第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束隐函数和参数方程求导相关变化率第二章一、隐函数的导数若由方程 可确定 y 是 x 的函数,
由 表示的函数,称为 显函数,
例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,
但此隐函数不能显化,
函数为 隐函数,
则称此隐函数 求导方法,
两边对 x 求导
(含导数 的方程 )y?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求由方程在 x = 0 处的导数解,方程两边对 x 求导得 xyy dd5 4 xydd2? 1? 621x? 0?
25
211
d
d
4
6

y
x
x
y
因 x = 0 时 y = 0,故确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求椭圆 在点 处的切线方程,
解,椭圆方程两边对 x 求导
8
x yy
9
2 0?
y 2
323
x
y y
x
16
9
2
323
x
y 4
3
故切线方程为 323?y 43 )2(?x
即机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求 的导数,
解,两边取对数,化为隐式两边对 x 求导
yy?1 xx lnc o s
x
xsin?
)s i nlnc o s(s i n x xxxxy x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1) 对幂指函数 vuy? 可用对数求导法求导,
uvy lnln?
yy?1 uv ln uvu
)ln( u vuuvuy v
vuuy v ln uuv v1
说明,
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式注意,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便,
例如,
两边取对数
yln
两边对 x 求导
yy baln xa? xb?
bax ln ]lnln[ xba ]lnln[ axb?
机动 目录 上页 下页 返回 结束又如,)4)(3(
)2)(1(


xx
xxy
u
uu)ln(
21ln?y
对 x 求导
21yy
41312111 xxxx
两边取对数
2ln1ln xx?4ln3ln xx
11x 21?x 31 x?41 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且 则
0)( t? 时,有
xydd xtty dddd?
t
xt
y
d
d
1
d
d

)(
)(
t
t
0)( t? 时,有?
y
x
d
d
y
t
t
x
d
d
d
d?
t
yt
x
d
d
1
d
d

)(
)(
t
t

(此时看成 x 是 y 的函数 )
关系,
机动 目录 上页 下页 返回 结束若上述参数方程中 二阶可导,
2
2
d
d
x
y )
d
d(
d
d
x
y
x
)(2 t
)()( tt )()( tt )(t
)(
)()()()(
3 t
tttt


3x
yxxy

)dd(dd xyt?
t
x
d
d
)(
)(
d
d
t
t
x
y
)(tx
且则由它确定的函数 可求二阶导数,
利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 4,设 )(tfx,且,0)( tf 求,d
d
2
2
x
y
d
d?
x
y )(tft
)(tf,t?
d
d
2
2
x
y
1 )(tf
已知解,
)()( tftfty
练习,P111 题 8(1)
xydd ;1t2
2
d
d
x
y 21
t t 3
1
t?解,
注意,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向,
解,先求速度大小,
速度的水平分量为 垂直分量为故抛射体 速度大小
2221 )( gtvv
再求 速度方向 (即轨迹的切线方向 ):
设?为切线倾角,
xydd t
y
d
d
t
x
d
d
则
y
xo
机动 目录 上页 下页 返回 结束抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量 垂直分量在刚射出 (即 t = 0 )时,倾角为
1
2a rc t a n
v
v
达到最高点的时刻,2gvt? 高度落地时刻 抛射 最远距离速度的方向
y
xo
2vt?g
22vt?g
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 6,设由方程 )10(1sin
2
2
2



yyt
ttx
确定函数,)( xyy? 求解,方程组两边对 t 求导,得故?x
y
d
d
)c o s1)(1( yt
t

t
y
d
d
t
x
d
d
t2 y
t
t
y
c o s1
2
d
d

22 t
ycos tydd 0?
)1(2dd ttx
t
y
d
d
t
x
d
d
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、相关变化率为两可导函数之间有联系 之间也有联系称为 相关变化率相关变化率问题 解法,
找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,一气球从离开观察员 500 m 处离地面铅直上升,
其速率为,m inm140 当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?
500
h
解,设气球上升 t 分后其高度为 h,仰角为?,
则tan 500h
两边对 t 求导
2sec tdd thdd5001?
已知,m i nm140d
d?
t
h
h = 500m 时,,1ta n
22 t a n1s e c
,2s e c 2
td
d? 140
500
1
2
1 )m inr a d /(
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考题,当气球升至 500 m 时停住,有一观测者以
100 m／ min 的速率向气球出发点走来,当距离为 500 m
时,仰角的增加率是多少?
提示,tan x500
对 t 求导
2sec tdd txx dd5002
已知,m i nm100d
d?
t
x,
d
d
t
x
500
,m500?x 求机动 目录 上页 下页 返回 结束试求当容器内水
Rh xhr
例 8,有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,
今以 自顶部向容器内注水,scm25 3
位等于锥高的一半时水面上升的速度,
解,设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的
hR 231? )(231 xhr
x
r h
])([3 332
2
xhhhR
两边对 t 求导
t
V
d
d
2
2
h
R
2)( xh,d
d
t
x? 而
,
)(
25
22
2
xhR
h

h
xh
R
r
故
)scm(25dd 3?tV
)scm(1 0 0dd 2Rtx
体积为 V,则机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2,对数求导法,适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
3,参数方程求导法 极坐标方程求导
4,相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,求螺线 在对应于 的点处的切线方程,
解,化为参数方程?
s i n
c o s
ry
rx
xydd?ddy
d
dx c o ssi n
s inc o s?
当 时对应点斜率 xyk dd?
2
22
,),0( 2?M
∴ 切线方程为 22 xy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设,)2(
2)(si n
3 2lnt a n x
x
x
xxy
x
x

求,y?
1y
2y
提示,分别用对数微分法求,,21 yy
答案,
21 yyy
)1s i nln(s e c)(s i n 2t an xxx x
3 2ln )2(
31
x
x
x x?

)2(3
2
)2(3ln21 x
x
x
xx

机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,设 由方程 确定,
解,方程两边对 x 求导,得
0 yxyye y
再求导,得
2ye y yxe y )( 02y ②
当 0?x 时,,1?y 故由 ① 得
ey
1)0(
再代入 ② 得 2
1)0(
ey
求机动 目录 上页 下页 返回 结束
①
作业
P110 1(1),(4) ; 2 ; 3 (3),(4) ;
4 (2),(4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ;
8 (2),(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
第五节 目录 上页 下页 返回 结束求其反函数的导数,
解,方法 1
方法 2 等式两边同时对 求导y
备用题
1,设机动 目录 上页 下页 返回 结束
,求解,
0d
d
tx
y
2,设方程组两边同时对 t 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束