物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用 M表示）、长度（ 用 L表示）、时间（ 用 T表示），有时还有温度（用 Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为 LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
§ 2.6 量纲分析法建模量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，
具有这种性质的公式被称为 是,量纲齐次,的。
例 3 在万有引力公式中，引力常数 G是有量纲的，根据量纲齐次性,G的量纲为 M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式相关的物理量有,G,m1,m2,r和 F。
现考察这些量的无量纲乘积的量纲为由于 是无量纲的量，故应有：
2
21
r
mGmF?
edcba FrmmGπ 21?
π e)2 ( aeb3aaecb TLM
0
0
0
ea
ed3a
aecb
π
0
0
0
ea
ed3a
aecb
此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取 （ a,b） =（ 1,0） 和 （ a,b） =（ 0,1）,得到方程组解空间的一组基 （ 1,0,2,-2,-1） 和 （ 0,1,-1,0,0）,所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：
2
1
22
2
2
1 m
mπ,
Fr
Gmπ
而万有引力定律则可写 成 f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：
π1=g(π2),即
)(2
2
2
2
1
m
mh
r
mF?
万有引力定律定理 2.1 （ Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表示为 f（ π1,π2…） =0时 才是量纲齐次的，其中 f是某一函数,π1,π2… 为问题所包含的变量与常数的无量纲乘积。
设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基
e1,……,em，并将其扩充 为 k维欧氏空间的一组基
e1,……,e m,em+1,……e k 令 πi=g-1(ei),i=1,…,k,显然,π1,…,
πm是无量纲的，而 πm+1,…,πk是有量纲的（若 k>m）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写 成 f(π1,…,πm)=0时才是量纲齐次的，
定理证毕。
证 设 x1,…,xk为方程中出现的变量与常数,,对这些变量与常数的任一乘积,令函数 g建立了 xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与 k维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有 n个,
它们 为 y1,…,yn.用这些基本量纲来表达 该 xi的乘幂,设此乘幂的量纲为 令易见 dg-1是 k维欧氏空间 到 n维欧氏空间的一个变换，这里的 g-1为 g的逆变换。
k1 aka1 xx? )a,,(a)xg ( x k1
aka1 k1
n1 bnb1 yy? )b,,(b)xd ( x n1aka1 k1
例 4（理想单摆的摆动周期）
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间的 关系。
θ l
mg
考察
edcba θltgmπ? π
π
0
0
0
2bc
db
a
此方程组中不含 e，故 （ 0,0,0,0,1） 为一解，对应的 π1=θ即为无量纲量。为求另一个无纲量可 令 b=1，求得 （ 0,1,2，
-1,0）,对应有
l
gtπ 2?
故单摆公式可用
021?)π,f( π 0)
l
gtf( θ,2? 表示。
从中解出显函数
h( θ(lgt
2
则可得：
g
lk( θ(
g
lh( θ(t 其中 )()( θhθk?
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。
量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。
首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，
其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，
公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的关系，量纲分析法根本无法加以研究。
§ 2.6 量纲分析法建模量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，
具有这种性质的公式被称为 是,量纲齐次,的。
例 3 在万有引力公式中，引力常数 G是有量纲的，根据量纲齐次性,G的量纲为 M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式相关的物理量有,G,m1,m2,r和 F。
现考察这些量的无量纲乘积的量纲为由于 是无量纲的量，故应有：
2
21
r
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edcba FrmmGπ 21?
π e)2 ( aeb3aaecb TLM
0
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0
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此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取 （ a,b） =（ 1,0） 和 （ a,b） =（ 0,1）,得到方程组解空间的一组基 （ 1,0,2,-2,-1） 和 （ 0,1,-1,0,0）,所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：
2
1
22
2
2
1 m
mπ,
Fr
Gmπ
而万有引力定律则可写 成 f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：
π1=g(π2),即
)(2
2
2
2
1
m
mh
r
mF?
万有引力定律定理 2.1 （ Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表示为 f（ π1,π2…） =0时 才是量纲齐次的，其中 f是某一函数,π1,π2… 为问题所包含的变量与常数的无量纲乘积。
设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基
e1,……,em，并将其扩充 为 k维欧氏空间的一组基
e1,……,e m,em+1,……e k 令 πi=g-1(ei),i=1,…,k,显然,π1,…,
πm是无量纲的，而 πm+1,…,πk是有量纲的（若 k>m）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写 成 f(π1,…,πm)=0时才是量纲齐次的，
定理证毕。
证 设 x1,…,xk为方程中出现的变量与常数,,对这些变量与常数的任一乘积,令函数 g建立了 xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与 k维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有 n个,
它们 为 y1,…,yn.用这些基本量纲来表达 该 xi的乘幂,设此乘幂的量纲为 令易见 dg-1是 k维欧氏空间 到 n维欧氏空间的一个变换，这里的 g-1为 g的逆变换。
k1 aka1 xx? )a,,(a)xg ( x k1
aka1 k1
n1 bnb1 yy? )b,,(b)xd ( x n1aka1 k1
例 4（理想单摆的摆动周期）
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间的 关系。
θ l
mg
考察
edcba θltgmπ? π
π
0
0
0
2bc
db
a
此方程组中不含 e，故 （ 0,0,0,0,1） 为一解，对应的 π1=θ即为无量纲量。为求另一个无纲量可 令 b=1，求得 （ 0,1,2，
-1,0）,对应有
l
gtπ 2?
故单摆公式可用
021?)π,f( π 0)
l
gtf( θ,2? 表示。
从中解出显函数
h( θ(lgt
2
则可得：
g
lk( θ(
g
lh( θ(t 其中 )()( θhθk?
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。
量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。
首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，
其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，
公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的关系，量纲分析法根本无法加以研究。
