第一章二,极限的四则运算法则三,复合函数的极限运算法则一,无穷小运算法则第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束极限运算法则时,有,,m in 21
一,无穷小运算法则定理 1.有限个无穷小的和还是无穷小,
证,考虑两个无穷小的和,设
,0 当 时,有当 时,有取 则当 00 xx
22
因此这说明当 时,为无穷小量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,无限个 无穷小之和 不一定 是无穷小 !
例如，
nnnnnn 222 1211lim?1?
( P56,题 4 (2) )
解答见课件第二节 例 5
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似可证,有限个 无穷小之和仍为无穷小,
定理 2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证,设 Mu?
又设,0l im
0
xx 即,0 当时,有 M
取,,m in 21 则当 ),( 0?xx 时,就有
u?u MM
故 即 是 时的无穷小,
推论 1,常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2,有限个无穷小的乘积是无穷小,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,
01lim?
xx
利用定理 2 可知
x
xy si n?
说明,y = 0 是 的渐近线,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,极限的四则运算法则
,)(lim,)(lim BxgAxf则有证,因,)(lim,)(lim BxgAxf则有
BxgAxf )(,)(
(其中,为无穷小 )
于是 )()()()( BAxgxf
)()( BA
由定理 1 可知 也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立,
定理 3,若机动 目录 上页 下页 返回 结束推论,若,)(lim,)(lim BxgAxf且 ),()( xgxf?
则,BA? ( P45 定理 5 )
)()()( xgxfx
利用保号性定理证明,
说明,定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形,
提示,令机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,若,)(lim,)(lim BxgAxf则有提示,利用极限与无穷小关系定理及本节定理 2 证明,
说明,定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形,
推论 1,)(lim)](li m [ xfCxfC?( C 为常数 )
推论 2,nn xfxf ])(lim[)](l i m [?( n 为正整数 )
例 2,设 n 次多项式 试证
).()(li m 0
0
xPxP nnxx
证, )(li m
0
xP nxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束为无穷小
(详见 P44)B
2?
B
1
)(
1
xg? )( 0xx
定理 5,若,)(lim,)(lim BxgAxf且 B≠0,则有证,因,)(lim,)(lim BxgAxf有
,)(,)( BxgAxf 其中,
设 BABA )( 1 BB )( AB?
无穷小有界因此?
由极限与无穷小关系定理,得
BAxg xf )( )(为无穷小,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 6,若,lim,lim ByAx nnnn 则有
)(li m)1( nnn yx
nnn yxli m)2(
,00)3( 时且当 By n BAy
x
n
n
n
l i m
BA
BA?
提示,因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理 3,4,5 直接得出结论,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x = 3 时分母为 0 !
3
1lim
3?
x
x
x
例 3,设有分式函数 其中 都是多项式,试证,
证, )(lim
0
xRxx )(lim
)(lim
0
0
xQ
xP
xx
xx
说明,若 不能直接用商的运算法则,
例 4,)3)(3(
)1)(3(l i m
3
xx
xx
x
若机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求解,x = 1 时
32
45lim 2
1?
x
xx
x
0?
312
4151 2
分母 = 0,分子 ≠0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,时,分子
2
2
11
11
25
934
l i m
xx
xx
x
分子分母同除以,2x 则分母
,抓大头,
原式机动 目录 上页 下页 返回 结束一般有如下结果：
为非负常数 )
( 如 P47 例 5 )
( 如 P47 例 6 )
( 如 P47 例 7 )
m
mm
x
axaxa
110lim
nnn bxbxb110
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,复合函数的极限运算法则定理 7,设 且 x 满足 时,
,)( ax 又 则有证,,0,0 当 au0
时,有 Auf )(
,02 当
200 xx 时,有 ax )(
对上述取,,m in 21 则当 00 xx 时
ax?)(? au
故
0
Auf )(,
①
因此 ① 式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 7.设 且 x 满足 时,
,)( ax 又 则有
])([li m
0
xfxx?
说明,若定理中,)(li m
0
xxx?则类似可得
])([li m
0
xfxx? Aufu )(li m
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,令 9
3
2?
x
xu
已知 ux 3lim 6
1 ( 见 P46 例 3 )
∴ 原式 = 6
1?
6
6?
( 见 P33 例 5 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,求解,方法 1,xu? 则,1lim 1 ux令
1
1
1
1 2
u
u
x
x 1 u
∴ 原式 )1(lim 1 uu 2?
方法 2
1
)1)(1(lim
1?
x
xx
x )1(lim 1 xx
2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件
2,求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
0)1 xx?时,用代入法 ( 分母不为 0 )
0)2 xx?时,对
0
0 型,约去公因子
x)3 时,分子分母同除最高次幂,抓大头”
(2) 复合函数极限求法 设中间变量
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考及练习
1.
是否存在? 为什么?
答,不存在,否则由利用极限四则运算法则可知 存在,与已知条件矛盾,
解,原式 22
)1(l i m
n
nn
n
)
11(
2
1lim
nn 2
1?
2.
问机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,求解法 1
原式 = xx
x
x 1
l i m 2 111
1
l i m
2
x
x
2
1?
解法 2 令,1xt?
ttt
t
1111l im
20
2
1?
则原式 = 2
2
0
11l i m
t
t
t
11
1lim
20 tt
0t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,试确定常数 a 使解,令,1xt? 则
tat
t
3 3
0
11lim0
01 a
t
at
t
3 3
0
1l i m
01lim 3 30 att
故
1a
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此作业
P48 1 （ 5），（ 7），（ 9），（ 12），（ 14）
2 （ 1），（ 3）
3 （ 1）
4
第六节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 设解,利用前一极限式可令
bxaxxxf 23 22)(
再利用后一极限式,得
x
xf
x
)(l i m3
0?
可见是多项式,且求
)(l i m
0 x
ba
x
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
一,无穷小运算法则定理 1.有限个无穷小的和还是无穷小,
证,考虑两个无穷小的和,设
,0 当 时,有当 时,有取 则当 00 xx
22
因此这说明当 时,为无穷小量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,无限个 无穷小之和 不一定 是无穷小 !
例如，
nnnnnn 222 1211lim?1?
( P56,题 4 (2) )
解答见课件第二节 例 5
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似可证,有限个 无穷小之和仍为无穷小,
定理 2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证,设 Mu?
又设,0l im
0
xx 即,0 当时,有 M
取,,m in 21 则当 ),( 0?xx 时,就有
u?u MM
故 即 是 时的无穷小,
推论 1,常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2,有限个无穷小的乘积是无穷小,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,
01lim?
xx
利用定理 2 可知
x
xy si n?
说明,y = 0 是 的渐近线,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,极限的四则运算法则
,)(lim,)(lim BxgAxf则有证,因,)(lim,)(lim BxgAxf则有
BxgAxf )(,)(
(其中,为无穷小 )
于是 )()()()( BAxgxf
)()( BA
由定理 1 可知 也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立,
定理 3,若机动 目录 上页 下页 返回 结束推论,若,)(lim,)(lim BxgAxf且 ),()( xgxf?
则,BA? ( P45 定理 5 )
)()()( xgxfx
利用保号性定理证明,
说明,定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形,
提示,令机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,若,)(lim,)(lim BxgAxf则有提示,利用极限与无穷小关系定理及本节定理 2 证明,
说明,定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形,
推论 1,)(lim)](li m [ xfCxfC?( C 为常数 )
推论 2,nn xfxf ])(lim[)](l i m [?( n 为正整数 )
例 2,设 n 次多项式 试证
).()(li m 0
0
xPxP nnxx
证, )(li m
0
xP nxx
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(详见 P44)B
2?
B
1
)(
1
xg? )( 0xx
定理 5,若,)(lim,)(lim BxgAxf且 B≠0,则有证,因,)(lim,)(lim BxgAxf有
,)(,)( BxgAxf 其中,
设 BABA )( 1 BB )( AB?
无穷小有界因此?
由极限与无穷小关系定理,得
BAxg xf )( )(为无穷小,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 6,若,lim,lim ByAx nnnn 则有
)(li m)1( nnn yx
nnn yxli m)2(
,00)3( 时且当 By n BAy
x
n
n
n
l i m
BA
BA?
提示,因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理 3,4,5 直接得出结论,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x = 3 时分母为 0 !
3
1lim
3?
x
x
x
例 3,设有分式函数 其中 都是多项式,试证,
证, )(lim
0
xRxx )(lim
)(lim
0
0
xQ
xP
xx
xx
说明,若 不能直接用商的运算法则,
例 4,)3)(3(
)1)(3(l i m
3
xx
xx
x
若机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求解,x = 1 时
32
45lim 2
1?
x
xx
x
0?
312
4151 2
分母 = 0,分子 ≠0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,时,分子
2
2
11
11
25
934
l i m
xx
xx
x
分子分母同除以,2x 则分母
,抓大头,
原式机动 目录 上页 下页 返回 结束一般有如下结果：
为非负常数 )
( 如 P47 例 5 )
( 如 P47 例 6 )
( 如 P47 例 7 )
m
mm
x
axaxa
110lim
nnn bxbxb110
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,复合函数的极限运算法则定理 7,设 且 x 满足 时,
,)( ax 又 则有证,,0,0 当 au0
时,有 Auf )(
,02 当
200 xx 时,有 ax )(
对上述取,,m in 21 则当 00 xx 时
ax?)(? au
故
0
Auf )(,
①
因此 ① 式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 7.设 且 x 满足 时,
,)( ax 又 则有
])([li m
0
xfxx?
说明,若定理中,)(li m
0
xxx?则类似可得
])([li m
0
xfxx? Aufu )(li m
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,令 9
3
2?
x
xu
已知 ux 3lim 6
1 ( 见 P46 例 3 )
∴ 原式 = 6
1?
6
6?
( 见 P33 例 5 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,求解,方法 1,xu? 则,1lim 1 ux令
1
1
1
1 2
u
u
x
x 1 u
∴ 原式 )1(lim 1 uu 2?
方法 2
1
)1)(1(lim
1?
x
xx
x )1(lim 1 xx
2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件
2,求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
0)1 xx?时,用代入法 ( 分母不为 0 )
0)2 xx?时,对
0
0 型,约去公因子
x)3 时,分子分母同除最高次幂,抓大头”
(2) 复合函数极限求法 设中间变量
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考及练习
1.
是否存在? 为什么?
答,不存在,否则由利用极限四则运算法则可知 存在,与已知条件矛盾,
解,原式 22
)1(l i m
n
nn
n
)
11(
2
1lim
nn 2
1?
2.
问机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,求解法 1
原式 = xx
x
x 1
l i m 2 111
1
l i m
2
x
x
2
1?
解法 2 令,1xt?
ttt
t
1111l im
20
2
1?
则原式 = 2
2
0
11l i m
t
t
t
11
1lim
20 tt
0t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,试确定常数 a 使解,令,1xt? 则
tat
t
3 3
0
11lim0
01 a
t
at
t
3 3
0
1l i m
01lim 3 30 att
故
1a
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此作业
P48 1 （ 5），（ 7），（ 9），（ 12），（ 14）
2 （ 1），（ 3）
3 （ 1）
4
第六节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 设解,利用前一极限式可令
bxaxxxf 23 22)(
再利用后一极限式,得
x
xf
x
)(l i m3
0?
可见是多项式,且求
)(l i m
0 x
ba
x
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
