? 圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约 3700年前（即公元前 1700
年左右）的古埃及人就已经在 用 256/81（
约 3.1605）作为 π 的近似值了。几千年来
，人们一直没有停止过求 π 的努力。
§ 2.10 π的计算古 典 方 法分 析 方 法其 它 方 法
概率方法
数值积分方法古典方法用什么方法来计 算 π 的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。
6边形 12边形 24边形 圆
阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切
96边形夹逼的方法证明了
7
22
71
223
由和 导出
t a ns i n
96
公元 5世纪，祖冲之指出
3,1 4 1 5 9 2 73,1 4 1 5 9 2 6
比西方得到同样结果几乎早了 1000年
十五世纪中叶，阿尔 ·卡西给出 π 的 16
位小数，打破了祖冲之的纪录
1579年,韦达证明
373,1 4 1 5 9 2 6 5 353,1 4 1 5 9 2 6 5
1630年,最后一位用古典方法求 π 的人格林伯格也只求到了 π的第 39位小数分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求 π 的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求 π 近似值的实例。
0 6 7 7 0 2.3
21
20
19
20
5
4
3
4
3
2
1
22
1 0 3 5 1 6.341403940543432122
取
20?k
取
10?k
1656年，沃里斯 (Wallis)证明
1
12
2
12
2
2
7
6
5
6
5
4
3
4
3
2
1
2
2
k
k
k
k
k
在微积分中我们学过泰勒级数，其中有
12
)1(
53
a rc t a n
12
0
53
kxxxxx
k
k
k?
),(x
当 1?x
12
1)1(
5
1
3
11
4 0?
kk
k
取
20?k
1 8 9 1 8 4.3
41
1
39
1
5
1
3
114
取
10?k
2 3 2 3 1 6.3
21
1
19
1
5
1
3
114
在中学数学中证明过下面的等式
3
1a r c t a n
2
1a r c t a n1a r c t a n
4
左边三个正方形组成的矩形中，
由和 可得
CBA
DC
和的展开式的收敛速度都比 快得多
2
1a r c t a n
1a rcta n
3
1a r c t a n
A
C
B D
麦琴 (Machin)给出
2 39
1a r c ta n
5
1a r c ta n4
4
(Machin公式 )
5
1a r c t a n
44
239
1t a n记,,得此式求得了 π的第 100位小数且全部正确其它方法除用古典方法与分析方法求 π 的近似值以外，还有人用其他方法来求 π 的近似值。
这里我们将介绍两种方法：
概率方法数值积分方法
概率方法取一个二维数组（ x,y），取一个充分大的正整 数 n，重复 n次，每次独立地从 （ 0,1）
中随机地取一对 数 x和 y,分别检验
x2+y2≤1 是否成立。 设 n次试验中等式成立的共有 m次，令 π≈4m/n 。
但这种方法很难得到 π的较好的近似值。
数值积分方法
10 214 dxx?
10 21 14 dxx?
还可用其它数值积分公式来求，但用此类方法 效果也很难做得比用幂级数展开更好
年左右）的古埃及人就已经在 用 256/81（
约 3.1605）作为 π 的近似值了。几千年来
，人们一直没有停止过求 π 的努力。
§ 2.10 π的计算古 典 方 法分 析 方 法其 它 方 法
概率方法
数值积分方法古典方法用什么方法来计 算 π 的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。
6边形 12边形 24边形 圆
阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切
96边形夹逼的方法证明了
7
22
71
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由和 导出
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96
公元 5世纪，祖冲之指出
3,1 4 1 5 9 2 73,1 4 1 5 9 2 6
比西方得到同样结果几乎早了 1000年
十五世纪中叶，阿尔 ·卡西给出 π 的 16
位小数，打破了祖冲之的纪录
1579年,韦达证明
373,1 4 1 5 9 2 6 5 353,1 4 1 5 9 2 6 5
1630年,最后一位用古典方法求 π 的人格林伯格也只求到了 π的第 39位小数分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求 π 的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求 π 近似值的实例。
0 6 7 7 0 2.3
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在中学数学中证明过下面的等式
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左边三个正方形组成的矩形中，
由和 可得
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和的展开式的收敛速度都比 快得多
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这里我们将介绍两种方法：
概率方法数值积分方法
概率方法取一个二维数组（ x,y），取一个充分大的正整 数 n，重复 n次，每次独立地从 （ 0,1）
中随机地取一对 数 x和 y,分别检验
x2+y2≤1 是否成立。 设 n次试验中等式成立的共有 m次，令 π≈4m/n 。
但这种方法很难得到 π的较好的近似值。
数值积分方法
10 214 dxx?
10 21 14 dxx?
还可用其它数值积分公式来求，但用此类方法 效果也很难做得比用幂级数展开更好
