管理运筹学谢家平 博士 副教授研究领域,系统建模与优化、生产与运作管理、物流与供应链管理讲授课程,管理运筹学、管理系统工程、生产运作管理、
供应链管理、国际物流管理、企业资源计划单 位,上海财经大学 国际工商管理学院 供应链管理研究中心
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第五章 目标规划
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、
提高质量、提高劳动生产率等；
生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等 。
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的,LP则无能为力。
目标规划（ Goal Programming）
在 LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。
美国经济学家查恩斯 (A.Charnes)和库柏 (W.W.Cooper)在 1961年出版的,管理模型及线性规划的工业应用,一书中，首先提出的。
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3
第一节 多目标线性规划
多目标线性规划
含有多个优化目标的线性规划。
线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。
多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。
例题
某工厂计划生产甲,乙两种产品,现有的设备资源,每种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如表所示 。 试确定计划期内的生产计划,使获得的利润最大 。
一,问题 的提出产品资源 甲 乙 现有资源设备 4 3 24
单位产品利润 5 4
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4
第一节 多目标线性规划解,设 x1,x2分别 表示甲,乙两种产品的产量,则可建立线规划模型如下：
maxZ=5x1+4x2
4x1+3x2 ≤24
x1,x2 ≥0
假设,该工厂根据市场需求或合同规定,希望尽量扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量 。 这时又增加了二个目标,则可建立如下的模型：
maxZ1=5x1+4x2
maxZ2=x1
minZ3=x2
4x1+3x2 ≤24
x1,x2 ≥0
这些目标之间相互矛盾，
一般的线性规划方法不能求解上海财经大学国际工商管理学院
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第一节 多目标线性规划
加权系数法
为每一目标赋一个权系数,把多目标模型转化成单一目标的模型 。 但困难是要确定合理的权系数,以反映不同目标之间的重要程度 。
优先等级法
将各目标按其重要程度分成不同的优先等级,转化为单目标模型 。
有效解法
寻求能够照顾到各个目标,并使决策者感到满意的解 。 由决策者来确定选取哪一个解,即得到一个满意解 。 但有效解的数目太多而难以将其一一求出 。
二,求解思路上海财经大学国际工商管理学院
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第一节 多目标线性规划
加权系数法和优先等级法的结合
对每个目标函数确定一个希望达到的期望值 (目标值或理想值 )；
由于各种条件的限制,这些目标值往往不可能全部都达到；
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量,分别表示超过或未达到目标值的情况；
为区别各目标的重要程度,引入目标的优先等级和加权系数；
对所有的目标函数建立约束方程,并入原来的约束条件中,组成新的约束条件；
从这组新的约束条件,寻找使组合偏差最小的方案 。
三,目标规划法上海财经大学国际工商管理学院
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第二节 目标规划的数学模型
目标函数的期望值
每一个目标函数希望达到的期望值 (或目标值,理想值 )。
根据历史资料,市场需求或上级部门的布置等来确定 。
偏差变量
每个目标函数的期望值确定之后,目标的实际值和它的期望值之间就有正的或负的偏差 。
正偏差变量 dk+表示第 k个目标超过期望值的数值；
负偏差变量 dk-表示第 k个目标未达到期望值的数值 。
同一目标,它的取值不可能在超过期望值的同时,又没有达到期望值,所以在 dk+和 dk-中至少有一个必须为零 。
一,目标规划的基本概念上海财经大学国际工商管理学院
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第二节 目标规划的数学模型
目标约束
引入正,负偏差变量后,对各个目标建立的目标函数方程 。
n
j
kkjkj Eddxc
1
*
原来的目标函数变成了约束条件的一部分,即目标约束 (软约束 )
原来的约束条件称为系统约束 (硬约束 )。
上例中,管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大,计划部门规定利润目标是 20；第二个目标是充分利用设备台时,但尽量少加班；第三个目标做如下规定,甲产品产量希望不少于 3单位,
乙产品产量比甲 产品 多 2单位 。 对各目标函数引入正,负偏差变量：
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4-- d4+ = 2
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第二节 目标规划的数学模型
目标达成函数
各个目标函数引入正,负偏差变量,而被列入了目标约束条件 。
如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值,构造一个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值 。
这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。
若要求尽可能达到规定的目标值,则正,负偏差变量 dk+,dk-
都 尽 可 能 最 小,将 dk+ 和 dk- 都 列 入 目 标 函 数 中,即
minSk=dk++dk-；
若希望尽可能不低于期望值 (允许超过 ),则负偏差变量 dk- 尽可能的小,而不关心超出量 dk+,故只需将 dk- 列入目标函数,
minSk= dk- ；
若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正偏差变量 dk+ 尽可能地小，而不关心低于量 dk-,故只需将 dk+
列入目标函数,minSk= dk+ 。
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第二节 目标规划的数学模型
优先等级和权数
目标的重要程度不同，用优先等级因子 Pk 来表示第 k等级目标。
优先等级因子 Pk 是正的常数,Pk >> Pk+1 。
同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数 w。
例如
第一个目标是实现利润最大，其优先级为 P1 ；
第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为 P2 ；
第三个目标：甲的产量不少于 3，乙的产量比甲多 2，优先级为 P3。
假设：
甲 产品 产量希望不少于 3单位的权数为 3，
乙产品产量比甲 产品 多 2单位的权数为 5。
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- )
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1,x2,dk-,dk+ ≥0
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第二节 目标规划的数学模型二,目标规划的数学模型
njddx
KkEddxc
mibxa
dwdwPZ
kkj
k
n
j
kkjkj
i
n
j
jij
lkl
L
l
lkl
K
k
k
k
,.,,,2,10,,
,.,,,2,1
,.,,,2,1),(
)(m i n
*
1
1
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非负性约束目标约束绝对约束上海财经大学国际工商管理学院
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第三节 目标规划的解法
只含有两个决策变量的目标规划模型
线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小；
目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。
目标规划的图解法的思路
首先是在可行域内寻找一个使 P1级各目标均满足的区域 R1；
然后再在 R1中寻找一个使 P2级各目标均满足的区域 R2(R2?R1)；
接着再在 R2中寻找一个满足 P3级各目标的区域 R3(R3?R2?R1)；
如此继续，直到寻找到一个区域 RK(RK?RK-1?…?R3? R2? R1)，
满足 PK级各目标，这时 RK即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
一,目标规划的图解法上海财经大学国际工商管理学院
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第三节 目标规划的解法
目标规划的图解法的步骤
首先，按照绝对约束画出可行域，
其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线，
最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ①
4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 ②
x1 +d3- - d3+ = 3 ③
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④
x1,x2,dk-,dk+ ≥0 ⑤
x1
x2
①
d1+
d1-
②
d2+
d2-
③
d3+d3-
④
d4-
d4+
D
A
B
C
满意解,x1=16/7,
x2=32/7
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第三节 目标规划的解法
目标规划与线性规划的数学模型的结构相似
可用前述单纯形算法求解目标规划模型：
将优先等级 Pk视为正常数 (大 Ｍ 法 )
正负偏差变量 dk+,dk-视为松弛变量
以负偏差变量 dk-为初始基变量，建立初始单纯形表
检验数的计算与 LP单纯形表检验数的计算完全相同，
即?j= cj - CBi Pj
最优性判别准则类似于 LP的单纯形算法：
检验数一般是各优先等级因子的代数和
判断检验数的正负和大小二,目标规划的单纯形法上海财经大学国际工商管理学院
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第三节 目标规划的解法
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+= 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1,x2,dk-,dk+ ≥0
划为标准型
maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1,x2,dk-,dk+ ≥0
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第三节 目标规划的解法
cj?
值CB XB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
检验数?j
0 0 - P1 0 - P2 - P2 - 3P2 0 - 5P2 0
20 5 4 1 -1 0 0 0 0 0 0
24 4 3 0 0 1 -1 0 0 0 0
3 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
2 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1
d1-
d2-
d3-
d4-
- P1
- P2
- 3P3
- 5P3
+5 P1
+4 P2
-2 P3
+4 P1
+3 P2
+5 P3
0 -P1 0
-2P2
0
-3P3
0
-5P3
4
5
3
-
检验数?j
d1-
d2-
x1
d4-
- P1
- P2
0
- 5P3
3 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
5 0 4 1 -1 0 0 -5 5 0 0
12 0 3 0 0 1 -1 -4 4 0 0
5 0 1 0 0 0 0 1 -1 1 -1
0 +4 P1
+3 P2
+5 P3
0 -P1 0
-2P2
-5 P1
-4 P2
+2 P3
+5 P1
+4 P2
-5 P3
0
-5P3
1
3
-
-
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第三节 目标规划的解法
cj 0 0 - P1 0 - P2 - P2 - 3P2 0 - 5P2 0?
值CB XB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
检验数?j
d3+
d2-
x1
d4-
0
- P2
0
- 5P3
1 0 4/5 1/5 -1/5 0 0 -1 1 0 0
8 0 -1/5 -4/5 4/5 1 -1 0 0 0 0
4 1 4/5 1/5 -1/5 0 0 0 0 0 0
6 0 9/5 1/5 -1/5 0 0 0 0 1 -1
0 - P1 0 0 0
-1/5P2 -4/5P2 +4/5P2 -2P2
+9P3 +P3 -P3 -3P3 -5P3
-
10
-
-
检验数?j
d3+
d1+
x1
d4-
0
0
0
- 5P3
10 0 -1/4 -1 1 5/4 -5/4 0 0 0 0
3 0 3/4 0 0 1/4 -1/4 -1 1 0 0
6 1 3/4 0 0 1/4 -1/4 0 0 0 0
8 0 7/4 0 0 1/4 -1/4 0 0 1 -1
0 - P1 0 0 0
-P2 -P2
35/4P3 +5/4P3 -5/4P3 -3P3 -5P3
4
-
8
32/7
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第三节 目标规划的解法
cj 0 0 - P1 0 - P2 - P2 - 3P2 0 - 5P2 0?
值CB XB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
检验数?j
x2
d1+
x1
d4-
0
0
0
- 5P3
4 0 1 0 0 1/3 -1/3 -4/3 4/3 0 0
11 0 0 -1 1 4/3 -4/3 -1/3 1/3 0 0
3 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0
1 0 0 0 0 -1/3 1/3 7/3 -7/3 1 -1
0 0 - P1 0 0
-P2 -P2
-5/3P3 +5/3P326/3P3 -35/3P3 -5P3
-
-
-
3
检验数?j
x2
d1+
x1
d3-
0
0
0
- 3P3 3/7 0 0 0 0 -1/7 1/7 1 -1 3/7 -3/7
32/7 0 1 0 0 1/7 -1/7 0 0 4/7 -4/7
78/7 0 0 -1 1 9/7 -9/7 0 0 1/7 -1/7
18/7 1 0 0 0 1/7 -1/7 0 0 -3/7 3/7
0 0 - P1 0 0 0
-P2 -P2
-3/7P3 +3/7P3 -3P3 -26/7P3 -9/7P3
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第四节 目标规划的应用
经营目标
P1：总利润不低于 40，
P2：充分利用设备能力，且尽量不超过 140
如何安排生产？
minZ= P1 d1- + P2 (d2-+d2+ )
x1 ≤6 ①
x2 ≤10 ②
5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③
20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④
x1,x2,d1-,d1+,d2-,d2+ ≥0
在目标管理中的应用产品资源 甲 乙 现有资源设备 20 10 140
售价 10 8
成本 5 6
最大需求量 6 10
x1
x2 x1 =6
x2 =10
③④
d1+
d1-
d2+
d2-
C
B
D
(6,5)
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20
第四节 目标规划的应用
满意解,x1 =6,x2 = 5
设备能力：需求,20?6+10?5=170，实际,140
实现 目标 P1和 P2，降低甲乙产品的设备消耗,降低率 (170-140)/170=18%，
甲产品的设备消耗降为 20?(1-18%)=16.4,
乙产品的设备消耗降为 10?(1-18%)=8.2。
总利润,40
单位甲,5
单位乙,2
生产部目标甲产品的产量,6，成本,5
乙产品的产量,5，成本,6
技术部目标甲产品的设备单耗,16.4
乙产品的设备单耗,8.2
销售部目标甲产品的销量,6，单价,10
乙产品的销量,5，单价,8
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第四节 目标规划的应用
minZ= P2 d1- + P1 (d2-+d2+ )
x1 ≤6 ①
x2 ≤10 ②
5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③
20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④
x1,x2,d1-,d1+,d2-,d2+ ≥0 x1
x2 x1 =6
x2 =10④
A (6,2)
③
d1+
d1- d
2+
d2-
E
产品资源 甲 乙 现有资源设备 20 10 140
售价 10 8
成本 5 6
最大需求量 6 10
降低设备消耗很困难，则调整经营目标的次序
P1：充分利用设备能力，且尽量不超过 140，
P2：总利润不低于 40
如何安排生产？
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22
第四节 目标规划的应用
满意解,x1 =6,x2 = 2
利润指标,实际,5?6+2?2=34,期望,40
实现 目标 P1和 P2，增加甲乙产品的单位利润,增长率 (40-34)/34=18%
产品售价由市场决定，为提高利润，应从降低成本入手：
甲产品的成本由 5降为 10 -5?(1+18%)=4.12,
乙产品的成本由 6降为 8 -2?(1+18%)=5.63。
总利润,40
单位甲,5.88
单位乙,2.26
生产部目标甲产品的产量,6，成本,4.12
乙产品的产量,2，成本,5.63
技术部目标甲产品的设备单耗,20
乙产品的设备单耗,10
销售部目标甲产品的销量,6，单价,10
乙产品的销量,2，单价,8
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第四节 目标规划的应用
某副食品批发店预测某商品今后 4月的购进与售出价格如表：
在库存管理中的应用月份 1 2 3 4
成本 (购价 +库存 ) 2.6 2.5 2.7 2.8
售价 2.9 2.7 3.1 3.3
假设：该商品供不应求，最大销量受仓库容量限制；
正常库容 3吨，机动库容 2吨；
月初批发销货，月中采购进货，进货所需资金完全来销售收入；
1月初库存量 2吨，成本 2.5千元 /吨，该月初无现金。
经营目标,(1)每月都使用正常库容，尽量不超容；
(2) 每月下旬都应储备 1千元以备急用；
(3)4个月总盈利最大。
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第四节 目标规划的应用
决策变量,xj 第 j 月的采购量,yj 第 j 月的销售量
绝对约束条件
各月销量约束：月初售货，各月销量不能多于其期初库存量。
1月 y1 ≤2
2月 y2 ≤2 – y1 + x1 → y1 + y2 – x1 ≤2
3月 y3 ≤2 – y1 + x1 – y2 + x2 → y1 + y2 + y3 – x1 – x2 ≤2
4月 y4≤2 – y1 + x1 – y2 + x2 – y3 + x3 → y1 + y2 + y3 + y4 – x1 – x2 – x3 ≤2
各月采购量约束：每月采购量依赖月初的售货收入。
1月 2.6x1 ≤2.9y1→ – 2.9y1 + 2.6x1 ≤0
2月 – 2.9y1 –2.7y2 + 2.6x1 +2.5x2 ≤0
3月 – 2.9y1 –2.7y2 –3.1y3 + 2.6x1+2.5x2+2.7x3 ≤0
4月 – 2.9y1 –2.7y2 –3.1y3 –3.3y4+ 2.6x1 +2.5x2+2.7x3+2.8x4≤0
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第四节 目标规划的应用
目标约束条件
正常库容约束
1月 2 –y1 + x1 ≤ 3→ –y1 + x1 + d1- – d1+ =1
2月 –y1 –y2 + x1+ x2 + d2- – d2+ = 1
3月 –y1 –y2 –y3 + x1+ x2+ x3 + d3- – d3+ = 1
4月 –y1 –y2 –y3 –y4 + x1+ x2+ x3 + x4 + d4- – d4+ = 1
各月储备金约束
1月 2.9y1 -2.6x1 + d5- – d5+ = 1
2月 2.9y1 +2.7y2 - 2.6x1 -2.5x2 + d6- – d6+ = 1
3月 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 - 2.6x1-2.5x2-2.7x3 + d7- – d7+ = 1
4月 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4- 2.6x1 -2.5x2-2.7x3-2.8x4 + d8- – d8+ = 1
总盈利约束,期望利润 (3.3-2.5)× (3+2) × 4=16
销售收入,2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4 销售成本,2.5× 2+2.6x1 +2.5x2+2.7x3
2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4 -2.6x1 -2.5x2-2.7x3 + d9- – d9+ = 21
目标达成函数
minZ=P1 (d1+ + d2+ + d3+ + d4+ ) + P2 ( d5- + d6- + d7- + d8- ) + P3 d9-
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第五章 目标规划
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、
提高质量、提高劳动生产率等；
生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等 。
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的,LP则无能为力。
目标规划（ Goal Programming）
在 LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。
美国经济学家查恩斯 (A.Charnes)和库柏 (W.W.Cooper)在 1961年出版的,管理模型及线性规划的工业应用,一书中，首先提出的。
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第一节 多目标线性规划
多目标线性规划
含有多个优化目标的线性规划。
线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。
多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。
例题
某工厂计划生产甲,乙两种产品,现有的设备资源,每种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如表所示 。 试确定计划期内的生产计划,使获得的利润最大 。
一,问题 的提出产品资源 甲 乙 现有资源设备 4 3 24
单位产品利润 5 4
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第一节 多目标线性规划解,设 x1,x2分别 表示甲,乙两种产品的产量,则可建立线规划模型如下：
maxZ=5x1+4x2
4x1+3x2 ≤24
x1,x2 ≥0
假设,该工厂根据市场需求或合同规定,希望尽量扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量 。 这时又增加了二个目标,则可建立如下的模型：
maxZ1=5x1+4x2
maxZ2=x1
minZ3=x2
4x1+3x2 ≤24
x1,x2 ≥0
这些目标之间相互矛盾，
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第一节 多目标线性规划
加权系数法
为每一目标赋一个权系数,把多目标模型转化成单一目标的模型 。 但困难是要确定合理的权系数,以反映不同目标之间的重要程度 。
优先等级法
将各目标按其重要程度分成不同的优先等级,转化为单目标模型 。
有效解法
寻求能够照顾到各个目标,并使决策者感到满意的解 。 由决策者来确定选取哪一个解,即得到一个满意解 。 但有效解的数目太多而难以将其一一求出 。
二,求解思路上海财经大学国际工商管理学院
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第一节 多目标线性规划
加权系数法和优先等级法的结合
对每个目标函数确定一个希望达到的期望值 (目标值或理想值 )；
由于各种条件的限制,这些目标值往往不可能全部都达到；
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量,分别表示超过或未达到目标值的情况；
为区别各目标的重要程度,引入目标的优先等级和加权系数；
对所有的目标函数建立约束方程,并入原来的约束条件中,组成新的约束条件；
从这组新的约束条件,寻找使组合偏差最小的方案 。
三,目标规划法上海财经大学国际工商管理学院
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7
第二节 目标规划的数学模型
目标函数的期望值
每一个目标函数希望达到的期望值 (或目标值,理想值 )。
根据历史资料,市场需求或上级部门的布置等来确定 。
偏差变量
每个目标函数的期望值确定之后,目标的实际值和它的期望值之间就有正的或负的偏差 。
正偏差变量 dk+表示第 k个目标超过期望值的数值；
负偏差变量 dk-表示第 k个目标未达到期望值的数值 。
同一目标,它的取值不可能在超过期望值的同时,又没有达到期望值,所以在 dk+和 dk-中至少有一个必须为零 。
一,目标规划的基本概念上海财经大学国际工商管理学院
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8
第二节 目标规划的数学模型
目标约束
引入正,负偏差变量后,对各个目标建立的目标函数方程 。
n
j
kkjkj Eddxc
1
*
原来的目标函数变成了约束条件的一部分,即目标约束 (软约束 )
原来的约束条件称为系统约束 (硬约束 )。
上例中,管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大,计划部门规定利润目标是 20；第二个目标是充分利用设备台时,但尽量少加班；第三个目标做如下规定,甲产品产量希望不少于 3单位,
乙产品产量比甲 产品 多 2单位 。 对各目标函数引入正,负偏差变量：
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4-- d4+ = 2
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9
第二节 目标规划的数学模型
目标达成函数
各个目标函数引入正,负偏差变量,而被列入了目标约束条件 。
如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值,构造一个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值 。
这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。
若要求尽可能达到规定的目标值,则正,负偏差变量 dk+,dk-
都 尽 可 能 最 小,将 dk+ 和 dk- 都 列 入 目 标 函 数 中,即
minSk=dk++dk-；
若希望尽可能不低于期望值 (允许超过 ),则负偏差变量 dk- 尽可能的小,而不关心超出量 dk+,故只需将 dk- 列入目标函数,
minSk= dk- ；
若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正偏差变量 dk+ 尽可能地小，而不关心低于量 dk-,故只需将 dk+
列入目标函数,minSk= dk+ 。
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10
第二节 目标规划的数学模型
优先等级和权数
目标的重要程度不同，用优先等级因子 Pk 来表示第 k等级目标。
优先等级因子 Pk 是正的常数,Pk >> Pk+1 。
同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数 w。
例如
第一个目标是实现利润最大，其优先级为 P1 ；
第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为 P2 ；
第三个目标：甲的产量不少于 3，乙的产量比甲多 2，优先级为 P3。
假设：
甲 产品 产量希望不少于 3单位的权数为 3，
乙产品产量比甲 产品 多 2单位的权数为 5。
minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- )
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1,x2,dk-,dk+ ≥0
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第二节 目标规划的数学模型二,目标规划的数学模型
njddx
KkEddxc
mibxa
dwdwPZ
kkj
k
n
j
kkjkj
i
n
j
jij
lkl
L
l
lkl
K
k
k
k
,.,,,2,10,,
,.,,,2,1
,.,,,2,1),(
)(m i n
*
1
1
11
非负性约束目标约束绝对约束上海财经大学国际工商管理学院
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12
第三节 目标规划的解法
只含有两个决策变量的目标规划模型
线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小；
目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。
目标规划的图解法的思路
首先是在可行域内寻找一个使 P1级各目标均满足的区域 R1；
然后再在 R1中寻找一个使 P2级各目标均满足的区域 R2(R2?R1)；
接着再在 R2中寻找一个满足 P3级各目标的区域 R3(R3?R2?R1)；
如此继续，直到寻找到一个区域 RK(RK?RK-1?…?R3? R2? R1)，
满足 PK级各目标，这时 RK即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
一,目标规划的图解法上海财经大学国际工商管理学院
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第三节 目标规划的解法
目标规划的图解法的步骤
首先，按照绝对约束画出可行域，
其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线，
最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ①
4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 ②
x1 +d3- - d3+ = 3 ③
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④
x1,x2,dk-,dk+ ≥0 ⑤
x1
x2
①
d1+
d1-
②
d2+
d2-
③
d3+d3-
④
d4-
d4+
D
A
B
C
满意解,x1=16/7,
x2=32/7
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第三节 目标规划的解法
目标规划与线性规划的数学模型的结构相似
可用前述单纯形算法求解目标规划模型：
将优先等级 Pk视为正常数 (大 Ｍ 法 )
正负偏差变量 dk+,dk-视为松弛变量
以负偏差变量 dk-为初始基变量，建立初始单纯形表
检验数的计算与 LP单纯形表检验数的计算完全相同，
即?j= cj - CBi Pj
最优性判别准则类似于 LP的单纯形算法：
检验数一般是各优先等级因子的代数和
判断检验数的正负和大小二,目标规划的单纯形法上海财经大学国际工商管理学院
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第三节 目标规划的解法
minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+= 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1,x2,dk-,dk+ ≥0
划为标准型
maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-)
5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20
4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24
x1 +d3- - d3+ = 3
- x1 + x2 +d4- - d4+ = 2
x1,x2,dk-,dk+ ≥0
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第三节 目标规划的解法
cj?
值CB XB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
检验数?j
0 0 - P1 0 - P2 - P2 - 3P2 0 - 5P2 0
20 5 4 1 -1 0 0 0 0 0 0
24 4 3 0 0 1 -1 0 0 0 0
3 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
2 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1
d1-
d2-
d3-
d4-
- P1
- P2
- 3P3
- 5P3
+5 P1
+4 P2
-2 P3
+4 P1
+3 P2
+5 P3
0 -P1 0
-2P2
0
-3P3
0
-5P3
4
5
3
-
检验数?j
d1-
d2-
x1
d4-
- P1
- P2
0
- 5P3
3 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
5 0 4 1 -1 0 0 -5 5 0 0
12 0 3 0 0 1 -1 -4 4 0 0
5 0 1 0 0 0 0 1 -1 1 -1
0 +4 P1
+3 P2
+5 P3
0 -P1 0
-2P2
-5 P1
-4 P2
+2 P3
+5 P1
+4 P2
-5 P3
0
-5P3
1
3
-
-
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第三节 目标规划的解法
cj 0 0 - P1 0 - P2 - P2 - 3P2 0 - 5P2 0?
值CB XB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
检验数?j
d3+
d2-
x1
d4-
0
- P2
0
- 5P3
1 0 4/5 1/5 -1/5 0 0 -1 1 0 0
8 0 -1/5 -4/5 4/5 1 -1 0 0 0 0
4 1 4/5 1/5 -1/5 0 0 0 0 0 0
6 0 9/5 1/5 -1/5 0 0 0 0 1 -1
0 - P1 0 0 0
-1/5P2 -4/5P2 +4/5P2 -2P2
+9P3 +P3 -P3 -3P3 -5P3
-
10
-
-
检验数?j
d3+
d1+
x1
d4-
0
0
0
- 5P3
10 0 -1/4 -1 1 5/4 -5/4 0 0 0 0
3 0 3/4 0 0 1/4 -1/4 -1 1 0 0
6 1 3/4 0 0 1/4 -1/4 0 0 0 0
8 0 7/4 0 0 1/4 -1/4 0 0 1 -1
0 - P1 0 0 0
-P2 -P2
35/4P3 +5/4P3 -5/4P3 -3P3 -5P3
4
-
8
32/7
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第三节 目标规划的解法
cj 0 0 - P1 0 - P2 - P2 - 3P2 0 - 5P2 0?
值CB XB b x1 x2 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+
检验数?j
x2
d1+
x1
d4-
0
0
0
- 5P3
4 0 1 0 0 1/3 -1/3 -4/3 4/3 0 0
11 0 0 -1 1 4/3 -4/3 -1/3 1/3 0 0
3 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0
1 0 0 0 0 -1/3 1/3 7/3 -7/3 1 -1
0 0 - P1 0 0
-P2 -P2
-5/3P3 +5/3P326/3P3 -35/3P3 -5P3
-
-
-
3
检验数?j
x2
d1+
x1
d3-
0
0
0
- 3P3 3/7 0 0 0 0 -1/7 1/7 1 -1 3/7 -3/7
32/7 0 1 0 0 1/7 -1/7 0 0 4/7 -4/7
78/7 0 0 -1 1 9/7 -9/7 0 0 1/7 -1/7
18/7 1 0 0 0 1/7 -1/7 0 0 -3/7 3/7
0 0 - P1 0 0 0
-P2 -P2
-3/7P3 +3/7P3 -3P3 -26/7P3 -9/7P3
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第四节 目标规划的应用
经营目标
P1：总利润不低于 40，
P2：充分利用设备能力，且尽量不超过 140
如何安排生产？
minZ= P1 d1- + P2 (d2-+d2+ )
x1 ≤6 ①
x2 ≤10 ②
5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③
20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④
x1,x2,d1-,d1+,d2-,d2+ ≥0
在目标管理中的应用产品资源 甲 乙 现有资源设备 20 10 140
售价 10 8
成本 5 6
最大需求量 6 10
x1
x2 x1 =6
x2 =10
③④
d1+
d1-
d2+
d2-
C
B
D
(6,5)
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第四节 目标规划的应用
满意解,x1 =6,x2 = 5
设备能力：需求,20?6+10?5=170，实际,140
实现 目标 P1和 P2，降低甲乙产品的设备消耗,降低率 (170-140)/170=18%，
甲产品的设备消耗降为 20?(1-18%)=16.4,
乙产品的设备消耗降为 10?(1-18%)=8.2。
总利润,40
单位甲,5
单位乙,2
生产部目标甲产品的产量,6，成本,5
乙产品的产量,5，成本,6
技术部目标甲产品的设备单耗,16.4
乙产品的设备单耗,8.2
销售部目标甲产品的销量,6，单价,10
乙产品的销量,5，单价,8
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第四节 目标规划的应用
minZ= P2 d1- + P1 (d2-+d2+ )
x1 ≤6 ①
x2 ≤10 ②
5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③
20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④
x1,x2,d1-,d1+,d2-,d2+ ≥0 x1
x2 x1 =6
x2 =10④
A (6,2)
③
d1+
d1- d
2+
d2-
E
产品资源 甲 乙 现有资源设备 20 10 140
售价 10 8
成本 5 6
最大需求量 6 10
降低设备消耗很困难，则调整经营目标的次序
P1：充分利用设备能力，且尽量不超过 140，
P2：总利润不低于 40
如何安排生产？
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22
第四节 目标规划的应用
满意解,x1 =6,x2 = 2
利润指标,实际,5?6+2?2=34,期望,40
实现 目标 P1和 P2，增加甲乙产品的单位利润,增长率 (40-34)/34=18%
产品售价由市场决定，为提高利润，应从降低成本入手：
甲产品的成本由 5降为 10 -5?(1+18%)=4.12,
乙产品的成本由 6降为 8 -2?(1+18%)=5.63。
总利润,40
单位甲,5.88
单位乙,2.26
生产部目标甲产品的产量,6，成本,4.12
乙产品的产量,2，成本,5.63
技术部目标甲产品的设备单耗,20
乙产品的设备单耗,10
销售部目标甲产品的销量,6，单价,10
乙产品的销量,2，单价,8
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第四节 目标规划的应用
某副食品批发店预测某商品今后 4月的购进与售出价格如表：
在库存管理中的应用月份 1 2 3 4
成本 (购价 +库存 ) 2.6 2.5 2.7 2.8
售价 2.9 2.7 3.1 3.3
假设：该商品供不应求，最大销量受仓库容量限制；
正常库容 3吨，机动库容 2吨；
月初批发销货，月中采购进货，进货所需资金完全来销售收入；
1月初库存量 2吨，成本 2.5千元 /吨，该月初无现金。
经营目标,(1)每月都使用正常库容，尽量不超容；
(2) 每月下旬都应储备 1千元以备急用；
(3)4个月总盈利最大。
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第四节 目标规划的应用
决策变量,xj 第 j 月的采购量,yj 第 j 月的销售量
绝对约束条件
各月销量约束：月初售货，各月销量不能多于其期初库存量。
1月 y1 ≤2
2月 y2 ≤2 – y1 + x1 → y1 + y2 – x1 ≤2
3月 y3 ≤2 – y1 + x1 – y2 + x2 → y1 + y2 + y3 – x1 – x2 ≤2
4月 y4≤2 – y1 + x1 – y2 + x2 – y3 + x3 → y1 + y2 + y3 + y4 – x1 – x2 – x3 ≤2
各月采购量约束：每月采购量依赖月初的售货收入。
1月 2.6x1 ≤2.9y1→ – 2.9y1 + 2.6x1 ≤0
2月 – 2.9y1 –2.7y2 + 2.6x1 +2.5x2 ≤0
3月 – 2.9y1 –2.7y2 –3.1y3 + 2.6x1+2.5x2+2.7x3 ≤0
4月 – 2.9y1 –2.7y2 –3.1y3 –3.3y4+ 2.6x1 +2.5x2+2.7x3+2.8x4≤0
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第四节 目标规划的应用
目标约束条件
正常库容约束
1月 2 –y1 + x1 ≤ 3→ –y1 + x1 + d1- – d1+ =1
2月 –y1 –y2 + x1+ x2 + d2- – d2+ = 1
3月 –y1 –y2 –y3 + x1+ x2+ x3 + d3- – d3+ = 1
4月 –y1 –y2 –y3 –y4 + x1+ x2+ x3 + x4 + d4- – d4+ = 1
各月储备金约束
1月 2.9y1 -2.6x1 + d5- – d5+ = 1
2月 2.9y1 +2.7y2 - 2.6x1 -2.5x2 + d6- – d6+ = 1
3月 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 - 2.6x1-2.5x2-2.7x3 + d7- – d7+ = 1
4月 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4- 2.6x1 -2.5x2-2.7x3-2.8x4 + d8- – d8+ = 1
总盈利约束,期望利润 (3.3-2.5)× (3+2) × 4=16
销售收入,2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4 销售成本,2.5× 2+2.6x1 +2.5x2+2.7x3
2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4 -2.6x1 -2.5x2-2.7x3 + d9- – d9+ = 21
目标达成函数
minZ=P1 (d1+ + d2+ + d3+ + d4+ ) + P2 ( d5- + d6- + d7- + d8- ) + P3 d9-
