电 路 分 析习题课五耦合电感、理想变压器电路和频率特性本章要点：
一、耦合电感和理想变压器
1.同名端判定 (已知绕法、直流判定法、
交流判定法 )
2.耦合电感的 VCR及其运用
3.耦合电感的串、并联和互感化除
4.空芯变压器电路的分析方法 (列方程法、反映阻抗法、互感化除法、戴维南等效电路法 )
5.含互感的谐振电路的谐振频率的计算一般互感电路：互感化除空芯变压器电路：初级电路发生谐振、
次级电路发生谐振 (那儿发生谐振，那儿电压、电流同相 )
6.理想变压器的 VCR(注意假设电压、电流的方法 )
7.全耦合变压器的等效电路
n LL M L L1
2
1 2,
8.含理想变压器电路的分析方法 (列方程、
搬移、戴维南定理 )
9.含理想变压器、互感电路的全响应
k =1时，是一阶电路；
否则，一般地说是二阶电路。
二、频率特性
1.判定一阶高通、低通；能直接写出其网络函数、半功率点频率和通频带
2.串联谐振、并联谐振的公式 (谐振：电压、
电流同相；阻抗虚部为零和电纳虚部为零不是一回事 )
对幅频、相频特性曲线仅作一般了解
3.实际并联谐振电路的计算 (判定是否满足 )(谐振阻抗等的计算 )
4.三电抗元件组成电路的谐振频率的计算
r LC2
1.图 1所示电路的三个线圈间有磁耦合，
试确定各线圈的同名端，若电流和电压参考方向如图所示，试写出各线圈上的电压表达式？
3ui
3'
i2
L3
L2L
1i1
1u 2u
+ －+ －
+ －
*
*,
,##
M13
M23
M12
i3
解：
设
i i3 3'
这时线圈的电压电流方向均关联。
如图确定同名端。
t
i
L
t
i
M
t
i
Mu
t
i
M
t
i
L
t
i
Mu
t
i
M
t
i
M
t
i
Lu
d
'd
d
d
d
d
d
'd
d
d
d
d
d
'd
d
d
d
d
3
3
2
23
1
133
3
23
2
2
1
122
3
13
2
12
1
11
注意：自感电压都是 +，互感电压都是同一符号。
代入,得：i i
3 3'
t
i
L
t
i
M
t
i
Mu
t
i
M
t
i
L
t
i
Mu
t
i
M
t
i
M
t
i
Lu
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
3
3
2
23
1
133
3
23
2
2
1
122
3
13
2
12
1
11
解,互感化除
2.列写图 2所示电路的网孔方程，电路处于正弦稳态。
C
R
L1
L2 L3
M12
M23
+
－
Su
*
*
.
.
R
C
L M M1 12 13
L M M2 12 13
L M M3 12 13
+
－
Su
然后列写网孔方程。
3.图 3的相量模型中,R1 8 R 2 2
R? 10 L 1 48 L 2 12 M? 24?
若 伏，用下列方法求1S?U?,U?
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
(a)把耦合电感去耦等效转换；
(b)应用戴维南定理和反映阻抗的概念；
(c) 把耦合电感等效转换为理想变压器与电感的组合。
解,(a)去耦等效后，
列网孔方程：
0)24j12(24j
124j)48j8(
21
21
II
II
SU?
U?
24j 12j?
24j
8? 2?
10?
+
－ +
－
I1?I2
13.835.010
87.811.28
90
2
2
IU
I
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
解,(b)戴维南定理：
V13.835.0
32.0j94.3
48j8
24
12j2
)(
46.9494.0
48j8
1
24jj
OC
O
2
11
2
22O
10OC
U
RZ
R
U
Z
M
ZZ
IMU
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
V13.835.0
12j12
10
1.536.0
j
1.536.0
1.536.0
3j4
3j
24j32
1
24jj
24j32
1
24j32
12j102
24
48j8
j
)(
j
2
1
1
2
22
2
11
LRR
R
U
IM
I
LRR
M
LRZ
i
反映阻抗法：
(c),理想变压器模型法：画等效电路如下
SU?
U?
1j L?
R1 R2
R
* *+
－
+
－
n:1
2
2
1
21 L
LnLLM?
S
1 U
n
U?
2j L?
1
2 1n R R2
R
+
－
+
－
V13.835.0
4
1
12
10
12
1
12j
1
2
1
U
U
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
4.图 4所示的理想变压器的匝比试求它的输入电阻 。
n N N2 1 2 3/,
Ri
*
*
*
Ri N
1
N2 2/
N2 2/ 2k?
2k?
(a)
解：法一
R n ki2
2
2 2 3
2
4 9( )?
法二
R n n
k
i
1
2
1
2
2 2
2 2
3 2 3 2 9
/ /
/ /?
*
*
*
Ri N
1
N2 2/
N2 2/ 2k?
2k?
2k?
(b)
R n n n
k
i
1
2
1
2 2
2 2
2
2 2 2
3 2 3 2
3
2
2
18
9
2
3
/ / / /
/ / / /
/ /18 / /?
若其中的一电阻等于？3 k?
R n n ni1
2
1
2 2
2 3 2/ / / /
5,求图 5所示理想变压器电路的初级线圈上电压 。
1U?
+
-
+
-
+
-SU? 1U? 2U?
* *
1j
1?
1?
1:2
－ +
1U? +
-
+
- +
-
SU?
1U?
2U?
*
*
1j
1?
1?
1:2
1U?
*1:1
+
-
+
-SU? 1U?
41j
1?
1?
V4.6324.2
)
4
1
j//(11
)
4
1
j//(1
S1
UU
进一步，可简化为：
得：
6.要使图 6电路中负载 R获得最大功率，试求理想变压器的匝比和最大功率值。
10?R
* *
1:n
+
- 1?
1?
V0100
A0100
(a)
解：先用一次戴维南定理；然后搬移：
10?R
* *
1:n
+
-
1
2?
V0100
V0100
10
2n?
+
-
1
2?
W5 0 0 0
2
1
4
100
,20,
2
110 2
m a x
2
2
Pn
n
10?R
* *
1:n
+
- 1?
1?
V0100
A0100
10?R
* *
1:n
+
-
1?
1j
V0100 (b)
类似 (a)的方法：
76.3
210,
2
210
)j1(
2
1
j1
j
,)j1(5
j1
010
2
O2LL
OOC
n
nZ
n
RZ
ZU?
得戴维南等效电路如下：
4525OCU?
)j1(21OZ
2
2
L?R
I
+
－
W7.20
2
2
41.5,41.5
5.6741.5
j414.2
4514.14
2
2
2
1
j
2
1
)j1(5
2
m a x
PI
I?
7.试求图示电路 ab端的等效电感 Lab。
4 3 2
6 3 2
8 3 2
a
b
*
*
..
3mH
4mH
6mH
8mH
2mH
a
b
解：先互感化除，
然后是电感的串、
并联。
L
mH
ab
9 7
9
21
10
11 1
/ /3
.
*
*
*K=1
L H1 0 2?,
L H2 0 05?,
L H3 0 1?,
a b
(b)
L
H
ab
0 2 0 05 0 1 2 0 2 0 05 2 0 05 0 1 2 0 2 0 1
0 35 0 2 0 14 0 28 0 01
.,,,,,,,,
.,,,,
8.图 8所示电路中,R1 30 H151?L R 2 60
H602?L k? 1，耦合系数,若次级负载
R? 180?,求当初级与 30V直流电压源接通后初级和次级电流变化规律。
* *R1 R2
R
L1 L2V30
t?0
30? 60?
180?
H15 H60
k?1 i2i1 解：利用理想变压器的电路模型。
*R1
L1V30
t?0
30?
H15
n:1
* R2
R
60?
180?
i2i1 i1'
n1560 12,
i iL L( ) ( )0 0 0
i i1 10 13 0( ) ' ( )
i
i
1
1
1
0 0
( )
' ( )
s432015
* *R1 R2
R
L1 L2V30
t?0
30? 60?
180?
H15 H60
k?1 i2i1
由三要素公式：
A
3
21)( 34
1
t
eti
A
3
1)(' 34
1
t
eti
A
6
1)(
2
1)( 34
12
t
etiti
t? 0
t? 0
t? 0
19.9 20.1
20
0
10
7.07
|| Z
9,R-L-C并联谐振电路的 |Z|- 特性曲线如图，求 R,L,C之值。
解：并联谐振电路
10|| m a x RZ
r a d / s200
2.0?BW
1 0 0
/0
BWQ?
F5.0/ 00 CCRGCQ
F005.0
1
0
L
GL
Q
10R
F5.0?C
H005.0?L
即
10,两交流电源频率皆为 f,且有
LC
f
2
1? 试证各支路电流与 r1无关。
解：
+
-
r1
1SU?
L L
CC
r2
+ -
S2U?
A
B
单独作用
1SU?
0AB?U? 02?I?
发生并联谐振
01?I?
因而各支路电流与 r2无关
+
-
r1
1SU?
L L
CC
r2
+ -
S2U?
A
B
单独作用
2SU?
0AB?U? 0
2?I?
发生串联谐振
01?I?
r1
r2
A
B
.
2I
+
-
因而各支路电流与 r1无关
+
-
r1
1SU?
L L
CC
r2
+ -
S2U?
根据叠加定理，则原电路中各支路电流只决定于 r2 1SU?
而与 r1无关。
证毕
2SU?
思考题 1,试求 a,b端的戴维南等效电路 (时域 )。
V10c o s10)( ttu S?
+
-
**
1
i t1( )
i t1( )
b
a
H8.0 H2.0
H2.0 1?05,?
解：求开路电压
V)9.3610c o s (8)(
V9.368j
A1.534
1.535.2
10
2j5.1
10
m2O C ma b m
m2
ttu
IMUU
I
采用加压求流求等效阻抗 (电源置零,画成相量形式 )
1 05,?
**
I1
b
a
8j
1?
2j
2j
I2+
－?I11U?
**
1
i t1( )
i t1( )
b
a
H8.0 H2.0
H2.0 1?05,?
列网孔方程
02j)2j15.0(
2j)8j1(
112
121
III
UII
I1
解方程得
H72.0,6.3
4.6382.7j6.3
1
1
O
LXLR
I
U
Z
画图：略
1 05,?
**
I1
b
a
8j
1?
2j
2j
I2+
－ 1U?
A10c o s30)( 3S tti?
H5.0
+
-
**
H2 H4
40? )(tu
L
K
思考题 2,电路原已稳定，开关 K在 t=0时闭合，试求：
)(tuL
解：戴维南定理
mV)9010c o s (15)(
mV9015
Vm030105.010jj
3
OC
33
SmO C m
ttu
IMU
2o j LZ
等效电路为 H4
40? )(L tu
+
--
+
)(OC tu
mV8.14)3.8410c os (9.14)(
)3.8410c os (9.14)(
ms1.0
4
103
L
3
pL
t
etu
ttu
最后得
A10c o s30)( 3S tti?
H5.0
+
-
**
H2 H4
40? )(tu
L
K
一、耦合电感和理想变压器
1.同名端判定 (已知绕法、直流判定法、
交流判定法 )
2.耦合电感的 VCR及其运用
3.耦合电感的串、并联和互感化除
4.空芯变压器电路的分析方法 (列方程法、反映阻抗法、互感化除法、戴维南等效电路法 )
5.含互感的谐振电路的谐振频率的计算一般互感电路：互感化除空芯变压器电路：初级电路发生谐振、
次级电路发生谐振 (那儿发生谐振，那儿电压、电流同相 )
6.理想变压器的 VCR(注意假设电压、电流的方法 )
7.全耦合变压器的等效电路
n LL M L L1
2
1 2,
8.含理想变压器电路的分析方法 (列方程、
搬移、戴维南定理 )
9.含理想变压器、互感电路的全响应
k =1时，是一阶电路；
否则，一般地说是二阶电路。
二、频率特性
1.判定一阶高通、低通；能直接写出其网络函数、半功率点频率和通频带
2.串联谐振、并联谐振的公式 (谐振：电压、
电流同相；阻抗虚部为零和电纳虚部为零不是一回事 )
对幅频、相频特性曲线仅作一般了解
3.实际并联谐振电路的计算 (判定是否满足 )(谐振阻抗等的计算 )
4.三电抗元件组成电路的谐振频率的计算
r LC2
1.图 1所示电路的三个线圈间有磁耦合，
试确定各线圈的同名端，若电流和电压参考方向如图所示，试写出各线圈上的电压表达式？
3ui
3'
i2
L3
L2L
1i1
1u 2u
+ －+ －
+ －
*
*,
,##
M13
M23
M12
i3
解：
设
i i3 3'
这时线圈的电压电流方向均关联。
如图确定同名端。
t
i
L
t
i
M
t
i
Mu
t
i
M
t
i
L
t
i
Mu
t
i
M
t
i
M
t
i
Lu
d
'd
d
d
d
d
d
'd
d
d
d
d
d
'd
d
d
d
d
3
3
2
23
1
133
3
23
2
2
1
122
3
13
2
12
1
11
注意：自感电压都是 +，互感电压都是同一符号。
代入,得：i i
3 3'
t
i
L
t
i
M
t
i
Mu
t
i
M
t
i
L
t
i
Mu
t
i
M
t
i
M
t
i
Lu
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
3
3
2
23
1
133
3
23
2
2
1
122
3
13
2
12
1
11
解,互感化除
2.列写图 2所示电路的网孔方程，电路处于正弦稳态。
C
R
L1
L2 L3
M12
M23
+
－
Su
*
*
.
.
R
C
L M M1 12 13
L M M2 12 13
L M M3 12 13
+
－
Su
然后列写网孔方程。
3.图 3的相量模型中,R1 8 R 2 2
R? 10 L 1 48 L 2 12 M? 24?
若 伏，用下列方法求1S?U?,U?
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
(a)把耦合电感去耦等效转换；
(b)应用戴维南定理和反映阻抗的概念；
(c) 把耦合电感等效转换为理想变压器与电感的组合。
解,(a)去耦等效后，
列网孔方程：
0)24j12(24j
124j)48j8(
21
21
II
II
SU?
U?
24j 12j?
24j
8? 2?
10?
+
－ +
－
I1?I2
13.835.010
87.811.28
90
2
2
IU
I
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
解,(b)戴维南定理：
V13.835.0
32.0j94.3
48j8
24
12j2
)(
46.9494.0
48j8
1
24jj
OC
O
2
11
2
22O
10OC
U
RZ
R
U
Z
M
ZZ
IMU
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
V13.835.0
12j12
10
1.536.0
j
1.536.0
1.536.0
3j4
3j
24j32
1
24jj
24j32
1
24j32
12j102
24
48j8
j
)(
j
2
1
1
2
22
2
11
LRR
R
U
IM
I
LRR
M
LRZ
i
反映阻抗法：
(c),理想变压器模型法：画等效电路如下
SU?
U?
1j L?
R1 R2
R
* *+
－
+
－
n:1
2
2
1
21 L
LnLLM?
S
1 U
n
U?
2j L?
1
2 1n R R2
R
+
－
+
－
V13.835.0
4
1
12
10
12
1
12j
1
2
1
U
U
SU?
U?
1j L? 2j L?
M?jR1 R2
R* *+
－
+
－
4.图 4所示的理想变压器的匝比试求它的输入电阻 。
n N N2 1 2 3/,
Ri
*
*
*
Ri N
1
N2 2/
N2 2/ 2k?
2k?
(a)
解：法一
R n ki2
2
2 2 3
2
4 9( )?
法二
R n n
k
i
1
2
1
2
2 2
2 2
3 2 3 2 9
/ /
/ /?
*
*
*
Ri N
1
N2 2/
N2 2/ 2k?
2k?
2k?
(b)
R n n n
k
i
1
2
1
2 2
2 2
2
2 2 2
3 2 3 2
3
2
2
18
9
2
3
/ / / /
/ / / /
/ /18 / /?
若其中的一电阻等于？3 k?
R n n ni1
2
1
2 2
2 3 2/ / / /
5,求图 5所示理想变压器电路的初级线圈上电压 。
1U?
+
-
+
-
+
-SU? 1U? 2U?
* *
1j
1?
1?
1:2
－ +
1U? +
-
+
- +
-
SU?
1U?
2U?
*
*
1j
1?
1?
1:2
1U?
*1:1
+
-
+
-SU? 1U?
41j
1?
1?
V4.6324.2
)
4
1
j//(11
)
4
1
j//(1
S1
UU
进一步，可简化为：
得：
6.要使图 6电路中负载 R获得最大功率，试求理想变压器的匝比和最大功率值。
10?R
* *
1:n
+
- 1?
1?
V0100
A0100
(a)
解：先用一次戴维南定理；然后搬移：
10?R
* *
1:n
+
-
1
2?
V0100
V0100
10
2n?
+
-
1
2?
W5 0 0 0
2
1
4
100
,20,
2
110 2
m a x
2
2
Pn
n
10?R
* *
1:n
+
- 1?
1?
V0100
A0100
10?R
* *
1:n
+
-
1?
1j
V0100 (b)
类似 (a)的方法：
76.3
210,
2
210
)j1(
2
1
j1
j
,)j1(5
j1
010
2
O2LL
OOC
n
nZ
n
RZ
ZU?
得戴维南等效电路如下：
4525OCU?
)j1(21OZ
2
2
L?R
I
+
－
W7.20
2
2
41.5,41.5
5.6741.5
j414.2
4514.14
2
2
2
1
j
2
1
)j1(5
2
m a x
PI
I?
7.试求图示电路 ab端的等效电感 Lab。
4 3 2
6 3 2
8 3 2
a
b
*
*
..
3mH
4mH
6mH
8mH
2mH
a
b
解：先互感化除，
然后是电感的串、
并联。
L
mH
ab
9 7
9
21
10
11 1
/ /3
.
*
*
*K=1
L H1 0 2?,
L H2 0 05?,
L H3 0 1?,
a b
(b)
L
H
ab
0 2 0 05 0 1 2 0 2 0 05 2 0 05 0 1 2 0 2 0 1
0 35 0 2 0 14 0 28 0 01
.,,,,,,,,
.,,,,
8.图 8所示电路中,R1 30 H151?L R 2 60
H602?L k? 1，耦合系数,若次级负载
R? 180?,求当初级与 30V直流电压源接通后初级和次级电流变化规律。
* *R1 R2
R
L1 L2V30
t?0
30? 60?
180?
H15 H60
k?1 i2i1 解：利用理想变压器的电路模型。
*R1
L1V30
t?0
30?
H15
n:1
* R2
R
60?
180?
i2i1 i1'
n1560 12,
i iL L( ) ( )0 0 0
i i1 10 13 0( ) ' ( )
i
i
1
1
1
0 0
( )
' ( )
s432015
* *R1 R2
R
L1 L2V30
t?0
30? 60?
180?
H15 H60
k?1 i2i1
由三要素公式：
A
3
21)( 34
1
t
eti
A
3
1)(' 34
1
t
eti
A
6
1)(
2
1)( 34
12
t
etiti
t? 0
t? 0
t? 0
19.9 20.1
20
0
10
7.07
|| Z
9,R-L-C并联谐振电路的 |Z|- 特性曲线如图，求 R,L,C之值。
解：并联谐振电路
10|| m a x RZ
r a d / s200
2.0?BW
1 0 0
/0
BWQ?
F5.0/ 00 CCRGCQ
F005.0
1
0
L
GL
Q
10R
F5.0?C
H005.0?L
即
10,两交流电源频率皆为 f,且有
LC
f
2
1? 试证各支路电流与 r1无关。
解：
+
-
r1
1SU?
L L
CC
r2
+ -
S2U?
A
B
单独作用
1SU?
0AB?U? 02?I?
发生并联谐振
01?I?
因而各支路电流与 r2无关
+
-
r1
1SU?
L L
CC
r2
+ -
S2U?
A
B
单独作用
2SU?
0AB?U? 0
2?I?
发生串联谐振
01?I?
r1
r2
A
B
.
2I
+
-
因而各支路电流与 r1无关
+
-
r1
1SU?
L L
CC
r2
+ -
S2U?
根据叠加定理，则原电路中各支路电流只决定于 r2 1SU?
而与 r1无关。
证毕
2SU?
思考题 1,试求 a,b端的戴维南等效电路 (时域 )。
V10c o s10)( ttu S?
+
-
**
1
i t1( )
i t1( )
b
a
H8.0 H2.0
H2.0 1?05,?
解：求开路电压
V)9.3610c o s (8)(
V9.368j
A1.534
1.535.2
10
2j5.1
10
m2O C ma b m
m2
ttu
IMUU
I
采用加压求流求等效阻抗 (电源置零,画成相量形式 )
1 05,?
**
I1
b
a
8j
1?
2j
2j
I2+
－?I11U?
**
1
i t1( )
i t1( )
b
a
H8.0 H2.0
H2.0 1?05,?
列网孔方程
02j)2j15.0(
2j)8j1(
112
121
III
UII
I1
解方程得
H72.0,6.3
4.6382.7j6.3
1
1
O
LXLR
I
U
Z
画图：略
1 05,?
**
I1
b
a
8j
1?
2j
2j
I2+
－ 1U?
A10c o s30)( 3S tti?
H5.0
+
-
**
H2 H4
40? )(tu
L
K
思考题 2,电路原已稳定，开关 K在 t=0时闭合，试求：
)(tuL
解：戴维南定理
mV)9010c o s (15)(
mV9015
Vm030105.010jj
3
OC
33
SmO C m
ttu
IMU
2o j LZ
等效电路为 H4
40? )(L tu
+
--
+
)(OC tu
mV8.14)3.8410c os (9.14)(
)3.8410c os (9.14)(
ms1.0
4
103
L
3
pL
t
etu
ttu
最后得
A10c o s30)( 3S tti?
H5.0
+
-
**
H2 H4
40? )(tu
L
K
