二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则
§ 2.2 函数的求导法则上页 下页 铃结束返回首页四、基本求导法则与导数公式上页 下页 铃结束返回首页一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1
如果函数 u?u(x)及 v?v(x)在点 x具有导数?那么它们的和、
差、积、商 (除分母为零的点外 )都在点 x具有导数?并且
])( )([?xv xu )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu
下页
[u(x)?v(x)]u?(x)?v?(x)?
[u(x)?v(x)]u?(x)?v(x)+u(x)?v?(x)?
>>>
>>>
>>>
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求导法则的推广
(u?v?w)uvw
(uvw)u?vw+uv?w+uvw
特殊情况
(Cu)Cu
例 1 y?2x 3?5x 2+3x?7?求 y?
6x 2?10x+32·3x 2?5·2x+3
2(x 3)5(x 2)?+3(x)?
(2x 3)(5x 2)?+(3x)(7)?解 y(2x 3?5x 2+3x?7)?
( u? v ) u v ( uv ) u? v + uv 2)( v vuvuvu
求导法则?
下页上页 下页 铃结束返回首页
xxxxxf sin43)2 (sin)cos4()()( 23+
解例 2
例 2? 2 s i nc os4)( 3+? xxxf? 求 f? ( x ) 及 )2 (?f
443)2 ( 2f?
下页例 3 y?ex (sin x+cos x)? 求 y
2excos x?
解 y(ex)?(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x)?
e x(sin x+cos x)+e x(cos x?sin x)
( u? v ) u v ( uv ) u? v + uv 2)( v vuvuvu
求导法则?
xxxxxf s i n43)2 ( s i n)c os4()(( 23+xxxxxf in43)2 ( s in)c os4()()( 23+
上页 下页 铃结束返回首页
( u? v ) u v ( uv ) u? v + uv 2)( v vuvuvu
求导法则?
xxx xx 222 22 s e cc o s1c o s s inc o s+
用类似方法?还可求得?
(cot x)csc2x? (csc x)csc x cot x?
xxx xx 2222 seccos1cos sincos+ xxx xx 222 22 s ecc s1c os s inc os+
x
xxxx
x
xxy
2c o s
)( c o ss inc o s)( s in)
c o s
s in()( ta n
x
xxxx
x
xxy
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n)
c o s
s i n()( ta n
例 4 y?tan x?求 y
解例 5 y?sec x?求 y
解
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c
x
x
2cos
sinsec x tan x?
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c
x
x
2c o s
s in s e c x ta n x?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、反函数的求导法则
定理 2
如果函数 x?f(y)在某区间 Iy内单调、可导且 f?(y)?0?那么它的反函数 y?f?1(x)在对应区间 Ix?f(Iy)内也可导?并且
)(
1])([ 1
yf
xf
或
dy
dxdx
dy 1
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx?
简要证明 由于 x?f(y)可导 (从而连续 )? 所以 x?f(y)的反函数
y?f?1(x)连续? 当?x?0时y?0?所以详细证明 下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 求 (arctan x)?及 (arccot x)
解 因为 y?arctan x是 x?tan y的反函数? 所以
222 1
1
t a n1
1
s e c
1
)( t a n
1)( a r c t a n
xyyyx +?+ 222 1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1)(arc tan
xyyyx +?+ 222 1
1
ta n1
1
s e c
1
)( ta n
1)( a r c ta
xyy +?+ 222 1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1)(arc tan
xyyyx +?+
类似地有? 21 1)c o ta r c( xx +
例 6 求 (arcsin x)?及 (arccos x)
解 因为 y?arcsin x是 x?sin y的反函数? 所以
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c s in
xyyyx
22 1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
1)(arcsin
xyyyx
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1( a r c s in
xyyx
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c in
xyyx
类似地有? 21 1)( a r c c o s xx
)(
1])([ 1
yfxf
反函数的求导法则,
首页上页 下页 铃结束返回首页
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx?
00
limlim
三、复合函数的求导法则
定理 3
如果 u?g(x)在点 x可导?函数 y?f(u)在点 u?g(x)可导?则复合函数 y?f[g(x)]在点 x可导?且其导数为
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
简要证明
)()(limlim
00
xgufxuuy
xu
则?u?0? 此时有假定 u?j(x)在 x的某邻域内不等于常数?
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx?
00
limlim
)()(lim
00
xgufxuuy
xu
详细证明 下页上页 下页 铃结束返回首页解
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
复合函数的求导法则,
例 10 21 2s in xxy + 求 dxdy?
例 9
解例 8
例 9 3xey 求 dxdy?
3xey?
函数 可看作是由 y?e u? u?x3复合而成的?
322 33 xu exxe
dx
du
du
dy
dx
dy
因此
322 33 xu exe
dx
du
du
dy
dx
dy 322 33 xu exxe
dx
du
du
dy
dx
dy
解 函数 21 2s i n xxy +? 是由 y? s i n u? 21 2 xxu +? 复合而成的?
因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?++?+ 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1()1( )2()1(2c o s xxx xxxudxdududydxdy +?++?+ 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?++?+
下页上页 下页 铃结束返回首页解
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
复合函数的求导法则,
解? )( s ins in1)s in( ln xxxdxdy xxx c o tc o ss in1
例 11
例 12,3 221 xy 求 dxdy?
解? )21()21(31])21[( 23
2
23
1
2 xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
解例 11,ln s in x? 求 dxdy?
例 10
解? )( s ins in1)( l xxdxdy xxx c o tc o ss in1 解? )s ins in1)s in( ln xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 解? )(s ins in1)s in(ln xxxdxdy xxx c o tc o ss in1
解? )21()2(31])21[( 23
2
23
1
2 xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
解? )21()21(
3
1])21[( 2322312 xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形?
例如?设 y?f(u)?u?j(v)?v(x)?则
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
下页上页 下页 铃结束返回首页例 13,y? ln c o s ( e x )? 求 dxdy?
例 12
解? ])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ ln xxx eeedxdy
)t a n ()()]s i n ([)c o s (1 xxxxx eeeee
xex x
1c o s1 1s i n
2
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
复合函数的求导法则,
例 14,xey 1s i n 求 dxdy?
例 13
解解解? )1(1c o s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n xxexeedxdy xxx
解? ])[ c o s (c o s (1])c o s ([ ln xxx eeedxdy
)t a n ()()]s in ([)c o s (1 xxxx eeeee
解? )1(1c o s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n xxexeedxdy xxx 解? )1(1c o s)( s in)( 1s i n1i n1s i n xxeeedxdy xxx
首页上页 下页 铃结束返回首页四、基本求导法则与导数公式
基本初等函数的导数公式
(1) (C)0?
(2) (xm)mxm?1?
(3) (sin x)cos x?
(4) (cos x)sin x?
(5) (tan x)sec2x?
(6) (cot x)csc2x?
(7) (sec x)sec x?tan x?
(8) (csc x)csc x?cot x?
(9) (a x)a x ln a?
(10) (e x)ex?
( 1 1 ) axxa ln1)( l o g
( 1 2 ) xx 1)( l n
( 1 3 ) 21 1)( a r c s i n xx
( 1 4 ) 21 1)( a r c c o s xx
( 1 5 ) 21 1)( a r c ta n xx +
( 1 6 ) 21 1)c o ta r c( xx +
下页上页 下页 铃结束返回首页
函数的和,差,积,商的求导法则
复合函数的求导法则
反函数求导法四、基本求导法则与导数公式
dx
du
du
dy
dx
dy 或 y? ( x )? f? ( u )?g? ( x )? 其 中 y? f ( u )? u? g ( x )?
)0)(( )(1])([ 1 yfyfxf?
( 4 ) 2)( v vuvuvu ( v? 0)?
(1) (u? v)u v
(2) (Cu)Cu?(C是常数 )?
(3) (uv)u?v+u v
下页上页 下页 铃结束返回首页即 (sh x)ch x?
类似地?有
(ch x)sh x?
例 14 求双曲正弦 sh x与双曲余弦 ch x的导数?
解? 因 为 )(21s h xx eex 所 以
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h (?+
解
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h (?+ xeeeex xxxx ch )(21)(21)sh (?+
例 15 求双曲正切 th x的导数?
解? 因 为 xxx c h s h t h 所 以
x
xxx
2
22
ch
shch)(th
x2ch
1
解
x
xxx
2
22
ch
shch)( th
x2ch
1
x
xxx
2
22
ch
shch)(th
x2ch
下页上页 下页 铃结束返回首页例 16 求反双曲正弦 arsh x的导数?
解? 因 为 )1l n (a r s h 2xxx ++ 所 以 解
222 1
1)
11(1
1)arsh (
xx
x
xxx +?++?++
类 似 地 可 得 11)a r c h ( 2 xx? 21 1)a r t h ( xx
结束
222 1
1)
11(1
1)a r s h (
xx
x
xxx +?++?+ 222 1
1)
11(1
1)ars h (
xx
x
xxx +?++?++
例 17 y?sin nx?sinn x (n为常数 )?求 y
n sinn?1x?sin(n+1)x?
ncos nx?sinn x+n sinn?1x?cos x
(sin x)n?sinn?1x+sin nx?sinn x?ncos nx
+sin nx?(sinn x)(sin nx)?sinn x解 y?
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定理 1
如果函数 u?u(x)及 v?v(x)在点 x具有导数?那么它们的和、
差、积、商 (除分母为零的点外 )都在点 x具有导数?并且
])( )([?xv xu )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu
下页
[u(x)?v(x)]u?(x)?v?(x)?
[u(x)?v(x)]u?(x)?v(x)+u(x)?v?(x)?
>>>
>>>
>>>
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求导法则的推广
(u?v?w)uvw
(uvw)u?vw+uv?w+uvw
特殊情况
(Cu)Cu
例 1 y?2x 3?5x 2+3x?7?求 y?
6x 2?10x+32·3x 2?5·2x+3
2(x 3)5(x 2)?+3(x)?
(2x 3)(5x 2)?+(3x)(7)?解 y(2x 3?5x 2+3x?7)?
( u? v ) u v ( uv ) u? v + uv 2)( v vuvuvu
求导法则?
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xxxxxf sin43)2 (sin)cos4()()( 23+
解例 2
例 2? 2 s i nc os4)( 3+? xxxf? 求 f? ( x ) 及 )2 (?f
443)2 ( 2f?
下页例 3 y?ex (sin x+cos x)? 求 y
2excos x?
解 y(ex)?(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x)?
e x(sin x+cos x)+e x(cos x?sin x)
( u? v ) u v ( uv ) u? v + uv 2)( v vuvuvu
求导法则?
xxxxxf s i n43)2 ( s i n)c os4()(( 23+xxxxxf in43)2 ( s in)c os4()()( 23+
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( u? v ) u v ( uv ) u? v + uv 2)( v vuvuvu
求导法则?
xxx xx 222 22 s e cc o s1c o s s inc o s+
用类似方法?还可求得?
(cot x)csc2x? (csc x)csc x cot x?
xxx xx 2222 seccos1cos sincos+ xxx xx 222 22 s ecc s1c os s inc os+
x
xxxx
x
xxy
2c o s
)( c o ss inc o s)( s in)
c o s
s in()( ta n
x
xxxx
x
xxy
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n)
c o s
s i n()( ta n
例 4 y?tan x?求 y
解例 5 y?sec x?求 y
解
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c
x
x
2cos
sinsec x tan x?
x
xx
xxy 2c o s
)( c o s1c o s)1()
c o s
1()( s e c
x
x
2c o s
s in s e c x ta n x?
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定理 2
如果函数 x?f(y)在某区间 Iy内单调、可导且 f?(y)?0?那么它的反函数 y?f?1(x)在对应区间 Ix?f(Iy)内也可导?并且
)(
1])([ 1
yf
xf
或
dy
dxdx
dy 1
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx?
)(
11limlim])([
00
1
yf
y
xx
yxf
yx?
简要证明 由于 x?f(y)可导 (从而连续 )? 所以 x?f(y)的反函数
y?f?1(x)连续? 当?x?0时y?0?所以详细证明 下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 求 (arctan x)?及 (arccot x)
解 因为 y?arctan x是 x?tan y的反函数? 所以
222 1
1
t a n1
1
s e c
1
)( t a n
1)( a r c t a n
xyyyx +?+ 222 1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1)(arc tan
xyyyx +?+ 222 1
1
ta n1
1
s e c
1
)( ta n
1)( a r c ta
xyy +?+ 222 1
1
tan1
1
sec
1
)(tan
1)(arc tan
xyyyx +?+
类似地有? 21 1)c o ta r c( xx +
例 6 求 (arcsin x)?及 (arccos x)
解 因为 y?arcsin x是 x?sin y的反函数? 所以
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c s in
xyyyx
22 1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
1)(arcsin
xyyyx
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1( a r c s in
xyyx
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( a r c in
xyyx
类似地有? 21 1)( a r c c o s xx
)(
1])([ 1
yfxf
反函数的求导法则,
首页上页 下页 铃结束返回首页
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx?
00
limlim
三、复合函数的求导法则
定理 3
如果 u?g(x)在点 x可导?函数 y?f(u)在点 u?g(x)可导?则复合函数 y?f[g(x)]在点 x可导?且其导数为
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
简要证明
)()(limlim
00
xgufxuuy
xu
则?u?0? 此时有假定 u?j(x)在 x的某邻域内不等于常数?
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xx?
00
limlim
)()(lim
00
xgufxuuy
xu
详细证明 下页上页 下页 铃结束返回首页解
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
复合函数的求导法则,
例 10 21 2s in xxy + 求 dxdy?
例 9
解例 8
例 9 3xey 求 dxdy?
3xey?
函数 可看作是由 y?e u? u?x3复合而成的?
322 33 xu exxe
dx
du
du
dy
dx
dy
因此
322 33 xu exe
dx
du
du
dy
dx
dy 322 33 xu exxe
dx
du
du
dy
dx
dy
解 函数 21 2s i n xxy +? 是由 y? s i n u? 21 2 xxu +? 复合而成的?
因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?++?+ 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1()1( )2()1(2c o s xxx xxxudxdududydxdy +?++?+ 因此 222 222 22 1 2c o s)1( )1(2)1( )2()1(2c o s xxx xx xxudxdududydxdy +?++?+
下页上页 下页 铃结束返回首页解
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
复合函数的求导法则,
解? )( s ins in1)s in( ln xxxdxdy xxx c o tc o ss in1
例 11
例 12,3 221 xy 求 dxdy?
解? )21()21(31])21[( 23
2
23
1
2 xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
解例 11,ln s in x? 求 dxdy?
例 10
解? )( s ins in1)( l xxdxdy xxx c o tc o ss in1 解? )s ins in1)s in( ln xxxdxdy xxx c o tc o ss in1 解? )(s ins in1)s in(ln xxxdxdy xxx c o tc o ss in1
解? )21()2(31])21[( 23
2
23
1
2 xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
解? )21()21(
3
1])21[( 2322312 xxx
dx
dy
3 22 )21(3
4
x
x
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形?
例如?设 y?f(u)?u?j(v)?v(x)?则
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
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例 12
解? ])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ ln xxx eeedxdy
)t a n ()()]s i n ([)c o s (1 xxxxx eeeee
xex x
1c o s1 1s i n
2
)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy
复合函数的求导法则,
例 14,xey 1s i n 求 dxdy?
例 13
解解解? )1(1c o s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n xxexeedxdy xxx
解? ])[ c o s (c o s (1])c o s ([ ln xxx eeedxdy
)t a n ()()]s in ([)c o s (1 xxxx eeeee
解? )1(1c o s)1( s in)( 1s i n1s i n1s i n xxexeedxdy xxx 解? )1(1c o s)( s in)( 1s i n1i n1s i n xxeeedxdy xxx
首页上页 下页 铃结束返回首页四、基本求导法则与导数公式
基本初等函数的导数公式
(1) (C)0?
(2) (xm)mxm?1?
(3) (sin x)cos x?
(4) (cos x)sin x?
(5) (tan x)sec2x?
(6) (cot x)csc2x?
(7) (sec x)sec x?tan x?
(8) (csc x)csc x?cot x?
(9) (a x)a x ln a?
(10) (e x)ex?
( 1 1 ) axxa ln1)( l o g
( 1 2 ) xx 1)( l n
( 1 3 ) 21 1)( a r c s i n xx
( 1 4 ) 21 1)( a r c c o s xx
( 1 5 ) 21 1)( a r c ta n xx +
( 1 6 ) 21 1)c o ta r c( xx +
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函数的和,差,积,商的求导法则
复合函数的求导法则
反函数求导法四、基本求导法则与导数公式
dx
du
du
dy
dx
dy 或 y? ( x )? f? ( u )?g? ( x )? 其 中 y? f ( u )? u? g ( x )?
)0)(( )(1])([ 1 yfyfxf?
( 4 ) 2)( v vuvuvu ( v? 0)?
(1) (u? v)u v
(2) (Cu)Cu?(C是常数 )?
(3) (uv)u?v+u v
下页上页 下页 铃结束返回首页即 (sh x)ch x?
类似地?有
(ch x)sh x?
例 14 求双曲正弦 sh x与双曲余弦 ch x的导数?
解? 因 为 )(21s h xx eex 所 以
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h (?+
解
xeeeex xxxx c h )(21)(21)s h (?+ xeeeex xxxx ch )(21)(21)sh (?+
例 15 求双曲正切 th x的导数?
解? 因 为 xxx c h s h t h 所 以
x
xxx
2
22
ch
shch)(th
x2ch
1
解
x
xxx
2
22
ch
shch)( th
x2ch
1
x
xxx
2
22
ch
shch)(th
x2ch
下页上页 下页 铃结束返回首页例 16 求反双曲正弦 arsh x的导数?
解? 因 为 )1l n (a r s h 2xxx ++ 所 以 解
222 1
1)
11(1
1)arsh (
xx
x
xxx +?++?++
类 似 地 可 得 11)a r c h ( 2 xx? 21 1)a r t h ( xx
结束
222 1
1)
11(1
1)a r s h (
xx
x
xxx +?++?+ 222 1
1)
11(1
1)ars h (
xx
x
xxx +?++?++
例 17 y?sin nx?sinn x (n为常数 )?求 y
n sinn?1x?sin(n+1)x?
ncos nx?sinn x+n sinn?1x?cos x
(sin x)n?sinn?1x+sin nx?sinn x?ncos nx
+sin nx?(sinn x)(sin nx)?sinn x解 y?
