第二章微积分学的创始人,
德国数学家 Leibniz
微分学 导数 描述函数变化快慢微分 描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数 )
导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出,
英国数学家 Newton
一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束导数的概念第二章一,引例
1,变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为
0t
则 到 的平均速度为
v )()( 0tftf?
0tt?
而在 时刻的瞬时速度为
lim
0tt
v
)()( 0tftf?
0tt?
221 tgs?
so
)( 0tf )(tf
t
自由落体运动机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o
)( xfy?
C
2,曲线的切线斜率曲线
N
T
0x
M
在 M 点处的切线
x
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时 )
割线 M N 的斜率tan )()( 0xfxf?0xx?
切线 MT 的斜率
t a nl i m
l i m
0xx
k
)()( 0xfxf?
0xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束两个问题的 共性,
so
0t
)( 0tf )(tf
t瞬时速度切线斜率
x
y
o
)( xfy?
C
N
T
0x
M
x
所求量为 函数增量 与 自变量增量 之比的极限,
类似问题还有,
加速度角速度线密度电流强度是 速度增量 与 时间增量 之比的极限是 转角增量 与 时间增量 之比的极限是 质量增量 与 长度增量 之比的极限是 电量增量 与 时间增量 之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数的定义定义 1,设函数 在点
0
limxx?
0
0 )()(
xx
xfxf
x
y
x?
0
l i m )()( 0xfxfy
0xxx
存在,并称此极限为记作,;0xxy ;)( 0xf? ;dd
0xxx
y
0d
)(d
xxx
xf
即 0xxy )( 0xf x
y
x?
0
lim
则称函数若的某邻域内有定义,
在点 处 可导,
在点 的 导数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束运动质点的位置函数 )(tfs?
s
o
0t
)( 0tf )(tf
t
在 时刻的瞬时速度
0t
曲线 )(,xfyC?在 M 点处的切线斜率
x
y
o
)( xfy?
C
N
T
0x
M
x
)( 0tf
)( 0xf
说明,在经济学中,边际成本率,
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()( 0xfxfy
0xxx
若上述极限不存在,在点 不可导,
0x
若,lim
0
x
y
x 也称 在若函数在开区间 I内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为 导函数,
记作,;y? ;)( xf? ;d
d
x
y,
d
)(d
x
xf
注意,)(
0xf? 0)( xxxf x
xf
d
)(d 0
就说函数就称函数 在 I 内可导,
的导数为 无穷大,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求函数 (C 为常数 ) 的导数,
解,y?
即例 2,求函数解,ax afxf )()(
ax lim ax
ax nn
ax?
lim
(limax 1?nx 2 nxa 32 nxa )1 na
x
xfxxf
)()(
0lim x
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明：
对一般幂函数?xy? ( 为常数 )?
1)( xx
例如,)(?x )( 21 x 21
2
1 x
x2
1?
x1 )( 1x 11 x 21x
)1(?
xx
)( 4
3
x 4
7
4
3 x
（以后将证明）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
例 3,求函数 的导数,
解,则
h
xfhxf )()(
0lim h
0lim h
)2c o s(2 hx?
)2c o s (l i m
0
hx
h
xcos?
即 xx c o s)(s in
类似可证得 xx s in)( c o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求函数 的导数,
解,h xfhxf )()(
0lim h h
xhx
h
ln)l n (l i m
0
hh
1lim
0
即 xx 1)(l n
0lim h
h1 x1
x
0lim?h eln
x
h
hh
1l i m
0
或机动 目录 上页 下页 返回 结束则令,0 hxt
原式
是否可按下述方法作,
例 5,证明函数 在 x = 0 不可导,
证,h fhf )0()0( h
h?
0?h,1
0?,1?
h
fhf
h
)0()0(l i m
0
不存在,
例 6,设 存在,求极限,2 )()(lim 000 h hxfhxfh
解,原式0lim h )( 0xf
h
hxf
2
)( 0
)( 0xf
)(21 0xf )(21 0xf )( 0xf
)(2
)( 0
h
hxf
)( 0xf
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,导数的几何意义
x
y
o
)( xfy?
C
T
0x
M
曲线 在点 的切线斜率为
)(ta n 0xf
若 曲线过 上升 ;
若 曲线过 下降 ;
x
y
o?0x
),( 00 yx若 切线与 x 轴平行,称为 驻点 ;
若 切线与 x 轴垂直,
曲线在点 处的切线方程,
法线方程,)0)(( 0 xf
x
y
o 0x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
1?
1
1?
例 7,问曲线 哪一点有垂直切线? 哪一点处的切线与直线 平行? 写出其切线方程,
解,3
2
3
1 x,
0xy
令,3
11
3
1
3 2?x 得,1x 对应,1y
则在点 (1,1),(–1,–1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0,0) 有垂直切线机动 目录 上页 下页 返回 结束四,函数的可导性与连续性的关系定理 1.
证,设 在点 x 处可导,
存在,因此必有其中故 0x
所以函数 在点 x 连续,
注意,函数在点 x 连续未必可导,
反例,x
y
o
xy?
在 x = 0 处连续,但不可导,
即机动 目录 上页 下页 返回 结束在点 的某个 右 邻域内五,单侧导数若极限则称此极限值为 在 处的 右 导数,记作
)( 0xf
即 )( 0xf
(左 )
(左 )
)0( x )0( x
))(( 0xf
0x
例如,xxf?)( 在 x = 0 处有
x
y
o
xy?
定义 2,设函数有定义,
存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,函数 在点且
)( 0xf? 存在 )( 0xf简写为在点 处 右 导数存在定理 3,函数在点 必 右 连续,
(左 )
(左 )
若函数 )(bf与都存在,则称显然,
在闭区间 [a,b] 上可导在开区间 内可导,
在闭区间 上可导,
可导的 充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,导数的实质,
3,导数的几何意义,
4,可导必连续,但连续不一定可导 ;
5,已学求导公式,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
直接用导数定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
)(C
)(c o s x
axf )( 02,axfxf )()( 00
)(ln x;0;sin x?
x
1
增量比的极限 ;
切线的斜率 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,函数 在某点 处的导数区别,)(xf? 是函数,)(
0xf?
是数值 ;
联系,
0)( xxxf )( 0xf?
注意,
有什么区别与联系?
])([)( 00 xfxf？
与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 存在,则
._ _ _ _ _ _ _ _)()(lim 00
0
h
xfhxf
h
3,已知 则
)( 0xf
0k
4,若 时,恒有 问 是否在可导?
解,由题设由夹逼准则故 在可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束
5,设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解,
)0(f
0
0s inlim
0?
x
x
x
1?
)0(f
0
0lim
0?
x
xa
x
a?
故 1?a 时 此时 在 都存在,
显然该函数在 x = 0 连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P85
2,5,6,9,13,14(2),16,18
第二节 目录 上页 下页 返回 结束备用题解,因为
1,设 存在,且 求所以
)(
)1())(1(lim
2
1
0 x
fxf
x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束在 处连续,且 存在,证明,
在 处可导,
证,因为 存在,则有又 在 处连续,
所以即 在 处可导,
2,设
x
fxf
x
)0()(l i m
0
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
德国数学家 Leibniz
微分学 导数 描述函数变化快慢微分 描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数 )
导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出,
英国数学家 Newton
一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束导数的概念第二章一,引例
1,变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为
0t
则 到 的平均速度为
v )()( 0tftf?
0tt?
而在 时刻的瞬时速度为
lim
0tt
v
)()( 0tftf?
0tt?
221 tgs?
so
)( 0tf )(tf
t
自由落体运动机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o
)( xfy?
C
2,曲线的切线斜率曲线
N
T
0x
M
在 M 点处的切线
x
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时 )
割线 M N 的斜率tan )()( 0xfxf?0xx?
切线 MT 的斜率
t a nl i m
l i m
0xx
k
)()( 0xfxf?
0xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束两个问题的 共性,
so
0t
)( 0tf )(tf
t瞬时速度切线斜率
x
y
o
)( xfy?
C
N
T
0x
M
x
所求量为 函数增量 与 自变量增量 之比的极限,
类似问题还有,
加速度角速度线密度电流强度是 速度增量 与 时间增量 之比的极限是 转角增量 与 时间增量 之比的极限是 质量增量 与 长度增量 之比的极限是 电量增量 与 时间增量 之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数的定义定义 1,设函数 在点
0
limxx?
0
0 )()(
xx
xfxf
x
y
x?
0
l i m )()( 0xfxfy
0xxx
存在,并称此极限为记作,;0xxy ;)( 0xf? ;dd
0xxx
y
0d
)(d
xxx
xf
即 0xxy )( 0xf x
y
x?
0
lim
则称函数若的某邻域内有定义,
在点 处 可导,
在点 的 导数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束运动质点的位置函数 )(tfs?
s
o
0t
)( 0tf )(tf
t
在 时刻的瞬时速度
0t
曲线 )(,xfyC?在 M 点处的切线斜率
x
y
o
)( xfy?
C
N
T
0x
M
x
)( 0tf
)( 0xf
说明,在经济学中,边际成本率,
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()( 0xfxfy
0xxx
若上述极限不存在,在点 不可导,
0x
若,lim
0
x
y
x 也称 在若函数在开区间 I内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为 导函数,
记作,;y? ;)( xf? ;d
d
x
y,
d
)(d
x
xf
注意,)(
0xf? 0)( xxxf x
xf
d
)(d 0
就说函数就称函数 在 I 内可导,
的导数为 无穷大,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求函数 (C 为常数 ) 的导数,
解,y?
即例 2,求函数解,ax afxf )()(
ax lim ax
ax nn
ax?
lim
(limax 1?nx 2 nxa 32 nxa )1 na
x
xfxxf
)()(
0lim x
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明：
对一般幂函数?xy? ( 为常数 )?
1)( xx
例如,)(?x )( 21 x 21
2
1 x
x2
1?
x1 )( 1x 11 x 21x
)1(?
xx
)( 4
3
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（以后将证明）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
h
xhx
h
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0
例 3,求函数 的导数,
解,则
h
xfhxf )()(
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)2c o s(2 hx?
)2c o s (l i m
0
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h
xcos?
即 xx c o s)(s in
类似可证得 xx s in)( c o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求函数 的导数,
解,h xfhxf )()(
0lim h h
xhx
h
ln)l n (l i m
0
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1lim
0
即 xx 1)(l n
0lim h
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x
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x
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0
或机动 目录 上页 下页 返回 结束则令,0 hxt
原式
是否可按下述方法作,
例 5,证明函数 在 x = 0 不可导,
证,h fhf )0()0( h
h?
0?h,1
0?,1?
h
fhf
h
)0()0(l i m
0
不存在,
例 6,设 存在,求极限,2 )()(lim 000 h hxfhxfh
解,原式0lim h )( 0xf
h
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2
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)(21 0xf )(21 0xf )( 0xf
)(2
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机动 目录 上页 下页 返回 结束三,导数的几何意义
x
y
o
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T
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曲线 在点 的切线斜率为
)(ta n 0xf
若 曲线过 上升 ;
若 曲线过 下降 ;
x
y
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),( 00 yx若 切线与 x 轴平行,称为 驻点 ;
若 切线与 x 轴垂直,
曲线在点 处的切线方程,
法线方程,)0)(( 0 xf
x
y
o 0x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
1?
1
1?
例 7,问曲线 哪一点有垂直切线? 哪一点处的切线与直线 平行? 写出其切线方程,
解,3
2
3
1 x,
0xy
令,3
11
3
1
3 2?x 得,1x 对应,1y
则在点 (1,1),(–1,–1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0,0) 有垂直切线机动 目录 上页 下页 返回 结束四,函数的可导性与连续性的关系定理 1.
证,设 在点 x 处可导,
存在,因此必有其中故 0x
所以函数 在点 x 连续,
注意,函数在点 x 连续未必可导,
反例,x
y
o
xy?
在 x = 0 处连续,但不可导,
即机动 目录 上页 下页 返回 结束在点 的某个 右 邻域内五,单侧导数若极限则称此极限值为 在 处的 右 导数,记作
)( 0xf
即 )( 0xf
(左 )
(左 )
)0( x )0( x
))(( 0xf
0x
例如,xxf?)( 在 x = 0 处有
x
y
o
xy?
定义 2,设函数有定义,
存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,函数 在点且
)( 0xf? 存在 )( 0xf简写为在点 处 右 导数存在定理 3,函数在点 必 右 连续,
(左 )
(左 )
若函数 )(bf与都存在,则称显然,
在闭区间 [a,b] 上可导在开区间 内可导,
在闭区间 上可导,
可导的 充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,导数的实质,
3,导数的几何意义,
4,可导必连续,但连续不一定可导 ;
5,已学求导公式,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
直接用导数定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
)(C
)(c o s x
axf )( 02,axfxf )()( 00
)(ln x;0;sin x?
x
1
增量比的极限 ;
切线的斜率 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,函数 在某点 处的导数区别,)(xf? 是函数,)(
0xf?
是数值 ;
联系,
0)( xxxf )( 0xf?
注意,
有什么区别与联系?
])([)( 00 xfxf？
与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 存在,则
._ _ _ _ _ _ _ _)()(lim 00
0
h
xfhxf
h
3,已知 则
)( 0xf
0k
4,若 时,恒有 问 是否在可导?
解,由题设由夹逼准则故 在可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束
5,设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解,
)0(f
0
0s inlim
0?
x
x
x
1?
)0(f
0
0lim
0?
x
xa
x
a?
故 1?a 时 此时 在 都存在,
显然该函数在 x = 0 连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P85
2,5,6,9,13,14(2),16,18
第二节 目录 上页 下页 返回 结束备用题解,因为
1,设 存在,且 求所以
)(
)1())(1(lim
2
1
0 x
fxf
x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束在 处连续,且 存在,证明,
在 处可导,
证,因为 存在,则有又 在 处连续,
所以即 在 处可导,
2,设
x
fxf
x
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0
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
