三、其它形式的缓和曲线
（一）三次抛物线三次抛物线的方程式：
x
Cr?
三次抛物线上各点的直角坐标方程式：
x=l
C
xy
6
3
三、其它形式的缓和曲线
（ 二 ） 双纽线双纽线方程式：
双纽线的极角为 45° 时,
曲线半径最小 。 此后半径增大至原点,全程转角达到 270° 。
a
Cr?
回旋曲线、三次抛物线和双纽线线形比较：
回旋曲线、三次抛物线和双纽线在极角较小
（ 5° ～ 6° ）时，几乎没有差别。
随着极角的增加，三次抛物线的长度比双纽线的长度增加的较快，而双纽线的长度又比回旋线的长度增加得快些。
回旋线的半径减小得最快，而三次抛物线则减小的最慢。从保证汽车平顺过渡的角度看，三种曲线都可以作为缓和曲线。
此外，也有使用 n次（ n≥3）抛物线、正弦形曲线、
多圆弧曲线作为缓和曲线的。但世界各国使用回旋曲线居多，我国,标准,推荐的缓和曲线也是回旋线。
四、缓和曲线的长度及参数
（ 一 ） 缓和曲线的最小长度,
1,旅客感觉舒适,
汽车行驶在缓和曲线上,其离心加速度将随着缓和曲线曲率的变化而变化,若变化过快,将会使旅客有不舒适的感觉 。
离心加速度的变化率 as：
Rt
v
t
aa 2
s
在等速行驶的情况下：
v
Lst?
R L s
V0214.0
R L s
va 33
s
满足乘车舒适感的缓和曲线最小长度,
Ra
V0 2 1 4.0Ls
s
3
m i n?
我国公路计算规范一般建议 as≤0.6
R
V0 3 6.0Ls 3
m i n?
2．超高渐变率适中由于缓和曲线上设有超高缓和段,如果缓和段太短,
则会因路面急剧地由双坡变为单坡而形成一种扭曲的面,对行车和路容均不利 。
,规范,规定了适中的超高渐变率,由此可导出计算缓和段最小长度的公式：
式中,B—— 旋转轴至行车道 （ 设路缘带时为路缘带 ）
外侧边缘的宽度；
Δi—— 超高坡度与路拱坡度代数差 （ %） ；
p —— 超高渐变率，即旋转轴线与行车道外侧边缘线之间的相对坡度。
p
BLs i
m i n
3．行驶时间不过短缓和曲线不管其参数如何,都不可使车辆在缓和曲线上的行驶时间过短而使司机驾驶操纵过于匆忙 。
一般认为 汽车在缓和曲线上的行驶时间至少应有 3s
,标准,按行驶时间不小于 3s的要求制定了各级公路缓和曲线最小长度 。
,城规,制定了城市道路的最小缓和曲线长度,如表
3-7。
2.1
VLs
m in?
（二）回旋曲线参数的确定在一般情况下,特别是当圆曲线半径较大时,车速较高时,应该使用更长的缓和曲线 。
回旋线参数表达式,A2 = R·Ls
从视觉条件要求确定 A：
考察司机的视觉,当回旋曲线很短,其回旋线切线角 （ 或称缓和曲线角 ） β在 3° 左右时,曲线极不明显,在视觉上容易被忽略 。
回旋线过长 β大于 29° 时,圆曲线与回旋线不能很好协调 。
适宜的缓和曲线角是 β=3° ～ 29° 。
由 β0=3° ～ 29° 推导出合适的 A值：
将 β0=3° 和 β0=29° 分别代入上式,则 A的取值范围为：
R
Ls6 4 7 9.28
0 6479.28
RLs 0
6 4 7 9.28
RR L sA 0
RA
3
R
回旋线参数 A的确定：
经验证明,当 R在 100m左右时,通常取 A＝ R；如果 R小于 100m,则选择 A≥R。
在圆曲线半径较大时,R≥3000m,A<R/3。
（三）缓和曲线的省略在直线和圆曲线间设置缓和曲线后,圆曲线产生了内移,其位移值为 p，
在 Ls一定的情况下,p与圆曲线半径成反比，当 R
大到一定程度时,p值将会很小。这时缓和曲线的设置与否，线形上已经没有多大差异。
一般认为当 p≤0.10时，即可忽略缓和曲线。如按 3s
行程计算缓和曲线长度时，若取 p=0.10，则不设缓和曲线的临界半径为：
R24
Lsp 2?
22
2
h V2 8 9.0)2.1
V(
10.0
1
24
1
p24
LsR
（三）缓和曲线的省略
由上表可知，设缓和曲线的临界半径比不设超高的最小半径小。考虑到缓和曲线还有完成超高和加宽的作用，应按超高控制。
,标准,规定,当公路的平曲线半径小于不设超高的最小半径时，应设缓和曲线。
四级公路可不设缓和曲线。
,规范,规定可不设缓和曲线的情况：
（ 1） 在直线和圆曲线间,当圆曲线半径大于或等于
,标准,规定的,不设超高的最小半径,时；
（ 2） 半径不同的同向圆曲线间,当小圆半径大于或等于,不设超高的最小半径,时；
（ 3） 小圆半径大于表 7.4.2中所列半径,且符合下列条件之一时：
,规范,规定可不设缓和曲线的情况：
② 计算行车速度 ≥80km/h时,大圆半径 （ R1） 与小圆半径 (R2)之比小于 1.5。
③ 计算行车速度 <80km/h时,大圆半径 （ R1） 与小圆半径 (R2)之比小于 2。
（ 1） 在直线和圆曲线间,当圆曲线半径大于或等于
,标准,规定的,不设超高的最小半径,时；
（ 2） 半径不同的同向圆曲线间,当小圆半径大于或等于,不设超高的最小半径,时；
（ 3） 小圆半径大于表 7.2.4中所列半径,且符合下列条件之一时：
① 小圆曲线按规定设置相当于最小回旋线长的回旋线时,其大圆与小圆的内移值之差不超过 0.10m。
作业题：
已知平原区某二级公路有一弯道，偏角 α右
=13° 38′42″，半径 R=800m,JD=K5+136.53。计算确定缓和曲线长度及曲线主点里程桩号。
（一）三次抛物线三次抛物线的方程式：
x
Cr?
三次抛物线上各点的直角坐标方程式：
x=l
C
xy
6
3
三、其它形式的缓和曲线
（ 二 ） 双纽线双纽线方程式：
双纽线的极角为 45° 时,
曲线半径最小 。 此后半径增大至原点,全程转角达到 270° 。
a
Cr?
回旋曲线、三次抛物线和双纽线线形比较：
回旋曲线、三次抛物线和双纽线在极角较小
（ 5° ～ 6° ）时，几乎没有差别。
随着极角的增加，三次抛物线的长度比双纽线的长度增加的较快，而双纽线的长度又比回旋线的长度增加得快些。
回旋线的半径减小得最快，而三次抛物线则减小的最慢。从保证汽车平顺过渡的角度看，三种曲线都可以作为缓和曲线。
此外，也有使用 n次（ n≥3）抛物线、正弦形曲线、
多圆弧曲线作为缓和曲线的。但世界各国使用回旋曲线居多，我国,标准,推荐的缓和曲线也是回旋线。
四、缓和曲线的长度及参数
（ 一 ） 缓和曲线的最小长度,
1,旅客感觉舒适,
汽车行驶在缓和曲线上,其离心加速度将随着缓和曲线曲率的变化而变化,若变化过快,将会使旅客有不舒适的感觉 。
离心加速度的变化率 as：
Rt
v
t
aa 2
s
在等速行驶的情况下：
v
Lst?
R L s
V0214.0
R L s
va 33
s
满足乘车舒适感的缓和曲线最小长度,
Ra
V0 2 1 4.0Ls
s
3
m i n?
我国公路计算规范一般建议 as≤0.6
R
V0 3 6.0Ls 3
m i n?
2．超高渐变率适中由于缓和曲线上设有超高缓和段,如果缓和段太短,
则会因路面急剧地由双坡变为单坡而形成一种扭曲的面,对行车和路容均不利 。
,规范,规定了适中的超高渐变率,由此可导出计算缓和段最小长度的公式：
式中,B—— 旋转轴至行车道 （ 设路缘带时为路缘带 ）
外侧边缘的宽度；
Δi—— 超高坡度与路拱坡度代数差 （ %） ；
p —— 超高渐变率，即旋转轴线与行车道外侧边缘线之间的相对坡度。
p
BLs i
m i n
3．行驶时间不过短缓和曲线不管其参数如何,都不可使车辆在缓和曲线上的行驶时间过短而使司机驾驶操纵过于匆忙 。
一般认为 汽车在缓和曲线上的行驶时间至少应有 3s
,标准,按行驶时间不小于 3s的要求制定了各级公路缓和曲线最小长度 。
,城规,制定了城市道路的最小缓和曲线长度,如表
3-7。
2.1
VLs
m in?
（二）回旋曲线参数的确定在一般情况下,特别是当圆曲线半径较大时,车速较高时,应该使用更长的缓和曲线 。
回旋线参数表达式,A2 = R·Ls
从视觉条件要求确定 A：
考察司机的视觉,当回旋曲线很短,其回旋线切线角 （ 或称缓和曲线角 ） β在 3° 左右时,曲线极不明显,在视觉上容易被忽略 。
回旋线过长 β大于 29° 时,圆曲线与回旋线不能很好协调 。
适宜的缓和曲线角是 β=3° ～ 29° 。
由 β0=3° ～ 29° 推导出合适的 A值：
将 β0=3° 和 β0=29° 分别代入上式,则 A的取值范围为：
R
Ls6 4 7 9.28
0 6479.28
RLs 0
6 4 7 9.28
RR L sA 0
RA
3
R
回旋线参数 A的确定：
经验证明,当 R在 100m左右时,通常取 A＝ R；如果 R小于 100m,则选择 A≥R。
在圆曲线半径较大时,R≥3000m,A<R/3。
（三）缓和曲线的省略在直线和圆曲线间设置缓和曲线后,圆曲线产生了内移,其位移值为 p，
在 Ls一定的情况下,p与圆曲线半径成反比，当 R
大到一定程度时,p值将会很小。这时缓和曲线的设置与否，线形上已经没有多大差异。
一般认为当 p≤0.10时，即可忽略缓和曲线。如按 3s
行程计算缓和曲线长度时，若取 p=0.10，则不设缓和曲线的临界半径为：
R24
Lsp 2?
22
2
h V2 8 9.0)2.1
V(
10.0
1
24
1
p24
LsR
（三）缓和曲线的省略
由上表可知，设缓和曲线的临界半径比不设超高的最小半径小。考虑到缓和曲线还有完成超高和加宽的作用，应按超高控制。
,标准,规定,当公路的平曲线半径小于不设超高的最小半径时，应设缓和曲线。
四级公路可不设缓和曲线。
,规范,规定可不设缓和曲线的情况：
（ 1） 在直线和圆曲线间,当圆曲线半径大于或等于
,标准,规定的,不设超高的最小半径,时；
（ 2） 半径不同的同向圆曲线间,当小圆半径大于或等于,不设超高的最小半径,时；
（ 3） 小圆半径大于表 7.4.2中所列半径,且符合下列条件之一时：
,规范,规定可不设缓和曲线的情况：
② 计算行车速度 ≥80km/h时,大圆半径 （ R1） 与小圆半径 (R2)之比小于 1.5。
③ 计算行车速度 <80km/h时,大圆半径 （ R1） 与小圆半径 (R2)之比小于 2。
（ 1） 在直线和圆曲线间,当圆曲线半径大于或等于
,标准,规定的,不设超高的最小半径,时；
（ 2） 半径不同的同向圆曲线间,当小圆半径大于或等于,不设超高的最小半径,时；
（ 3） 小圆半径大于表 7.2.4中所列半径,且符合下列条件之一时：
① 小圆曲线按规定设置相当于最小回旋线长的回旋线时,其大圆与小圆的内移值之差不超过 0.10m。
作业题：
已知平原区某二级公路有一弯道，偏角 α右
=13° 38′42″，半径 R=800m,JD=K5+136.53。计算确定缓和曲线长度及曲线主点里程桩号。
