一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系
§ 2.1 导数概念上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
t
tfttf
t
sv
)()( 00?
一、引例设物体作直线运动所经过的路程为 s?f(t)?
以 t0为起始时刻? 物体在?t时间内的平均速度为此 平均速度可以作为物体在 t0时刻的速度的近似值?
t越小? 近似的程度就越好?
因此当?t?0时? 极限
1.直线运动的速度
t
tfttf
t
sv
ttt?
)()(limlimlim 00
000
就是物体在 t0时刻 的瞬时速度?
下页上页 下页 铃结束返回首页求曲线 y?f(x)在点 M(x0? y0)处的切线的斜率?
在曲线上另取一点 N(x0x? y0y)? 作割线 MN?
设其倾角为 j? 观察切线的形成?
2.切线问题当?x?0时? 动点 N将沿曲线趋向于定点 M? 从而割线
MN也将随之变动而趋向于切线 MT?
此时割线 MN的斜率趋向于切线 MT的斜率?
动画演示
x
y
xx?
00
l i mt a nl i mt a n j?
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0
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x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)( 00
000?
二、导数的定义存在? 则称函数 f(x)在点 x0处可导? 并称此极限值为函数
f(x)在点 x0处的导数? 记为 f?(x0)? 即
x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)( 00
000?
下页设函数 y?f(x)在点 x0的某个邻域内有定义? 如果极限
导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数如果上述极限不存在? 则称函数 f(x)在点 x0处不可导?
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导数的其它符号下页
导数的其它定义式
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
0
| xxy
0
xxdx
dy
或
0
)(
xxdx
xdf
导数的定义式,
x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)( 00
000?
上页 下页 铃结束返回首页例 1 求函数 y?x2在点 x?2处的导数?
解
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
x
x
x
fxff
xx?
22
00
2)2(lim)2()2(lim)2(
4)4(lim 0 xx
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
xxxx fxff
xxx
或
x
x
x
fxff
xx?
22
00
2)2(lim)2()2(lim)2(
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
xxxx fxff
xxx
4)2(lim22lim2 )2)(lim)2(
2
22
22
xxxx fxff
xxx
下页
x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)( 00
000?
导数的定义式,
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h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)( 00
000?
导数的定义式,
导函数的定义如果函数 y?f(x)在区间 I内每一点 x都对应一个导数值?
则这一对应关系所确定的函数称为函数 y?f(x)的导函数?
简称导数? 记作
y )( xf dxdy? 或 dx xdf )(?
提问,导函数的定义式如何写? f?(x0)与 f?(x)是什么关系?
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h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
例 2 求函数 f(x)?C 的导数 (C为常数 )?
解即 (C)0?
解? f? ( x ) h xfhxfh )()(lim 0 0l i m 0 h CCh? 解? f?( x ) h xfhxfh )()(lim 0 0lim 0 h CCh?
下页
2.求导数举例解例 2? 求 xxf 1)(? 的 导 数?
例 3
200
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
2
00
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
上页 下页 铃结束返回首页解? h xhxh xfhxfxf hh 00 lim)()(lim)(
解例 3? 求 xxf?)( 的导数?
例 4
解? h xhxh xfhxfxf hh 00 lim)()(lim)(
xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00
下页
2.求导数举例
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx?
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( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
2.求导数举例解? f? ( a ) ax afxf
ax?
)()(lim
ax
ax nn
ax?
l i m
例 5 求函数 f(x)?x n (n为正整数 )在 x?a处的导数?
更一般地? 有
(x?)x1(其中?为常数 )?
把以上结果中的 a换成 x得 f?(x)?nxn?1? 即 (xn)nxn?1?
解
nan?1?
解? f ( a ) ax afxf
ax?
)()(lim
ax
ax nn
ax?
lim
(xn?1?axn?2an?1)
axlim
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( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
2.求导数举例例 6 求函数 f(x)?sin x的导数?
解解? f? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
2s i n)2c o s (2
1lim
0
hhx
hh
x
h
h
hx
h
c o s
2
2
s i n
)
2
c o s (lim
0
解? f? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
x
h
h
hx
h
c o s
2
2
s in
)
2
c o slim
0
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(sin x)cos x? 同理可得 (cos x)sin x?
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
2.求导数举例例 7 求函数 f(x)?ax(a>0? a?1)的导数?
解解? f? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
h
aa xhx
h
0
lim 解? f?( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
h
aa xhx
h
0
lim
h
aa h
h
x 1lim
0
ta h 1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
h
aa h
h
x 1lim
0
ta h1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
h
aa h
h
x 1lim
0
ta h?1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
aaea x
a
x ln
l o g
1
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(sin x)cos x? (cos x)sin x?
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
(ax)axln a? 特别地有 (ex )ex?
2.求导数举例例 8 求对数函数 y?log ax的导数?
解解? h xhxxf aa
h
l o g)(l o gl i m)(
0
)1(l og1l i m
0 x
h
h ah 解? h
xhxxf aa
h
lo g)(lo glim)(
0
)1(log1lim
0 x
h
h ah
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
ax
ex a ln1log1 h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
ax
ex a ln1log1
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(sin x)cos x? (cos x)sin x?
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
(ax)axln a?
axxa ln
1)( lo g
xx
1)( ln
2.求导数举例以上得到的是部分基本初等函数的导数公式?
下页
axxa ln
1)( lo g
xx
1)( ln
特别地有特别地有 (ex )ex?
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3.单侧导数
导数与单侧导数的关系函数 f(x)在开区间 (a? b)内可导是指函数在区间内每一点可导?
函数 f(x)在闭区间 [a? b]上可导是指函数 f(x)在开区间
(a? b)内可导? 且在 a点有右导数、在 b点有左导数?
函数在区间上的可导性
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
Axf )( 0? Axfxf )()( 00?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 9 求函数 f(x)?|x|在 x?0处的导数?
导数与单侧导数的关系
Axf )( 0? Axfxf )()( 00?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
h
fhff
hh
因为 f(0)? f(0)?
解? 1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
h
fhff
hh
解所以函数 f(x)?|x|在 x?0处不可导?
解? 1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
fhff
hh
1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
h
fhff
hh
3.单侧导数首页上页 下页 铃结束返回首页三、导数的几何意义导数 f?(x0)在几何上表示曲线 y?f(x) 在点 M(x0? f(x0))
处的切线的斜率? 即
f?(x0)?tan
其中?是切线的倾角?
)()(1 0
00
xxxfyy
切线方程为?
y?y0?f?(x0)(x?x0)?
法线方程为?
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 21xy
解所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程?
例 10
例 8? 求等边双曲线 xy 1? 在点 )2,21( 处的切线的斜率?
所求切线及法线的斜率分别为
4)1(
2
121xxk? 411
1
2 kk?
所求切线方程为
)21(42 xy?
即 4x?y?4?0?
)21(412 xy?
即 2x?8y?15?0?
4)1(
2
12xxk? 411
1
2 kk?
下页上页 下页 铃结束返回首页首页例 9 求曲线 xxy? 的通过点 (0 4) 的切线方程?
例 11
设切点的横坐标为 x0?解
02
1
2
3
0 2
3
2
3)()(
0
xxxxf xx
于是所求切线的方程可设为
)(23 0000 xxxxxy
已知点 (04)在切线上?所以
)0(234 0000 xxxx
解之得 x0?4?
)4(42344 xy? 即 3 x? y? 4? 0?
于是所求切线的方程为则切线的斜率为
02
1
2
3
0 2
3
2
3)()(
0
xxxxf x 02123 2323)()(
0
xxxf xx
)4(42344 xy? 即 3 x? y? 4? 0?
上页 下页 铃结束返回首页四、函数的可导性与连续性的关系
结论如果函数 y?f(x)在点 x0处可导? 则它在点 x0处连续?
这是因为应注意的问题,
这个结论的逆命题不成立? 即函数 y?f(x)在点 x0处连续? 但在点 x0处不一定可导?
00)(limlimlimlim 00000 xfxxyxxyy xxxx? 00)(limlimlimlim 00000 xfxxyxy xxxx? 00)(limlimlimlim 00000 xfxxyxxyy xxxx? 0)(limlimlimlim 00000 xfxxyxxy xxxx?
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连续但不可导的函数例 7,函数 3)( xxf? 在区间 (, ) 内连续?
但在点 x?0处不可导?
例 12
h
fhf
h
)0()0(lim
0
h
h
h
0lim 3
0
h fhf
h
)0()(lim
0
h
h
h
0lim 3
0
h fhf
h
)0()(lim
0
h
h
h
0lim 3
0
例 13 函数 y?|x|在区间 ()内连续?但在点 x?0处不可导?
这是因为函数在点 x?0处导数为无穷大?>>>
结束
§ 2.1 导数概念上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
t
tfttf
t
sv
)()( 00?
一、引例设物体作直线运动所经过的路程为 s?f(t)?
以 t0为起始时刻? 物体在?t时间内的平均速度为此 平均速度可以作为物体在 t0时刻的速度的近似值?
t越小? 近似的程度就越好?
因此当?t?0时? 极限
1.直线运动的速度
t
tfttf
t
sv
ttt?
)()(limlimlim 00
000
就是物体在 t0时刻 的瞬时速度?
下页上页 下页 铃结束返回首页求曲线 y?f(x)在点 M(x0? y0)处的切线的斜率?
在曲线上另取一点 N(x0x? y0y)? 作割线 MN?
设其倾角为 j? 观察切线的形成?
2.切线问题当?x?0时? 动点 N将沿曲线趋向于定点 M? 从而割线
MN也将随之变动而趋向于切线 MT?
此时割线 MN的斜率趋向于切线 MT的斜率?
动画演示
x
y
xx?
00
l i mt a nl i mt a n j?
x
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x?
)()(lim 00
0
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x
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000?
二、导数的定义存在? 则称函数 f(x)在点 x0处可导? 并称此极限值为函数
f(x)在点 x0处的导数? 记为 f?(x0)? 即
x
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yxf
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)()(limlim)( 00
000?
下页设函数 y?f(x)在点 x0的某个邻域内有定义? 如果极限
导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数如果上述极限不存在? 则称函数 f(x)在点 x0处不可导?
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导数的其它符号下页
导数的其它定义式
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
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0 xx
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导数的定义式,
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上页 下页 铃结束返回首页例 1 求函数 y?x2在点 x?2处的导数?
解
h
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h
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0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
x
x
x
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2)2(lim)2()2(lim)2(
4)4(lim 0 xx
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
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或
x
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22
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2)2(lim)2()2(lim)2(
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
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xfxxf
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yxf
xx?
)()(limlim)( 00
000?
导数的定义式,
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h
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h
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00
0
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0 xx
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xx?
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x
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000?
导数的定义式,
导函数的定义如果函数 y?f(x)在区间 I内每一点 x都对应一个导数值?
则这一对应关系所确定的函数称为函数 y?f(x)的导函数?
简称导数? 记作
y )( xf dxdy? 或 dx xdf )(?
提问,导函数的定义式如何写? f?(x0)与 f?(x)是什么关系?
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h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
例 2 求函数 f(x)?C 的导数 (C为常数 )?
解即 (C)0?
解? f? ( x ) h xfhxfh )()(lim 0 0l i m 0 h CCh? 解? f?( x ) h xfhxfh )()(lim 0 0lim 0 h CCh?
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2.求导数举例解例 2? 求 xxf 1)(? 的 导 数?
例 3
200
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
2
00
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
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lim)()(lim)(
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解例 3? 求 xxf?)( 的导数?
例 4
解? h xhxh xfhxfxf hh 00 lim)()(lim)(
xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00
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2.求导数举例
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx?
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( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
2.求导数举例解? f? ( a ) ax afxf
ax?
)()(lim
ax
ax nn
ax?
l i m
例 5 求函数 f(x)?x n (n为正整数 )在 x?a处的导数?
更一般地? 有
(x?)x1(其中?为常数 )?
把以上结果中的 a换成 x得 f?(x)?nxn?1? 即 (xn)nxn?1?
解
nan?1?
解? f ( a ) ax afxf
ax?
)()(lim
ax
ax nn
ax?
lim
(xn?1?axn?2an?1)
axlim
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( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
2.求导数举例例 6 求函数 f(x)?sin x的导数?
解解? f? ( x ) h xfhxf
h
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0
h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
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解? f? ( x ) h xfhxf
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0
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0
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0
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(sin x)cos x? 同理可得 (cos x)sin x?
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
2.求导数举例例 7 求函数 f(x)?ax(a>0? a?1)的导数?
解解? f? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
h
aa xhx
h
0
lim 解? f?( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
h
aa xhx
h
0
lim
h
aa h
h
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0
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)1(lo glim 0 t
ta
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0
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ta
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h
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)1(lo glim 0 t
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(sin x)cos x? (cos x)sin x?
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
(ax)axln a? 特别地有 (ex )ex?
2.求导数举例例 8 求对数函数 y?log ax的导数?
解解? h xhxxf aa
h
l o g)(l o gl i m)(
0
)1(l og1l i m
0 x
h
h ah 解? h
xhxxf aa
h
lo g)(lo glim)(
0
)1(log1lim
0 x
h
h ah
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
ax
ex a ln1log1 h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
ax
ex a ln1log1
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(sin x)cos x? (cos x)sin x?
( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx x )( 1) x? ( C )? 211( xx xx 2 1)( 1)( xx? ( C ) 0? 21)1( xx xx 2 1) 1)( xx?
(ax)axln a?
axxa ln
1)( lo g
xx
1)( ln
2.求导数举例以上得到的是部分基本初等函数的导数公式?
下页
axxa ln
1)( lo g
xx
1)( ln
特别地有特别地有 (ex )ex?
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3.单侧导数
导数与单侧导数的关系函数 f(x)在开区间 (a? b)内可导是指函数在区间内每一点可导?
函数 f(x)在闭区间 [a? b]上可导是指函数 f(x)在开区间
(a? b)内可导? 且在 a点有右导数、在 b点有左导数?
函数在区间上的可导性
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
Axf )( 0? Axfxf )()( 00?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 9 求函数 f(x)?|x|在 x?0处的导数?
导数与单侧导数的关系
Axf )( 0? Axfxf )()( 00?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
h
fhff
hh
因为 f(0)? f(0)?
解? 1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
h
fhff
hh
解所以函数 f(x)?|x|在 x?0处不可导?
解? 1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
fhff
hh
1||lim)0()0(lim)0(
00
h
h
h
fhff
hh
3.单侧导数首页上页 下页 铃结束返回首页三、导数的几何意义导数 f?(x0)在几何上表示曲线 y?f(x) 在点 M(x0? f(x0))
处的切线的斜率? 即
f?(x0)?tan
其中?是切线的倾角?
)()(1 0
00
xxxfyy
切线方程为?
y?y0?f?(x0)(x?x0)?
法线方程为?
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 21xy
解所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程?
例 10
例 8? 求等边双曲线 xy 1? 在点 )2,21( 处的切线的斜率?
所求切线及法线的斜率分别为
4)1(
2
121xxk? 411
1
2 kk?
所求切线方程为
)21(42 xy?
即 4x?y?4?0?
)21(412 xy?
即 2x?8y?15?0?
4)1(
2
12xxk? 411
1
2 kk?
下页上页 下页 铃结束返回首页首页例 9 求曲线 xxy? 的通过点 (0 4) 的切线方程?
例 11
设切点的横坐标为 x0?解
02
1
2
3
0 2
3
2
3)()(
0
xxxxf xx
于是所求切线的方程可设为
)(23 0000 xxxxxy
已知点 (04)在切线上?所以
)0(234 0000 xxxx
解之得 x0?4?
)4(42344 xy? 即 3 x? y? 4? 0?
于是所求切线的方程为则切线的斜率为
02
1
2
3
0 2
3
2
3)()(
0
xxxxf x 02123 2323)()(
0
xxxf xx
)4(42344 xy? 即 3 x? y? 4? 0?
上页 下页 铃结束返回首页四、函数的可导性与连续性的关系
结论如果函数 y?f(x)在点 x0处可导? 则它在点 x0处连续?
这是因为应注意的问题,
这个结论的逆命题不成立? 即函数 y?f(x)在点 x0处连续? 但在点 x0处不一定可导?
00)(limlimlimlim 00000 xfxxyxxyy xxxx? 00)(limlimlimlim 00000 xfxxyxy xxxx? 00)(limlimlimlim 00000 xfxxyxxyy xxxx? 0)(limlimlimlim 00000 xfxxyxxy xxxx?
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连续但不可导的函数例 7,函数 3)( xxf? 在区间 (, ) 内连续?
但在点 x?0处不可导?
例 12
h
fhf
h
)0()0(lim
0
h
h
h
0lim 3
0
h fhf
h
)0()(lim
0
h
h
h
0lim 3
0
h fhf
h
)0()(lim
0
h
h
h
0lim 3
0
例 13 函数 y?|x|在区间 ()内连续?但在点 x?0处不可导?
这是因为函数在点 x?0处导数为无穷大?>>>
结束
