第十节一,最值定理二、介值定理
*三、一致连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束闭区间上连续函数的性质第一章注意,若函数在 开区间 上连续,
结论不一定成立,
一,最值定理定理 1.在 闭区间 上连续的函数即,设,],[)( baCxf?
xo
y
a b
)(xfy?
1? 2?
则,],[,21 ba 使
)(m i n)( 1 xff bxa
)(m a x)( 2 xff bxa
值和最小值,
或在闭区间内 有间断在该区间上一定有最大
(证明略 )
点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
无最大值和最小值
xo
y
1
1
xo
y
1
1
2
2
也无最大值和最小值又如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
b xo
y
a
)(xfy?
1? 2?
m
M
推论,
由定理 1 可知有
,)(m a x ],[ xfM bax )(m i n ],[ xfm bax
证,设上有界,
二、介值定理定理 2.( 零点定理 )
至少有一点且使
x
y
o a b
)(xfy?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( 证明略 )
在闭区间上连续的函数在该区间上有界,
定理 3,( 介值定理 ) 设,],[)( baCxf?且,)( Aaf?
,,)( BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C,
一点证,作辅助函数
Cxfx )()(?
则,],[)( baCx 且
)()( ba ))(( CBCA
故由零点定理知,至少有一点 使即推论,
A
b xo
y
a
)(xfy?
BC
使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明方程一个根,
证,显然 又故据零点定理,至少存在一点 使 即说明,
,21?x,0)( 8121f
内必有方程的根 ;)1,(21
取 的中点,43?x,0)( 43?f
内必有方程的根 ;),( 4321? 可用此法求近似根,
二分法
4321
x0 1
在区间 内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束则则上连续,且恒为正,例 2,设 )(xf 在对任意的 必存在一点证,
使令,则
)()( 21 xfxf 221 )]()([ xfxf? 0?
使故由零点定理知,存在 即当 时,取 或,则有证明,
小结 目录 上页 下页 返回 结束
*三,一致连续性已知函数 在区间 I 上连续,即,
一般情形,.,0 都有关与 x 就引出了一致连续的概念,
定义,对 任意 的都有在 I 上一致连续,
显然,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,但不一致连续,
因为 取点则 可以任意小但这说明 在 ( 0,1 ] 上不一致连续,
定理,上一致连续,
(证明略 )思考,P73 题 6
提示,设 存在,作辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结在上达到最大值与最小值 ;
上可取最大与最小值之间的任何 值 ;
4,当 时,使必存在上有界 ;
在在机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,任给一张面积为 A 的纸片 (如图 ),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片,
提示,建立坐标系如图,
x
o
y
则面积函数 ],[)( CS?
因,0)(S AS?)(?
故由介值定理可知,
,),(0,2)( 0 AS使机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(?S
则证明至少存在使提示,令则 易证
2,设作业
P73 题 2 ; 3; 4
一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束备用题 至少有一个不超过 4 的证,
证明令且根据零点定理,
原命题得证,
内至少存在一点在开区间显然正根,
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*三、一致连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束闭区间上连续函数的性质第一章注意,若函数在 开区间 上连续,
结论不一定成立,
一,最值定理定理 1.在 闭区间 上连续的函数即,设,],[)( baCxf?
xo
y
a b
)(xfy?
1? 2?
则,],[,21 ba 使
)(m i n)( 1 xff bxa
)(m a x)( 2 xff bxa
值和最小值,
或在闭区间内 有间断在该区间上一定有最大
(证明略 )
点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
无最大值和最小值
xo
y
1
1
xo
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1
1
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2
也无最大值和最小值又如,
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1? 2?
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推论,
由定理 1 可知有
,)(m a x ],[ xfM bax )(m i n ],[ xfm bax
证,设上有界,
二、介值定理定理 2.( 零点定理 )
至少有一点且使
x
y
o a b
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( 证明略 )
在闭区间上连续的函数在该区间上有界,
定理 3,( 介值定理 ) 设,],[)( baCxf?且,)( Aaf?
,,)( BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C,
一点证,作辅助函数
Cxfx )()(?
则,],[)( baCx 且
)()( ba ))(( CBCA
故由零点定理知,至少有一点 使即推论,
A
b xo
y
a
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使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明方程一个根,
证,显然 又故据零点定理,至少存在一点 使 即说明,
,21?x,0)( 8121f
内必有方程的根 ;)1,(21
取 的中点,43?x,0)( 43?f
内必有方程的根 ;),( 4321? 可用此法求近似根,
二分法
4321
x0 1
在区间 内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束则则上连续,且恒为正,例 2,设 )(xf 在对任意的 必存在一点证,
使令,则
)()( 21 xfxf 221 )]()([ xfxf? 0?
使故由零点定理知,存在 即当 时,取 或,则有证明,
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*三,一致连续性已知函数 在区间 I 上连续,即,
一般情形,.,0 都有关与 x 就引出了一致连续的概念,
定义,对 任意 的都有在 I 上一致连续,
显然,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,但不一致连续,
因为 取点则 可以任意小但这说明 在 ( 0,1 ] 上不一致连续,
定理,上一致连续,
(证明略 )思考,P73 题 6
提示,设 存在,作辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结在上达到最大值与最小值 ;
上可取最大与最小值之间的任何 值 ;
4,当 时,使必存在上有界 ;
在在机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,任给一张面积为 A 的纸片 (如图 ),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片,
提示,建立坐标系如图,
x
o
y
则面积函数 ],[)( CS?
因,0)(S AS?)(?
故由介值定理可知,
,),(0,2)( 0 AS使机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(?S
则证明至少存在使提示,令则 易证
2,设作业
P73 题 2 ; 3; 4
一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束备用题 至少有一个不超过 4 的证,
证明令且根据零点定理,
原命题得证,
内至少存在一点在开区间显然正根,
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