第三章 工业机器人静力计算及动力学分析本章将首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩 (驱动力 )作用下将取得静力平衡；
也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩 (驱动力 )作用下将发生运动变化。在本章中，我们不涉及较深的理论，将通过深入浅出的介绍使读者对工业机器人在实际作业中遇到的静力学问题和动力学问题有一个最基本的了解，也为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础 。
§ 3-1工业机器人速度雅可比与速度分析
一、工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵 (Jacobianmatrix)是一个多元函数的偏导矩阵。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即也可写成将其微分，得也可简写成式 (3-3)中 (6x6)矩阵叫 δF/δX 做雅可比矩阵
在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。
图 3-1为二自由度平面关节机器人。端点位置 x,y与关节 θ1,θ2
的关系为
我们将 J称为图 3-1所示二自由度平面关节机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移 dx的关系。
若对式 (3-7)进行运算，则 2R机器人的雅可比写为
从 J中元素的组成可见,J阵的值是 θl及 θ2的函数。
对于 n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变量,q
表示 q=[q1q2...qn]T，节为转动关节时,qi=θi,当关节为移动关节时，
qi=di,dq=[dq1dq2…dqn] T反映了关节空间的微小运动，机器人末端在操作空间的位置和方位可用来端手爪的位姿 X表示，它是关节变量占的函数,x=x(q),并且是一个 6维列矢量,
反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移 (微小转动 )组成。因此，式 (3-8)可写为
式中 J(q)是 6× n的偏导数矩阵，称为 n自由度机器人速度雅可比矩阵。它的第 i行第 j列元素为
二、工业机器人速度分析
对式 (3-10)左、右两边各除以 dt得或
对于图 3-1所示 2R机器人来说,J(q)是式 (3-9)所示的 2× 2矩阵。若令 J1,J2分别为式 (3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式 (3-13)可写成,
式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度，总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。
图 3-1所示二自由度机器人手部速度为假如已知关节上 1及 2是时间的函数 1 =f1(t),2=f2(t),
则可求出该机器人手部在某一时刻的速度 y=r(Z),即手部瞬时速度。
反之,假如给定机器人手部速度,可由式 (3-13)解出相应的关节速度,
式中,J-l称为机器人逆速度雅可比。
式 (3-14)是一个很重要的关系式。例如，我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式 (3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。但是，一般来说，求逆速度雅可比 J-1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。
通常我们可以看到机器人逆速度雅可比 J-l出现奇异解的两种情况：
(1)工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。
(2)工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在空间某个方向 (或子域 )上，不管机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。
例 3-1 如图 3-2所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以 1.0m/s速度移动，杆长为 l1 =l2=0.5m。设在某瞬时 θ1 =,θ2 =-
，求相应瞬时的关节速度。
30
60
奇异讨论：从式 (3-15)知，当 l1l2s2=0时，式 (3-15)无解。当
即 θ2=0或 θ2=180。时,二自由度机器人逆速度雅可比
J-1奇异。这时，该机器人二臂完全伸直，或完全折回，机器人处于奇异形位。在这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上,
手部只能沿着一个方向 (即与臂垂直的方向 )运动，不能沿其它方向运动，退化了一个自由度。
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，
机器人速度雅可比 J是一个 6X6矩阵，在和 q分别是 6× 1列阵，即
v(6x1)=J(q)(6x6)q(6x1) 。手部速度矢量 y是由 3× 1线速度矢量和 3X1角速度矢量组合而成的 6维列矢量。关节速度矢量生是由 6个关节速度组合；而成的 6维列矢量。雅可比矩阵 J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵 J的每一列则代表相应关节速度 qi对手部线速度和角速度的传递比。
02,01 ll
§ 3-2工业机器人力雅可比与静力计算
机器人作业时与外界环境的接触会在机器人与环境之间引起相互的作用力和力矩。机器辈人各关节的驱动装置提供关节力矩
(或力 )，通过连杆传递到末端操作器，克服外界作用力和力摩矩 5
各关节的驱动力矩 (或力 )与末端操作器施加的力 (广义力，包括力和力矩 )之间的关系是机，因器人操作臂力控制的基础。本节讨论操作臂在静止状态下力的平衡关系。我们假定各关节“锁住”，
机器人成为一个机构。这种“锁定用”的关节力矩与手部所支持的载荷或受到外界环境作用的力取得静力平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力矩作用下手部的输卡出力就是对机器人操作臂的静力计算。
一、操作臂中的静力胁这里以操作臂中单个杆件为例分析受力情况，如图 3-3所示，杆件 i通过关节 i和 i+1别与杆件 i-1和 i+1相连接,
两个坐标系 {i-1}和 {i}分别如图所示。
假如己却才卡界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆向零连杆 (机座 )依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
为了便于去示机器人手部端点的力和力矩 (简称为端点力 F)，可将
fn,n+1和 nn,n+l合并写一个 6维矢量：
各关节驱动器驱动力或力矩可写成一个 n维矢量的形式，即
式中,n—— 关节的个数
τ—— 关节力矩（或关节力）矢量，简称广义关 节力矩,
对于转动关节,τi表示关节驱动力矩，对于移动关节,τi表示关节驱动力。
二、机器人力雅可比假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩 τ
与机器人手部端点力 F的关系可用下式描述,
τ = JT F (3-20)
式中 JT为 n× 6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。
上式可用下述虚功原理证明：
证明 考虑各个关节的虚位移为 δqi，末端操作器的虚位移为
δx，如图 3-4所示。
式中,d=[dxdydz]T和 δ =[δφx δ φy δ φz]分别对应于末端操作器的虚线位移； δq为由各关节虚位移在 δq组成的机器人关节虚位移矢量。
假设发生上述虚位移时，各关节力矩为 τi (I=1,2,n),环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为 - fn,n+1和 nn,n+l。 由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出,
三、机器人静力计算的两类
问题 i从操作臂手部端点力 F与广义关节力矩 τ之间的关系式 τ
=JTF可知，操作臂静力计算可分为两类问题：
(1)已知外界环境对机器人手部作用力 (即手部端点力
F=- ),求相应的满足静力 1平衡条件的关节驱动力矩 τ。
(2)已知关节驱动力矩 τ，确定机器人手部对外界环境的作用力 F或负荷的质量。
这类问题是第一类问题的逆解。这时
F=(JT)-1 τ
但是，由于机器人的自由度可能不是 6，比如扫 >6，力雅可比短阵就有可能不是一个方阵，则 JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果 F的维数比 τ的维数低，且 J是满秩的话，则可利用最小二乘法求得 F的估值。
'F
'F
例 3-2 由图 3-5所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力 F=[FxFy]T，求相应于端点力万的关节力矩（不考虑摩擦）。
§ 3-3工业机器人动力学分析
随着工业机器人向重载、高速、高精度以及智能化方向的发展，
对工业机器人设计和控制都提出了新的要求。特别是在控制方面，
机器人的动态实时控制是机器人发展的必然要求。因此，需要对机器人的动力学进行分析。机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。
因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两类：
(1)给出已知的轨迹点上的,,及,即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量 τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向
量 τ,求机器人所产生的运动,及 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。
分析模拟机器人动力学特性的方法很多，有拉格朗日
(Lagrange)方法，牛顿 -欧拉 (Newton·Euler)方法，高斯 (Gauss)方法，
凯恩 (Kane)方法等。拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解机器人动力学比较方便。因此，本节只介绍拉格朗日方法，而且用简单实例进行分析。
一、拉格朗日方程
1.拉格朗日函数
拉格朗日函数 L的定义是一个机械系统的动能 Ek和势能 Ep之差,
即
L=Ek一 Ep (3-24)
令,qi(i=1,2,...n)是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，
qi是相应的广义关节速度。由于系统动能 Ek是 qi和 i的函数，系统势能 Eq和 qi的函数，因此拉格朗日函数也是 qi和 i 的函数。
q?
q?
2.拉格朗日方程
系统的拉格朗日方程为
式中,Fi称为关节广义驱动力。如果是移动关节,则 Fi为驱动力,如果是转动关节,则 Fi为驱动力矩。
3.用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤：
(1)选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量 qi,i=1,2,...n。
(2)选定相应的关节上的广义力 Fi：当 qi是位移变量时,则 Fi为力,当
qi正是角度变量时,则 Fi为力矩。
(3)求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。
(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
二、二自由度平面关节机器人动力学方程
1.广义关节变量及广义力的选定
如图 3-6所示，选取笛卡尔坐标系。连杆 1和连杆 2的关节变量分别为转角 θl和 θ2，相应的关节 1和关节 2的力矩是 r1和 r2。连杆 1
和连杆 2的质量分别是阴 l和刑 2，杆长分别为 τ1和 τ2,质心分别在 kl
和 k2处，离关节中心的距离分别为 p1和 p2。因此，杆 1质心 k1的位置坐标为。
杆 1质心 k1速度平方为杆 2质心 k2速度平方为
式 (3-26),(3-27)及式 (3-28),(3-29)分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系,
称为图 3-6所示二自由度机器人的动力学方程。对其进行分析可知：
(1)含有 l或 2的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：
含有 D11和 D22的项分别表示由于关节 1加速度和关节 2加速度引起的惯性力矩项 ;
含有 Dl2的项表示关节 2的加速度对关节 1的搞合惯性力矩项：
含有 D2l的项表示关节 1的加速度对关节 2的稿合惯性力矩项。
(2)含有 12和 22的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：
含有 D122的项表示关节 2速度引起的向心力对关节 l的藕合力矩项；
含有 D211的项表示关节 1速度引起的向心力对关节 2的藕合力矩项。
(3)含有 1,2的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,
其中：
含有 D112的项表示哥氏力对关节 1的精合力短项；
含有 D212的项表示哥氏力对关节 2的精合力矩项。
(4)只含关节变量 θ1,θ2的项表示重力引起的关节力矩项。其中：
含有 Dl的项表示连杆 1、连杆 2的质量对关节 1引起的重力矩项；
含有 D2的项表示连杆 2的质量对关节 2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机器人其动力学方程已经很复杂了，包含很多因素，些因素都在影响机器人的切力学特性。
对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方更庞杂了，
推导过程也更为复杂。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通常，有一些儒化问题的方法：
(1)当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；
(2)当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有 12 2 2 1 2等项可以省略；
(3)当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含 1 2的项有可能给予省略。当然,关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，
延长了机器人作业循环的时间。
三、关节空间和操作空间动力学
1.关节空间和操作空间
n个自由度操作臂的末端位姿 X由 n个关节变量所决定,这 n个关节变量也叫做 n维关节矢量 q所有关节矢量 q构成了关节空间。而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿 X是在直角坐标空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程 X=X(q)
就是关节空间向操作空间的映射，而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原像。在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应关系。
2.关节空间动力学方程将式 (3-26),(3-27)及式 (3-28)、
(3-29)写成矩阵形式，则
式 (3-30)就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩与关节变量、速度、
加速度之间的函数关系。对于 n个关节的操作臂,D(q)
是 n× n的正定对称矩阵,是 q的函数，称为操作臂的惯性矩阵； H(q,)是 n× 1的离心力和哥氏力矢量； G(q)是
n× 1的重力矢量，与操作臂的形位守有关。
3.操作空间动力学方程
与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可以用直角坐标变量即末端操作器位姿的矢量 X
来表示机器人动力学方程。因此，操作力 F与末端加速度 X之间的关系可表示为
q?
式中 Mx(q)Ux(q,)和 Gx(q)分别为操作空间中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量,它们都是在操作空间中表示的； F是广义操作力矢量。
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力 F与广义关节力 τ之间的关系和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系求出。
q?
也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩 (驱动力 )作用下将发生运动变化。在本章中，我们不涉及较深的理论，将通过深入浅出的介绍使读者对工业机器人在实际作业中遇到的静力学问题和动力学问题有一个最基本的了解，也为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础 。
§ 3-1工业机器人速度雅可比与速度分析
一、工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵 (Jacobianmatrix)是一个多元函数的偏导矩阵。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即也可写成将其微分，得也可简写成式 (3-3)中 (6x6)矩阵叫 δF/δX 做雅可比矩阵
在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。
图 3-1为二自由度平面关节机器人。端点位置 x,y与关节 θ1,θ2
的关系为
我们将 J称为图 3-1所示二自由度平面关节机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移 dx的关系。
若对式 (3-7)进行运算，则 2R机器人的雅可比写为
从 J中元素的组成可见,J阵的值是 θl及 θ2的函数。
对于 n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变量,q
表示 q=[q1q2...qn]T，节为转动关节时,qi=θi,当关节为移动关节时，
qi=di,dq=[dq1dq2…dqn] T反映了关节空间的微小运动，机器人末端在操作空间的位置和方位可用来端手爪的位姿 X表示，它是关节变量占的函数,x=x(q),并且是一个 6维列矢量,
反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移 (微小转动 )组成。因此，式 (3-8)可写为
式中 J(q)是 6× n的偏导数矩阵，称为 n自由度机器人速度雅可比矩阵。它的第 i行第 j列元素为
二、工业机器人速度分析
对式 (3-10)左、右两边各除以 dt得或
对于图 3-1所示 2R机器人来说,J(q)是式 (3-9)所示的 2× 2矩阵。若令 J1,J2分别为式 (3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式 (3-13)可写成,
式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度，总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。
图 3-1所示二自由度机器人手部速度为假如已知关节上 1及 2是时间的函数 1 =f1(t),2=f2(t),
则可求出该机器人手部在某一时刻的速度 y=r(Z),即手部瞬时速度。
反之,假如给定机器人手部速度,可由式 (3-13)解出相应的关节速度,
式中,J-l称为机器人逆速度雅可比。
式 (3-14)是一个很重要的关系式。例如，我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式 (3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。但是，一般来说，求逆速度雅可比 J-1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。
通常我们可以看到机器人逆速度雅可比 J-l出现奇异解的两种情况：
(1)工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。
(2)工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在空间某个方向 (或子域 )上，不管机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。
例 3-1 如图 3-2所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以 1.0m/s速度移动，杆长为 l1 =l2=0.5m。设在某瞬时 θ1 =,θ2 =-
，求相应瞬时的关节速度。
30
60
奇异讨论：从式 (3-15)知，当 l1l2s2=0时，式 (3-15)无解。当
即 θ2=0或 θ2=180。时,二自由度机器人逆速度雅可比
J-1奇异。这时，该机器人二臂完全伸直，或完全折回，机器人处于奇异形位。在这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上,
手部只能沿着一个方向 (即与臂垂直的方向 )运动，不能沿其它方向运动，退化了一个自由度。
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，
机器人速度雅可比 J是一个 6X6矩阵，在和 q分别是 6× 1列阵，即
v(6x1)=J(q)(6x6)q(6x1) 。手部速度矢量 y是由 3× 1线速度矢量和 3X1角速度矢量组合而成的 6维列矢量。关节速度矢量生是由 6个关节速度组合；而成的 6维列矢量。雅可比矩阵 J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵 J的每一列则代表相应关节速度 qi对手部线速度和角速度的传递比。
02,01 ll
§ 3-2工业机器人力雅可比与静力计算
机器人作业时与外界环境的接触会在机器人与环境之间引起相互的作用力和力矩。机器辈人各关节的驱动装置提供关节力矩
(或力 )，通过连杆传递到末端操作器，克服外界作用力和力摩矩 5
各关节的驱动力矩 (或力 )与末端操作器施加的力 (广义力，包括力和力矩 )之间的关系是机，因器人操作臂力控制的基础。本节讨论操作臂在静止状态下力的平衡关系。我们假定各关节“锁住”，
机器人成为一个机构。这种“锁定用”的关节力矩与手部所支持的载荷或受到外界环境作用的力取得静力平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力矩作用下手部的输卡出力就是对机器人操作臂的静力计算。
一、操作臂中的静力胁这里以操作臂中单个杆件为例分析受力情况，如图 3-3所示，杆件 i通过关节 i和 i+1别与杆件 i-1和 i+1相连接,
两个坐标系 {i-1}和 {i}分别如图所示。
假如己却才卡界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆向零连杆 (机座 )依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
为了便于去示机器人手部端点的力和力矩 (简称为端点力 F)，可将
fn,n+1和 nn,n+l合并写一个 6维矢量：
各关节驱动器驱动力或力矩可写成一个 n维矢量的形式，即
式中,n—— 关节的个数
τ—— 关节力矩（或关节力）矢量，简称广义关 节力矩,
对于转动关节,τi表示关节驱动力矩，对于移动关节,τi表示关节驱动力。
二、机器人力雅可比假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩 τ
与机器人手部端点力 F的关系可用下式描述,
τ = JT F (3-20)
式中 JT为 n× 6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。
上式可用下述虚功原理证明：
证明 考虑各个关节的虚位移为 δqi，末端操作器的虚位移为
δx，如图 3-4所示。
式中,d=[dxdydz]T和 δ =[δφx δ φy δ φz]分别对应于末端操作器的虚线位移； δq为由各关节虚位移在 δq组成的机器人关节虚位移矢量。
假设发生上述虚位移时，各关节力矩为 τi (I=1,2,n),环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为 - fn,n+1和 nn,n+l。 由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出,
三、机器人静力计算的两类
问题 i从操作臂手部端点力 F与广义关节力矩 τ之间的关系式 τ
=JTF可知，操作臂静力计算可分为两类问题：
(1)已知外界环境对机器人手部作用力 (即手部端点力
F=- ),求相应的满足静力 1平衡条件的关节驱动力矩 τ。
(2)已知关节驱动力矩 τ，确定机器人手部对外界环境的作用力 F或负荷的质量。
这类问题是第一类问题的逆解。这时
F=(JT)-1 τ
但是，由于机器人的自由度可能不是 6，比如扫 >6，力雅可比短阵就有可能不是一个方阵，则 JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果 F的维数比 τ的维数低，且 J是满秩的话，则可利用最小二乘法求得 F的估值。
'F
'F
例 3-2 由图 3-5所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力 F=[FxFy]T，求相应于端点力万的关节力矩（不考虑摩擦）。
§ 3-3工业机器人动力学分析
随着工业机器人向重载、高速、高精度以及智能化方向的发展，
对工业机器人设计和控制都提出了新的要求。特别是在控制方面，
机器人的动态实时控制是机器人发展的必然要求。因此，需要对机器人的动力学进行分析。机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。
因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两类：
(1)给出已知的轨迹点上的,,及,即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量 τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向
量 τ,求机器人所产生的运动,及 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。
分析模拟机器人动力学特性的方法很多，有拉格朗日
(Lagrange)方法，牛顿 -欧拉 (Newton·Euler)方法，高斯 (Gauss)方法，
凯恩 (Kane)方法等。拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解机器人动力学比较方便。因此，本节只介绍拉格朗日方法，而且用简单实例进行分析。
一、拉格朗日方程
1.拉格朗日函数
拉格朗日函数 L的定义是一个机械系统的动能 Ek和势能 Ep之差,
即
L=Ek一 Ep (3-24)
令,qi(i=1,2,...n)是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，
qi是相应的广义关节速度。由于系统动能 Ek是 qi和 i的函数，系统势能 Eq和 qi的函数，因此拉格朗日函数也是 qi和 i 的函数。
q?
q?
2.拉格朗日方程
系统的拉格朗日方程为
式中,Fi称为关节广义驱动力。如果是移动关节,则 Fi为驱动力,如果是转动关节,则 Fi为驱动力矩。
3.用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤：
(1)选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量 qi,i=1,2,...n。
(2)选定相应的关节上的广义力 Fi：当 qi是位移变量时,则 Fi为力,当
qi正是角度变量时,则 Fi为力矩。
(3)求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。
(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
二、二自由度平面关节机器人动力学方程
1.广义关节变量及广义力的选定
如图 3-6所示，选取笛卡尔坐标系。连杆 1和连杆 2的关节变量分别为转角 θl和 θ2，相应的关节 1和关节 2的力矩是 r1和 r2。连杆 1
和连杆 2的质量分别是阴 l和刑 2，杆长分别为 τ1和 τ2,质心分别在 kl
和 k2处，离关节中心的距离分别为 p1和 p2。因此，杆 1质心 k1的位置坐标为。
杆 1质心 k1速度平方为杆 2质心 k2速度平方为
式 (3-26),(3-27)及式 (3-28),(3-29)分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系,
称为图 3-6所示二自由度机器人的动力学方程。对其进行分析可知：
(1)含有 l或 2的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中：
含有 D11和 D22的项分别表示由于关节 1加速度和关节 2加速度引起的惯性力矩项 ;
含有 Dl2的项表示关节 2的加速度对关节 1的搞合惯性力矩项：
含有 D2l的项表示关节 1的加速度对关节 2的稿合惯性力矩项。
(2)含有 12和 22的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：
含有 D122的项表示关节 2速度引起的向心力对关节 l的藕合力矩项；
含有 D211的项表示关节 1速度引起的向心力对关节 2的藕合力矩项。
(3)含有 1,2的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,
其中：
含有 D112的项表示哥氏力对关节 1的精合力短项；
含有 D212的项表示哥氏力对关节 2的精合力矩项。
(4)只含关节变量 θ1,θ2的项表示重力引起的关节力矩项。其中：
含有 Dl的项表示连杆 1、连杆 2的质量对关节 1引起的重力矩项；
含有 D2的项表示连杆 2的质量对关节 2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机器人其动力学方程已经很复杂了，包含很多因素，些因素都在影响机器人的切力学特性。
对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方更庞杂了，
推导过程也更为复杂。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通常，有一些儒化问题的方法：
(1)当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；
(2)当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有 12 2 2 1 2等项可以省略；
(3)当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时，那么含 1 2的项有可能给予省略。当然,关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，
延长了机器人作业循环的时间。
三、关节空间和操作空间动力学
1.关节空间和操作空间
n个自由度操作臂的末端位姿 X由 n个关节变量所决定,这 n个关节变量也叫做 n维关节矢量 q所有关节矢量 q构成了关节空间。而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿 X是在直角坐标空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程 X=X(q)
就是关节空间向操作空间的映射，而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原像。在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应关系。
2.关节空间动力学方程将式 (3-26),(3-27)及式 (3-28)、
(3-29)写成矩阵形式，则
式 (3-30)就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩与关节变量、速度、
加速度之间的函数关系。对于 n个关节的操作臂,D(q)
是 n× n的正定对称矩阵,是 q的函数，称为操作臂的惯性矩阵； H(q,)是 n× 1的离心力和哥氏力矢量； G(q)是
n× 1的重力矢量，与操作臂的形位守有关。
3.操作空间动力学方程
与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可以用直角坐标变量即末端操作器位姿的矢量 X
来表示机器人动力学方程。因此，操作力 F与末端加速度 X之间的关系可表示为
q?
式中 Mx(q)Ux(q,)和 Gx(q)分别为操作空间中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量,它们都是在操作空间中表示的； F是广义操作力矢量。
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力 F与广义关节力 τ之间的关系和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系求出。
q?
