§ 2.3 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，
假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑表功能的计算器。
方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如,设 t=4秒,g=9.81米 /秒 2，则可求得 h≈78.5
米。
2
2
1 gth?
我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。
vKmgdtdvmF
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属 空气阻力 。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数 K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：
k
gcev kt令 k=K/m,解得代入初始条件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有
kte
k
g
k
gv
再积分一次，得：
cekgtkgh kt2
若设 k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得 h≈73.6米。
听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间进一步深入考虑不妨设 平均反应时间 为 0.1秒,假如仍 设 t=4秒，扣除反应时间后应 为 3.9秒，代入 式 ①,求得 h≈69.9米。
222 )
1(
k
ge
k
t
k
g
k
ge
k
gt
k
gh ktkt①
多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条 件 h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
将 e-kt用泰勒公式展开并 令 k→ 0+,即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。
还应考虑 回声 传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间 为 t1，声音传回来的时间记 为 t2，还得解一个方程组：
93
340
1
21
2
21
1
.tt
th
k
g
)e
k
t(
k
g
h
kt
这一方程组是非线性 的，求解不太容易，
为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石块下落时间 t1≈t-t2将 t1代入式 ① 再算一次，得出崖高的近似值。例如,若 h=69.9米，则 t2≈0.21
秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑表功能的计算器。
方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如,设 t=4秒,g=9.81米 /秒 2，则可求得 h≈78.5
米。
2
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1 gth?
我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。
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除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属 空气阻力 。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数 K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：
k
gcev kt令 k=K/m,解得代入初始条件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有
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再积分一次，得：
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若设 k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得 h≈73.6米。
听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间进一步深入考虑不妨设 平均反应时间 为 0.1秒,假如仍 设 t=4秒，扣除反应时间后应 为 3.9秒，代入 式 ①,求得 h≈69.9米。
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多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条 件 h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
将 e-kt用泰勒公式展开并 令 k→ 0+,即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。
还应考虑 回声 传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间 为 t1，声音传回来的时间记 为 t2，还得解一个方程组：
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这一方程组是非线性 的，求解不太容易，
为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石块下落时间 t1≈t-t2将 t1代入式 ① 再算一次，得出崖高的近似值。例如,若 h=69.9米，则 t2≈0.21
秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
