西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页第一章 流体力学基础
1.1 概述
1.2 流体静力学及其应用
1.3 流体流动的基本方程
1.4 管路计算
1.5 边界层及边界层方程
1.6 湍流
1.7 流速、流量测量西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
1 连续介质模型流体是由分子或原子所组成,分子或原子无时无刻不在作无规则的热运动 。 假定流体是由无数内部紧密相连,彼此间没有间隙的流体质点 （ 或微团 ） 所组成的连续介质 。
质点,由大量分子构成的微团,其尺寸远小于设备尺寸,远大于分子自由程 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
2 流体的压缩性流体体积随压力变化而改变的性质称为压缩性。实际流体都是可压缩的。 液体的压缩性很小，在大多数场合下都视为不可压缩，而气体压缩性比液体大得多，一般应视为可压缩，但如果压力变化很小，温度变化也很小，则可近似认为气体也是不可压缩的 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
3 作用在流体上的力作用在流体上的所有外力?F可以分为两类：质量力和表面力，分别用 FB,FS表示，于是：
质量力,质量力又称体积力，是指作用在所考察对象的每一个质点上的力，属于非接触性的力，例如重力、
离心力等。
SB FFF
kjiF zyx ggg
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
3 作用在流体上的力表面力,表面力是指作用在所考察对象表面上的力。
任一面所受到的应力均可分解为一个法向应力 （ 垂直于作用面,记为
ii） 和两个切向应力 （ 又称为剪应力,平行于作用面,记为?ij，
i?j）,例如图中与 z轴垂直的面上受到的应力为?zz（ 法向 ）,?zx和?zy
（ 切向 ）,它们的矢量和为,
kjiτ z zzzyzx
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
3 作用在流体上的力类似地，与 x轴,y轴相垂直的面（参见图 1-2）上受到的应力分别为：
kjiτ x xzxyxx kjiτ y yzyyyx
z
x x
y x? xy
y y
M? xz
y z? zx
zy
zz
o
y
x
图 1 - 2 任一点所受到的应力西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2 流体静力学及其应用
1.2.1 静止流体所受的力
1.2.2 流体静力学基本方程
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.1静止流体所受的力
静止流体所受的外力有质量力和压应力两种,流体垂直作用于单位面积上的力，称为流体的静压强，习惯上又称为 压力。
（ 1）压力单位在国际单位制 （ SI制 ） 中,压力的单位为 N/m2,称为帕斯卡 （ Pa）,帕斯卡与其它压力单位之间的换算关系为：
1atm（ 标准大气压 ） =1.033at（ 工程大气压 ）
=1.013?105Pa
=760mmHg
=10.33mH2O
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.1静止流体所受的力
（ 2） 压力的两种表征方法绝对压力 以绝对真空为基准测得的压力 。
表压或真空度 以大气压为基准测得的压力 。
当地大气压绝压表压
绝压当地大气压真空度
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.2 流体静力学基本方程
对连续、均质且不可压缩流体,?=常数，
对于静止流体中任意两点 1和 2，则有：
两边同除以?g
)( 2112 zzgpp
2112 zz
g
p
g
p
—— 静力学基本方程常数 pgz?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.2 流体静力学基本方程
讨论
（ 1）适用于 重力场中静止、连续的同种不可压缩性流体 ；
（ 2） 在 静止 的,连续 的 同种流体 内,处于 同一水平面 上各点的压力处处相等 。 压力相等的面称为 等压面 ；
（ 3） 压力具有 传递性,液面上方压力变化时,液体内部各点的压力也将发生相应的变化 。 即压力可传递,这就是 巴斯噶定理 ；
（ 4） 若记,? 称为广义压力,代表单位体积静止流体的总势能 （ 即静压能 p与位能?gz之和 ）,静止流体中各处的总势能均相等 。 因此,位置越高的流体,其位能越大,而静压能则越小 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
1．压力计
（ 1）单管压力计或表压式中 pa为当地大气压。
单管压力计只能用来测量高于大气压的液体压力，不能测气体压力。
p a
R
A 1?
,,
图 1 - 5 单管压力计
gRpp a1
gRppp a 11
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
1．压力计
（ 2） U形压力计设 U形管中指示液液面高度差为 R,指示液密度为?0，被测流体密度为?，则由静力学方程可得：
将以上三式合并得：
p a
A 1?
h R
2 3
0
图 1 - 6 U 形压力计
ghpp 21
32 pp?
gRpp a 03
ghgRpp a 01
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用若容器 A内为气体,则?gh项很小可忽略,于是,
显然,U形压力计既可用来测量气体压力，又可用来测量液体压力，而且被测流体的压力比大气压大或小均可。
gRpp a 01
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
2．压差计
（ 1） U形压差计设 U形管中指示液液面高度差为 R,指示液密度为?0，被测流体密度为?，则由静力学方程可得,
2
1 z 2
流向 z 1?
R
3 3?
0
图 1 - 7 U 形压差计
311 pRzgp
3022 pgRgzp
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用根据 而 3,3?面为等压面 及 广义压力的定义两边同除以?g得：
式中,为静压头与位头之和，又称为广义压力头。
U形压差计的读数 R的大小反映了 被测两点间广义压力头之差 。
gR 021
gRgzpgzp 02211
Rgg 021
zgpg
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
讨论
（ 1） U形压差计可测系统内两点的压力差,当将 U形管一端与被测点连接,另一端与大气相通时,也可测得流体的表压或真空度；
p1
pa
p1
pa
表压 真空度西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
讨论
（ 2） 指示液的选取：
指示液与被测流体不互溶,不发生化学反应；
其密度要大于被测流体密度 。
应根据被测流体的种类及压差的大小选择指示液 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用思考,若 U形压差计安装在倾斜管路中,此时读数 R反映了什么？
p1
p2
z2
R
A A’
z1 gzzgR
pp
)()( 120
21
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
2．压差计
（ 2）双液柱压差计又称微差压差计 适用于压差较小的场合 。
密度接近但不互溶的两种指示液 1和 2,?1略小于?2 ；
扩大室内径与 U管内径之比应大于 10 。
p 1 p 2
z 1? 1 z 1
R
2
图 1 - 8 双液柱压差计 gRpp 1221
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
例 1-1 当被测压差较小时，为使压差计读数较大，以减小测量中人为因素造成的相对误差，也常采用倾斜式压差计，其结构如图
1-9所示。试求若被测流体压力 p1=1.014?105Pa（ 绝压）,p2端通大气，大气压为 1.013?105Pa,管的倾斜角?=10?，指示液为酒精溶液，其密度?0=810kg/m3,则读数 R?为多少 cm？ 若将右管垂直放置，读数又为多少 cm？
p 1
R? p 2
R
0
图 1 - 9 倾斜式压差计西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3 流体流动的基本方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 质量衡算方程 ----连续性方程
1.3.3 运动方程
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
1．稳定流动与不稳定流动流体流动时，若任一点处的流速、压力、密度等与流动有关的流动参数都不随时间而变化，
就称这种流动为 稳定流动 。
反之，只要有一个流动参数随时间而变化，
就属于 不稳定流动 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
2．流速和流量流速 （平均流速）
单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离 。
质量流速单位时间内流经管道单位截面积的流体质量 。
A
v dAAAVu 1
uG
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
2．流速和流量体积流量单位时间内流经管道任意截面的流体体积,V——
m3/s或 m3/h。
质量流量单位时间内流经管道任意截面的流体质量,m——
kg/s或 kg/h。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
3．粘性及牛顿粘性定律当流体流动时，流体内部存在着内摩擦力，这种内摩擦力会阻碍流体的流动，流体的这种特性称为 粘性 。产生内摩擦力的根本原因是流体的粘性。
牛顿粘性定律,
服从此定律的流体称为 牛顿型流体 。
y v
x v =0
图 1 - 10 平板间粘性流体分层运动及速度分布
y
v
yx d
d
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
3．粘性及牛顿粘性定律粘度的单位,
= Pa?s
在 c.g.s制中,?的常用单位有 dyn?s/cm2即泊 （ P）,以及厘泊 （ cP）,三者之间的换算关系如下：
1Pa?s=10P=1000cP
msm mNdd 2
yv
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1基本概念
4.非牛顿型流体凡是剪应力与速度梯度不符合牛顿粘性定律的流体均称为非牛顿型流体。非牛顿型流体的剪应力与速度梯度成曲线关系，或者成不过原点的直线关系，如图
1-11所示。
宾汉塑性流体 涨塑性流体牛顿流体假塑性流体
d v /d y
图 1 - 1 1 剪应力与速 度梯度关系西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1基本概念
5.流动类型和雷诺数有色液体
( a ) 层流水
( b ) 湍流图 1 - 1 2 雷诺实验装置 图 1 - 13 两种流动类型西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1基本概念
5.流动类型和雷诺数实验研究发现，圆管内流型由层流向湍流的转变不仅与流速 u
有关，而且还与流体的密度?、粘度? 以及流动管道的直径 d有关。
将这些变量组合成一个数群 du?/?,根据该数群数值的大小可以判断流动类型。这个数群称为 雷诺准数,用符号 Re表示，即其因次为：
= m0kg0s0
du?Re
duRe m?(m /s )?(k g /m
3 )
N?s/m 2
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
当 Re≤ 2000时为层流；当 Re>4000时，圆管内已形成湍流；当 Re在 2000?4000范围内，流动处于一种过渡状态。
若将雷诺数形式变为：
u2与惯性力成正比,?u/d与粘性力成正比,由此可见,
雷诺准数的物理意义是惯性力与粘性力之比 。
du
udu
2Re
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
6.几种时间导数
（ 1） 偏导数 又称局部导数，表示在某一固定空间点上的流动参数，如密度、压力、速度、温度、组分浓度等随时间的变化率。
（ 2） 全导数
（ 3） 随体导数 又称物质导数、拉格朗日导数
t?
td
d
zt
z
yt
y
xt
x
tt?
d
d
d
d
d
d
d
d
tD
D
zvyvxvtt zyx?
D
D
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.2 质量衡算方程 ---连续性方程
对于定态流动系统，在管路中流体没有增加和漏失的情况下：
即
对均质、不可压缩流体，
1=?2=常数 有
对圆管,A=?d2/4,d为直径，于是
21 mm?
2211 AuAu?
1 控制体
2
1
2
图 1 - 14 管道或容器内的流动
222211 dudu?
222111 AuAu
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.2 质量衡算方程 ---连续性方程
如果管道有分支，则稳定流动时总管中的质量流量应为各支管质量流量之和，
故管内连续性方程为
推广至任意截面
m 1
m
m 2
图 1 - 1 5 分支管路
21 mmm
1 1 1 2 2 2m u A u A u A 常 数西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.2 质量衡算方程 ---连续性方程
例 1-2 一车间要求将 20?C水以 32kg/s的流量送入某设备中,若选取平均流速为 1.1m/s,试计算所需管子的尺寸 。
若在原水管上再接出一根
159?4.5的支管,如图 1-16所示,
以便将水流量的一半改送至另一车间,求当总水流量不变时,此支管内水流速度 。 -16图 1
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3 运动方程
1 运动方程动量定理可以表述为：微元系统内流体的动量随时间的变化率等于作用在该微元系统上所有外力之和。
写成矢量式为：
这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程，亦称为 运动方程 。
z
d z ( x,y,z )
d x
d y
y
x
图 1 - 1 8 微元系统
zyx
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zyx
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zyx
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zzyzxz
zzyx
zyyyxy
yzyx
zxyxxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
d i vDtD BM Fv
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3运动方程
2.奈维 -斯托克斯方程（ N-S方程）
上式是不可压缩粘性流体的 N-S方程，等式左边?(Dv/Dt)项代表惯性力项，右边2v项代表粘性力项。
vFv 2DD pt BM
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3运动方程
3.N-S方程的应用
(1)圆管内的稳定层流不可压缩流体在圆管内稳定层流时的速度分布方程为：
可见，速度分布为抛物线，如图 1-21所示。
y x
r
o z
流向图 1 - 20 圆管内的稳定层流流动
2
2 1
4 R
rR
Lv?
v m a x
图 1 - 21 管内层流时的速度分布西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3运动方程
3.N-S方程的应用
(2)环隙内流体的周向运动如图 1-22所示，两同心套筒内充满不可压缩流体，内筒静止，外筒以恒定角速度?旋转，则套筒环隙间的流体将在圆环内作稳定周向流动。设外管内径为 R2,内管外径为 R1。
速度分布方程 为：
R 2
1 = 0 o R 1
图 1 - 22 环隙内流体的周向流动
rRRrRR RRv 1
1
2
1
2
2
1
2
2?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
1.总能量衡算方程衡算范围：
1-1′,2-2′ 截面以及管内壁所围成的空间衡算基准,1kg流体基准面,0-0′
水平面
Q 2
换热器
2
z 2
1 泵
z 1 1 W e
图 1 - 2 3 管路系统
随时间的变化率控制体内总能量的能量速率输出控制体的能量速率输入控制体
0 0
‘
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1） 内能贮存于物质内部的能量 。
1kg流体具有的内能为 U（ J/kg） 。
（ 2） 位能流体受重力作用在不同高度所具有的能量 。
1kg的流体所具有的位能为 zg（ J/kg） 。
（ 3） 动能
1kg的流体所具有的动能为 (J/kg)2
2
1u
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 4） 静压能静压能 =
pVAVpAFl AV
1kg的流体所具有的静压能为
p
m
pV? (J/kg)
（ 5） 热设换热器向 1kg流体提供的热量为 (J/kg)。
eq
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2.机械能衡算方程
（ 1） 以单位质量流体为基准并且实际流体流动时有能量损失。设 1kg流体损失的能量为 Σhf
（ J/kg）,有：
式中各项单位为 J/kg。
假设 流体不可压缩,则流动系统无热交换,则流体温度不变,则
21
0?eq
21 UU?
fh
pugzWpugz
22
22
12
11 2
1
2
1
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2.机械能衡算方程
(2) 以单位重量流体为基准将 (1)式各项同除重力加速度 g,且令 we/g=he，
wf/g=hf,则可得到以单位重量流体为基准的机械能衡算方程：
z称为位头,u2/2g称为动压头（速度头）,p/?g称为静压头（压力头）,he称为外加压头,hf称为压头损失。
上式中各项均具有高度的量纲。
fe hg
p
g
uzh
g
p
g
uz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2.机械能衡算方程
（ 3） 以单位体积流体为基准将 (1)式各项同乘以,?
fe WpugzWpugz 2
2
221
2
11 2
1
2
1
式中各项单位为
PamJmkgkgJ 33
fe ppugzWpugz 22221211 2
1
2
1
fp?
—— 压力损失西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
关于机械能衡算方程的讨论：
（ 1）理想流体的柏努利方程无粘性的即没有粘性摩擦损失的流体称为理想流体 。
（ 2） 若流体静止，则 u=0,we=0,wf=0,于是机械能衡算方程变为：
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugzpugz
2
2
1
1
pgzpgz
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
关于机械能衡算方程的讨论：
（ 3） 若流动系统无外加轴功，即 we=0,则机械能衡算方程变为：
由于 wf>0,故 Et1> Et2。 这表明，在无外加功的情况下，流体将自动从高（机械能）能位流向低（机械能）能位，据此可以判定流体的流向。
fwEtEt 21
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
关于机械能衡算方程的讨论：
（ 4） 柏努利方程式 适用于不可压缩性流体。
对于可压缩性流体，当 时，仍可用该方程计算，但式中的密度 ρ应以两截面的平均密度 ρm代替。
%20
1
21p pp
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程关于机械能衡算方程的讨论：
4） 使用机械能衡算方程时,应注意以下几点：
a,作图 为了有助于正确解题,在计算前可先根据题意画出流程示意图 。
b,控制面的选取 控制面之间的流体必须是连续不断的,有流体进出的那些控制面 （ 流通截面 ） 应与流动方向相垂直 。 所选的控制面已知条件应最多,并包含要求的未知数在内 。 通常选取系统进出口处截面作为流通截面 。
c,基准水平面的选取 由于等号两边都有位能,故基准水平面可以任意选取而不影响计算结果,但为了计算方便,一般可将基准面定在某一流通截面的中心上,这样,该流通截面的位能就为零 。
d,压力 由于等号两边都有压力项，故可用绝压或表压，但等号两边必须统一。
●
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
3.摩擦损失 wf的计算工程上的管路输送系统主要由两种部件组成：一是等径直管，二是弯头、三通、阀门等等各种管件和阀件,
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程蝶阀西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
3.摩擦损失 wf的计算直管阻力,流体流经一定直径的直管时由于内摩擦而产生的阻力；
局部阻力,流体流经管件,阀门等局部地方由于流速大小及方向的改变而引起的阻力 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1）直管摩擦损失计算通式对圆形等径直管内的流动,如图 1-29所示,根据机械能衡算方程可知长度 l管段内的摩擦损失为：
又范宁因子 f的定义式 f =2?w /?u2,摩擦因数? = 4f
p 2
w
p 1 w h
流动方向 l
图 1 - 2 9 圆形等径直管内流动
ghpzzgppw f 2121
s i n2 22 glRRlpR w
d
lw w
f?
4?
224
22 u
d
lu
d
lfw
f
— 直管阻力通式 （ 范宁 Fanning公式 ）
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1）直管摩擦损失计算通式
1,层流时的?
前面已经推出,圆管内层流时 （ Re≤ 2000） 摩擦因数?
为：
其中：
由此可见，层流时摩擦因数只是雷诺数 Re的函数。
2．湍流时的?
湍流?的计算主要依靠实验方法或用半理论半经验的方法建立经验关联式 。
工程上常采用下面的因次分析法。
Re
64
/Re du?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
因次分析法目的,（ 1）减少实验工作量；
（ 2）结果具有普遍性，便于推广。
基础,因次一致性即每一个物理方程式的两边不仅数值相等,
而且每一项都应具有相同的因次 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
因次分析法基本定理,白金汉 （ Buckinghan） π 定理设影响某一物理现象的独立变量数为 n个,这些变量的基本 量纲 数为 m个,则该物理现象可用 N＝ (n－ m)个独立的无因次数群表示 。 将此量纲为一的量称为准数 。
湍流时压力损失的影响因素：
（ 1） 流体性质,?,?
（ 2） 流动的几何尺寸,d,l,?（ 管壁粗糙度 ）
（ 3） 流动条件,u
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程因次分析法物理变量 n＝ 7
基本因次 m＝ 3
无因次数群 N＝ n－ m＝ 4
2,,
fw d u l
u d d
无因次化处理式中：
2
fwEu
u?
—— 欧拉 （ Euler） 准数即该过程可用 4个无因次数群表示 。
●
,,,,,uldfw f?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程因次分析法●
d?
—— 相对粗糙度
dl
—— 管道的几何尺寸
ud?Re —— 雷诺数根据实验可知,流体流动阻力与管长成正比,即
2 R e,
fw l k
u d d
2R e,ff
w lhu
dd
或
)( R e,d
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
莫狄（ Moody） 摩擦因数图：
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1） 层流区 （ Re≤ 2000）
λ 与 无关,与 Re为直线关系,即：
,即 与 u的一次方成正比 。
d? Re64
uW f? fW
（ 2） 过渡区 （ 2000<Re<4000)
将湍流时的曲线延伸查取 λ 值 。
（ 3） 湍流区 （ Re≥ 4000以及虚线以下的区域 ）
)( R e,df
fh fh
根据 Re值计算 λ 时分为下列四个区域西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 4） 完全湍流区 （ 虚线以上的区域 ）
λ 与 Re无关,只与 有关 。d?
该区又称为阻力平方区 。
经验公式,
（ 1） 柏拉修斯 （ Blasius） 式：
25.0Re
3 1 6 4.0
适用 光滑管
Re＝ 5× 103～ 105
（ 2） 考莱布鲁克 （ Colebrook） 式
Re
7.182l og274.11
d
2uW f?d?
一定时,
fh
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
3.非圆管内的摩擦损失当量直径：
水力半径润湿周边 流通截面积 44ed
套管环隙,内管的外径为 d,外管的内径为 D,
dDdDdDd
e
44
22
边长分别为 a,b的矩形管,
ba
ab
ba
abd
e
2
)(24
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程注意：
（ 1） Re与 hf中的直径用 de计算；
（ 2） 层流时计算 λ,
Re
C
正方形 C＝ 57
套管环隙 C＝ 96
（ 3） 流速用实际流通面积计算 。
2785.0
e
s
d
Vu?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
(2)局部摩擦损失的计算
1．局部摩擦损失的两种近似算法
a.当量长度法此法近似地将流体湍流流过局部障碍物所产生的局部摩擦损失看作与某一长度为 le的同直径的管道所产生的摩擦损失相当，此折合的管道长度 le称为当量长度。
于是，局部摩擦损失计算式为：
2
2u
d
lw e
f le之值由实验确定,
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
b.局部阻力系数法此法近似认为局部摩擦损失是平均动能的某一个倍数，
即
2
2u
w f
式中,?是局部阻力系数，由实验测定。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
注意
22
22 u
d
llu
dlw ef
显然，采用当量长度法便于将直管摩擦损失与局部摩擦损失合起来计算。
(2)在管路系统中，直管摩擦损失与局部摩擦损失之和等于总摩擦损失，对等径管，则
(3)长距离输送时以直管摩擦损失为主，短程输送时则以局部摩擦损失为主。
(1)以上两种方法均为近似估算方法，而且两种计算方法所得结果不会完全一致。但从工程角度看，两种方法均可。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2．突然扩大和突然缩小
2 2 0 1
1
1 0 1
2 2
a,突然扩大 b,突然缩小图 1 - 3 3 突然扩大与突然缩小西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1）突然扩大突然扩大时摩擦损失的计算式为：
21
2
1
2
2
1 u
A
Aw
f
故局部阻力系数 2
2
11
A
A?
式中 A1,A2 小管,大管的横截面积；
u1 小管中的平均流速。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 2）突然缩小突然缩小时的摩擦损失计算式为：
故局部阻力系数式中 A1,A2 小管,大管的横截面积；
u1 小管中的平均流速。
215.0
2
1
2
1 u
A
Aw
f
2
115.0
A
A?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
例 1-3 如图所示，将敞口高位槽中密度 870kg/m3,粘度 0.8?10-
3Pa?s的溶液送入某一设备 B中。设 B中压力为 10kPa（ 表压），输送管道为?38?2.5无缝钢管，其直管段部分总长为 10m,管路上有一个 90?标准弯头、一个球心阀（全开）。为使溶液能以 4m3/h的流量流入设备中，问高位槽应高出设备多少米即 z为多少米？
p a
1 1
pB
z
2
2
B
图 1-34
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4 管路计算
1.4.1 简单管路
1.4.2 复杂管路
1.4.3 管网简介
1.4.4 可压缩流体的管路计算西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路一,特点
（ 1） 流体通过各管段的质量流量不变,对于不可压缩流体,则体积流量也不变 。
(2) 整个管路的总能量损失等于各段能量损失之和 。
321 hhhh ffff
V1,d1 V
3,d3
V2,d2
321 VVV
不可压缩流体
321 mmm
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路二,管路计算基本方程：
连续性方程
udV s 24
柏努利方程
2)(22
22
2
2
2
2
1
1
1 u
d
lugzpugzp
物性?,?一定时,需给定独立的 9个参数,方可求解其它 3个未知量 。
d
ud?
,阻力 (λ)计算西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路
（ 1） 设计型计算先选择适宜流速 确定经济管径 d
设计要求：规定输液量 Vs与输送距离 l,确定经济管径 d，
计算出供液点提供的位能 z1(或静压能 p1)。
给定条件：
（ 1） 供液与需液点的距离,即管长 l；
（ 2） 管道材料与管件的配置,即?及 ；
（ 3） 需液点的位置 z2及压力 p2。?
计算方法：
由输液量 Vs
设计要求：规定输液量 Vs与输送距离 l,供液点提供的位能 z1
(或静压能 p1),确定经济管径 d。 —— 试差法西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路
（ 2） 操作型计算已知：管子 d,?,l,管件和阀门,供液点 z1,p1，
所需液点的 z2,p2,输送 机械 He；
求：流体的流速 u及供液量 VS。
已知：管子 d,?,l,管件和阀门,流量 Vs等；
求：供液点的位置 z1 ；
或供液点的压力 p1；
或输送机械有效功 He 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路试差法计算流速的步骤,
（ 1） 根据柏努利方程列出试差等式；
（ 2） 试差：
查假设 du Re
符合？
可初设阻力平方区之值注意：若已知流动处于阻力平方区或层流,则无需试差,可直接解析求解 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路复杂管路指有分支的管路,包括并联管路 （ 见图 1-
39a）,分支 （ 或汇合 ） 管路 （ 见图 1-39b） 。
d 1 V 1
d V d 2 V 2
A B
d 3 V 3
( a ) 并联管路 ( b ) 分支管路（若所有流向反向，则为汇合管路）
图 1 - 3 9 复杂管路
E
V 3
V V 2 V 4
A B D F
V 1 C
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
1.并联管路并联管路的特点是：
(1)总管流量等于并联各支管流量之和，对不可压缩流体，
则有：
(2)就单位质量流体而言，并联的各支管摩擦损失相等，
即
321 VVVV
ffff wwww 321
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路并联管路的流量分配,
将摩擦损失计算式 带入 得：
ffff wwww 321
222
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
u
d
lu
d
lu
d
l
2
4
d
Vu
将 代入得：
24dVu
33
5
3
22
5
2
11
5
1
321,::,l
d
l
d
l
dVVV
上式即并联管路的流量分配公式,具有如下特点：
支管越长,管径越小,阻力系数越大 —— 流量越小；
反之 —— 流量越大 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
2．分支（或汇合）管路这类管路的特点是：
（ 1） 总管流量等于各支管流量之和，对如图 1-39(b)所示的不可压缩流体，则有
43221,VVVVVV
即
431 VVVV
（ 2） 对单位质量流体而言，无论分支（或汇合）管路多么复杂，均可在分支点（或汇合点）处将其分为若干个简单管路，对每一段简单管路，仍然满足单位质量流体的机械能衡算方程，以 ABC段为例，
有：
CfACCfBBfACA wEtwwEtEt
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
例 1-4 设计型问题某一贮罐内贮有 40?C,密度为 710kg/m3的某液体,液面维持恒定 。
现要求用泵将液体分别送到设备一及设备二中,有关部位的高度和压力见图 1-40。 送往设备一的最大流量为 10800kg/h,送往设备二的最大流量为 6400kg/h。 已知 1,2
间管段长 l12=8m,管子尺寸为?108?4
mm； 通向设备一的支管段长 l23=50m，
管子尺寸为?76?3mm； 通向设备二的支管段长 l24=40m,管子尺寸为?76?3mm。
以上管长均包括了局部损失的当量长度在内,且阀门均处在全开状态 。 流体流动的摩擦因数?均可取为 0.038。
求所需 泵的有效功率 Ne。
p3=5.0′104Pa
3 p4=7.0′104Pa
设 4
备 37m p1=5.0′104Pa 设一 1 1 30m 备
2 二
5m
图 1-40
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
例 1-5 操作型问题分析如图 1-41所示为配有并联支路的管路输送系统,假设总管直径均相同,现将支路 1上的阀门 k1关小,则下列流动参数将如何变化？
（ 1） 总管流量 V及支管 1,2,3的流量 V1,V2,V3；
（ 2） 压力表读数 pA,pB。
1 1
p A p B
1 k 1
2
A 2 k 2 B 2
3 k3
图 1-41
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.3 管网简介
管网是由简单管路组成的网络系统，其中包含并联、分支或汇合等管路组合形式。如图 1-43所示是一简单的管网。
1 3
2 4
图 1 - 43 简单的管网西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.3 管网简介
管网的计算原则：
（ 1）管网中任一单根管路都是简单管路，其计算与前述的简单管路计算遵循着同样的定律。
（ 2） 在管网的每一结点上,输入流量与输出流量相等 。
（ 3）若无外功输入，则在管网的每一个封闭的回路上压头损失的代数和等于零。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
1．可压缩流体管路计算的一般式对于图 1-44所示的管道内均质、可压缩流体的稳定流动，任取一微元段，在该微元管段中，流体可视为不可压缩，上述机械能衡算方程仍然成立。
p 1 p 2 y
u 1 u 2 z
1? 2
d l
l
图 1 - 4 4 可压缩流体在管道内的定常流动
02ln
0
2
1
22 2
1
lp
p
ldGpG dd
---可压缩流体的机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
（ 1）等温流动等温流动时，温度 T为常数,?,Re=du?/?=Gd/?基本不变，因而?可视为常数。 又带入一般式中整理得：
常数 MRTppp 2211
d
l
p
p
M
R T Gpp
2ln
2
2
1
2
2
2
2
1
---可压缩流体等温流动时的机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
（ 2）绝热过程代入一般式中得：
气体在管道内流动时，由于压力降低、体积膨胀，温度往往要下降。若过程为绝热的，则由热力学知识可知，其压力（绝压）与比容的关系为：
ppp 2211
式中? 为绝热指数，且 。对于单原子气体?=1.667；双原子气体?=1.4；多原子气体?=1.33。
ccp?
0211ln 2
1
1
2
1
1
2
1
2
GdlpppppG
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
（ 3） 多变过程若气体流动时既不等温,又不绝热,则称此过程为多变过程 。 此过程中 p=常数,?为多变指数,其值介于 1与? 之间,取决于气体和环境的传热情况 。
对多变过程,等温过程式仍可使用,只是应以?代替?,即
0211ln 2
1
1
2
1
1
2
1
2
GdlpppppG
1.1 概述
1.2 流体静力学及其应用
1.3 流体流动的基本方程
1.4 管路计算
1.5 边界层及边界层方程
1.6 湍流
1.7 流速、流量测量西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
1 连续介质模型流体是由分子或原子所组成,分子或原子无时无刻不在作无规则的热运动 。 假定流体是由无数内部紧密相连,彼此间没有间隙的流体质点 （ 或微团 ） 所组成的连续介质 。
质点,由大量分子构成的微团,其尺寸远小于设备尺寸,远大于分子自由程 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
2 流体的压缩性流体体积随压力变化而改变的性质称为压缩性。实际流体都是可压缩的。 液体的压缩性很小，在大多数场合下都视为不可压缩，而气体压缩性比液体大得多，一般应视为可压缩，但如果压力变化很小，温度变化也很小，则可近似认为气体也是不可压缩的 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
3 作用在流体上的力作用在流体上的所有外力?F可以分为两类：质量力和表面力，分别用 FB,FS表示，于是：
质量力,质量力又称体积力，是指作用在所考察对象的每一个质点上的力，属于非接触性的力，例如重力、
离心力等。
SB FFF
kjiF zyx ggg
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
3 作用在流体上的力表面力,表面力是指作用在所考察对象表面上的力。
任一面所受到的应力均可分解为一个法向应力 （ 垂直于作用面,记为
ii） 和两个切向应力 （ 又称为剪应力,平行于作用面,记为?ij，
i?j）,例如图中与 z轴垂直的面上受到的应力为?zz（ 法向 ）,?zx和?zy
（ 切向 ）,它们的矢量和为,
kjiτ z zzzyzx
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.1 概述
3 作用在流体上的力类似地，与 x轴,y轴相垂直的面（参见图 1-2）上受到的应力分别为：
kjiτ x xzxyxx kjiτ y yzyyyx
z
x x
y x? xy
y y
M? xz
y z? zx
zy
zz
o
y
x
图 1 - 2 任一点所受到的应力西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2 流体静力学及其应用
1.2.1 静止流体所受的力
1.2.2 流体静力学基本方程
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.1静止流体所受的力
静止流体所受的外力有质量力和压应力两种,流体垂直作用于单位面积上的力，称为流体的静压强，习惯上又称为 压力。
（ 1）压力单位在国际单位制 （ SI制 ） 中,压力的单位为 N/m2,称为帕斯卡 （ Pa）,帕斯卡与其它压力单位之间的换算关系为：
1atm（ 标准大气压 ） =1.033at（ 工程大气压 ）
=1.013?105Pa
=760mmHg
=10.33mH2O
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.1静止流体所受的力
（ 2） 压力的两种表征方法绝对压力 以绝对真空为基准测得的压力 。
表压或真空度 以大气压为基准测得的压力 。
当地大气压绝压表压
绝压当地大气压真空度
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.2 流体静力学基本方程
对连续、均质且不可压缩流体,?=常数，
对于静止流体中任意两点 1和 2，则有：
两边同除以?g
)( 2112 zzgpp
2112 zz
g
p
g
p
—— 静力学基本方程常数 pgz?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.2 流体静力学基本方程
讨论
（ 1）适用于 重力场中静止、连续的同种不可压缩性流体 ；
（ 2） 在 静止 的,连续 的 同种流体 内,处于 同一水平面 上各点的压力处处相等 。 压力相等的面称为 等压面 ；
（ 3） 压力具有 传递性,液面上方压力变化时,液体内部各点的压力也将发生相应的变化 。 即压力可传递,这就是 巴斯噶定理 ；
（ 4） 若记,? 称为广义压力,代表单位体积静止流体的总势能 （ 即静压能 p与位能?gz之和 ）,静止流体中各处的总势能均相等 。 因此,位置越高的流体,其位能越大,而静压能则越小 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
1．压力计
（ 1）单管压力计或表压式中 pa为当地大气压。
单管压力计只能用来测量高于大气压的液体压力，不能测气体压力。
p a
R
A 1?
,,
图 1 - 5 单管压力计
gRpp a1
gRppp a 11
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
1．压力计
（ 2） U形压力计设 U形管中指示液液面高度差为 R,指示液密度为?0，被测流体密度为?，则由静力学方程可得：
将以上三式合并得：
p a
A 1?
h R
2 3
0
图 1 - 6 U 形压力计
ghpp 21
32 pp?
gRpp a 03
ghgRpp a 01
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用若容器 A内为气体,则?gh项很小可忽略,于是,
显然,U形压力计既可用来测量气体压力，又可用来测量液体压力，而且被测流体的压力比大气压大或小均可。
gRpp a 01
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
2．压差计
（ 1） U形压差计设 U形管中指示液液面高度差为 R,指示液密度为?0，被测流体密度为?，则由静力学方程可得,
2
1 z 2
流向 z 1?
R
3 3?
0
图 1 - 7 U 形压差计
311 pRzgp
3022 pgRgzp
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用根据 而 3,3?面为等压面 及 广义压力的定义两边同除以?g得：
式中,为静压头与位头之和，又称为广义压力头。
U形压差计的读数 R的大小反映了 被测两点间广义压力头之差 。
gR 021
gRgzpgzp 02211
Rgg 021
zgpg
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
讨论
（ 1） U形压差计可测系统内两点的压力差,当将 U形管一端与被测点连接,另一端与大气相通时,也可测得流体的表压或真空度；
p1
pa
p1
pa
表压 真空度西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
讨论
（ 2） 指示液的选取：
指示液与被测流体不互溶,不发生化学反应；
其密度要大于被测流体密度 。
应根据被测流体的种类及压差的大小选择指示液 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用思考,若 U形压差计安装在倾斜管路中,此时读数 R反映了什么？
p1
p2
z2
R
A A’
z1 gzzgR
pp
)()( 120
21
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
2．压差计
（ 2）双液柱压差计又称微差压差计 适用于压差较小的场合 。
密度接近但不互溶的两种指示液 1和 2,?1略小于?2 ；
扩大室内径与 U管内径之比应大于 10 。
p 1 p 2
z 1? 1 z 1
R
2
图 1 - 8 双液柱压差计 gRpp 1221
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.2.3 静力学原理在压力和压力差测量上的应用
例 1-1 当被测压差较小时，为使压差计读数较大，以减小测量中人为因素造成的相对误差，也常采用倾斜式压差计，其结构如图
1-9所示。试求若被测流体压力 p1=1.014?105Pa（ 绝压）,p2端通大气，大气压为 1.013?105Pa,管的倾斜角?=10?，指示液为酒精溶液，其密度?0=810kg/m3,则读数 R?为多少 cm？ 若将右管垂直放置，读数又为多少 cm？
p 1
R? p 2
R
0
图 1 - 9 倾斜式压差计西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3 流体流动的基本方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 质量衡算方程 ----连续性方程
1.3.3 运动方程
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
1．稳定流动与不稳定流动流体流动时，若任一点处的流速、压力、密度等与流动有关的流动参数都不随时间而变化，
就称这种流动为 稳定流动 。
反之，只要有一个流动参数随时间而变化，
就属于 不稳定流动 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
2．流速和流量流速 （平均流速）
单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离 。
质量流速单位时间内流经管道单位截面积的流体质量 。
A
v dAAAVu 1
uG
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
2．流速和流量体积流量单位时间内流经管道任意截面的流体体积,V——
m3/s或 m3/h。
质量流量单位时间内流经管道任意截面的流体质量,m——
kg/s或 kg/h。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
3．粘性及牛顿粘性定律当流体流动时，流体内部存在着内摩擦力，这种内摩擦力会阻碍流体的流动，流体的这种特性称为 粘性 。产生内摩擦力的根本原因是流体的粘性。
牛顿粘性定律,
服从此定律的流体称为 牛顿型流体 。
y v
x v =0
图 1 - 10 平板间粘性流体分层运动及速度分布
y
v
yx d
d
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
3．粘性及牛顿粘性定律粘度的单位,
= Pa?s
在 c.g.s制中,?的常用单位有 dyn?s/cm2即泊 （ P）,以及厘泊 （ cP）,三者之间的换算关系如下：
1Pa?s=10P=1000cP
msm mNdd 2
yv
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1基本概念
4.非牛顿型流体凡是剪应力与速度梯度不符合牛顿粘性定律的流体均称为非牛顿型流体。非牛顿型流体的剪应力与速度梯度成曲线关系，或者成不过原点的直线关系，如图
1-11所示。
宾汉塑性流体 涨塑性流体牛顿流体假塑性流体
d v /d y
图 1 - 1 1 剪应力与速 度梯度关系西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1基本概念
5.流动类型和雷诺数有色液体
( a ) 层流水
( b ) 湍流图 1 - 1 2 雷诺实验装置 图 1 - 13 两种流动类型西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1基本概念
5.流动类型和雷诺数实验研究发现，圆管内流型由层流向湍流的转变不仅与流速 u
有关，而且还与流体的密度?、粘度? 以及流动管道的直径 d有关。
将这些变量组合成一个数群 du?/?,根据该数群数值的大小可以判断流动类型。这个数群称为 雷诺准数,用符号 Re表示，即其因次为：
= m0kg0s0
du?Re
duRe m?(m /s )?(k g /m
3 )
N?s/m 2
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
当 Re≤ 2000时为层流；当 Re>4000时，圆管内已形成湍流；当 Re在 2000?4000范围内，流动处于一种过渡状态。
若将雷诺数形式变为：
u2与惯性力成正比,?u/d与粘性力成正比,由此可见,
雷诺准数的物理意义是惯性力与粘性力之比 。
du
udu
2Re
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.1 基本概念
6.几种时间导数
（ 1） 偏导数 又称局部导数，表示在某一固定空间点上的流动参数，如密度、压力、速度、温度、组分浓度等随时间的变化率。
（ 2） 全导数
（ 3） 随体导数 又称物质导数、拉格朗日导数
t?
td
d
zt
z
yt
y
xt
x
tt?
d
d
d
d
d
d
d
d
tD
D
zvyvxvtt zyx?
D
D
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.2 质量衡算方程 ---连续性方程
对于定态流动系统，在管路中流体没有增加和漏失的情况下：
即
对均质、不可压缩流体，
1=?2=常数 有
对圆管,A=?d2/4,d为直径，于是
21 mm?
2211 AuAu?
1 控制体
2
1
2
图 1 - 14 管道或容器内的流动
222211 dudu?
222111 AuAu
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.2 质量衡算方程 ---连续性方程
如果管道有分支，则稳定流动时总管中的质量流量应为各支管质量流量之和，
故管内连续性方程为
推广至任意截面
m 1
m
m 2
图 1 - 1 5 分支管路
21 mmm
1 1 1 2 2 2m u A u A u A 常 数西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.2 质量衡算方程 ---连续性方程
例 1-2 一车间要求将 20?C水以 32kg/s的流量送入某设备中,若选取平均流速为 1.1m/s,试计算所需管子的尺寸 。
若在原水管上再接出一根
159?4.5的支管,如图 1-16所示,
以便将水流量的一半改送至另一车间,求当总水流量不变时,此支管内水流速度 。 -16图 1
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3 运动方程
1 运动方程动量定理可以表述为：微元系统内流体的动量随时间的变化率等于作用在该微元系统上所有外力之和。
写成矢量式为：
这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程，亦称为 运动方程 。
z
d z ( x,y,z )
d x
d y
y
x
图 1 - 1 8 微元系统
zyx
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zyx
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zyx
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zzyzxz
zzyx
zyyyxy
yzyx
zxyxxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
d i vDtD BM Fv
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3运动方程
2.奈维 -斯托克斯方程（ N-S方程）
上式是不可压缩粘性流体的 N-S方程，等式左边?(Dv/Dt)项代表惯性力项，右边2v项代表粘性力项。
vFv 2DD pt BM
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3运动方程
3.N-S方程的应用
(1)圆管内的稳定层流不可压缩流体在圆管内稳定层流时的速度分布方程为：
可见，速度分布为抛物线，如图 1-21所示。
y x
r
o z
流向图 1 - 20 圆管内的稳定层流流动
2
2 1
4 R
rR
Lv?
v m a x
图 1 - 21 管内层流时的速度分布西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.3运动方程
3.N-S方程的应用
(2)环隙内流体的周向运动如图 1-22所示，两同心套筒内充满不可压缩流体，内筒静止，外筒以恒定角速度?旋转，则套筒环隙间的流体将在圆环内作稳定周向流动。设外管内径为 R2,内管外径为 R1。
速度分布方程 为：
R 2
1 = 0 o R 1
图 1 - 22 环隙内流体的周向流动
rRRrRR RRv 1
1
2
1
2
2
1
2
2?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
1.总能量衡算方程衡算范围：
1-1′,2-2′ 截面以及管内壁所围成的空间衡算基准,1kg流体基准面,0-0′
水平面
Q 2
换热器
2
z 2
1 泵
z 1 1 W e
图 1 - 2 3 管路系统
随时间的变化率控制体内总能量的能量速率输出控制体的能量速率输入控制体
0 0
‘
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1） 内能贮存于物质内部的能量 。
1kg流体具有的内能为 U（ J/kg） 。
（ 2） 位能流体受重力作用在不同高度所具有的能量 。
1kg的流体所具有的位能为 zg（ J/kg） 。
（ 3） 动能
1kg的流体所具有的动能为 (J/kg)2
2
1u
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 4） 静压能静压能 =
pVAVpAFl AV
1kg的流体所具有的静压能为
p
m
pV? (J/kg)
（ 5） 热设换热器向 1kg流体提供的热量为 (J/kg)。
eq
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2.机械能衡算方程
（ 1） 以单位质量流体为基准并且实际流体流动时有能量损失。设 1kg流体损失的能量为 Σhf
（ J/kg）,有：
式中各项单位为 J/kg。
假设 流体不可压缩,则流动系统无热交换,则流体温度不变,则
21
0?eq
21 UU?
fh
pugzWpugz
22
22
12
11 2
1
2
1
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2.机械能衡算方程
(2) 以单位重量流体为基准将 (1)式各项同除重力加速度 g,且令 we/g=he，
wf/g=hf,则可得到以单位重量流体为基准的机械能衡算方程：
z称为位头,u2/2g称为动压头（速度头）,p/?g称为静压头（压力头）,he称为外加压头,hf称为压头损失。
上式中各项均具有高度的量纲。
fe hg
p
g
uzh
g
p
g
uz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2.机械能衡算方程
（ 3） 以单位体积流体为基准将 (1)式各项同乘以,?
fe WpugzWpugz 2
2
221
2
11 2
1
2
1
式中各项单位为
PamJmkgkgJ 33
fe ppugzWpugz 22221211 2
1
2
1
fp?
—— 压力损失西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
关于机械能衡算方程的讨论：
（ 1）理想流体的柏努利方程无粘性的即没有粘性摩擦损失的流体称为理想流体 。
（ 2） 若流体静止，则 u=0,we=0,wf=0,于是机械能衡算方程变为：
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugzpugz
2
2
1
1
pgzpgz
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
关于机械能衡算方程的讨论：
（ 3） 若流动系统无外加轴功，即 we=0,则机械能衡算方程变为：
由于 wf>0,故 Et1> Et2。 这表明，在无外加功的情况下，流体将自动从高（机械能）能位流向低（机械能）能位，据此可以判定流体的流向。
fwEtEt 21
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
关于机械能衡算方程的讨论：
（ 4） 柏努利方程式 适用于不可压缩性流体。
对于可压缩性流体，当 时，仍可用该方程计算，但式中的密度 ρ应以两截面的平均密度 ρm代替。
%20
1
21p pp
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程关于机械能衡算方程的讨论：
4） 使用机械能衡算方程时,应注意以下几点：
a,作图 为了有助于正确解题,在计算前可先根据题意画出流程示意图 。
b,控制面的选取 控制面之间的流体必须是连续不断的,有流体进出的那些控制面 （ 流通截面 ） 应与流动方向相垂直 。 所选的控制面已知条件应最多,并包含要求的未知数在内 。 通常选取系统进出口处截面作为流通截面 。
c,基准水平面的选取 由于等号两边都有位能,故基准水平面可以任意选取而不影响计算结果,但为了计算方便,一般可将基准面定在某一流通截面的中心上,这样,该流通截面的位能就为零 。
d,压力 由于等号两边都有压力项，故可用绝压或表压，但等号两边必须统一。
●
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
3.摩擦损失 wf的计算工程上的管路输送系统主要由两种部件组成：一是等径直管，二是弯头、三通、阀门等等各种管件和阀件,
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程蝶阀西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
3.摩擦损失 wf的计算直管阻力,流体流经一定直径的直管时由于内摩擦而产生的阻力；
局部阻力,流体流经管件,阀门等局部地方由于流速大小及方向的改变而引起的阻力 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1）直管摩擦损失计算通式对圆形等径直管内的流动,如图 1-29所示,根据机械能衡算方程可知长度 l管段内的摩擦损失为：
又范宁因子 f的定义式 f =2?w /?u2,摩擦因数? = 4f
p 2
w
p 1 w h
流动方向 l
图 1 - 2 9 圆形等径直管内流动
ghpzzgppw f 2121
s i n2 22 glRRlpR w
d
lw w
f?
4?
224
22 u
d
lu
d
lfw
f
— 直管阻力通式 （ 范宁 Fanning公式 ）
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1）直管摩擦损失计算通式
1,层流时的?
前面已经推出,圆管内层流时 （ Re≤ 2000） 摩擦因数?
为：
其中：
由此可见，层流时摩擦因数只是雷诺数 Re的函数。
2．湍流时的?
湍流?的计算主要依靠实验方法或用半理论半经验的方法建立经验关联式 。
工程上常采用下面的因次分析法。
Re
64
/Re du?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
因次分析法目的,（ 1）减少实验工作量；
（ 2）结果具有普遍性，便于推广。
基础,因次一致性即每一个物理方程式的两边不仅数值相等,
而且每一项都应具有相同的因次 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
因次分析法基本定理,白金汉 （ Buckinghan） π 定理设影响某一物理现象的独立变量数为 n个,这些变量的基本 量纲 数为 m个,则该物理现象可用 N＝ (n－ m)个独立的无因次数群表示 。 将此量纲为一的量称为准数 。
湍流时压力损失的影响因素：
（ 1） 流体性质,?,?
（ 2） 流动的几何尺寸,d,l,?（ 管壁粗糙度 ）
（ 3） 流动条件,u
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程因次分析法物理变量 n＝ 7
基本因次 m＝ 3
无因次数群 N＝ n－ m＝ 4
2,,
fw d u l
u d d
无因次化处理式中：
2
fwEu
u?
—— 欧拉 （ Euler） 准数即该过程可用 4个无因次数群表示 。
●
,,,,,uldfw f?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程因次分析法●
d?
—— 相对粗糙度
dl
—— 管道的几何尺寸
ud?Re —— 雷诺数根据实验可知,流体流动阻力与管长成正比,即
2 R e,
fw l k
u d d
2R e,ff
w lhu
dd
或
)( R e,d
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
莫狄（ Moody） 摩擦因数图：
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1） 层流区 （ Re≤ 2000）
λ 与 无关,与 Re为直线关系,即：
,即 与 u的一次方成正比 。
d? Re64
uW f? fW
（ 2） 过渡区 （ 2000<Re<4000)
将湍流时的曲线延伸查取 λ 值 。
（ 3） 湍流区 （ Re≥ 4000以及虚线以下的区域 ）
)( R e,df
fh fh
根据 Re值计算 λ 时分为下列四个区域西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 4） 完全湍流区 （ 虚线以上的区域 ）
λ 与 Re无关,只与 有关 。d?
该区又称为阻力平方区 。
经验公式,
（ 1） 柏拉修斯 （ Blasius） 式：
25.0Re
3 1 6 4.0
适用 光滑管
Re＝ 5× 103～ 105
（ 2） 考莱布鲁克 （ Colebrook） 式
Re
7.182l og274.11
d
2uW f?d?
一定时,
fh
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
3.非圆管内的摩擦损失当量直径：
水力半径润湿周边 流通截面积 44ed
套管环隙,内管的外径为 d,外管的内径为 D,
dDdDdDd
e
44
22
边长分别为 a,b的矩形管,
ba
ab
ba
abd
e
2
)(24
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程注意：
（ 1） Re与 hf中的直径用 de计算；
（ 2） 层流时计算 λ,
Re
C
正方形 C＝ 57
套管环隙 C＝ 96
（ 3） 流速用实际流通面积计算 。
2785.0
e
s
d
Vu?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
(2)局部摩擦损失的计算
1．局部摩擦损失的两种近似算法
a.当量长度法此法近似地将流体湍流流过局部障碍物所产生的局部摩擦损失看作与某一长度为 le的同直径的管道所产生的摩擦损失相当，此折合的管道长度 le称为当量长度。
于是，局部摩擦损失计算式为：
2
2u
d
lw e
f le之值由实验确定,
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
b.局部阻力系数法此法近似认为局部摩擦损失是平均动能的某一个倍数，
即
2
2u
w f
式中,?是局部阻力系数，由实验测定。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
注意
22
22 u
d
llu
dlw ef
显然，采用当量长度法便于将直管摩擦损失与局部摩擦损失合起来计算。
(2)在管路系统中，直管摩擦损失与局部摩擦损失之和等于总摩擦损失，对等径管，则
(3)长距离输送时以直管摩擦损失为主，短程输送时则以局部摩擦损失为主。
(1)以上两种方法均为近似估算方法，而且两种计算方法所得结果不会完全一致。但从工程角度看，两种方法均可。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
2．突然扩大和突然缩小
2 2 0 1
1
1 0 1
2 2
a,突然扩大 b,突然缩小图 1 - 3 3 突然扩大与突然缩小西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 1）突然扩大突然扩大时摩擦损失的计算式为：
21
2
1
2
2
1 u
A
Aw
f
故局部阻力系数 2
2
11
A
A?
式中 A1,A2 小管,大管的横截面积；
u1 小管中的平均流速。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
（ 2）突然缩小突然缩小时的摩擦损失计算式为：
故局部阻力系数式中 A1,A2 小管,大管的横截面积；
u1 小管中的平均流速。
215.0
2
1
2
1 u
A
Aw
f
2
115.0
A
A?
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.3.4总能量衡算和机械能衡算方程
例 1-3 如图所示，将敞口高位槽中密度 870kg/m3,粘度 0.8?10-
3Pa?s的溶液送入某一设备 B中。设 B中压力为 10kPa（ 表压），输送管道为?38?2.5无缝钢管，其直管段部分总长为 10m,管路上有一个 90?标准弯头、一个球心阀（全开）。为使溶液能以 4m3/h的流量流入设备中，问高位槽应高出设备多少米即 z为多少米？
p a
1 1
pB
z
2
2
B
图 1-34
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4 管路计算
1.4.1 简单管路
1.4.2 复杂管路
1.4.3 管网简介
1.4.4 可压缩流体的管路计算西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路一,特点
（ 1） 流体通过各管段的质量流量不变,对于不可压缩流体,则体积流量也不变 。
(2) 整个管路的总能量损失等于各段能量损失之和 。
321 hhhh ffff
V1,d1 V
3,d3
V2,d2
321 VVV
不可压缩流体
321 mmm
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路二,管路计算基本方程：
连续性方程
udV s 24
柏努利方程
2)(22
22
2
2
2
2
1
1
1 u
d
lugzpugzp
物性?,?一定时,需给定独立的 9个参数,方可求解其它 3个未知量 。
d
ud?
,阻力 (λ)计算西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路
（ 1） 设计型计算先选择适宜流速 确定经济管径 d
设计要求：规定输液量 Vs与输送距离 l,确定经济管径 d，
计算出供液点提供的位能 z1(或静压能 p1)。
给定条件：
（ 1） 供液与需液点的距离,即管长 l；
（ 2） 管道材料与管件的配置,即?及 ；
（ 3） 需液点的位置 z2及压力 p2。?
计算方法：
由输液量 Vs
设计要求：规定输液量 Vs与输送距离 l,供液点提供的位能 z1
(或静压能 p1),确定经济管径 d。 —— 试差法西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路
（ 2） 操作型计算已知：管子 d,?,l,管件和阀门,供液点 z1,p1，
所需液点的 z2,p2,输送 机械 He；
求：流体的流速 u及供液量 VS。
已知：管子 d,?,l,管件和阀门,流量 Vs等；
求：供液点的位置 z1 ；
或供液点的压力 p1；
或输送机械有效功 He 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.1 简单管路试差法计算流速的步骤,
（ 1） 根据柏努利方程列出试差等式；
（ 2） 试差：
查假设 du Re
符合？
可初设阻力平方区之值注意：若已知流动处于阻力平方区或层流,则无需试差,可直接解析求解 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路复杂管路指有分支的管路,包括并联管路 （ 见图 1-
39a）,分支 （ 或汇合 ） 管路 （ 见图 1-39b） 。
d 1 V 1
d V d 2 V 2
A B
d 3 V 3
( a ) 并联管路 ( b ) 分支管路（若所有流向反向，则为汇合管路）
图 1 - 3 9 复杂管路
E
V 3
V V 2 V 4
A B D F
V 1 C
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
1.并联管路并联管路的特点是：
(1)总管流量等于并联各支管流量之和，对不可压缩流体，
则有：
(2)就单位质量流体而言，并联的各支管摩擦损失相等，
即
321 VVVV
ffff wwww 321
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路并联管路的流量分配,
将摩擦损失计算式 带入 得：
ffff wwww 321
222
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
u
d
lu
d
lu
d
l
2
4
d
Vu
将 代入得：
24dVu
33
5
3
22
5
2
11
5
1
321,::,l
d
l
d
l
dVVV
上式即并联管路的流量分配公式,具有如下特点：
支管越长,管径越小,阻力系数越大 —— 流量越小；
反之 —— 流量越大 。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
2．分支（或汇合）管路这类管路的特点是：
（ 1） 总管流量等于各支管流量之和，对如图 1-39(b)所示的不可压缩流体，则有
43221,VVVVVV
即
431 VVVV
（ 2） 对单位质量流体而言，无论分支（或汇合）管路多么复杂，均可在分支点（或汇合点）处将其分为若干个简单管路，对每一段简单管路，仍然满足单位质量流体的机械能衡算方程，以 ABC段为例，
有：
CfACCfBBfACA wEtwwEtEt
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
例 1-4 设计型问题某一贮罐内贮有 40?C,密度为 710kg/m3的某液体,液面维持恒定 。
现要求用泵将液体分别送到设备一及设备二中,有关部位的高度和压力见图 1-40。 送往设备一的最大流量为 10800kg/h,送往设备二的最大流量为 6400kg/h。 已知 1,2
间管段长 l12=8m,管子尺寸为?108?4
mm； 通向设备一的支管段长 l23=50m，
管子尺寸为?76?3mm； 通向设备二的支管段长 l24=40m,管子尺寸为?76?3mm。
以上管长均包括了局部损失的当量长度在内,且阀门均处在全开状态 。 流体流动的摩擦因数?均可取为 0.038。
求所需 泵的有效功率 Ne。
p3=5.0′104Pa
3 p4=7.0′104Pa
设 4
备 37m p1=5.0′104Pa 设一 1 1 30m 备
2 二
5m
图 1-40
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.2 复杂管路
例 1-5 操作型问题分析如图 1-41所示为配有并联支路的管路输送系统,假设总管直径均相同,现将支路 1上的阀门 k1关小,则下列流动参数将如何变化？
（ 1） 总管流量 V及支管 1,2,3的流量 V1,V2,V3；
（ 2） 压力表读数 pA,pB。
1 1
p A p B
1 k 1
2
A 2 k 2 B 2
3 k3
图 1-41
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.3 管网简介
管网是由简单管路组成的网络系统，其中包含并联、分支或汇合等管路组合形式。如图 1-43所示是一简单的管网。
1 3
2 4
图 1 - 43 简单的管网西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.3 管网简介
管网的计算原则：
（ 1）管网中任一单根管路都是简单管路，其计算与前述的简单管路计算遵循着同样的定律。
（ 2） 在管网的每一结点上,输入流量与输出流量相等 。
（ 3）若无外功输入，则在管网的每一个封闭的回路上压头损失的代数和等于零。
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
1．可压缩流体管路计算的一般式对于图 1-44所示的管道内均质、可压缩流体的稳定流动，任取一微元段，在该微元管段中，流体可视为不可压缩，上述机械能衡算方程仍然成立。
p 1 p 2 y
u 1 u 2 z
1? 2
d l
l
图 1 - 4 4 可压缩流体在管道内的定常流动
02ln
0
2
1
22 2
1
lp
p
ldGpG dd
---可压缩流体的机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
（ 1）等温流动等温流动时，温度 T为常数,?,Re=du?/?=Gd/?基本不变，因而?可视为常数。 又带入一般式中整理得：
常数 MRTppp 2211
d
l
p
p
M
R T Gpp
2ln
2
2
1
2
2
2
2
1
---可压缩流体等温流动时的机械能衡算方程西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
（ 2）绝热过程代入一般式中得：
气体在管道内流动时，由于压力降低、体积膨胀，温度往往要下降。若过程为绝热的，则由热力学知识可知，其压力（绝压）与比容的关系为：
ppp 2211
式中? 为绝热指数，且 。对于单原子气体?=1.667；双原子气体?=1.4；多原子气体?=1.33。
ccp?
0211ln 2
1
1
2
1
1
2
1
2
GdlpppppG
西安交大化工原理电子课件返回主题后页前页
1.4.4 可压缩流体的管路计算
（ 3） 多变过程若气体流动时既不等温,又不绝热,则称此过程为多变过程 。 此过程中 p=常数,?为多变指数,其值介于 1与? 之间,取决于气体和环境的传热情况 。
对多变过程,等温过程式仍可使用,只是应以?代替?,即
0211ln 2
1
1
2
1
1
2
1
2
GdlpppppG
