二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束高阶导数第二章一、高阶导数的概念速度 即 sv
加速度即 )( sa
引例,变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,若函数 )( xfy? 的导数 )( xfy 可导,
或 即
)( yy 或 )d
d(
d
d
d
d
2
2
x
y
xx
y?
类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,
1?n 阶导数的导数称为 n 阶导数,
或
)(xf 的 二阶导数,记作的导数为依次类推,
分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束设 求解, 1ay?xa22 1 nn xan?
212 ay xa323? 2)1( nn xann?
依次类推,
nn any !)(?
233 xa
例 1.
思考,设,)( 为任意常数xy? 问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束
nx)1(?
,,3?xaeay
例 2,设 求解,
特别有,
解,
!)1(?n 规定 0 ! = 1
思考,
,xaey?,)(ny
,xaeay,2 xaeay
xann eay?)(
xnx ee?)()(
例 3,设 求
,1 1 xy,)1( 1 2xy,)1( 21)1( 32 xy
)(ny 1)1( n
xy 1
1
y 2)1(
1
x?
,?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设 求解,xy c o s )s in ( 2 x
)c o s ( 2 xy )s in ( 22 x
)2s in ( 2 x
)2c o s ( 2 xy )3s in ( 2 x
一般地, xx n s in ()(s i n )(
类似可证,
xx n c o s ()(c o s )(
)2n
)2n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设 bxey xa s i n?
解, bxaey xa s i n
)c o ss i n( xbbxbae xa
求为常数,),( ba,)(ny
bxbe xa c o s
)c o ss i n( 222222 xb
ba
bxb
ba
aba
cos?sin
xae? )s in (22 bxba )a rc t a n( ab
22 bay
222)( )(
n
n bay
xaeba 22
)a rc t a n( ab
)2s in (22 bxba
)s i n (?nbxe xa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设,3)( 23 xxxxf求使 )0()(nf 存在的最高分析,)( xf 0?x,4 3x 0?x,2 3x
x
xf
x
02lim)0( 3
0
0?
x
xf
x
04lim)0( 3
0
0?
0?x
0?x
)( xf,12 2x
,6 2x
)0(f x
x
x
2
0
6lim
0?
)0(f x
x
x
2
0
12lim
0?
)( xf
但是,12)0(f,24)0(f )0(f 不存在,
2
又 0?x,24x
0?x,12x
阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则
(C为常数 )
!2
)1(?nn
!
)1()1(
k
knnn
莱布尼兹 (Leibniz) 公式及设函数推导 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,设,,22 xveu x 则
xkk eu 2)( 2?
,2 xv,2v
0)(?kv
代入莱布尼兹公式,得
)20(y xe2202 2x? xe 219220 x? !2
1920 2?
xe2182
)20,,2,1(k
)20,,3(k
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,设 求解,,1
1
2xy 即 1)1( 2 yx
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
)1( 2x? x2 2
令 得由 得
)0()12( my
)0(!)2()1( ymm
0)0()2(?my
12,!)2()1(
2,0)0()(
mnm
mny
m
n
即 ),2,1,0(m
由 得 )0(!)2()1()0()12( ymy mm
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法
)(1 nxa 1)( !)1( nn xa n
)(1 nxa 1)( ! nxa n
如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1
)(
)1(
!)1(2
n
nn
x
ny
3,)1( ! 1)( nxny nn
1,如何求下列函数的 n 阶导数?
x
xy
1
1)1(
x
xy
1)2(
3
解,
解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
23
1
2 xxy
1
1
2
1
xxy
11)(
)1(
1
)2(
1!)1(
nn
nn
xx
ny
(3)
12)1)(2(
1
x
B
x
A
xx提示,令
)2( xA 原式 2?x
)1( xB 原式 1?x
1?
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxy 66 c o ss i n)4(
xxxx 4224 c o sc o ss ins in
x2sin431 2
8
3)(?ny n4?
33 ba )( ba? )( 22 baba
)4c o s ( 2?nx?
2
2c o s1s i n 2
解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)]([!?nxfn
2,(填空题 ) (1) 设,c o s)23()( 162 2xnxxxf则
)2()( nf
16c o s)1(
2x
x n
16c o s)1(
2x
x n
提示,
各项均含因子 ( x – 2 )nx )2(?
!n?
22!n
(2) 已知 )(xf 任意阶可导,且
2?n 时?)()( xf n
提示,
,)]([)( 2xfxf 则当
)(xf )()(2 xfxf? 3)]([!2 xf?
)( xf )()]([3!2 2 xfxf 4)]([!3 xf?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,试从 导出解,
y
x
yy
x
d
d
d
d
d
d
2
2
y
1
xd
d x
d
d?
y
1 同样可求 3
3
d
d
y
x
(见 P101 题 4 )
作业
P101 1 (9),(12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2),(3) ;
9 (2),(3)
第四节 目录 上页 下页 返回 结束解,
设 求 其中 f 二阶可导,
备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束
加速度即 )( sa
引例,变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,若函数 )( xfy? 的导数 )( xfy 可导,
或 即
)( yy 或 )d
d(
d
d
d
d
2
2
x
y
xx
y?
类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,
1?n 阶导数的导数称为 n 阶导数,
或
)(xf 的 二阶导数,记作的导数为依次类推,
分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束设 求解, 1ay?xa22 1 nn xan?
212 ay xa323? 2)1( nn xann?
依次类推,
nn any !)(?
233 xa
例 1.
思考,设,)( 为任意常数xy? 问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束
nx)1(?
,,3?xaeay
例 2,设 求解,
特别有,
解,
!)1(?n 规定 0 ! = 1
思考,
,xaey?,)(ny
,xaeay,2 xaeay
xann eay?)(
xnx ee?)()(
例 3,设 求
,1 1 xy,)1( 1 2xy,)1( 21)1( 32 xy
)(ny 1)1( n
xy 1
1
y 2)1(
1
x?
,?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设 求解,xy c o s )s in ( 2 x
)c o s ( 2 xy )s in ( 22 x
)2s in ( 2 x
)2c o s ( 2 xy )3s in ( 2 x
一般地, xx n s in ()(s i n )(
类似可证,
xx n c o s ()(c o s )(
)2n
)2n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设 bxey xa s i n?
解, bxaey xa s i n
)c o ss i n( xbbxbae xa
求为常数,),( ba,)(ny
bxbe xa c o s
)c o ss i n( 222222 xb
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n
n bay
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)a rc t a n( ab
)2s in (22 bxba
)s i n (?nbxe xa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设,3)( 23 xxxxf求使 )0()(nf 存在的最高分析,)( xf 0?x,4 3x 0?x,2 3x
x
xf
x
02lim)0( 3
0
0?
x
xf
x
04lim)0( 3
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0?
0?x
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)( xf,12 2x
,6 2x
)0(f x
x
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2
0
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0?
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但是,12)0(f,24)0(f )0(f 不存在,
2
又 0?x,24x
0?x,12x
阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则
(C为常数 )
!2
)1(?nn
!
)1()1(
k
knnn
莱布尼兹 (Leibniz) 公式及设函数推导 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,设,,22 xveu x 则
xkk eu 2)( 2?
,2 xv,2v
0)(?kv
代入莱布尼兹公式,得
)20(y xe2202 2x? xe 219220 x? !2
1920 2?
xe2182
)20,,2,1(k
)20,,3(k
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,设 求解,,1
1
2xy 即 1)1( 2 yx
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
)1( 2x? x2 2
令 得由 得
)0()12( my
)0(!)2()1( ymm
0)0()2(?my
12,!)2()1(
2,0)0()(
mnm
mny
m
n
即 ),2,1,0(m
由 得 )0(!)2()1()0()12( ymy mm
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法
)(1 nxa 1)( !)1( nn xa n
)(1 nxa 1)( ! nxa n
如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1
)(
)1(
!)1(2
n
nn
x
ny
3,)1( ! 1)( nxny nn
1,如何求下列函数的 n 阶导数?
x
xy
1
1)1(
x
xy
1)2(
3
解,
解,
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23
1
2 xxy
1
1
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1
xxy
11)(
)1(
1
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1!)1(
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xx
ny
(3)
12)1)(2(
1
x
B
x
A
xx提示,令
)2( xA 原式 2?x
)1( xB 原式 1?x
1?
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxy 66 c o ss i n)4(
xxxx 4224 c o sc o ss ins in
x2sin431 2
8
3)(?ny n4?
33 ba )( ba? )( 22 baba
)4c o s ( 2?nx?
2
2c o s1s i n 2
解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)]([!?nxfn
2,(填空题 ) (1) 设,c o s)23()( 162 2xnxxxf则
)2()( nf
16c o s)1(
2x
x n
16c o s)1(
2x
x n
提示,
各项均含因子 ( x – 2 )nx )2(?
!n?
22!n
(2) 已知 )(xf 任意阶可导,且
2?n 时?)()( xf n
提示,
,)]([)( 2xfxf 则当
)(xf )()(2 xfxf? 3)]([!2 xf?
)( xf )()]([3!2 2 xfxf 4)]([!3 xf?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,试从 导出解,
y
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1
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y
1 同样可求 3
3
d
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y
x
(见 P101 题 4 )
作业
P101 1 (9),(12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2),(3) ;
9 (2),(3)
第四节 目录 上页 下页 返回 结束解,
设 求 其中 f 二阶可导,
备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束
