
1222 jj IMILU
21 j,j LL
称为 自感阻抗
M?j 称为 互感阻抗据此可画出相应的相量模型图
8-1-3 耦合电感的储能
dtidtdiMdtdiLdtidtdiMdtdiL tt 21221211 )()(
02121 21222211 iMiiLiL 无源元件也可以用其 VCR和上式代入下式来验证
2211)(
)( iuiutp
td
twd
t t
tdiudtiutw 2211)(
8-2 耦合电感的联接及去耦等效联接方式：串联，并联和三端联接去耦等效：
耦合电感用无耦合的等效电路去等效。
8-2-1 耦合电感的串联顺串,异名端相接。 反串,同名端相接
i
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
顺串
i
L1 * M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
反串在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为：
(下面推导中，顺串取 +，反串取－ )
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLuuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
i
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
顺串
( )L L M di
dt
L di
dteq1 2
2
+ u -i
串联等效
eqL
顺串等效,MLLL
eq 221
反串等效,MLLL
eq 221
由耦合电感为 储能 公式
)(
2
1
02
21
21
LLM
MLL
算术平均值
w t L L M i L ieq( ) ( )1
2
2 1
2
01 2 2 2
得：
8-2-2 耦合电感的并联同侧并联,(顺并 )同名端两两相接。
异侧并联,(反并 )异名端两两相接。
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
*
L2
i2
同侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
图示电压，电流参考方向下，由耦合电感的伏安关系：
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
L2
*
i2
异侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
u
MLL
ML
t
i
u
MLL
ML
t
i
t
i
L
t
i
Mu
t
i
M
t
i
Lu
2
21
12
2
21
21
2
2
1
21
1
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
t
iL
t
i
MLL
MLLu
eq d
d
d
d
221
2
21
u
MLL
MLL
t
ii
t
i
2
21
2121 2
d
)(d
d
d
21 LLM?
几何平均值
)(
2
1
2121 LLLL
MLL
MLL
L eq
221
2
21
021)( 2 iLtw eq
2
21
21
2
21 0
2
MLL
MLL
MLL
21m a x LLM?
21 LL
Mk?定义：耦合系数
k=1 全耦合,
紧耦合，
k较小，松耦合，
k=0无耦合。
1?k
10 k
8-2-3 耦合电感的三端联接将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。 (1)同名端相联 ;
(2)异名端相联,
M+
u
-
*
L2
(1) 同名端相联
*
L1
i1
i1 + i2
i2
ML?1
+
-
+
-
1i 2iML?2
M
1u 2u
t
iiM
t
iML
t
iM
t
iLu
d
)(d
d
d)(
d
d
d
d 211
1
21
11
(2)异名端相联
t
iiM
t
iML
t
iM
t
iLu
d
)(d
d
d)(
d
d
d
d 212
2
12
22
M+
u
-
L2
*
*
L1
i1
i1 + i2
i2 ML?1+
-
+
-
1i 22 iML?
M?
1u 2u
例 2 已知
080,6,12
,4,12
1
,6,6
2
121
UML
L
C
RR
求,开关打开和闭合时的电流。
+
-
1R
2R
C?j
1
K
1j L?
M?j
*
*
2Lj?
U?
I?
解,这种互感线圈常称 自耦变压器。
)(j 2 ML
+
-
1R
2R
Cj?
1
K
)(j 1 ML
M?j?
I?
U?
+
-
1R
2R
C?j
1
K
1j L?
M?j
*
*
2j L?
I?
U?
CMLLRRZ j
1)2(j
2121
1612 j
A1.534
1.5320
080
16j12
080
Z
UI
开关打开时
)(j 2 ML
+
-
1R
2R
C?j
1
K
)(j 1 ML
M?j?
I?
U?
A4.18102
4.18104
080
Z
UI
C
MLRM
C
MLRM
MLRZ
j
1
)(jj
]
j
1
)(j[j
)2(j
22
22
11
开关闭合时
)(j 2 ML
+
-
1R
2R
C?j
1
K
)(j 1 ML
M?j?
I?
U?
Leq=8+1.6=9.6 H
**6
2
1
3
4
8? L
eq
°
°
6 +3
14+3
8-32
Leq
°
° 6+3 +1-2
4+3 -1+2
8-3-1-2
Leq
例,求等效电感 Leq。
解,两两去耦例,
的读数求电压表已知
21
S
,
,μF2,mH2
,5000c o s2)(
VV
CM
tti
10,1001,01
M
C
XI Cs?
si
1L 2L
M
*
*
M 3L?
a
b
c
v1
v2
解,
V90j)(jjj SSS IMXIMIXU CCbc
V902 bcUV
V110)(j)j(j SSS jIMXIMIXU CCac
V1 1 01 acUV
si
1L 2L
M
*
*
M 3L?
a
b
c
v1
v2
解,安培表读数为零时，
CD间开路电压为零即
CM j
1j
CM
12
例,已知 也已知。
求：在什么条件下，安培表读数为零，标出同名端。
MCtUtu,,c o s)( mS
显然上式只能取正号,即 A,C为同名端，且
CM
1
0
j
j 11
C
IIMU
C D o
C
+
- A
M
1L 2
L
DB
A
1I?
SU?
A)302c o s (5)(
,1,H5.0
,F5.0,H2,H1
S
21
tti
RM
CLL已知求,uab
解,先作出其向量模型，并去耦等效
* *bM
si
02u
0u2L1L
R
a例
1j?3j
1?R
1j
a 30
2
5
oI?
b
02U
0U1j
对右网孔列写网孔方程
oo
oso
IU
UII
1j
21j)4j1j1( S1j)5j1( II o
6.327.0oI?
3.8795.01j4j SIIU oab
V)3.872c o s (295.0 tu ab
1j?3j
1?R
1j
a 30
2
5
oI?
b
02U
0U1j
8-3 空芯变压器变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来传输能量或信号的器件。通常有两个线圈。与电源相接的为初级 (原边 )线圈，与负载相接的为次级
(副边 )线圈。
习惯上，线圈绕在铁芯上，构成铁芯变压器，
芯子是非铁磁材料，构成空芯变压器。铁芯变压器一般耦合系数接近 1，属紧耦合，用于输配电设备，空芯变压器耦合系数一般较小，属松耦合，用于高频电路和测量仪器。
必须指出：
空芯变压器的分析是以互感的 VCR作为基础；
铁芯变压器的分析是以理想变压器作为基础。
是两种不同的分析方法。
没有严格的限制，这两种方法可以统一。
正弦稳态分析
,初、次级线圈的电阻21,RR
空芯变压器电路向量模型 用受控源表示互感电压
M?j
+
- LZ1j L? 2j L?
* *
2R1R?I1?I2
SU?
+
-
+
-
1R
+
- LZ
2R?I
1
I2
1j IM2j IM
SU?
1j L? 2j L?
两回路的 KVL方程为
LZLRZLRZ 22221111 j,j
分别是初、次级回路的自阻抗。
法 2：初、次级等效电路法法 1：列写回路方程
0jj
jj
2221
S2111
IZLRIM
UIMILR
L
联立求得从初级线圈两端看入的等效阻抗 (初级输入阻抗 )
称为次级回路对初级回路的反映阻抗或其中：
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
22
2
11
1
S
Z
MZ
I
UZ
i
22
2
Z
M?
引入阻抗，用 Zf1表示。它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。
据此，可作为初级等效回路，很方便地求出初级回路电流。而次级回路的电流为若,相当于次级未接，,即 次级对初级无影响；
若,当 k=1，线圈绕组近似为零时，
11ZZ i?
0?LZ
LZ
0jj
j
)(j
2
2
1
2
2
1 L
ML
L
MLZ
i
22
1
2
j
Z
IMI
初级等效电路反映阻抗特点,(1)与同名端无关；
(2)反映阻抗改变了次级阻抗的性质。
本法,(1)先求输入阻抗,(2)求初级电流 (与同名端无关 )(4)求次级电流 (与同名端有关 )
可见，次级短路相当于 (近似于 )初级短路。
+
-
1R
22
2)(
Z
M?
1j L?
1I?
SU?
法 3：空芯变压器电路也可用去耦等效电路来分析。
1j L?
1R 2R
M?j
2j L?+
- LZSU?LZ
+
- 1j L? 2j L?
* *
2R1R M
SU?
2i1i 2
CM
Su
1L 2L
1C
+
-
2R
1R * *
例 8-3
V10c o s210)(
μF10,40
,9.9,mH2.0
,mH1,mH2
4
S
212
1
21
ttu
CCR
RM
LL
已知求次级回路电流 )(
2 ti
解：作出相量模型
V010SU?
109.9)1(j
1
1111 jCLRZ
40)1(j
2
2222 CLRZ
2jj M?(1)反映阻抗的概念
1j L? 2j L?
1j
1
C?
M?j
+
-
2R
1R * *
2j
1
C?
1I? 2
I?
A45
2
1
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
A45
220
1j
22
1
2 Z
IMI
SU?
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
(2).去耦等效电路
2R
1j
1
C?
+
-
1R 2j
1
C?
)(j 2 ML)(j 1 ML
M?j
1I? 2I?
SU?
代入数据用克莱姆法则
0
j
1
jj
j
j
1
j
2
2
221
S21
1
11
I
C
LRIM
UIMI
C
LR
0402j
0102j10j9.9
21
21
II
II
400400
40
2
2
109.9
j
j
j
j
D
20
0
10
2
109.9
2 jj
j
D?
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
45
220
1
4 0 0j4 0 0
20j
2I
法 4：戴维南等效电路当需求负载可变化时获得最大功率时常用此法。
以下图 (原图 )为例,其中注意：这是次级开路时的初级电流，开路电压与同名端有关。
11
S
1 j LR
UI
o
222
11
2
22 jj fo ZZLR
MLRZ
oOC IMU 1j
M?j
+
- LZ1j L? 2j L?
* *
2R1R
。
。1I?
SU?
作业,P:250
8 -1
8 -2(b)
8 -3(a)
8 -4
8 -7(b)
作业,P.252
8 -6
8-10
8 -11
R,耗能、静态、无记忆；
L,C,储能、动态、有记忆；
它们都是 二端元件 。本章介绍两种 四端元件,
1.耦合电感,具有电感的特性；
2.理想变压器,是静态、无记忆,但不耗能。
受控源也是 四端元件,它与将要介绍的耦合电感均属 耦合元件 。
8－ 1 耦合电感耦合电感：指多个线圈 (这里先介绍两个线圈 )相互之间存在磁场的联系。
它是耦合线圈的理想化模型。
复习,单个线圈 (电感、或称自感 )的 VCR：
dt
di
L
dt
d
u
i
N
i
L
N
磁链 =匝数乘磁通：
自感 =磁链比电流：
若 v,i方向关联，
由电磁感应定律：
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。
由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
8-1-1.耦合电感的伏安关系其中 表示线圈 1电流在本线圈中产生的磁链，称为 自感磁链 ；类此有 ；
表示线圈 2的线圈电流在线圈 1中产生的磁链，称为 互感磁链,类此有 。
11?
22?
12?
21?
21?
22?
11?
2i1i
12?
I?
2121112111 iMiL
1212221222 iMiL
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致；
若线圈 2改变绕向，如下图所示，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
12?
21?
22?
11?
2i1i
I?
式中 称为 自感系数,
单位亨 (利 )H 2
22
2
1
11
1,iLiL
1
21
2
2
12
1,iMiM
式中 称为 互感系数,
单位亨 (利 )H
MMM 2112且若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
21
111
12111
1
dt
diM
dt
diLuu
dt
d
dt
d
dt
du
ML
12
222
21222
2
耦合电感 伏安关系 (VCR)表达式：
式中,为自感电压,互感电压，
取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、
有记忆的四端元件。 (与电感有类似的特性 )
耦合电感的 VCR中有三个参数,L1,L2和 M。
21 LL uu 21 MM uu
8－ 1－ 2.耦合电感的同名端耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不仅与线圈电流的参考方向有关，
还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不便画出，故引入 同名端 的概念。
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；
a b a,b是同名端
2.起的作用相同的一对端钮；
当线圈电流同时流入 (或流出 )该对端钮时，
各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。
或者说,(1)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使磁场加强的一对端钮；
(2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使电压增加的一对端钮；
(3)产生自感电压与互感电压极性相同的一对端钮。
同名端用标志‘,’或‘ *’等表示。注意：同名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有时必需两两标出。
在 VCR中 到底取正还是取负，
要根据电流参考方向和同名端来确定,dt
diMu
M
2
1
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，
不一致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
耦合电感的电路符号：
VCR中互感电压取 + VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。 )
2L1
L
2i
1i+
-
1u
2u
+
-
Ma
db
c
**
2L1
L
2i
1i+
-
+
-
Ma
db
c
*
*
1u 2u
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定：
(1)直流法正偏,a,c同名端反偏,a,d同名端根据其 VCR，
SU
K
+
- v 2mu
+
-
a
b d
c
L1 L2
M
(2)交流法原图电源改为正弦电源，开关移去，
直流电压表改为交流电压表,bd端连接。
根据其 VCR的相量形式同样能判定其同名端 。
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。其
SU?
+
-
+
v um2
-
a
b d
c
L1 L2
M
规则,法 1：若耦合电感线圈电压与电流的参考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号，
否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或,法 2：第一步：总认为电压、电流方向关联 (假设电压或电流的参考方向 )，这时，
自感电压总是正的,互感电压总是同一符号；
第二步：按要求 (消去假设的变量 )改变相应互感电压的符号。
t
iM
t
iLuuu
ML d
d
d
d 21
1111
t
iM
t
iLuuu
ML d
d
d
d 12
2222
故电路模型也可以用受控源的形式表示：
例 1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
2L1
L
2i
1i-
+
-
+
Ma
db
c
*
*
2i
1i
M
2L1L
-
+
-
+
a
db
c
dt
di
M 1
M
di
dt
2
1u 2u
1u 2
u
当两线圈的电流、电压参考方向关联时，
相应耦合电感的电路模型为：
2L1L
2i
1i+
-
+
-
Ma
db
c
dt
di
M 1
2L1L
2i
1i+
-
+
-
Ma
db
c
dt
di
M 1
M
di
dt
2
M
di
dt
2
2u 1u1u 2u
耦合电感的相量 (模型 )形式为
2111 jj IMILU
1222 jj IMILU
21 j,j LL
称为 自感阻抗
M?j 称为 互感阻抗据此可画出相应的相量模型图
8-1-3 耦合电感的储能
dtidtdiMdtdiLdtidtdiMdtdiL tt 21221211 )()(
02121 21222211 iMiiLiL 无源元件也可以用其 VCR和上式代入下式来验证
2211)(
)( iuiutp
td
twd
t t
tdiudtiutw 2211)(
8-2 耦合电感的联接及去耦等效联接方式：串联，并联和三端联接去耦等效：
耦合电感用无耦合的等效电路去等效。
8-2-1 耦合电感的串联顺串,异名端相接。 反串,同名端相接
i
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
顺串
i
L1 * M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
反串在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为：
(下面推导中，顺串取 +，反串取－ )
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLuuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
i
* L1 M * L2
+ u1 - + u2 -
+ u -
顺串
( )L L M di
dt
L di
dteq1 2
2
+ u -i
串联等效
eqL
顺串等效,MLLL
eq 221
反串等效,MLLL
eq 221
由耦合电感为 储能 公式
)(
2
1
02
21
21
LLM
MLL
算术平均值
w t L L M i L ieq( ) ( )1
2
2 1
2
01 2 2 2
得：
8-2-2 耦合电感的并联同侧并联,(顺并 )同名端两两相接。
异侧并联,(反并 )异名端两两相接。
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
*
L2
i2
同侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
图示电压，电流参考方向下，由耦合电感的伏安关系：
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
M+
u
-
L2
*
i2
异侧并联
*
L1
i1
i +
u
-
i
u
MLL
ML
t
i
u
MLL
ML
t
i
t
i
L
t
i
Mu
t
i
M
t
i
Lu
2
21
12
2
21
21
2
2
1
21
1
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
t
iL
t
i
MLL
MLLu
eq d
d
d
d
221
2
21
u
MLL
MLL
t
ii
t
i
2
21
2121 2
d
)(d
d
d
21 LLM?
几何平均值
)(
2
1
2121 LLLL
MLL
MLL
L eq
221
2
21
021)( 2 iLtw eq
2
21
21
2
21 0
2
MLL
MLL
MLL
21m a x LLM?
21 LL
Mk?定义：耦合系数
k=1 全耦合,
紧耦合，
k较小，松耦合，
k=0无耦合。
1?k
10 k
8-2-3 耦合电感的三端联接将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。 (1)同名端相联 ;
(2)异名端相联,
M+
u
-
*
L2
(1) 同名端相联
*
L1
i1
i1 + i2
i2
ML?1
+
-
+
-
1i 2iML?2
M
1u 2u
t
iiM
t
iML
t
iM
t
iLu
d
)(d
d
d)(
d
d
d
d 211
1
21
11
(2)异名端相联
t
iiM
t
iML
t
iM
t
iLu
d
)(d
d
d)(
d
d
d
d 212
2
12
22
M+
u
-
L2
*
*
L1
i1
i1 + i2
i2 ML?1+
-
+
-
1i 22 iML?
M?
1u 2u
例 2 已知
080,6,12
,4,12
1
,6,6
2
121
UML
L
C
RR
求,开关打开和闭合时的电流。
+
-
1R
2R
C?j
1
K
1j L?
M?j
*
*
2Lj?
U?
I?
解,这种互感线圈常称 自耦变压器。
)(j 2 ML
+
-
1R
2R
Cj?
1
K
)(j 1 ML
M?j?
I?
U?
+
-
1R
2R
C?j
1
K
1j L?
M?j
*
*
2j L?
I?
U?
CMLLRRZ j
1)2(j
2121
1612 j
A1.534
1.5320
080
16j12
080
Z
UI
开关打开时
)(j 2 ML
+
-
1R
2R
C?j
1
K
)(j 1 ML
M?j?
I?
U?
A4.18102
4.18104
080
Z
UI
C
MLRM
C
MLRM
MLRZ
j
1
)(jj
]
j
1
)(j[j
)2(j
22
22
11
开关闭合时
)(j 2 ML
+
-
1R
2R
C?j
1
K
)(j 1 ML
M?j?
I?
U?
Leq=8+1.6=9.6 H
**6
2
1
3
4
8? L
eq
°
°
6 +3
14+3
8-32
Leq
°
° 6+3 +1-2
4+3 -1+2
8-3-1-2
Leq
例,求等效电感 Leq。
解,两两去耦例,
的读数求电压表已知
21
S
,
,μF2,mH2
,5000c o s2)(
VV
CM
tti
10,1001,01
M
C
XI Cs?
si
1L 2L
M
*
*
M 3L?
a
b
c
v1
v2
解,
V90j)(jjj SSS IMXIMIXU CCbc
V902 bcUV
V110)(j)j(j SSS jIMXIMIXU CCac
V1 1 01 acUV
si
1L 2L
M
*
*
M 3L?
a
b
c
v1
v2
解,安培表读数为零时，
CD间开路电压为零即
CM j
1j
CM
12
例,已知 也已知。
求：在什么条件下，安培表读数为零，标出同名端。
MCtUtu,,c o s)( mS
显然上式只能取正号,即 A,C为同名端，且
CM
1
0
j
j 11
C
IIMU
C D o
C
+
- A
M
1L 2
L
DB
A
1I?
SU?
A)302c o s (5)(
,1,H5.0
,F5.0,H2,H1
S
21
tti
RM
CLL已知求,uab
解,先作出其向量模型，并去耦等效
* *bM
si
02u
0u2L1L
R
a例
1j?3j
1?R
1j
a 30
2
5
oI?
b
02U
0U1j
对右网孔列写网孔方程
oo
oso
IU
UII
1j
21j)4j1j1( S1j)5j1( II o
6.327.0oI?
3.8795.01j4j SIIU oab
V)3.872c o s (295.0 tu ab
1j?3j
1?R
1j
a 30
2
5
oI?
b
02U
0U1j
8-3 空芯变压器变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来传输能量或信号的器件。通常有两个线圈。与电源相接的为初级 (原边 )线圈，与负载相接的为次级
(副边 )线圈。
习惯上，线圈绕在铁芯上，构成铁芯变压器，
芯子是非铁磁材料，构成空芯变压器。铁芯变压器一般耦合系数接近 1，属紧耦合，用于输配电设备，空芯变压器耦合系数一般较小，属松耦合，用于高频电路和测量仪器。
必须指出：
空芯变压器的分析是以互感的 VCR作为基础；
铁芯变压器的分析是以理想变压器作为基础。
是两种不同的分析方法。
没有严格的限制，这两种方法可以统一。
正弦稳态分析
,初、次级线圈的电阻21,RR
空芯变压器电路向量模型 用受控源表示互感电压
M?j
+
- LZ1j L? 2j L?
* *
2R1R?I1?I2
SU?
+
-
+
-
1R
+
- LZ
2R?I
1
I2
1j IM2j IM
SU?
1j L? 2j L?
两回路的 KVL方程为
LZLRZLRZ 22221111 j,j
分别是初、次级回路的自阻抗。
法 2：初、次级等效电路法法 1：列写回路方程
0jj
jj
2221
S2111
IZLRIM
UIMILR
L
联立求得从初级线圈两端看入的等效阻抗 (初级输入阻抗 )
称为次级回路对初级回路的反映阻抗或其中：
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
22
2
11
1
S
Z
MZ
I
UZ
i
22
2
Z
M?
引入阻抗，用 Zf1表示。它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。
据此，可作为初级等效回路，很方便地求出初级回路电流。而次级回路的电流为若,相当于次级未接，,即 次级对初级无影响；
若,当 k=1，线圈绕组近似为零时，
11ZZ i?
0?LZ
LZ
0jj
j
)(j
2
2
1
2
2
1 L
ML
L
MLZ
i
22
1
2
j
Z
IMI
初级等效电路反映阻抗特点,(1)与同名端无关；
(2)反映阻抗改变了次级阻抗的性质。
本法,(1)先求输入阻抗,(2)求初级电流 (与同名端无关 )(4)求次级电流 (与同名端有关 )
可见，次级短路相当于 (近似于 )初级短路。
+
-
1R
22
2)(
Z
M?
1j L?
1I?
SU?
法 3：空芯变压器电路也可用去耦等效电路来分析。
1j L?
1R 2R
M?j
2j L?+
- LZSU?LZ
+
- 1j L? 2j L?
* *
2R1R M
SU?
2i1i 2
CM
Su
1L 2L
1C
+
-
2R
1R * *
例 8-3
V10c o s210)(
μF10,40
,9.9,mH2.0
,mH1,mH2
4
S
212
1
21
ttu
CCR
RM
LL
已知求次级回路电流 )(
2 ti
解：作出相量模型
V010SU?
109.9)1(j
1
1111 jCLRZ
40)1(j
2
2222 CLRZ
2jj M?(1)反映阻抗的概念
1j L? 2j L?
1j
1
C?
M?j
+
-
2R
1R * *
2j
1
C?
1I? 2
I?
A45
2
1
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
A45
220
1j
22
1
2 Z
IMI
SU?
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
(2).去耦等效电路
2R
1j
1
C?
+
-
1R 2j
1
C?
)(j 2 ML)(j 1 ML
M?j
1I? 2I?
SU?
代入数据用克莱姆法则
0
j
1
jj
j
j
1
j
2
2
221
S21
1
11
I
C
LRIM
UIMI
C
LR
0402j
0102j10j9.9
21
21
II
II
400400
40
2
2
109.9
j
j
j
j
D
20
0
10
2
109.9
2 jj
j
D?
A)4510c o s (05.0)( 42 tti
45
220
1
4 0 0j4 0 0
20j
2I
法 4：戴维南等效电路当需求负载可变化时获得最大功率时常用此法。
以下图 (原图 )为例,其中注意：这是次级开路时的初级电流，开路电压与同名端有关。
11
S
1 j LR
UI
o
222
11
2
22 jj fo ZZLR
MLRZ
oOC IMU 1j
M?j
+
- LZ1j L? 2j L?
* *
2R1R
。
。1I?
SU?
作业,P:250
8 -1
8 -2(b)
8 -3(a)
8 -4
8 -7(b)
作业,P.252
8 -6
8-10
8 -11
