二,函数的间断点一,函数连续性的定义第八节机动 目录 上页 下页 返回 结束函数的连续性与间断点第一章可见,函数 在点 0x
一,函数连续性的定义定义,在 的某邻域内有定义,
则称函数,)( 0 连续在 xxf
(1) 在点 即
(2) 极限
(3)
设函数连续必须具备下列条件,
存在 ;
且有定义,存在 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
continue )()(lim,),( 00
0
xPxPx xx
若 在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的 连续函数,
.],[ baC
例如,
在 上连续,
( 有理整函数 )
又如,有理分式函数在其定义域内连续,
在闭区间 上的连续函数的集合记作只要,0)( 0?xQ 都有 )()(li m 0
0
xRxRxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束对自变量的增量 有 函数的增量
)( xfy?
xo
y
0x x
x?
y?
)()(lim 0
0
xfxfxx )()(lim 000 xfxxfx
0l im 0 yx
)()()( 000 xfxfxf
左连续 右连续
,0,0 当 xxx 0 时,有
yxfxf )()( 0
函数 在点 连续有下列 等价命题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例,证明函数 在 内连续,
证,),( x
xxxy s in)s in(
)c o s (s i n2 22 xx xy
x 0x
即这说明 在 内连续,
同样可证,函数 在 内连续,
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束在在二,函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数 不存在 ;
(3) 函数 存在,但
)()(lim 0
0
xfxf
xx
不连续,
设 在点 的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一 函数 f (x) 在点虽有定义,但虽有定义,且称为 间断点,
在 无定义 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束间断点分类,
第一类间断点,
及 均存在,
若 称
0x
若 称
0x
第二类间断点,
及 中至少一个不存在,
称
0x
若其中有一个为振荡,称
0x
若其中有一个为
,?
为 可去间断点,
为 跳跃间断点,
为 无穷间断点,
为 振荡间断点,
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2
x
为其无穷间断点,
0?x 为其振荡间断点,
1?x 为可去间断点,xo
y
1
例如,xy tan?
2? x
y
o
x
y xy 1sin?
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
)1(1)(lim 1 fxfx
显然
1?x 为其可去间断点,
1,
1,
)(
2
1 x
xx
xfy
(4)
xo
y
2
1
1
(5)
0,1
0,0
0,1
)(
xx
x
xx
xfy
x
y
o
1
1?
,1)0(f 1)0(f
0?x 为其跳跃间断点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结左连续 右连续第一类间断点 可去间断点跳跃间断点 左右极限都存在第二类间断点 无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点 间断的类型在点 连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点,
间断点的类型,
2,设 时提示,
3,P64 题 2,P65 题 5
为连续函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束答案,x = 1 是第一类可去间断点,
P65 题 5 提示,
作业
P64 3 ; 4
第九节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 确定函数 间断点的类型,
x
x
e
xf
11
1)(
解,间断点 1,0 xx
)(li m0 xfx, 0 x 为无穷间断点 ;
,1 时当x xx1, 0)( xf
,1 时当x xx1, 1)( xf
故 1?x 为跳跃间断点,
,1,0 处在?x,)( 连续xf
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一,函数连续性的定义定义,在 的某邻域内有定义,
则称函数,)( 0 连续在 xxf
(1) 在点 即
(2) 极限
(3)
设函数连续必须具备下列条件,
存在 ;
且有定义,存在 ;
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continue )()(lim,),( 00
0
xPxPx xx
若 在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的 连续函数,
.],[ baC
例如,
在 上连续,
( 有理整函数 )
又如,有理分式函数在其定义域内连续,
在闭区间 上的连续函数的集合记作只要,0)( 0?xQ 都有 )()(li m 0
0
xRxRxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束对自变量的增量 有 函数的增量
)( xfy?
xo
y
0x x
x?
y?
)()(lim 0
0
xfxfxx )()(lim 000 xfxxfx
0l im 0 yx
)()()( 000 xfxfxf
左连续 右连续
,0,0 当 xxx 0 时,有
yxfxf )()( 0
函数 在点 连续有下列 等价命题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例,证明函数 在 内连续,
证,),( x
xxxy s in)s in(
)c o s (s i n2 22 xx xy
x 0x
即这说明 在 内连续,
同样可证,函数 在 内连续,
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束在在二,函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数 不存在 ;
(3) 函数 存在,但
)()(lim 0
0
xfxf
xx
不连续,
设 在点 的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一 函数 f (x) 在点虽有定义,但虽有定义,且称为 间断点,
在 无定义 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束间断点分类,
第一类间断点,
及 均存在,
若 称
0x
若 称
0x
第二类间断点,
及 中至少一个不存在,
称
0x
若其中有一个为振荡,称
0x
若其中有一个为
,?
为 可去间断点,
为 跳跃间断点,
为 无穷间断点,
为 振荡间断点,
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2
x
为其无穷间断点,
0?x 为其振荡间断点,
1?x 为可去间断点,xo
y
1
例如,xy tan?
2? x
y
o
x
y xy 1sin?
0
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1
)1(1)(lim 1 fxfx
显然
1?x 为其可去间断点,
1,
1,
)(
2
1 x
xx
xfy
(4)
xo
y
2
1
1
(5)
0,1
0,0
0,1
)(
xx
x
xx
xfy
x
y
o
1
1?
,1)0(f 1)0(f
0?x 为其跳跃间断点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结左连续 右连续第一类间断点 可去间断点跳跃间断点 左右极限都存在第二类间断点 无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点 间断的类型在点 连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点,
间断点的类型,
2,设 时提示,
3,P64 题 2,P65 题 5
为连续函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束答案,x = 1 是第一类可去间断点,
P65 题 5 提示,
作业
P64 3 ; 4
第九节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 确定函数 间断点的类型,
x
x
e
xf
11
1)(
解,间断点 1,0 xx
)(li m0 xfx, 0 x 为无穷间断点 ;
,1 时当x xx1, 0)( xf
,1 时当x xx1, 1)( xf
故 1?x 为跳跃间断点,
,1,0 处在?x,)( 连续xf
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