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§ 1.2 n阶行列式一、排列与逆序二,n阶行列式的定义上页 下页 铃结束返回首页
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
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一、排列与逆序排列由 n个不同数码 1?2 n组成的有序数组 i1i2in 称为一个 n级排列?
定义 1?1(逆序数 )
在 n级数排列 i1isitin中? 如果 is?it? 则称 is与 it构成一个逆序? 排列 i1i2 in中逆序的总数称为逆序数?记为 N(i1i2 in)?
例如? 1234和 3421都是 4级排例? 25431是一个 5级排列?
奇排列与偶排列如果逆序数 N(i1i2in)是奇数?则排列 i1i2 in称为奇排列?
如果逆序数 N(i1i2in)是偶数或 0?则排列 i1 i2 in称为偶排列?
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一、排列与逆序排列由 n个不同数码 1?2 n组成的有序数组 i1i2in 称为一个 n级排列?
定义 1?1(逆序数 )
在 n级数排列 i1isitin中? 如果 is?it? 则称 is与 it构成一个逆序? 排列 i1i2 in中逆序的总数称为逆序数?记为 N(i1i2 in)?
奇排列与偶排列如果逆序数 N(i1i2in)是奇数?则排列 i1i2 in称为奇排列?
如果逆序数 N(i1i2in)是偶数或 0?则排列 i1 i2 in称为偶排列?
N(25431)?7?
3421是奇排列?N(3421)?5?1234是偶排列?N(1234)?0?
25431是奇排列?
下页上页 下页 铃结束返回首页对换在一个排列 i1isitin中? 将数码 is与 it对调? 就得到另一个排列 i1itisin?这样的变换称为一个对换?记为对换 (it?is)?
举例? 对排列 21354施以对换 (1?4)后得到排列 24351?
提问? 排列 21354与排列 24351的奇偶性如何?
定理 1?1
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变?
(1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变?证?
下页上页 下页 铃结束返回首页对换在一个排列 i1isitin中? 将数码 is与 it对调? 就得到另一个排列 i1itisin?这样的变换称为一个对换?记为对换 (it?is)?
定理 1?1
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变?
(1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变?证?
(2)设排列ik1k2ks j经过对换 (i? j)变为jk1k2ksi
这个变换可以按如下方法完成? j与前面 s?1个数码逐个对换? 然后 i与后面 s个数码逐个对换?
按上述方法? 总共进行了 2s?1次相邻数码的对换? 因为相邻数码的对换的次数为奇数? 所以最后得到的排列与原排列的奇偶性不同?
下页上页 下页 铃结束返回首页对换在一个排列 i1isitin中? 将数码 is与 it对调? 就得到另一个排列 i1itisin?这样的变换称为一个对换?记为对换 (it?is)?
定理 1?1
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变?
定理 1?2
n个数码 (n?1)共有 n!个 n级排列?其中奇偶排列各占一半?
这是因为? 一方面? n级排列的总数为 n?(n?1) 2?1?n!?
另一方面? 有排列 i1isitin? 必有排列 i1itisin? 两者的奇偶性不同?所以奇偶排列数相等?各占一半?
首页上页 下页 铃结束返回首页二,n阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式?
211222112221 1211 aaaaaa
aa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32
a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31?
(1)它们的项数与阶数有什么关系?
(2)各项的一般形式怎样?
(3)各项的符号与下标有怎样的关系?
定义 n阶行列式时应保留二、三阶行列式的性质?
下页上页 下页 铃结束返回首页二,n阶行列式的定义定义 1?2(n阶行列式 )
用 n2个元素 aij (i? j?1? 2 n)组成的记号
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
称为 n阶行列式?它表示代数和
nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
其中和式中的排列 j1j2jn要取遍所有 n级排列?
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21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
n阶行列式共有 n!项? 且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半?
在行列式中? nnjjj aaa21 21 是 取自不同 行 不同 列 的 n 个元素的乘积?
nnjjj aaa21 21 之 前 的 符 号 是 )( 21)1( njjjN
行列式有时简记为 |aij|? 一阶行列式 |a|就是 a?
说明?
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21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
提问?
四阶行列式表示的代数和有多少项有 4!?24项?
(?1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项?
(?1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项是?
不是?
对 于 四 阶行列式
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
问?
下页上页 下页 铃结束返回首页我们要求出展开式中非零的乘积项?解?
要使取自不同行不同列的 n个元素的乘积不一定为零?
例 1? 计算 n阶下三角形行列式的值? 其中 aii?0(i?1?2 n)?
0
00
000
321
333231
2221
11
nnnnn aaaa
aaa
aa
a
D
第 n行只能取 ann?
第三行只能取 a33?第二行只能取 a22?第一行只能取 a11
这样的乘积项只有一个?即 a11a22a33ann?
因此
D?(?1)N(123 n)a11a22a33ann?a11a22a33ann?
下页上页 下页 铃结束返回首页下 三 角 行 列 式? nn
nnnnn
aaa
aaaa
aaa
aa
a
0
00
000
2211
321
333231
2221
11
结论?
上 三 角 行 列 式? nn
nn
n
n
n
aaa
a
aa
aaa
aaaa
000
00
0
2211
333
22322
1131211
对 角 行 列 式? nn
nn
aaa
a
a
a
a
000
000
000
000
2211
33
22
11
下页上页 下页 铃结束返回首页定理 1?3
n阶行列式 D?|aij|的一般项可以记为
nn
nn jijijijjjNiiiN aaa
2211
2121 )()()1(?
其中 i1 i2 in与 j1 j2 jn均为 n级排列?
这是因为? 乘积项中的任意两个元素进行对换后? 乘积项的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化? 所以对换前后行标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变?因此?
若 nn jijiji aaa 2211 经若干次对换变成为 nnkkk aaa21 21? 则
nn
nn jijijijjjNiiiN aaa
2211
2121 )()()1(
n
n nkkkkkkNnN aaa
21
21 21)()12()1(
n
n nkkkkkkN aaa
21
21 21)()1(?
n
n nkkkkkkNnN aaa
21
21 21)()12()1(
n
n nkkkkkkN aaa
21
21 21)()1(?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2? 若 (?1)N(i 432k )?N(52 j 14)ai5a42a3j a21ak4是五阶行列式 |aij|
的一项?则 i? j? k应为何值? 此时该项的符号是什么?
该项前应冠以正号?
解? 由行列式定义?每一项中的元素取自不同行不同列?
故有 j?3? 或 i?5时 k?1?且有 i?1时 k?5?
当 i?1? j?3? k?5时? (?1)N(14325)?N(52314)?(?1)91?
该项前应冠以负号a15a42a33 a21ak4为 |aij|的一项?
当 i?5? j?3? k?1时? (?1)N(54321)?N(52314)?(?1)16?1?
所以所以所以 a55a42a33 a21a14也为 |aij|的一项?
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 第一列取 a21后? 第三列只能取 a43? 第四列只能取 a14?
第二列只能取 a32? 所以
(?1)3?21?1?1?1?11?
D?(?1)N(2413)?N(1342)a21a43a14a32
例 3? 用行列式定义计算行列式?
1100
0010
0101
1010
D?
结束
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11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
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一、排列与逆序排列由 n个不同数码 1?2 n组成的有序数组 i1i2in 称为一个 n级排列?
定义 1?1(逆序数 )
在 n级数排列 i1isitin中? 如果 is?it? 则称 is与 it构成一个逆序? 排列 i1i2 in中逆序的总数称为逆序数?记为 N(i1i2 in)?
例如? 1234和 3421都是 4级排例? 25431是一个 5级排列?
奇排列与偶排列如果逆序数 N(i1i2in)是奇数?则排列 i1i2 in称为奇排列?
如果逆序数 N(i1i2in)是偶数或 0?则排列 i1 i2 in称为偶排列?
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一、排列与逆序排列由 n个不同数码 1?2 n组成的有序数组 i1i2in 称为一个 n级排列?
定义 1?1(逆序数 )
在 n级数排列 i1isitin中? 如果 is?it? 则称 is与 it构成一个逆序? 排列 i1i2 in中逆序的总数称为逆序数?记为 N(i1i2 in)?
奇排列与偶排列如果逆序数 N(i1i2in)是奇数?则排列 i1i2 in称为奇排列?
如果逆序数 N(i1i2in)是偶数或 0?则排列 i1 i2 in称为偶排列?
N(25431)?7?
3421是奇排列?N(3421)?5?1234是偶排列?N(1234)?0?
25431是奇排列?
下页上页 下页 铃结束返回首页对换在一个排列 i1isitin中? 将数码 is与 it对调? 就得到另一个排列 i1itisin?这样的变换称为一个对换?记为对换 (it?is)?
举例? 对排列 21354施以对换 (1?4)后得到排列 24351?
提问? 排列 21354与排列 24351的奇偶性如何?
定理 1?1
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变?
(1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变?证?
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定理 1?1
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变?
(1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变?证?
(2)设排列ik1k2ks j经过对换 (i? j)变为jk1k2ksi
这个变换可以按如下方法完成? j与前面 s?1个数码逐个对换? 然后 i与后面 s个数码逐个对换?
按上述方法? 总共进行了 2s?1次相邻数码的对换? 因为相邻数码的对换的次数为奇数? 所以最后得到的排列与原排列的奇偶性不同?
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定理 1?1
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变?
定理 1?2
n个数码 (n?1)共有 n!个 n级排列?其中奇偶排列各占一半?
这是因为? 一方面? n级排列的总数为 n?(n?1) 2?1?n!?
另一方面? 有排列 i1isitin? 必有排列 i1itisin? 两者的奇偶性不同?所以奇偶排列数相等?各占一半?
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211222112221 1211 aaaaaa
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aaa?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32
a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31?
(1)它们的项数与阶数有什么关系?
(2)各项的一般形式怎样?
(3)各项的符号与下标有怎样的关系?
定义 n阶行列式时应保留二、三阶行列式的性质?
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用 n2个元素 aij (i? j?1? 2 n)组成的记号
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称为 n阶行列式?它表示代数和
nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
其中和式中的排列 j1j2jn要取遍所有 n级排列?
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nnnn
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aaa
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nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
n阶行列式共有 n!项? 且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半?
在行列式中? nnjjj aaa21 21 是 取自不同 行 不同 列 的 n 个元素的乘积?
nnjjj aaa21 21 之 前 的 符 号 是 )( 21)1( njjjN
行列式有时简记为 |aij|? 一阶行列式 |a|就是 a?
说明?
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nnnn
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nn njjjjjjN aaa 2121 21)()1(?
提问?
四阶行列式表示的代数和有多少项有 4!?24项?
(?1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项?
(?1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项是?
不是?
对 于 四 阶行列式
44434241
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aaaa
aaaa
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问?
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要使取自不同行不同列的 n个元素的乘积不一定为零?
例 1? 计算 n阶下三角形行列式的值? 其中 aii?0(i?1?2 n)?
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nnnnn aaaa
aaa
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第 n行只能取 ann?
第三行只能取 a33?第二行只能取 a22?第一行只能取 a11
这样的乘积项只有一个?即 a11a22a33ann?
因此
D?(?1)N(123 n)a11a22a33ann?a11a22a33ann?
下页上页 下页 铃结束返回首页下 三 角 行 列 式? nn
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结论?
上 三 角 行 列 式? nn
nn
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对 角 行 列 式? nn
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n阶行列式 D?|aij|的一般项可以记为
nn
nn jijijijjjNiiiN aaa
2211
2121 )()()1(?
其中 i1 i2 in与 j1 j2 jn均为 n级排列?
这是因为? 乘积项中的任意两个元素进行对换后? 乘积项的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化? 所以对换前后行标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变?因此?
若 nn jijiji aaa 2211 经若干次对换变成为 nnkkk aaa21 21? 则
nn
nn jijijijjjNiiiN aaa
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2121 )()()1(
n
n nkkkkkkNnN aaa
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21 21)()12()1(
n
n nkkkkkkN aaa
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21 21)()1(?
n
n nkkkkkkNnN aaa
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21 21)()12()1(
n
n nkkkkkkN aaa
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21 21)()1(?
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的一项?则 i? j? k应为何值? 此时该项的符号是什么?
该项前应冠以正号?
解? 由行列式定义?每一项中的元素取自不同行不同列?
故有 j?3? 或 i?5时 k?1?且有 i?1时 k?5?
当 i?1? j?3? k?5时? (?1)N(14325)?N(52314)?(?1)91?
该项前应冠以负号a15a42a33 a21ak4为 |aij|的一项?
当 i?5? j?3? k?1时? (?1)N(54321)?N(52314)?(?1)16?1?
所以所以所以 a55a42a33 a21a14也为 |aij|的一项?
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第二列只能取 a32? 所以
(?1)3?21?1?1?1?11?
D?(?1)N(2413)?N(1342)a21a43a14a32
例 3? 用行列式定义计算行列式?
1100
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结束
