二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束函数的微分第二章一、微分的概念引例,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA?
0x
x?
面积的增量为
xx?0
20xA? xx?
0
2)( x?
关于△ x 的线性主部 高阶无穷小
0x 时为故称为函数在 的微分0x
当 x 在 0x 取得增量 x? 时,
0x 变到,0 xx边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束的 微分,
定义,若函数 在点 的增量可表示为0x
( A 为不依赖于 △ x的常数 )
则称函数 )( xfy? 而 称为
xA?
记作 即
xAyd
定理,函数 在点 可微的 充要条件 是0x
)( xoxA
即
xxfy )(d 0
在点 可微,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理,函数证,,必要性”
已知 在点 可微,则
)()( 00 xfxxfy
))((limlim
00 x
xoA
x
y
xx?
A?
故
)( xoxA
在点 的可导,且在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy )(d 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理,函数 在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy )(d 0
“充分性” 已知
)(l i m 0
0
xfxy
x
)( 0xfxy )0lim(
0x
xxxfy)( 0故 )()( 0 xoxxf
线性主部即 xxfy )(d 0
在点 的可导,则机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
0)( 0 xf 时,
xxfy )(d 0
)()( 0 xoxxfy
y
y
x d
lim
0
xxf
y
x
)(
l i m
00
x
y
xf x?
00 lim)(
1 1?
所以 0x 时 y? yd
很小时,有近似公式
x?
yy d
与 是等价无穷小,
当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束微分的几何意义
xxfy )(d 0
xx0
x
y
o
)( xfy?
0x
y?
ydt a n
当 很小时,x? yy d
时，当 xy?
则有 xxfy d)(d
从而 )(d
d xf
x
y 导数也叫作 微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称 x? 记作 xd
xy xd?记机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,,3xy?
yd
02.0d 2xx
23x? xd?
02.0d 2xx
24.0?
,a r c ta n xy?
yd xx d1 1 2
基本初等函数的微分公式 (见 P115表 )
又如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,微分运算法则设 u(x),v(x) 均可微,则
(C 为常数 )
分别可微,
的微分为
xxuf d)()( ud
uufy d)(d 微分形式不变
5,复合函数的微分则复合函数
vu dd
vuuv dd
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,2
1
1d
xey )1(d
2xe?
2
1
1
xe )(d
2x
xxe
e
x
x d21
1 2
2
x
e
ex
x
x
d
1
2
2
2
2xe
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设 求解,利用一阶微分形式不变性,有
0))d( c o s ()s in(d yxxy
xxyyx dc o sds in? )s in ( yx 0)d(d yx
xy d d? )s in(c o s yxxy xyx s in)s in(
例 3,在下列括号中填入适当的函数使等式成立,
xx d) d()1(?
tt dc o s) d()2(
221x
t sin1
说明,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容,
C?
C?
注意 目录 上页 下页 返回 结束注意,数学中的反问题往往出现多值性,
三,微分在近似计算中的应用
)()( 0 xoxxfy
当 x? 很小时,
)()( 00 xfxxfy xxf )0
xxfxfxxf )()()( 000
xxx 0令使用原则,;)(,)()1 00 好算xfxf?
.)2 0 靠近与 xx
))(()()( 000 xxxfxfxf
得近似等式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别当 xx,00? 很小时,
xffxf )0()0()(
常用近似公式,
x1
很小 )x(
x
x
x
x?1
证明,令?)1()( xxf
得,1)0(?f )0(f
,很小时当 x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
180d
x
的近似值,
解,设,s in)( xxf?
取则
18029si n? 6sin 6cos
2
1?
2
3? )0175.0(
)1 8 0(
例 4,求
29sin
机动 目录 上页 下页 返回 结束的近似值,
解,
2433 5?
51)2243(
51)
243
21(3
3? )2432511(
0048.3?
例 5,计算
xx 1)1(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的光洁度,
解,已知球体体积为镀铜体积为 V 在 时体积的增量
01.01RR
RR 24?
01.01RR
)(c m13.0 3?
因此每只球需用铜约为
16.113.09.8 ( g )
用铜多少克,
估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,
机动 目录 上页 下页 返回 结束四,微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,
称为 a 的 绝对误差称为 a 的 相对误差若称为测量 A 的 绝对误差限称为测量 A 的 相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束误差传递公式,
已知测量误差限为,x?
按公式 计算 y 值时的误差
yd? xxf )(
故 y 的绝对误差限约为 xy xf )(
相对误差限约为 x
y
xf
xf
y?
)(
)(
若直接测量某量得 x,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,设测得圆钢截面的直径 测量 D 的绝对误差限 欲利用公式圆钢截面积,
解,计算 A 的 绝对误差限约为
A 的 相对误差限约为试估计面积的误差,
计算机动 目录 上页 下页 返回 结束
(mm)
内容小结
1,微分概念
微分的定义及几何意义
可导 可微
2,微分运算法则微分形式不变性,uufuf d)()(d
( u 是自变量或中间变量 )
3,微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,设函数 的图形如下,试在图中标出的点
0x 处的 yy?,d 及,d yy 并说明其正负,
yd 0?
xx00x x
y
o
y? 0?
0? yy d
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,xx ee d )d ( a r c ta nxe 21 1
xd? x
x
e
e
21?
xxsi nd t a nd.3 x3sec
xx d2s in) (d.4?Cx 2c o s21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5,设 由方程 确定,
解,方程两边求微分,得
xx d3 2
当 0?x 时,0?y 由上式得 xy x d21d 0
求
yy d3 2 xx d3c o s3? 0d6 y
6,设,0?a 且,nab 则
n n ba 1 nan
ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P122 1 ;
3 (4),(7),(8),(9),(10) ;
4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ;
12
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
1,已知 求解,因为所以备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束方程两边求微分,得已知 求解,
2.
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA?
0x
x?
面积的增量为
xx?0
20xA? xx?
0
2)( x?
关于△ x 的线性主部 高阶无穷小
0x 时为故称为函数在 的微分0x
当 x 在 0x 取得增量 x? 时,
0x 变到,0 xx边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束的 微分,
定义,若函数 在点 的增量可表示为0x
( A 为不依赖于 △ x的常数 )
则称函数 )( xfy? 而 称为
xA?
记作 即
xAyd
定理,函数 在点 可微的 充要条件 是0x
)( xoxA
即
xxfy )(d 0
在点 可微,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理,函数证,,必要性”
已知 在点 可微,则
)()( 00 xfxxfy
))((limlim
00 x
xoA
x
y
xx?
A?
故
)( xoxA
在点 的可导,且在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy )(d 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理,函数 在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy )(d 0
“充分性” 已知
)(l i m 0
0
xfxy
x
)( 0xfxy )0lim(
0x
xxxfy)( 0故 )()( 0 xoxxf
线性主部即 xxfy )(d 0
在点 的可导,则机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
0)( 0 xf 时,
xxfy )(d 0
)()( 0 xoxxfy
y
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x d
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1 1?
所以 0x 时 y? yd
很小时,有近似公式
x?
yy d
与 是等价无穷小,
当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束微分的几何意义
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xx0
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y?
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当 很小时,x? yy d
时，当 xy?
则有 xxfy d)(d
从而 )(d
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y 导数也叫作 微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称 x? 记作 xd
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02.0d 2xx
23x? xd?
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24.0?
,a r c ta n xy?
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基本初等函数的微分公式 (见 P115表 )
又如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,微分运算法则设 u(x),v(x) 均可微,则
(C 为常数 )
分别可微,
的微分为
xxuf d)()( ud
uufy d)(d 微分形式不变
5,复合函数的微分则复合函数
vu dd
vuuv dd
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,2
1
1d
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xxyyx dc o sds in? )s in ( yx 0)d(d yx
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例 3,在下列括号中填入适当的函数使等式成立,
xx d) d()1(?
tt dc o s) d()2(
221x
t sin1
说明,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容,
C?
C?
注意 目录 上页 下页 返回 结束注意,数学中的反问题往往出现多值性,
三,微分在近似计算中的应用
)()( 0 xoxxfy
当 x? 很小时,
)()( 00 xfxxfy xxf )0
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机动 目录 上页 下页 返回 结束特别当 xx,00? 很小时,
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x
x
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得,1)0(?f )0(f
,很小时当 x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
180d
x
的近似值,
解,设,s in)( xxf?
取则
18029si n? 6sin 6cos
2
1?
2
3? )0175.0(
)1 8 0(
例 4,求
29sin
机动 目录 上页 下页 返回 结束的近似值,
解,
2433 5?
51)2243(
51)
243
21(3
3? )2432511(
0048.3?
例 5,计算
xx 1)1(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的光洁度,
解,已知球体体积为镀铜体积为 V 在 时体积的增量
01.01RR
RR 24?
01.01RR
)(c m13.0 3?
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16.113.09.8 ( g )
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估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,
机动 目录 上页 下页 返回 结束四,微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,
称为 a 的 绝对误差称为 a 的 相对误差若称为测量 A 的 绝对误差限称为测量 A 的 相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束误差传递公式,
已知测量误差限为,x?
按公式 计算 y 值时的误差
yd? xxf )(
故 y 的绝对误差限约为 xy xf )(
相对误差限约为 x
y
xf
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y?
)(
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若直接测量某量得 x,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,设测得圆钢截面的直径 测量 D 的绝对误差限 欲利用公式圆钢截面积,
解,计算 A 的 绝对误差限约为
A 的 相对误差限约为试估计面积的误差,
计算机动 目录 上页 下页 返回 结束
(mm)
内容小结
1,微分概念
微分的定义及几何意义
可导 可微
2,微分运算法则微分形式不变性,uufuf d)()(d
( u 是自变量或中间变量 )
3,微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,设函数 的图形如下,试在图中标出的点
0x 处的 yy?,d 及,d yy 并说明其正负,
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xx00x x
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3 (4),(7),(8),(9),(10) ;
4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ;
12
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1,已知 求解,因为所以备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束方程两边求微分,得已知 求解,
2.
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