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一、缓和曲线的作用与性质
（ 一 ） 缓和曲线的作用
1,曲率连续变化,便于车辆行驶
2,离心加速度逐渐变化,旅客感觉舒适
3,超高横坡度逐渐变化,行车更加平稳
4,与圆曲线配合得当,增加线形美观第四节 缓和曲线跳转到第一页跳转到第一页
φ
汽车等速行驶,司机匀速转动方向盘 时,汽车的行驶轨迹,
当方向盘转动角度为?时,前轮相应转动角度为?，
它们之间的关系为,?=k? ；
（ 二 ） 缓和曲线的性质
其中,?是在 t时间后方向盘转动的角度,?=?t ；
汽车前轮的转向角为
=kωt (rad)
轨迹曲率半径：
tg φ
dr?
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设汽车前后轮轴距为 d,前轮转动?后,汽车的行驶轨迹曲线半径为
tk
dd
tg φ
dr
汽车以 v（ m／ s） 等速行驶,经时间 t以后,其行驶距离 （ 弧长 ） 为 l：
l=vt (m)
rωk
dt?
r
1.
ωk
vd
rωk
vdl
k ω
vdC?
r
Cl?
汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，这一性质与数学上的回旋线正好相符。
跳转到第一页二,回旋线作为缓和曲线
（一）回旋线的数学表达式
回旋线是公路路线设计中最常用的一种缓和曲线 。
我国,标准,规定缓和曲线采用回旋线 。
回旋线的基本公式为：
rl=A2 (rl=C) —— 极坐标方程式
式中,r—— 回旋线上某点的曲率半径 （ m） ；
l—— 回旋线上某点到原点的曲线长 （ m） ；
A—— 回旋线的参数 。 A表征回旋线曲率变化的缓急程度 。
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1,回旋线的参数值 A的确定：
回旋线的应用范围：
R L sA?
O
Ls
Y
X
缓和曲线起点：回旋线的起点,l=0,r=∞；
缓和曲线终点：回旋线某一点,l＝ Ls,r＝ R。
则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
跳转到第一页直线 直线圆曲线缓和曲线 缓和曲线
1,回旋线的参数值 A的确定：
回旋线的应用范围：
R L sA?
缓和曲线起点：回旋线的起点,l=0,r=∞；
缓和曲线终点：回旋线某一点,l＝ Ls,r＝ R。
则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
缓和曲线的曲率变化：
跳转到第一页回旋线起点切线o
由微分方程推导回旋线的直角坐标方程：
以 rl=A2代入得：
回旋线微分方程为：
dl = r ·d?
dx = dl ·cos?
dy = dl ·sin?
d β
l
Adl 2
或 l·dl = A2·dβ
2,回旋线的数学表达式：
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当 l=0时,?=0。
对 l·dl=A2·d?积分得：
式中,?——回旋线上任一点的半径方向与 Y轴的夹角 。
对回旋线微分方程组中的 dx,dy积分时,可把 cos?,sin?用泰勒级数展开,然后用代入 β 表达式,再进行积分 。
2
2
2
2
2,2 A
lAl
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dx,dy的展开：
dlβdx cos dl)
!6!4!21(
642
dlAlAlAl ])2(7 2 01)2(241)2(21-1[ 62
2
4
2
2
2
2
2
dlAlAlAl )6472038481( 12
12
8
8
4
4
dl( βdlβdy )!7!5!3s i n
753
dl
A
l
A
l
A
l
A
l
])
2
(
5 0 4 0
1
)
2
(
1 2 0
1
)
2
(
6
1
-
2
[ 7
2
2
5
2
2
3
2
2
2
2
dlAlAlAlAl )1 2 85 0 4 03 8 4 0482( 14
14
10
10
4
6
2
2
跳转到第一页对 dx,dy分别进行积分：
dldxx c os
dlAlAl )3 8 481( 8
8
4
4
8
9
4
5
345640 A
l
A
ll
dldyy s in
dlAlAlAl )3 8 4 0482( 10
10
4
6
2
2
10
11
6
7
2
3
4 2 2 4 03366 A
l
A
l
A
l
4
5
401 A
l
6
7
2
3
3 3 66 A
l
A
l
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在回旋线终点处,l = Ls,r = R,A2 = RLs
回旋线终点坐标计算公式：
8
9
4
5
A3 4 5 6
Ls
A40
LsLsX
4
5
2
3
R3456
Ls
R40
LsLs
10
11
6
7
2
3
A4 2 2 4 0
Ls
A3 3 6
Ls
A6
LsY
5
6
3
42
R4 2 2 4 0
Ls
R3 3 6
Ls
R6
Ls
2
3
R40
LsLs
3
42
R336
Ls
R6
Ls
回旋线终点的半径方向与 Y轴夹角 β0计算公式,
R2
Ls
A2
Ls
20
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1,各要素的计算公式
基本公式,r·l=A2，
（ 二 ） 回旋线的几何要素
任意点 P处的曲率半径：
2
2
2 A
l
22
2 Al
l
Ar
P点的回旋线长度：
rArAl 22
2
P点的半径方向与 Y轴的夹角
2
2
2
2
222 r
A
r
l
A
l
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p = y + rcosβ -
r
P点曲率圆圆心 M点的坐标：
xm = x – rsinβ
ym = r + p
P点的弦长：
P点曲率圆的内移值：
sin
ya
P点弦偏角：
)r a d(3xya r c t g
p
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道路平面线形三要素的基本组成是：直线 -回旋线
-圆曲线 -回旋线 -直线 。
(1)几何元素的计算公式：
2,有缓和曲线的道路平曲线几何元素：
)(
2 3 8 424
)c o s1(
3
42
m
R
Ls
R
Ls
RYp
2
3
0
2 4 02
c o s
R
LsLs
RXq
度）(6 4 7 9.2822 20 RLsRLsALs
回旋线终点处内移值：
回旋线终点处曲率圆圆心 x坐标,
回旋线终点处 半径方向与 Y轴的夹角,
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(1)几何元素的计算公式：
)m(q2tg)pR(T
切线长：
曲线长：
)m(LsR
1 8 0
)m(Ls2R
1 8 0
)2(L 0
外距：
)m(R2s e c)pR(E
校正值,J = 2T - L
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(2)主点里程桩号计算方法,
以交点里程桩号为起算点：
ZH = JD – T
HY = ZH + Ls
QZ = ZH + L/2
YH = HZ – Ls
HZ = ZH + L
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① 用切线支距法敷设回旋线公式：
l—— 回旋线上任意点 m至缓和曲线终点的弧长 （ m） 。
（ 3） 切线支距法敷设曲线计算方法：
22
5
4
5
401401 SLR
l
A
lx
33
73
6
7
2
3
3 3 663 3 66 SS LR
l
RL
l
A
l
A
ly
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n
β
O
M
α n
YH
HY
HZ
ZH
β δ
φ
y
x
q
p
R
Rsinφ
R(1-cosφ
)
0
0
② 切线支距法敷设带有回旋线的圆曲线公式：
x=q+Rsin?m (m)
y=p+R(1-cos?m) (m)
式中：
)()2(6 4 7 9.280 R Lsl mmm
lm—— 圆曲线上任意点 m至缓和曲线终点的弧长 （ m） ；
αm—— lm 所 对 应 的圆心角 （ rad） 。
R
lm
m
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（三）回旋线的相似性
回旋线的曲率是连续变化的,而且其曲率的变化与曲线长度的变化呈线性关系 。
可以认为回旋线的形状只有一种,只需改变参数 A
就能得到不同大小的回旋曲线 。
A相当于回旋线的放大系数,回旋线的这种相似性对于简化其几何要素的计算和编制曲线表很有用处 。
跳转到第一页例题：
已 知 平 原 区 某 二 级 公 路 有 一 弯 道,偏角 α 右
=15° 28′ 30″,半径 R=600m,缓和曲线长度 Ls=70m，
JD=K2+536.48。
要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
（ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号切线支距值 。
解,（ 1） 曲线要素计算：
3 4 0.02 5 024 7024
22
RLsp
9 9 6.342 5 02 4 0 702702 4 02 2
3
2
3
RLsLsq
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5 6 5.1 1 69 9 6.3422 8 3 0.15)3 4 0.02 5 0(2)( tgqtgpRT?
0 5 4.2 3 2702 5 02 8 3 0.151 8 01 8 0 LsRL
8 6 5.52 5 02s e c)3 4 0.02 5 0(2s e c)( RpRE
J=2T-L=2× 116.565-232.054=1.077
（ 1） 曲线要素计算：
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（ 2） 主点里程桩号计算,
以交点里程桩号为起算点,JD = K2+536.48
ZH = JD – T =K2+536.48 - 116.565 = K2+419.915
HY = ZH + Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915
QZ = ZH + L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942
HZ = ZH + L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969
YH = HZ – Ls = K2+651.97 –70=K2+581.969
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（ 3）计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支距值：
列表计算曲线 25m整桩号,ZH= K2+419.915
K2+425 K2+450 K2+475 K2+500 …
平曲线切线支距计算表桩 号计算切线支距
l 缓和曲线 圆曲线x
S yS φ m(° ) xC yC
ZH+419.915 0 0 0
K2+425 5.085 5.085 0.000
K2+450 30.085 30.085 0.108
……
HY+489.915 70 69.976 1.361
K2+500 10.085 4.3053 80.038 2.033
K2+525 35.085 6.6926 104.922 4.428
……
跳转到第一页计算切线支距值：
（ 1） LCZ=K2+425（缓和曲线段）,ZH=K2+419.915
l=2425-2419.915=5.085
0 8 5.5702 5 040 0 8 5.51401401 2222
5
4
5
SLR
l
A
lx
0 0 0.0702 5 06 0 8 5.566
33
2
3
SRL
l
A
ly
（ 2） LCZ=K2+500,HY=K2+489.915 （圆曲线段）
lm=2500-2489.915=10.085
x=q+Rsin?m =34.996+250sin4.3053=80.038(m)
y=p+R(1-cos?m)=0.34+250（ 1-cos4.3053） =2.033(m)
3 0 5 3.4)2 5 0 700 8 5.102(9 4 7 9.28)2(6 4 7 9.280 R Lsl mmm
跳转到第一页作业：
1,用级数展开法计算 p,q的表达式 。
2,已知平原区某一级公路有一弯道,偏角 α左
=16° 36′42″,半径 R=1000m,JD=K7+153.63。
要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
（ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支距值 （ 列表计算 ） 。
一、缓和曲线的作用与性质
（ 一 ） 缓和曲线的作用
1,曲率连续变化,便于车辆行驶
2,离心加速度逐渐变化,旅客感觉舒适
3,超高横坡度逐渐变化,行车更加平稳
4,与圆曲线配合得当,增加线形美观第四节 缓和曲线跳转到第一页跳转到第一页
φ
汽车等速行驶,司机匀速转动方向盘 时,汽车的行驶轨迹,
当方向盘转动角度为?时,前轮相应转动角度为?，
它们之间的关系为,?=k? ；
（ 二 ） 缓和曲线的性质
其中,?是在 t时间后方向盘转动的角度,?=?t ；
汽车前轮的转向角为
=kωt (rad)
轨迹曲率半径：
tg φ
dr?
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设汽车前后轮轴距为 d,前轮转动?后,汽车的行驶轨迹曲线半径为
tk
dd
tg φ
dr
汽车以 v（ m／ s） 等速行驶,经时间 t以后,其行驶距离 （ 弧长 ） 为 l：
l=vt (m)
rωk
dt?
r
1.
ωk
vd
rωk
vdl
k ω
vdC?
r
Cl?
汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，这一性质与数学上的回旋线正好相符。
跳转到第一页二,回旋线作为缓和曲线
（一）回旋线的数学表达式
回旋线是公路路线设计中最常用的一种缓和曲线 。
我国,标准,规定缓和曲线采用回旋线 。
回旋线的基本公式为：
rl=A2 (rl=C) —— 极坐标方程式
式中,r—— 回旋线上某点的曲率半径 （ m） ；
l—— 回旋线上某点到原点的曲线长 （ m） ；
A—— 回旋线的参数 。 A表征回旋线曲率变化的缓急程度 。
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1,回旋线的参数值 A的确定：
回旋线的应用范围：
R L sA?
O
Ls
Y
X
缓和曲线起点：回旋线的起点,l=0,r=∞；
缓和曲线终点：回旋线某一点,l＝ Ls,r＝ R。
则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
跳转到第一页直线 直线圆曲线缓和曲线 缓和曲线
1,回旋线的参数值 A的确定：
回旋线的应用范围：
R L sA?
缓和曲线起点：回旋线的起点,l=0,r=∞；
缓和曲线终点：回旋线某一点,l＝ Ls,r＝ R。
则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
缓和曲线的曲率变化：
跳转到第一页回旋线起点切线o
由微分方程推导回旋线的直角坐标方程：
以 rl=A2代入得：
回旋线微分方程为：
dl = r ·d?
dx = dl ·cos?
dy = dl ·sin?
d β
l
Adl 2
或 l·dl = A2·dβ
2,回旋线的数学表达式：
跳转到第一页
当 l=0时,?=0。
对 l·dl=A2·d?积分得：
式中,?——回旋线上任一点的半径方向与 Y轴的夹角 。
对回旋线微分方程组中的 dx,dy积分时,可把 cos?,sin?用泰勒级数展开,然后用代入 β 表达式,再进行积分 。
2
2
2
2
2,2 A
lAl
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dx,dy的展开：
dlβdx cos dl)
!6!4!21(
642
dlAlAlAl ])2(7 2 01)2(241)2(21-1[ 62
2
4
2
2
2
2
2
dlAlAlAl )6472038481( 12
12
8
8
4
4
dl( βdlβdy )!7!5!3s i n
753
dl
A
l
A
l
A
l
A
l
])
2
(
5 0 4 0
1
)
2
(
1 2 0
1
)
2
(
6
1
-
2
[ 7
2
2
5
2
2
3
2
2
2
2
dlAlAlAlAl )1 2 85 0 4 03 8 4 0482( 14
14
10
10
4
6
2
2
跳转到第一页对 dx,dy分别进行积分：
dldxx c os
dlAlAl )3 8 481( 8
8
4
4
8
9
4
5
345640 A
l
A
ll
dldyy s in
dlAlAlAl )3 8 4 0482( 10
10
4
6
2
2
10
11
6
7
2
3
4 2 2 4 03366 A
l
A
l
A
l
4
5
401 A
l
6
7
2
3
3 3 66 A
l
A
l
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在回旋线终点处,l = Ls,r = R,A2 = RLs
回旋线终点坐标计算公式：
8
9
4
5
A3 4 5 6
Ls
A40
LsLsX
4
5
2
3
R3456
Ls
R40
LsLs
10
11
6
7
2
3
A4 2 2 4 0
Ls
A3 3 6
Ls
A6
LsY
5
6
3
42
R4 2 2 4 0
Ls
R3 3 6
Ls
R6
Ls
2
3
R40
LsLs
3
42
R336
Ls
R6
Ls
回旋线终点的半径方向与 Y轴夹角 β0计算公式,
R2
Ls
A2
Ls
20
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1,各要素的计算公式
基本公式,r·l=A2，
（ 二 ） 回旋线的几何要素
任意点 P处的曲率半径：
2
2
2 A
l
22
2 Al
l
Ar
P点的回旋线长度：
rArAl 22
2
P点的半径方向与 Y轴的夹角
2
2
2
2
222 r
A
r
l
A
l
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p = y + rcosβ -
r
P点曲率圆圆心 M点的坐标：
xm = x – rsinβ
ym = r + p
P点的弦长：
P点曲率圆的内移值：
sin
ya
P点弦偏角：
)r a d(3xya r c t g
p
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道路平面线形三要素的基本组成是：直线 -回旋线
-圆曲线 -回旋线 -直线 。
(1)几何元素的计算公式：
2,有缓和曲线的道路平曲线几何元素：
)(
2 3 8 424
)c o s1(
3
42
m
R
Ls
R
Ls
RYp
2
3
0
2 4 02
c o s
R
LsLs
RXq
度）(6 4 7 9.2822 20 RLsRLsALs
回旋线终点处内移值：
回旋线终点处曲率圆圆心 x坐标,
回旋线终点处 半径方向与 Y轴的夹角,
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(1)几何元素的计算公式：
)m(q2tg)pR(T
切线长：
曲线长：
)m(LsR
1 8 0
)m(Ls2R
1 8 0
)2(L 0
外距：
)m(R2s e c)pR(E
校正值,J = 2T - L
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(2)主点里程桩号计算方法,
以交点里程桩号为起算点：
ZH = JD – T
HY = ZH + Ls
QZ = ZH + L/2
YH = HZ – Ls
HZ = ZH + L
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① 用切线支距法敷设回旋线公式：
l—— 回旋线上任意点 m至缓和曲线终点的弧长 （ m） 。
（ 3） 切线支距法敷设曲线计算方法：
22
5
4
5
401401 SLR
l
A
lx
33
73
6
7
2
3
3 3 663 3 66 SS LR
l
RL
l
A
l
A
ly
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n
β
O
M
α n
YH
HY
HZ
ZH
β δ
φ
y
x
q
p
R
Rsinφ
R(1-cosφ
)
0
0
② 切线支距法敷设带有回旋线的圆曲线公式：
x=q+Rsin?m (m)
y=p+R(1-cos?m) (m)
式中：
)()2(6 4 7 9.280 R Lsl mmm
lm—— 圆曲线上任意点 m至缓和曲线终点的弧长 （ m） ；
αm—— lm 所 对 应 的圆心角 （ rad） 。
R
lm
m
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（三）回旋线的相似性
回旋线的曲率是连续变化的,而且其曲率的变化与曲线长度的变化呈线性关系 。
可以认为回旋线的形状只有一种,只需改变参数 A
就能得到不同大小的回旋曲线 。
A相当于回旋线的放大系数,回旋线的这种相似性对于简化其几何要素的计算和编制曲线表很有用处 。
跳转到第一页例题：
已 知 平 原 区 某 二 级 公 路 有 一 弯 道,偏角 α 右
=15° 28′ 30″,半径 R=600m,缓和曲线长度 Ls=70m，
JD=K2+536.48。
要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
（ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号切线支距值 。
解,（ 1） 曲线要素计算：
3 4 0.02 5 024 7024
22
RLsp
9 9 6.342 5 02 4 0 702702 4 02 2
3
2
3
RLsLsq
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5 6 5.1 1 69 9 6.3422 8 3 0.15)3 4 0.02 5 0(2)( tgqtgpRT?
0 5 4.2 3 2702 5 02 8 3 0.151 8 01 8 0 LsRL
8 6 5.52 5 02s e c)3 4 0.02 5 0(2s e c)( RpRE
J=2T-L=2× 116.565-232.054=1.077
（ 1） 曲线要素计算：
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（ 2） 主点里程桩号计算,
以交点里程桩号为起算点,JD = K2+536.48
ZH = JD – T =K2+536.48 - 116.565 = K2+419.915
HY = ZH + Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915
QZ = ZH + L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942
HZ = ZH + L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969
YH = HZ – Ls = K2+651.97 –70=K2+581.969
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（ 3）计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支距值：
列表计算曲线 25m整桩号,ZH= K2+419.915
K2+425 K2+450 K2+475 K2+500 …
平曲线切线支距计算表桩 号计算切线支距
l 缓和曲线 圆曲线x
S yS φ m(° ) xC yC
ZH+419.915 0 0 0
K2+425 5.085 5.085 0.000
K2+450 30.085 30.085 0.108
……
HY+489.915 70 69.976 1.361
K2+500 10.085 4.3053 80.038 2.033
K2+525 35.085 6.6926 104.922 4.428
……
跳转到第一页计算切线支距值：
（ 1） LCZ=K2+425（缓和曲线段）,ZH=K2+419.915
l=2425-2419.915=5.085
0 8 5.5702 5 040 0 8 5.51401401 2222
5
4
5
SLR
l
A
lx
0 0 0.0702 5 06 0 8 5.566
33
2
3
SRL
l
A
ly
（ 2） LCZ=K2+500,HY=K2+489.915 （圆曲线段）
lm=2500-2489.915=10.085
x=q+Rsin?m =34.996+250sin4.3053=80.038(m)
y=p+R(1-cos?m)=0.34+250（ 1-cos4.3053） =2.033(m)
3 0 5 3.4)2 5 0 700 8 5.102(9 4 7 9.28)2(6 4 7 9.280 R Lsl mmm
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1,用级数展开法计算 p,q的表达式 。
2,已知平原区某一级公路有一弯道,偏角 α左
=16° 36′42″,半径 R=1000m,JD=K7+153.63。
要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
（ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支距值 （ 列表计算 ） 。
